专题 1.11 三角形复习专题——角平分线与垂直平分线几何模型（模型梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学复习讲义通过“模型梳理+题型精析+同步检测”构建三角形角平分线与垂直平分线的知识体系，以表格形式呈现五个核心几何模型，明确已知条件、辅助线作法及结论，清晰展现知识脉络与内在逻辑。 讲义亮点在于题型设计的递进性，如模型一“角平分线作垂线”配备例题证明性质及选择、填空、解答变式题，培养推理意识与几何直观。同步检测分层次命题，基础题巩固方法，综合题提升能力，助力教师实施精准教学，学生自主复习高效。

专题 1.11 三角形复习专题——角平分线与垂直平分线几何模型（模型梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.模型梳理与解读 1 【模型一】角平分线上的点向角两边作垂线，构造相等线段 1 【模型二】作角平分线的垂线，构造等腰三角形 2 【模型三】截相等线段构造对称型全等三角形 2 【模型四】角平分线十平行线，构造等腰三角形 2 【模型五】遇一边垂直平分线，构造等腰三角形 3 二.题型精析 3 【题型 1】角平分线上的点向角两边作垂线，构造相等线段 3 【题型 2】作角平分线的垂线，构造等腰三角形 6 【题型 3】截相等线段构造对称型全等三角形 13 【题型 4】角平分线十平行线，构造等腰三角形 23 【题型 5】遇一边垂直平分线，构造等腰三角形 27 三.同步检测 30 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 30 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 37 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 46 一.模型梳理与解读 【模型一】角平分线上的点向角两边作垂线，构造相等线段 已知 图示 作法 结论 如图，P是∠MON平分线上的一点，PA⊥OM. 过点P作PB⊥ON于点B. （1）PB=PA （2）Rt△AOP≌Rt△BOP 【模型二】作角平分线的垂线，构造等腰三角形 已知 图示 作法 结论 如图，P是∠MON平分线上的一点，AP⊥OP 延长AP交ON于点B. （1）Rt△AOP≌Rt△BOP， （2）△AOB是等腰三角形 【模型三】截相等线段构造对称型全等三角形 已知 图示 作法 结论 如图，P是∠MON平分线上的一点，A是射线OM上一点. 作点A关于OP的对称点B,连接PB. △PAO≌△PBO 【模型四】角平分线十平行线，构造等腰三角形 已知 图示 作法 结论 如图,点P在∠AOB的平分线上. 过点P作PQ//OB,交AO于点Q. △POQ是等腰三角形. 如图,OC是∠AOB的平分线，D是边OA上一点. 过点D作DE//CO,交BO的延长线于点E. △EOD是等腰三角形 【模型五】遇一边垂直平分线，构造等腰三角形 已知 图示 作法 结论 如图，在△ABC中，ED垂直平分BC. 连接BE. BE=CE，△BEC是等腰三角形， △ABE周长=AB+AC 二.题型精析 【题型 1】角平分线上的点向角两边作垂线，构造相等线段 【例题1】（25-26八年级上·全国·课前预习）证明“角平分线上的点到角两边的距离相等”． 已知：如图，是的平分线，点P在上，于点D，于点E．求证：． 【答案】见分析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．证明即可得到答案． 解：证明：∵于点D，于点E． ∴， ∵是的平分线， ∴ 在和中， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点C是的角平分线上的一点，于点D，，，动点P在射线OB上运动，它到点C的最小距离为（   ） A．2 B．5 C．3 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等、垂线段最短的性质．熟记全等三角形的判定是解题的关键．当时，根据三角形全等可得，再根据全等的性质解答即可． 解：根据垂线段最短可知：当时距离最小， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，中，是角平分线，，垂足为E，若，则的周长为________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，证明，得到，则，再根据三角形周长计算公式求解即可． 解：∵中，是角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：8． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． （1）求证：． （2）若，，则的长为______． 【答案】（1）见分析；（2）4 【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题中条件证明，推出，再证明，可得； （2）由（1）知，，，可得，由，，推出． 解：（1）平分， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， 又，， ， ． （2）由（1）知，，， 由得，， ，， 两式相减，可求得 ． 故答案为：4． 【题型 2】作角平分线的垂线，构造等腰三角形 【例题2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）【阅读理解】角平分线把角等分，从而得到相等的角，所以结合角平分线构造全等三角形是常用的方法． （1）如图1，平分，点，分别在和上，且于点．请补全下列证明： 证明：平分，________， ， ， 在和中， ， （________）． ，． 【类比解答】（2）如图2，在中，平分，于，若，，求的度数． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，，平分，交的延长线于点，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），，；（2）的度数为；（3）解：． 证明：延长、，交于点， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）由已知可得，证明，即可证得结论； （2）延长，交于点，由已知可得，可得，由三角形外角的性质，可得的度数； （3）延长、，交于点，证明，可得，证明，可得，即可得和的数量关系． 解：（1）略 （2）解：延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． （3）略 【点拨】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，对顶角相等，等角的余角相等． 【变式1】（2026·山西朔州·模拟预测）如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，，然后可得，，进而根据全等三角形的性质进行求解即可． 解：∵，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则________． 【答案】61 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．延长交于点，证明，推出，利用三角形的外角性质计算即可求解． 解：延长交于点， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：61． 【变式3】（25-26七年级下·广东深圳·期中）探究与证明 【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据___________，证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分于，若，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，平分，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 （4）如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点作于．已知面积为26，则划出的的面积是___________？ 【答案】（1）；（2）；（3） 解：，证明如下： 如图，延长、交于点， 则， ， ， ， ， 又， ， ， 由（1）可得，， ； （4） 【分析】（1）证，得，即可； （2）延长交于点，同理可得，则，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （3）延长、交于点，证，得，再由（1）可知，，即可得出结论； （4）延长交于，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，再求解即可得出结论． 解：（1）解：平分， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，延长交于点， 由（1）可知，， ， ， ； （3）略 （4）解：如图，延长交于， 由（1）可知，，， ， ， ∴ ， ∴． 【题型 3】截相等线段构造对称型全等三角形 【例题3】（23-24七年级上·山东烟台·期末）【阅读材料】 “截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法，是指在长线段中截取一段等于已知线段，常用于解答线段间的数量关系，当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长法”构造全等三角形来进行解题．    【问题解决】 （1）如图①，在中，为的角平分线，在上截取，连接．请直接写出线段之间的数量关系； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，为的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，为的补角的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）， 理由：如图②，在上截取，连接，   为平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． （3）， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接，   是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）在上截取，连接，可证明，得，，则，由，求得，则，所以，即可证明； （2）在上截取，连接，可证明，得，，由，，得，则，所以，即可证明； （3）在的延长线上取一点，使，连接，可证明，得，，所以，而，可推导出，则，所以． 解：（1）， 理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （2）略 （3）略 【点拨】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等角对等边”等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式1】（2025·陕西西安·一模）如图，是的角平分线，，设，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．与的关系不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，角平分线的定义， 先延长至E，使，再根据角平分线的定义可证明，可得，然后根据三角形的三边关系得出答案． 解：先延长至E，使， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点在内部，连接、、，，，，则线段的长度为__________． 【答案】3 【分析】在上截取，连接，利用证明和全等，得出及，再结合已知角度关系推导出，再由全等证明，最后通过线段的和差关系求解． 解：在上截取，连接，过点作于点， 是的角平分线 在和中 ， ，， 又 ， ∵， ∴ ∵ ∴ ， ． 【变式3】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）【问题情景】数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图1，在四边形中，点C是边的中点，平分，，证明：． 【讨论思考】当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出各自的见解．大家集思广议，提出了一个截长法，如图2，在上截取，连接，先证明≌．再证明≌，既有，即． 【解决问题】小明同学根据大家的思路进行了如下的证明． 理由如下：如图2，在上取一点F，使，连接． ∵平分，∴， 在和中，， ∴， ∴，． （1）小明已经完成了大家讨论第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 【拓展探究】已知，如图3，在中，D、E分别为、上的点，且，相交于点F．若，为的角平分线． （2）如果，写出等于__________； （3）如图3，，为的角平分线，如果角，证明； （4）如图4．在中，延长的边到点G，平分交延长线于点D，若，，则__________． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）见分析；（4） 【分析】（1）根据题意再证明得出，进而即可得证； （2）根据角平分线的定义可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）在上截取，证明，，根据全等三角形的性质，即可得证； （4）在上截取，证明，结合已知可得，进而根据等边对等角可得，进而根据角平分线的定义，全等三角形的性质，三角形的外角的性质即可求解． 解：（1）补充证明如下：∵， ∴， 又∵ ∴ ∵点是边的中点， ∴， 又∵ ∴， 在和中， ∴ ∴， 又， ∴， 即； （2）∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴ ∴ ． （3）证明：如图所示，在上截取， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ ∴； （4）解：如图所示，在上截取， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形的外角的性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 【题型 4】角平分线十平行线，构造等腰三角形 【例题4】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点在的平分线上，交于点． 用尺规作图的方法作以为一边的等腰三角形． 小明：如图，以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，则是等腰三角形． 小华：以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，则是等腰三角形． （1）证明：小华所作的是等腰三角形． （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理和判定方法． （1）根据作图痕迹和角平分线的性质证明，即可得到，然后根据平行线和角平分线进行角的等量代换得到，即可得到，进而得到，从而证明结论即可； （2）根据三角形的外角得到，然后根据等边对等角得到，再根据三角形的内角和定理解答即可． 解：（1）证明：根据小华的作图可知：， 点在的平分线上， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， ， 又， ， ， ， 在中，， 即， 解得， ． 【变式1】（25-26八年级上·云南玉溪·期中）如图，在中，与的平分线交于点M，过点M作交于点D，交于点E，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②的周长等于；③；④．其中一定正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义和平行线的性质可得，，由等角对等边得出，，由此逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵在中，与的平分线交于点M， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴和都是等腰三角形，故①正确； 的周长，故②正确； 和不一定相等，故不一定等于，故③错误； ，故④错误； 综上所述，正确的有①②，共个， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论： 和都是等腰三角形： ； 的周长等于与的和； ． 其中正确的是___________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，解答本题的关键是灵活应用等量代换．根据平行线性质和角平分线定义进行角的等量代换可得，，从而可得和都是等腰三角形，即可判断结论的正确性；利用线段和等量代换可判断结论、的正确性；由于不一定等于， 则不一定等于， 从而可得到与不一定相等，即可判断结论的正确性． 解：， ，， 在中，与的平分线交于点， ，， ，， ，， 即和都是等腰三角形； 故正确； ， 故正确； 的周长为：， 即的周长等于与的和， 故正确； 不一定等于， 不一定等于， 与不一定相等， 故错误． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·山东济宁·期中）如图，已知平分，，且． （1）求证：为等腰三角形； （2）判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，平行线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的性质得到，平行线的性质得到，进而得到，即可得出结论； （2）由，，得到，进而得到，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可得出答案． 解：（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 【题型 5】遇一边垂直平分线，构造等腰三角形 【例题5】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，已知四边形，利用尺规作图法在边上求作一点，使得点到点的距离等于．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示，点即为所求， 【分析】本题考查垂直平分线的尺规作图和性质，作的垂直平分线：分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，根据垂直平分线的性质可知，点即为所求. 解：略． 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径在直线上方画弧，两弧交于点．再分别以，为圆心，大于的长（两次长度不同）为半径在直线下方画弧，两弧交于点．点为直线上一动点，则的周长的最小值为（     ） A．13 B．14 C．15 D．19 【答案】A 【分析】连接，由作图可得垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，当点、、在同一直线上时，的周长最小，由此计算即可得出结果． 解：如图，连接， 由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴当点、、在同一直线上时，的周长最小，为． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，是线段的垂直平分线，若的周长为38，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，，，进而得到，结合三角形周长公式及线段的和差关系即可求解． 解：如图，连接， 垂直平分，， ，， 是线段的垂直平分线， ，， ， 的周长为38， ， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·北京·期中）如图，分别是的中点，于点，于点，求证：． 【答案】证明见分析 【分析】利用“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，推导出，进而得到线段间的数量关系． 解：连接， 是的中点，且， 是线段的垂直平分线， 根据垂直平分线的性质，可得， 同理，是的中点，且， 是线段的垂直平分线， 根据垂直平分线的性质，得， 且， ， 又是的中点， ， ． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，在角平分线上，设，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．、大小不确定 【答案】A 【分析】在上截取，连接，证明，可得，根据三角形三边的关系即可证明结论． 解：如图所示，在上截取，连接， ∵是的角平分线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 在中，， 而， ∴， ∵， ∴即， 故选：A． 【点拨】本题考查三角形的应用，作出辅助线后灵活运用全等三角形的判定和性质和三角形三边关系求证是解题关键． 2．（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，是的角平分线，，垂足为F，若，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．先利用三角形内角和定理求出，根据证明，根据证明，利用全等三角形的性质证明，最后根据三角形的外角的性质即可解决问题． 解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，为的角平分线，，，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理．在上找到点使得，易证，可得，，根据，即可求得，即可证明，根据三角形内角和为性质即可解题． 解：在上找到点使得， 为的角平分线， ， 在和中，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，的角平分线交于点，于点，若与的周长分别为15和3，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，推出，推出的周长的周长，由此即可解决问题． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长的周长， ∴， ∴． 故选：B． 5．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图；在中，是的角平分线，下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定，等腰三角形的角平分线，底边上的中线，底边的高相互重合． 由于，利用等边对等角，等腰三角形三线合一定理，可知，，，从而，无法证明，进而求解即可． 解：∵在中，是的角平分线， ∴ ∴，，，故①②④正确； ∴，故⑤正确； 无法证明，故③错误． 综上所述，正确的有4个． 故选：C． 6．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，根据三角形的内角和求出相应各个角的度数是解决问题的关键. 根据三角形的内角和求出利用三角形全等求出，再利用外角求出答案. 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选： A. 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，是的角平分线，于D．则的最大值为（  ） A． 10   B．12.5 C．17.5 D．25 【答案】B 【分析】延长，交点于，可证，得出，，则，当时，取最大值，即取最大值． 解：如图：延长，交点于， 平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ，即； ∵， ， 当时，取最大值，即取最大值． ． 故答案为：B． 【点拨】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用三角形中线的性质得到 8．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：连接，    是的垂直平分线，， ∴． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，是的平分线，于点E，要使，需要添加一个条件，这个条件是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据全等三角形的判定方法结合已知条件解答即可． 解：可以添加． ∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 10．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，的平分线交点P，点E是上一点，且．若，则_________ °．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的内角和定理．根据题意可证，设，则，根据三角形的内角和定理即可建立方程求解． 解：∵，分别平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，，为的平分线，，垂足为M，且，，则________． 【答案】10 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等角对等边性质，延长交于点E，首先证明出，得到，，，然后结合得到，进而得出，进而求解即可．解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质（对应边相等，对应角相等）和判定（，，，，），等角对等边性质． 解：如图所示，延长交于点E， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∴ ∴，，， ∴； ∵，即， ∴； ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 12．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，中，，，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别在上方、下方交于点，，作直线，交于点，连接，，则_______． 【答案】 【分析】连接，设交于，由题可知垂直平分，则，，进而得到，再证，得到，再由求解即可． 解：连接，设交于， 由题可知垂直平分，则，， 又， ， ， ，又， ，， 在和中， ， ， ． 13．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）如图，在中，，，是的平分线，延长至，使，连结，则的度数为_______________． 【答案】 【分析】在上截取，连接，证明，得，，则，再证明，然后证明，得即可求解． 解：如图，在上截取，连接， ， ， 平分， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 故答案为： 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，为的平分线，于E，连接，若的面积为，则△的面积________，． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，延长交于点G，先证，可得，进一步可得，进而求得的面积． 解：如图：延长交于点G， ∵为的平分线，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵的面积为， ∴的面积为，． 故答案为：3． 15．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在锐角中，＝＝，，的平分线交于点，点，分别是和上的动点，则的最小值是______． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得． 解：如图，在上取一点，使，连接， 是的平分线， ， 在和中，， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， 又由垂线段最短得：当时，取得最小值， ， ， 解得， 即的最小值为， 故答案为：． 16．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，的和的平分线，相交于点F，． （1）______． （2）若，，则______． 【答案】 /120度 14 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质性质、三角形的内角和定理，角平分线的定义， （1）根据三角形的内角和等于列式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和等于列式计算即可得解． （2）在上取一点O，使得，证，即可证明，可得，即可证明，可得，根据即可证明． 解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 解：（1）解：在中， ， ， ，的平分线，相交于点F， ，， ， 在中， ． （2）证明：在上取一点O，使得，     平分， ， 在和， ， ， ， 由（1）知， ，， ， ， ， 平分， ， 在和， ， ， ， ，， ． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知，，，是的平分线，交于点D，点E是上一点，作，交延长线于点F．求证：．    【答案】证明：， ， ， ． ，平分， ． 在和中， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确证明全等是解题的关键．根据等腰三角形的性质证明出即可． 解：略 18．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图所示，，是的平分线，是的平分线．求证： （1） （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质和三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由平行线的性质和角平分线的定义可推出，则由三角形内角和定理可证明结论； （2）延长交于F，可证明，则，由三线合一定理得到，证明，得到，据此可证明结论． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，延长交于F， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）如图，已知线段与直线平行，是的平分线，交直线于点E． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点F，交于点H，连接并延长交直线于点G，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，某学习小组讨论发现线段，，之间存在一定的数量关系，请你根据该兴趣小组的思路完成下面的填空： 解：，理由如下，如图所示， ， ∴①________， ∵是的平分线， ②________， 为的垂直平分线， ③________， 在和中，， ， ④________， ，， ． 【答案】（1）见分析；（2），，， 【分析】（1）利用尺规作图作出的垂直平分线即可； （2）按照题中给出的思路证明即可． 解：（1）解：所作图形如图： ； （2）解：，理由如下，如图所示， ， ∴， ∵是的平分线， ， 为的垂直平分线， ， 在和中，， ， ， ，， ． 20．（24-25八年级上·河南濮阳·期末）综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】 学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】 （1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？同学们猜测：大边对大角． 如图1，中，，求证：．    经同学们的讨论，李欣同学提出可以利用对称思想解决． 由此，以下三位同学给出了自己的解决方法： 李欣 张晶 王皓 思路与辅助线 分析：作的平分线，交于D，在上截取，连接． 分析：作的平分线，交于D，在的延长线上截取，连接． 分析：作于D，在上截取，连接． 图形          请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明． 证明： 【知识应用】 （2）如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是（    ） A．锐角三角形        B．钝角三角形        C．直角三角形        D．不能确定 （3）在中，已知：，用“”连接、、应为 ； 【问题拓展】 （4）如果把“在一个三角形中，如果边大，那么边所对的角大”作定理． ①写出这个定理的逆定理： ； ②证明这个逆定理（要求：画出图形，依照图形写出完整证明过程）． 【答案】（1）选择李欣的思路 证明：作的平分线，交于D，在上截取，连接． ∵平分 ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵是的外角 ∴ ∴； 选择张晶的思路： 证明：作的平分线，交于D，在的延长线上截取，连接， ∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵是的外角 ∴ ∴； 选择王皓的思路： 证明：作于D，在上截取，连接 ∵， ∴ ∴ ∵是的外角 ∴ ∴； （2）A；（3）；（4）①在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边长； ②已知：如图，在中，， 求证： 证明：如图，在内部，以C为顶点，以为一边作，另一边与交于点D    ∵ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴． 【分析】（1）选择李欣的思路：作的平分线，交于D，在上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择张晶的思路：作的平分线，交于D，在的延长线上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择王皓的思路：作于D，在上截取，连接，首先根据垂直平分线的性质得到，然后利用等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质求解即可； （2）根据题意得到这个三角形所有的角都是锐角，进而求解即可； （3）根据大边对大角求解即可； （4）①根据逆定理的概念求解即可； ②在内部，以C为顶点，以为一边作，另一边与交于点D，首先由等角对等边得到，然后等量代换得到，然后根据三角形三边关系得到，进而得到． 解：（1）略 （2）∵如果一个三角形最大边所对的角是锐角， ∴这个三角形所有的角都是锐角， ∴这个三角形是锐角三角形 故选：A； （3）∵在中，， ∴； （4）①这个定理的逆定理：在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边长； ②略 【点拨】此题考查了等边对等角，等角对等边，全等三角形的性质和判定，三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.11 三角形复习专题——角平分线与垂直平分线几何模型（模型梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.模型梳理与解读 1 【模型一】角平分线上的点向角两边作垂线，构造相等线段 1 【模型二】作角平分线的垂线，构造等腰三角形 2 【模型三】截相等线段构造对称型全等三角形 2 【模型四】角平分线十平行线，构造等腰三角形 2 【模型五】遇一边垂直平分线，构造等腰三角形 3 二.题型精析 3 【题型 1】角平分线上的点向角两边作垂线，构造相等线段 3 【题型 2】作角平分线的垂线，构造等腰三角形 4 【题型 3】截相等线段构造对称型全等三角形 6 【题型 4】角平分线十平行线，构造等腰三角形 8 【题型 5】遇一边垂直平分线，构造等腰三角形 9 三.同步检测 10 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 11 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 12 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 14 一.模型梳理与解读 【模型一】角平分线上的点向角两边作垂线，构造相等线段 已知 图示 作法 结论 如图，P是∠MON平分线上的一点，PA⊥OM. 过点P作PB⊥ON于点B. （1）PB=PA （2）Rt△AOP≌Rt△BOP 【模型二】作角平分线的垂线，构造等腰三角形 已知 图示 作法 结论 如图，P是∠MON平分线上的一点，AP⊥OP 延长AP交ON于点B. （1）Rt△AOP≌Rt△BOP， （2）△AOB是等腰三角形 【模型三】截相等线段构造对称型全等三角形 已知 图示 作法 结论 如图，P是∠MON平分线上的一点，A是射线OM上一点. 作点A关于OP的对称点B,连接PB. △PAO≌△PBO 【模型四】角平分线十平行线，构造等腰三角形 已知 图示 作法 结论 如图,点P在∠AOB的平分线上. 过点P作PQ//OB,交AO于点Q. △POQ是等腰三角形. 如图,OC是∠AOB的平分线，D是边OA上一点. 过点D作DE//CO,交BO的延长线于点E. △EOD是等腰三角形 【模型五】遇一边垂直平分线，构造等腰三角形 已知 图示 作法 结论 如图，在△ABC中，ED垂直平分BC. 连接BE. BE=CE，△BEC是等腰三角形， △ABE周长=AB+AC 二.题型精析 【题型 1】角平分线上的点向角两边作垂线，构造相等线段 【例题1】（25-26八年级上·全国·课前预习）证明“角平分线上的点到角两边的距离相等”． 已知：如图，是的平分线，点P在上，于点D，于点E．求证：． 【变式1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点C是的角平分线上的一点，于点D，，，动点P在射线OB上运动，它到点C的最小距离为（   ） A．2 B．5 C．3 D．无法确定 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，中，是角平分线，，垂足为E，若，则的周长为________． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． （1）求证：． （2）若，，则的长为______． 【题型 2】作角平分线的垂线，构造等腰三角形 【例题2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）【阅读理解】角平分线把角等分，从而得到相等的角，所以结合角平分线构造全等三角形是常用的方法． （1）如图1，平分，点，分别在和上，且于点．请补全下列证明： 证明：平分，________， ， ， 在和中， ， （________）． ，． 【类比解答】（2）如图2，在中，平分，于，若，，求的度数． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，，平分，交的延长线于点，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【变式1】（2026·山西朔州·模拟预测）如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则________． 【变式3】（25-26七年级下·广东深圳·期中）探究与证明 【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据___________，证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分于，若，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，平分，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 （4）如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点作于．已知面积为26，则划出的的面积是___________？ 【题型 3】截相等线段构造对称型全等三角形 【例题3】（23-24七年级上·山东烟台·期末）【阅读材料】 “截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法，是指在长线段中截取一段等于已知线段，常用于解答线段间的数量关系，当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长法”构造全等三角形来进行解题．    【问题解决】 （1）如图①，在中，为的角平分线，在上截取，连接．请直接写出线段之间的数量关系； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，为的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，为的补角的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由． 【变式1】（2025·陕西西安·一模）如图，是的角平分线，，设，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．与的关系不能确定 【变式2】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点在内部，连接、、，，，，则线段的长度为__________． 【变式3】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）【问题情景】数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图1，在四边形中，点C是边的中点，平分，，证明：． 【讨论思考】当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出各自的见解．大家集思广议，提出了一个截长法，如图2，在上截取，连接，先证明≌．再证明≌，既有，即． 【解决问题】小明同学根据大家的思路进行了如下的证明． 理由如下：如图2，在上取一点F，使，连接． ∵平分，∴， 在和中，， ∴， ∴，． （1）小明已经完成了大家讨论第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 【拓展探究】已知，如图3，在中，D、E分别为、上的点，且，相交于点F．若，为的角平分线． （2）如果，写出等于__________； （3）如图3，，为的角平分线，如果角，证明； （4）如图4．在中，延长的边到点G，平分交延长线于点D，若，，则__________． 【题型 4】角平分线十平行线，构造等腰三角形 【例题4】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点在的平分线上，交于点． 用尺规作图的方法作以为一边的等腰三角形． 小明：如图，以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，则是等腰三角形． 小华：以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，则是等腰三角形． （1）证明：小华所作的是等腰三角形． （2）若，求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·云南玉溪·期中）如图，在中，与的平分线交于点M，过点M作交于点D，交于点E，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②的周长等于；③；④．其中一定正确的结论有（   ） 【变式2】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论： 和都是等腰三角形： ； 的周长等于与的和； ． 其中正确的是___________． 【变式3】（25-26七年级上·山东济宁·期中）如图，已知平分，，且． （1）求证：为等腰三角形； （2）判断与的数量关系，并说明理由． 【题型 5】遇一边垂直平分线，构造等腰三角形 【例题5】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，已知四边形，利用尺规作图法在边上求作一点，使得点到点的距离等于．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径在直线上方画弧，两弧交于点．再分别以，为圆心，大于的长（两次长度不同）为半径在直线下方画弧，两弧交于点．点为直线上一动点，则的周长的最小值为（     ） A．13 B．14 C．15 D．19 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，是线段的垂直平分线，若的周长为38，，则的长为________． 【变式3】（25-26七年级下·北京·期中）如图，分别是的中点，于点，于点，求证：． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，在角平分线上，设，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．、大小不确定 2．（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，是的角平分线，，垂足为F，若，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，为的角平分线，，，的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，的角平分线交于点，于点，若与的周长分别为15和3，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图；在中，是的角平分线，下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，是的角平分线，于D．则的最大值为（  ） A． 10   B．12.5 C．17.5 D．25 8．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，是的平分线，于点E，要使，需要添加一个条件，这个条件是__________． 10．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，的平分线交点P，点E是上一点，且．若，则_________ °．    11．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，，为的平分线，，垂足为M，且，，则________． 12．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，中，，，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别在上方、下方交于点，，作直线，交于点，连接，，则_______． 13．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）如图，在中，，，是的平分线，延长至，使，连结，则的度数为_______________． 14．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，为的平分线，于E，连接，若的面积为，则△的面积________，． 15．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在锐角中，＝＝，，的平分线交于点，点，分别是和上的动点，则的最小值是______． 16．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，的和的平分线，相交于点F，． （1）______． （2）若，，则______． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知，，，是的平分线，交于点D，点E是上一点，作，交延长线于点F．求证：．    18．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图所示，，是的平分线，是的平分线．求证： （1） （2）． 19．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）如图，已知线段与直线平行，是的平分线，交直线于点E． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点F，交于点H，连接并延长交直线于点G，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，某学习小组讨论发现线段，，之间存在一定的数量关系，请你根据该兴趣小组的思路完成下面的填空： 解：，理由如下，如图所示， ， ∴①________， ∵是的平分线， ②________， 为的垂直平分线， ③________， 在和中， ， ， ④________， ，， ． 20．（24-25八年级上·河南濮阳·期末）综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】 学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】 （1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？同学们猜测：大边对大角． 如图1，中，，求证：．    经同学们的讨论，李欣同学提出可以利用对称思想解决． 由此，以下三位同学给出了自己的解决方法： 李欣 张晶 王皓 思路与辅助线 分析：作的平分线，交于D，在上截取，连接． 分析：作的平分线，交于D，在的延长线上截取，连接． 分析：作于D，在上截取，连接． 图形          请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明． 证明： 【知识应用】 （2）如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是（    ） A．锐角三角形        B．钝角三角形        C．直角三角形        D．不能确定 （3）在中，已知：，用“”连接、、应为 ； 【问题拓展】 （4）如果把“在一个三角形中，如果边大，那么边所对的角大”作定理． ①写出这个定理的逆定理： ； ②证明这个逆定理（要求：画出图形，依照图形写出完整证明过程）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $