暑期预习讲义（第14讲）——列表法、树状图法求概率与频率估计概率（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026年北师大版九年级数学上册

暑期预习讲义（第14讲）——列表法、树状图法求概率与频率估计概率（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 2 预习目标 2 预习重难点 2 课本原文预习填空 2 二.教材知识梳理解读 3 【知识点一】随机事件与概率基础概念 3 【知识点二】列表法求概率（两步试验专用） 3 【知识点三】树状图法求概率（通用万能法） 3 【知识点四】频率与概率的区别与联系 4 【知识点五】用频率估计概率实际应用 4 三.经典题型精析（夯实基础） 4 【题型1】事件分类与概率意义辨析 5 【题型2】列表法求两步随机事件概率 7 【题型3】简单树状图求概率 9 【题型4】频率、频数、概率基础计算 12 四.经典题型精析（综合提升） 14 【题型5】三步及以上树状图综合概率 14 【题型6】不放回抽取模型概率问题 18 【题型7】频率估计概率实际应用 21 五.同步自测 24 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 24 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 29 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 32 一.预习目标与填空 预习目标 1. 掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概率的定义与取值范围。 2. 熟练使用列表法求解两步试验概率，掌握列表规范、等可能结果统计方法。 3. 熟练使用树状图法解决两步、三步及多步骤随机试验概率问题，区分放回与不放回模型。 4. 明确频率与概率的区别与联系，理解大量重复试验下，频率稳定于概率的统计规律。 5. 会利用频率估计未知概率，解决生活中的统计与概率实际应用题，规范解题步骤。 预习重难点 重点：列表法、树状图法求等可能事件概率；放回与不放回模型区分；频率估计概率计算。 难点：多步骤试验树状图分层绘制；不放回抽样结果统计；频率波动与概率稳定的辩证理解。 课本原文预习填空 结合课本自主填空，夯实概念，扫清预习盲区 1. 在一定条件下，一定会发生的事件叫__________；一定不会发生的事件叫__________；可能发生也可能不发生的事件叫__________。 2. 概率取值范围：必然事件概率为____，不可能事件概率为____，随机事件概率范围是________。 3. 求等可能事件概率公式：__________。 4. 两步随机试验优先用__________；两步及以上、多分支试验优先用__________。 5. 放回抽样：每次试验总数__________；不放回抽样：每次试验总数依次__________。 6. 频率是__________值，随试验次数变化；概率是__________值，固定不变。 7. 当试验次数足够大时，频率会逐渐__________于概率，可用频率估计概率。 预习填空参考答案 1. 必然事件；不可能事件；随机事件 2. 1；0； 3. 事件A发生的可能结果数÷所有等可能结果总数 4. 列表法；树状图法 5. 不变；减少 6. 波动变化的随机；固定的理论 7. 稳定 二.教材知识梳理解读 【知识点一】随机事件与概率基础概念 1. 事件分类 必然事件：一定发生，； 不可能事件：一定不发生，； 随机事件：可能发生、可能不发生，。 2. 概率核心公式 若试验所有结果等可能、有限个，则： ：所有等可能结果总数；：事件A符合条件的结果数。 易错提醒：只有满足“有限、等可能”才能用公式计算概率，非等可能事件只能用频率估计。 【知识点二】列表法求概率（两步试验专用） 1. 适用场景 只适用于两步随机试验（两次掷骰子、两次摸球、先后抽取、一先一后试验），结果数量适中、便于列表枚举。 2. 解题步骤 ① 确定第一步、第二步所有可能结果； ② 绘制表格，横行、竖列分别对应两步结果； ③ 统计总结果数与符合条件结果数； ④ 代入公式计算概率。 3. 优缺点 优点：结果清晰、不重不漏、不易数错；缺点：无法解决三步及以上试验。 关键区分：列表默认有序，先、后结果不同，符合考试评分标准。 【知识点三】树状图法求概率（通用万能法） 1. 适用场景 两步、三步及多步骤随机试验；分支多、结果复杂、列表不便的题型，是考试首选通用方法。 2. 绘图规范 第一层：第一次试验所有结果； 第二层：第二次试验所有分支； 第三层：第三次试验分支； 逐层延伸，末端为所有完整等可能结果。 3. 放回 vs 不放回（核心重难点） 放回抽样：每次抽取后恢复原状，每次总数量不变、结果重复出现； 不放回抽样：抽取后不返回，下次总数减少、不会重复抽取同一对象。 高分口诀：放回可重复，不放回必去重。 【知识点四】频率与概率的区别与联系 1. 核心定义 频数：事件实际发生的次数； 频率：； 概率：事件固有、固定的理论大小。 2. 区别 频率是试验值，随试验次数改变，存在波动； 概率是理论值，唯一固定，与试验次数无关。 3. 联系（大数定律） 当重复试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在概率附近，可用频率近似估计概率。 【知识点五】用频率估计概率实际应用 1. 无法枚举所有等可能结果时，不用列表、树状图，用频率估计概率； 2. 统计大量试验的频率，取稳定值作为事件概率； 3. 已知概率可反求总体数量：。 易错警示：单次、少量试验的频率不能代表概率。 三.经典题型精析（夯实基础） 【题型1】事件分类与概率意义辨析 核心考点：区分必然、不可能、随机事件，判断概率取值范围。 【例题1】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）有三张正面分别标有数字，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的概率为__________． 【答案】 【分析】首先根据题意可求得，所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得出符合要求的点的坐标，再利用概率公式即可求得答案． 解： 解不等式①得． a、b取值： 1 2 1 2 共6种情况： ，时，解不等式②得，非负整数解只有0个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有0个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有5个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有2个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有5个． ，时，解不等式②得，负整数解只有4个． 综上所述，关于x的不等式组的解集中有且只2个非负整数的概率为． 故答案为： 【点拨】此题考查了概率公式的应用与不等式组的解法，注意概率=所求情况数与总情况数之比，求出符合要求的点是解题关键. 【变式1】（2026·湖北武汉·中考真题）袋中只有个红球和个黑球，从中一次摸出两个球，下列事件是不可能事件的是（     ） A．两个球都是黑球 B．两个球中必有一个红球 C．两个球都是红球 D．两个球中一个是红球一个是黑球 【答案】A 【分析】在每一次实验中都一定不会发生的事件为不可能事件，据此判断即可． 解：袋中有个红球、个黑球，一次摸出个球， ∵黑球仅有个， ∴两个球都是黑球是不可能事件． 【变式2】（25-26六年级上·上海青浦·开学考试）用2，4，5三张卡片摆三位数，摆出的数是偶数算赢，摆出的数是奇数算输，用这三张卡片摆出的数是偶数的可能性是________（每张卡片都要用）. 【答案】 【分析】三张卡片全部使用，需摆出三位数，个位为偶数时该数是偶数，先求出所有摆法的总数量，再求出偶数的数量，即可计算出可能性. 解：三张卡片全排列，可得所有不同的三位数共6个，分别为245，254，425，452，524，542，偶数要求个位为偶数，符合条件的数共4个，分别为254，452，524，542， ∴摆出偶数的可能性为 . 【变式3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小丽做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把球放回，不断重复上述过程，如图是摸到白球的频率折线统计图．估计盒子里白球有______个． 【答案】25 【分析】大量反复试验下频率的稳定值即为概率，根据统计图得到频率的稳定值，进而得到摸到白球的概率，再根据概率公式估计白球的数量即可． 解：由统计图可知，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐步稳定在附近， ∴摸到白球的概率约为， ∴估计盒子里白球有个． 【题型2】列表法求两步随机事件概率 核心考点：标准两步试验，列表枚举、不重不漏。 【例题2】（2026·江苏苏州·一模）学校招募博物馆义务讲解员，将义务讲解员随机分配到“A（苏州博物馆）”“B（苏州丝绸博物馆）”“C（苏州评弹博物馆）”“D（苏州革命博物馆）”四个博物馆．甲、乙两位同学报名参加了此项活动． （1）甲分配在“A（苏州博物馆）”的概率是______； （2）求甲、乙分配在不同博物馆的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接利用概率公式，根据总等可能结果数和符合条件的结果数计算概率； （2） 用列表法列出所有等可能结果，找出甲、乙分配到不同博物馆的结果数，再代入概率公式计算即可. （1）解：甲随机分配到四个博物馆，共有4种等可能的结果，甲分配到A博物馆的结果有1种， 因此甲分配在A博物馆的概率为； （2）解：由题意，列表如下： A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 有16种等可能的结果，其中甲、乙分配在不同博物馆的结果有12种， 故甲、乙分配在不同博物馆的概率为. 【变式1】（2026·北京·模拟预测）不透明袋子中有1个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是白球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查放回试验的概率计算，可通过列表法得到所有等可能结果，再结合概率公式计算所求概率． 解：记白球为白，红球为红，根据题意列出所有可能结果如下： 白 红 白 （白，白） （红，白） 红 （白，红） （红，红） ∵ 一共有种等可能的结果，其中两次摸出都是白球的结果有种． ∴ 两次摸出都是白球的概率为． 【变式2】（25-26八年级下·江苏无锡·期末）谚语能通过生活化的场景帮助人们直观理解事件发生的可能性．下列事件①水往低处流；②东边日出西边雨；③歪打正着．其中发生概率最大的事件是________．（请填写正确的序号） 【答案】① 【分析】先判断三个事件的类型，得到各事件发生的概率范围，比较概率大小即可得到结果． 解：根据事件的分类可知， ①水往低处流是必然事件，发生概率为， ②东边日出西边雨是随机事件，发生概率满足， ③歪打正着是随机事件，发生概率满足， 比较概率大小可得，大于任意满足的概率，因此发生概率最大的事件是①． 【变式3】（2026·江苏泰州·一模）“苏超冠军城”是泰州最新的亮眼名片，2026年春节期间，溱湖国家湿地公园、梅兰芳纪念馆、凤栖湖冰雪乐园等多处景点备受游客追捧．小林，小凯两人分别从这3个景点中选择景点游玩． （1）若每人选择1个景点，则小林选中凤栖湖冰雪乐园的概率为 ； （2）若每人选择1个景点，求两人所选景点相同的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据概率公式，即可求解． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人所选景点相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． （1）解：从这3个景点中选择1个景点，则小林选中凤栖湖冰雪乐园的概率为； （2）解：将这3个景点分别记为，，， 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中两人所选景点相同的结果有3种， 两人所选景点相同的概率为． 【题型3】简单树状图求概率 核心考点：两步树状图规范绘制，统计结果。 【例题3】（2026·吉林长春·模拟预测）截至2025年底，中国的高铁里程数已突破5万公里，位居世界第一，随着智能化高铁的出现，越来越多的人愿意选择高铁出行、元旦假期，小明和小亮乘坐高铁外出游玩，由于特等座余票不多，售票系统将随机分配座位，且系统已将两人分配到同一排．如图所示的是在特等座同一排座位A，C，F的排列示意图．求小明和小亮被分配到相邻的座位的概率（过道两侧座位不算相邻）． 【答案】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 解：由题意可画树状图为： 由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中小明和小亮被分配到相邻的座位的结果数有2种， ∴小明和小亮被分配到相邻的座位的概率是． 【变式1】（2026·山西长治·三模）2026年总台春晚以“骐骥驰骋，势不可挡”为主题，借千里马意象传递开拓进取、一往无前的时代精神．现推出骐骐、骥骥、驰驰、骋骋四款吉祥物盲盒，小明从这四款外观完全相同的盲盒中一次性随机抽取两个，抽到的盲盒中含有“驰驰”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过列表或画树状图，找出所有的等可能的结果数和满足要求的结果数，根据概率公式计算即可． 解：用A、B、C、D分别表示“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四款吉祥物盲盒， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的盲盒中含有“驰驰”（表示为C）的结果有6种， ∴抽到的盲盒中含有“驰驰”的概率是． 【变式2】（25-26七年级下·四川达州·期中）把下列事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列是_____ （填序号）． （1）一副去掉大小王的扑克牌中，随意抽取一张抽到的牌是红色； （2）随意遇到一位青年，他接受过九年义务教育； （3）从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的一个球恰好是白球； （4）站在平地上抛一块小石头，石头会落下． 【答案】（3）（1）（2）（4） 【分析】先求出每个事件发生的可能性大小，再比较可能性大小进行排序即可． 解：（1）一副去掉大小王的扑克牌共张，其中红色牌张，抽到红色牌的可能性为； （2）我国九年义务教育普及率极高，因此随意遇到一位青年，他接受过九年义务教育的可能性大于，接近于； （3）袋子中没有白球，摸出白球的可能性为； （4）站在平地上抛一块小石头，石头一定会下落，发生的可能性为； ∴故事件发生的可能性从小到大的顺序排列为（3）（1）（2）（4）． 【变式3】（2026·江苏徐州·二模）一个不透明的盒子中装有2个红球和若干个白球，这些小球除颜色外均相同，将盒中小球摇匀，从中随机摸出一个小球是白球的概率为 （1）白球的数量是 个； （2）从盒中任意摸出两个球（不放回），用画树状图或列表的方法，求这两个小球是一红一白的概率． 【答案】（1）2；（2）这两个小球是一红一白的概率为 【分析】（1）设白球的数量为个，根据题意列方程即可求解； （2）画出树状图，可得出所有等可能的情况数，找出一红一白的情况数，即可求出所求的概率． （1）解：设白球的数量为个， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴白球的数量是2个； （2）解：画树状图如图： ∵所有等可能的情况数有12种，其中恰为一个红球和一个白球的情况有8种， ∴两次摸出的球颜色不相同的概率为=． 【题型4】频率、频数、概率基础计算 核心考点：频率公式运算、频率与概率简单辨析。 【例题4】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品（指针落在分界线上，重转）．下表是活动进行中的一组统计数据：    转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“洗手液”区域的次数m 65 108 136 345 552 690 落在“洗手液”区域的频率 0.65 0.72 0.68 0.69 a 0.69 （1）填空： ______； （2）根据上表，随机转动该转盘一次，获得“洗手液”的概率大约是多少？（结果保留两位小数） 【答案】（1）0.69；（2）0.69 【分析】（1）直接根据频率公式计算即可； （2）直接根据频率估计概率即可． （1）解：； （2）解：∵随着转动转盘次数的增加，落在“洗手液”区域的频率稳定在0.69， ∴随机转动该转盘一次，获得“洗手液”的概率大约是0.69． 【变式1】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.47，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（     ） A．0.47 B．0.50 C．0.51 D．0.53 【答案】A 解：抛掷同一枚啤酒瓶盖次为大量重复试验，已知“凸面向上”的频率约为， 可估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为． 【变式2】（2026·安徽滁州·三模）学校食堂推出了“健康午餐”活动，鼓励学生从两组菜品中各选一种进行搭配． ◎主菜组（组）：红烧肉、鱼香肉丝、宫保鸡丁（共种）． ◎素菜组（组）：炒青菜、西红柿炒蛋、酸辣土豆丝（共种）． 一名学生需要从组随机挑选种主菜，从组随机挑选种素菜．已知“经典搭配”共有种：红烧肉炒青菜、宫保鸡丁酸辣土豆丝．则该学生选中的“主菜”和“素菜”恰好是“经典搭配”的概率是__________． 【答案】 【分析】先列表找出所有等可能的搭配结果和满足恰好是经典搭配的结果，根据概率公式计算即可得到所求概率． 解：组红烧肉、鱼香肉丝、宫保鸡丁分别用表示，组炒青菜、西红柿炒蛋、酸辣土豆丝分别用表示 列表如下： 由上表可知：所有等可能的搭配结果共种，其中满足恰好是经典搭配的结果有种， ∴该学生选中的搭配恰好是经典搭配的概率为. 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称，韩叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 800 1000 2000 成活数 47 90 183 362 724 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.905 0.902 0.901 （1）上表中，________，________； （2）根据上表的数据，请你估计该种苹果树苗成活的概率是多少？（精确到0.1） 【答案】（1），1802；（2） 【分析】1）根据成活率成活数移植棵数，可算出a，根据成活数移植棵数成活率，可算出b； （2）利用频率估计概率即可； （1）解：∵成活率成活数移植棵数，成活数移植棵数成活率， ∴，， （2）解：∵随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近，显示出一定的稳定性， ∴可以估计该种苹果树苗成活的概率是0.9． 四.经典题型精析（综合提升） 【题型5】三步及以上树状图综合概率 核心考点：多步骤试验，列表失效，必须树状图分层枚举。 【例题5】（25-26九年级下·江苏南京·期中）甲、乙、丙3人间相互传球．假设他们相互间传球是等可能的，并且由甲开始传球． （1）经过3次传球后，球在乙手中的概率是多少？请画树状图解决问题． （2）猜想：经过次传球后，球传到甲、乙、丙3人手中的概率之间的大小关系（直接写出结果）． 【答案】（1）；（2）当为奇数时，；当为偶数时， （1）解：画树状图得： ， 经过3次传球后，球在乙手中的概率是； 故答案为：； （2）解：经过2次传球后，画树状图为： 经过2次传球后，球在甲手中的概率是；球在乙手中的概率是；球在丙手中的概率是； 由（1）可得经过3次传球后，球在甲手中的概率是；球在乙手中的概率是；球在丙手中的概率是； 经过4次传球后，画树状图为： 经过4次传球后，球在甲手中的概率是；球在乙手中的概率是；球在丙手中的概率是； 根据上面的规律发现，由于从甲开始传球，奇数次时乙丙的可能性一样，且比甲多；偶数次时，乙丙的可能性一样，且比甲少； ∴当为奇数时，；当为偶数时，． 【变式1】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）一椭圆形地块，打算分、、、四个区域栽种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有种不同的植物可供选择，那么有（    ）种栽种方案． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了画树状图，掌握分类讨论思想以及正确画出树状图是解题的关键． 根据，所种的种数相同和不同来分类，然后分别根据题意画出树状图，然后统计即可解答． 解：设4种不同的植物分别为甲、乙、丙、丁， 当，种同一种植物，根据题意画树状图如下： 共有36种栽种方案； 当，种不同的植物， 则有48种栽种方案． 综上，共有种． 故选：D． 【变式2】（2026·黑龙江·模拟预测）如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定和为入口，为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从入口进入、从出口离开的概率是__________． 【答案】 【分析】先画出树状图，则可得小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开的所有等可能的结果，再找出她选择从入口进入、从出口离开的结果数量，利用概率公式计算即可． 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开共有6种等可能的结果，其中，她选择从入口进入、从出口离开的结果有2种， 则她选择从入口进入、从出口离开的概率是． 【变式3】（2026·福建三明·二模）如图，在课外体育锻炼中，甲、乙、丙三人做传球的游戏．开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球等可能传给其余两人中的一人． （1）求事件“传球两次，球传回到甲的手中”的概率； （2）事件“传球三次，球传回到甲的手中”是否可能发生？若可能，求该事件的概率；若不可能，说明理由． 【答案】（1）；（2）该事件可能发生， 【分析】（1）根据题意画出树状图，求出所有等可能结果数、符合题意的结果数，利用概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图，求出所有等可能结果数、符合题意的结果数，利用概率公式求解即可． （1）解：传球两次后的结果画树状图如下： 共4种等可能结果，其中传回给甲的有2种， 因此，“传球两次，球传回到甲的手中”的概率为； （2）解：该事件可能发生， 画树状图如下： 传球三次，共有8种等可能的结果，其中传回给甲的有2种， 因此，“传球三次，球传回到甲的手中”的概率为． 【题型6】不放回抽取模型概率问题 核心重难点：不放回导致第二次总数减少、无重复结果，是考试高频易错点。 【例题6】（2026·江苏苏州·模拟预测）桌面上有下列4张图，小坤从中随机抽取，抽取各个图片的概率相等． （1）小坤从下列图片随机抽取一张作为表情包，抽到图片①的概率为________． （2）小坤从中抽取两张（抽到后不放回），求抽到的两张图片中至少有1张没有拿任何物品的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接运用概率公式求解即可， （2）分别用A、B、C、D表示图片①②③④，画出树状图，可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张图片中至少有1张没有拿任何物品的结果有10种，最后由概率公式求解即可． （1）解：一共有4张图片，从中随机抽取一张，抽到图片①的概率为； （2）解：分别用A、B、C、D表示图片①②③④，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张图片中至少有1张没有拿任何物品的结果数为10， ∴抽到的两张图片中至少有1张没有拿任何物品的概率为． 【变式1】（25-26九年级下·四川绵阳·期中）现有编号为①、②、③、④的四种化学试剂，分别是：、、溶液、溶液，装在了4个不透明的化学试剂瓶中．某同学从这四种化学试剂中随机不放回地先后抽取两种，规定：若两种物质之间能发生化学反应，则称为“有效反应组合”，则该同学抽到有效反应组合的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列表求出所有等可能的抽取结果数，再求出有效反应组合的结果数，最后根据概率公式计算即可． 解：列表：   第一次 第二次 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即总共有12种不同组合，每种组合出现的可能性相同，能发生反应的组合为与、与、与，共6种有效反应组合。 根据概率公式可得： 因此抽到有效反应组合的概率为． 【变式2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）假期将至，学校向全校师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“河”字出现的频率为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了频数与频率的运用，解题时注意：频率＝频数÷数据总数，即用“河”字出现的次数除以总的字的个数求解． 解：“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”，共有18个字，其中“河”字出现的次数为2次， ∴“河”字出现的频率为． 【变式3】（25-26九年级下·福建福州·开学考试）小雅和妈妈参加学校组织的“爱心义卖”活动．妈妈看中了一款标价为30元/件的学习用品．摊主提供两种购买方式： 方式A：直接打七折； 方式B：参与一次抽奖决定折扣．规则如下： 在一个不透明袋子里装有4个除颜色外完全相同的小球，其中红球2个、蓝球2个． 顾客从中随机摸出一个球，不放回，再摸出第二个球．如果两次摸出的球颜色相同，则按标价打六折；如果颜色不同，则按标价打九折． 妈妈觉得“六折很便宜”，于是想选方式B． 请解答下列问题： （1）求妈妈以六折价格买到该学习用品的概率； （2）小雅说：“如果我们要买很多件，其实方式A可能更省钱．”你同意小雅的说法吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1）；（2）同意小雅的说法，理由见分析 【分析】（1）列出表格，利用概率公式进行计算即可； （2）分别求出两种方式所需费用，进行判断即可． （1）解：由题意，列表如下： 红1 红2 蓝1 蓝2 红1 红1，红2 红1，蓝1 红1，蓝2 红2 红2，红1 红2，蓝1 红2，蓝2 蓝1 蓝1，红1 蓝1，红2 蓝1，蓝2 蓝2 蓝2，红1 蓝2，红2 蓝2，蓝1 共12种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色相同的结果有4种， 故妈妈以六折价格买到该学习用品的概率； （2）解：同意小雅的说法，理由如下： 由（1）可知，按照方式，以六折价格买到该学习用品的概率为，则以九折价格买到该学习用品的概率为， 设共买件学习用品， 则利用方式所花费用为（元）； 利用方式所花费用为（元）； ∵， ∴方式A更省钱． 【题型7】频率估计概率实际应用 核心考点：利用稳定频率估计总体概率、估算总体数量。 【例题7】（25-26七年级下·江西景德镇·期中）某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，不透明的抽奖袋中装有除颜色外其他都相同的红色、黄色、白色三种小球，红色、黄色、白色的小球分别代表一、二、三等奖，从袋子中任意摸出1个球，记下颜色后放回． （1）小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估计袋中白球的数量． （2）在（1）的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由． 【答案】（1）9个；（2）抽中一等奖的概率会减小．理由如下： 由（1）可知，袋中红球的数量为（个）， 增加3个黄球后，总球数变为（个），红球数量不变， 此时抽中一等奖的概率为； ∵ ， ∴ 抽中一等奖的概率减小． 【分析】（1）先求出抽中一等奖和抽中二等奖的概率，得到抽中三等奖，即白球的概率，将其乘以袋中球的总数，即可求解； （2）求出变化后的概率，比较大小后，解答即可． （1）解：根据题意，得抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为，抽中白球的概率为， 故袋中白球的数量约为：（个）． （2）略 【变式1】（25-26七年级下·广东梅州·期末）某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（     ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.401 0.410 0.413 0.412 0.413 A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410 【答案】C 【分析】根据大量重复试验中频率逐渐稳定于概率的性质，观察表格中频率的变化趋势即可求解． 解：观察表格可知，随着累计抽测学生数不断增大，近视学生数与的比值逐渐稳定在， ∴对该区初中生近视概率的估计最合理的是． 【变式2】（23-24九年级·全国·一轮复习）金华创建文明城市，推行垃圾分类．小区里有可回收、不可回收、有害垃圾和厨余垃圾四种垃圾箱．一天小林把家里分好类的四袋垃圾拿去投放，他不小心放错了其中的三个垃圾袋，则小林将四个垃圾袋中的三个垃圾袋投放错误的概率是________． 【答案】 【分析】画树状图（用A、B、C、D表示可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾投放位置，用a、b、c、d表示装有可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾的袋子）展示所有24种等可能的结果，再找出把三个袋子都放错位置的结果数，然后根据概率公式求解． 解：画树状图（用A、B、C、D表示可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾投放位置，用a、b、c、d表示装有可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾的袋子）；    共有24种等可能的结果，其中把三个袋子都放错位置的结果数为8种， 所以把三个袋子都放错位置的概率为：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 【变式3】（2026·江苏盐城·模拟预测）完成以下问题 （1）下表是历史上一些著名数学家做掷硬币试验的数据： 试验者 抛硬币次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率 德•摩根 布丰 费勒 皮尔逊 由这些数据，你可以估计掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为_____； （2）两个人做掷硬币游戏，掷出正面甲得分，掷出反面乙得分，先得到分的人赢得一个大蛋糕，如果游戏因故中途结束，此时甲得了分，乙得了分，那么这个蛋糕该如何分配呢？请你用概率的树状图模拟游戏继续，请帮助甲乙两人提出合理的分配方案． 【答案】（1）；（2）列树状图如下： 甲分这个蛋糕的，乙分这个蛋糕的 【分析】（1）根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在左右即可得出答案； （2）根据甲得了分，乙得了分可得最多再掷三次游戏就结束，列树状图求出乙获胜的概率为，甲获胜的概率为，即可得出答案． （1）解：∵根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在左右， ∴估计掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为． （2）解：∵此时甲得了分，乙得了分， ∴最多再掷三次游戏就结束， 列树状图略 由树状图可知，三次游戏结束时，共有种等可能结果，其中连续三次是反面的情况有种， ∴乙获胜的概率为，甲获胜的概率为， ∴甲分这个蛋糕的，乙分这个蛋糕的． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）下列成语中表示随机事件的是（     ） A．守株待兔 B．水中捞月 C．刻舟求剑 D．竹篮打水 【答案】A 【分析】本题考查事件发生的可能性，“不可能发生的事件称为不可能事件，有可能发生、也有可能不发生的事件称为随机事件，一定会发生的事称为必然事件．”判断的关键是看事件发生的可能性大小． 解：A选项守株待兔属于随机事件． B选项水中捞月、C选项刻舟求剑、D选项竹篮打水均属于不可能事件． 2．（25-26七年级下·山东烟台·期末）同时投掷两枚均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中不可能发生的事件是（     ） A．点数之和为13 B．点数之和小于3 C．点数之和是3的倍数 D．点数之和为11 【答案】A 解：∵ 每枚骰子的最大点数为6，同时投掷两枚骰子，最大点数和为 ，最小点数和为 ， ∴ 点数和的取值范围是 ， A、点数和为13，超出取值范围，不可能发生，该选项符合题意； B、点数和为2时小于3，是可能发生的事件，该选项不符合题意； C、例如，是3的倍数，是可能发生的事件，该选项不符合题意； D、例如，点数和为11是可能发生的事件，该选项不符合题意． 3．（25-26七年级下·河南郑州·期末）下列四个随机事件中，发生的可能性最小的是（     ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．掷一个质地均匀的骰子，朝上的点数是3 C．从52张扑克牌（无大小王）中随机抽一张，抽到红桃 D．从1~10这10个整数中随机抽一个，抽到数字6 【答案】D 【分析】分别计算四个选项中事件发生的概率，概率越小，发生可能性越小，比较概率大小即可得到结果． 解：A、抛质地均匀的硬币共有2种等可能结果，正面朝上为1种，∴； B、掷质地均匀的骰子共有6种等可能结果，朝上点数为3是1种，∴； C、52张无大小王的扑克牌中红桃共13张，抽牌共有52种等可能结果，抽到红桃是13种，∴； D、1~10共10个整数，抽数共有10种等可能结果，抽到6是1种，∴， ， 最小， 选项事件发生的可能性最小． 4．（25-26九年级下·北京·阶段检测）一个不透明的袋子中装有1个红球、2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中摸两个球，摸出1红球和1黄球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将黄球编号以保证结果等可能，用列举法求概率． 解：将2个黄球分别记为黄₁、黄₂． 摸出2个球的所有等可能结果为：（红，黄₁）、（红，黄₂）、（黄₁，黄₂），共3种． ∵符合“1个红球和1个黄球”的结果有2种． ∴概率． 5．（2026·河南平顶山·三模）如图，下列四张卡片反面完全相同，正面分别是《西游记》和《三国演义》中的人物：孙悟空、猪八戒、诸葛亮、关羽．现将卡片全部反面朝上混合均匀，小鼎从这四张卡片中随机抽取两张，则抽出的两张卡片上的人物恰好属于同一部名著的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 解：将孙悟空记为A，猪八戒记为B，诸葛亮记为C，关羽记为D，画树状图如下： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽出的两张卡片上的人物恰好属于同一部名著的结果数有共4种， ∴抽出的两张卡片上的人物恰好属于同一部名著的概率是． 6．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的统计图，由此可估计其中一棵树苗移植成活的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用频率估计概率时，当试验次数足够大，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是概率，据此解答即可． 解：观察统计图，随着移植数量增加，成活频率逐渐稳定在附近，因此可以估计树苗移植成活的概率为． 7．（2024·河南信阳·模拟预测）从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下： 那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据树状图分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 解：由树状图得：两次抽签的所有可能结果一共有9种情况， 一根标有A，一根标有C的有A，C与C，A两种情况， 一根标有A，一根标有C的概率是． 8．（2025·山东潍坊·模拟预测）随着信息发展，移动网络普及，无接触移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，王老师和郝老师都随机从“微信”、“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付．则两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出所有等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可． 解：记“微信”为A，“支付宝”为B，“银行卡”为C． 画树状图如下： 可知所有等可能的结果总数为种，满足“恰好一人用微信支付，一人用银行卡支付”的结果有2种， ∴所求概率为． 9．（24-25六年级上·广西防城港·开学考试）下面说法正确的是（     ） A．小军进行打靶训练，他命中100发，脱靶5发，命中率是． B．任意两个等底等高的平行四边形都可以拼成一个平行四边形． C．连续抛10次硬币，正面朝上的次数一定是5次． D．三角形的面积一定，它的底与对应的高成反比例关系． 【答案】D 【分析】根据百分率计算、平行四边形的性质、随机事件、反比例、三角形面积公式逐一判断即可． 解：A. 总射击数为发，命中率为，与不符，故A错误； B. 等底等高的平行四边形形状不一定完全相同，无法保证拼接后为平行四边形，故B错误； C. 抛硬币正面朝上是随机事件，连续抛10次正面朝上的次数可能为5次，不是一定，故C错误； D. 设三角形面积为，底为，对应高为，则，变形得，∵一定，∴为定值，即底与对应高的乘积一定，∴二者成反比例关系，故D正确． 10．（2026·河北邯郸·三模）某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（     ） A．共有12种等可能的结果 B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D．顾客获得5元奖金的概率为 【答案】C 解：画树状图如图所示： 由树状图可知，共有16种等可能结果，故A选项不正确； 顾客获得的奖金金额有8种不同的可能，故B选项不正确； 顾客获得4元或6元奖金的等可能结果数均为3，高于其它金额，故顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为，故C选项正确； 顾客获得5元奖金的可能结果数均为2，其概率为，故D选项不正确． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）“抛出的篮球会下落”这个事件是__________事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 【答案】必然 【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的定义，结合客观规律判断事件发生的确定性，进而得到结论． 解：在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件， 客观规律中，抛出的篮球受重力作用，一定会下落，该事件是一定会发生的事件，因此该事件是必然事件． 12．（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）景区文创盲盒里装有6个民族徽章、4个山水徽章、1个动物徽章，随机抽取一枚，抽到________徽章可能性最大，动物徽章数量占徽章总数量的________（填分数）． 【答案】 民族 【分析】所占数量越多，抽到的可能性越大，求动物徽章占总数量的分数，用动物徽章数量除以徽章总数量即可． 解：①∵ 民族徽章数量是，山水徽章数量是，动物徽章数量是， ∴ ，民族徽章数量最多，随机抽取时抽到民族徽章的可能性最大； ②∵ 徽章总数量为：（枚）， ∴ 动物徽章数量占徽章总数量的． 13．（25-26八年级下·江苏常州·期中）一只不透明的袋子中装有除颜色外都相同的5个红球、2个白球、1个黑球，从中随机摸出一个球，则摸出__________球的概率最大．（填“红”、“白”、“黑”） 【答案】红 【分析】根据概率计算公式，分别计算出摸出三种颜色球的概率，比较概率大小即可得到结果． 解：袋子中球的总个数为， 则摸出红球的概率为， 摸出白球的概率为， 摸出黑球的概率为， ∵， 摸出红球的概率最大． 14．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段检测）从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是负数的概率是______． 【答案】 【分析】确定五个数中负数的个数，根据概率公式，用符合条件的情况数除以总情况数计算即可． 解：∵负数有，，，共个，总抽取情况共种， ∴随机抽取一个数，恰好是负数的概率为． 15．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）学校元旦联欢会设置盲盒抽奖游戏，盲盒内放有三枚纪念币，分别刻有数字5，15，25．参与者一次性抽取两枚纪念币，抽到的两枚纪念币数字之和为40的概率是_________． 【答案】 【分析】先列举一次性抽取两枚纪念币所有等可能的结果， 再找出数字之和为的结果个数， 最后根据概率公式计算即可． 解：根据题意，一次性抽取两枚纪念币，所有可能的结果为：，，，共种， 其中两枚纪念币数字之和为的结果只有种，根据概率公式可得． 16．（2026·河南周口·二模）某校举行班级歌咏比赛，九年级1班和2班的同学从《少年中国说》、《黄河大合唱》、《歌唱祖国》和《我和我的祖国》中各随机选择一首参加比赛，则两个班恰好选择的是《少年中国说》和《我和我的祖国》的概率是________． 【答案】 【分析】根据树状图或列表法确定所有等可能的结果总数，再找出满足条件的结果数，代入概率公式计算即可． 解：设分别用A、B、C、D表示《少年中国说》、《黄河大合唱》、《歌唱祖国》和《我和我的祖国》，画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中两个班选择的歌曲恰好是《少年中国说》和《我和我的祖国》（即A，D）的结果数有2种，所以概率为． 17．（2025·山东枣庄·模拟预测）在盒子里放有分别写有整式2，，，的四张卡片，从中随机抽取两张把卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是_________ 【答案】/ 【分析】根据分式定义确定能组成分式的条件，计算所有等可能结果数和符合条件的结果数，代入概率公式计算． 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能结果， ∵分母中含有字母的式子是分式，和是常数，和是含字母的整式， ∴只有分母为或时，能组成分式，因此能组成分式的结果共种， ∴能组成分式的概率为． 18．（2026·全国·二模）年，长沙市中小学全面实施“活力课间15分钟”行动，鼓励学生走出教室参与体育锻炼．某校在课间开设了花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目．甲、乙两位同学各自从这三项中随机选择一项参加，且两人选择相互独立．则他们恰好都选择花样跳绳的概率是________． 【答案】 【分析】先用列表法得出甲、乙选择运动项目所有等可能的结果总数，再找出两人恰好都选择花样跳绳的结果数，利用概率公式计算即可． 解：令花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目分别为A、B、C， A B C A B C 根据表格可得共有9种等可能的结果，其中两人恰好都选择花样跳绳的结果只有1种， 根据概率公式可得：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·全国·课后作业）一个袋中装有22个红球和18个白球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？这个问题与第1题有什么关系？ 第1题：某班有22名男生和18名女生，将每名学生的姓名写在完全相同的纸条上，放在盒子中混合均匀，从中任意抽取1张纸条，抽取到男生姓名的概率是多少？ 【答案】摸到红球的概率是；关系：都有40种等可能结果，其中所求事件的结果数为22，因此所求事件的概率相同，都为． 解：∵一个袋中装有22个红球和18个白球，这些球除颜色外都相同， ∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是． 第1题中，抽取到男生姓名的概率是， 关系为：都有40种等可能结果，其中所求事件的结果数为22，因此所求事件的概率相同，都为． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）近期电影《飞驰人生3》火热上映，现有一张《飞驰人生3》的电影票，小辰和小乐都想获得，他们想到如下方法：从印有数字1，2，3，4，5，5，6，7的8个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字为奇数，则小辰得到电影票；否则，小乐得到电影票．你认为用这种方式获得电影票对双方公平吗？请说明理由． 【答案】这种方式获得电影票对小辰、小乐不公平，理由见分析 【分析】根据概率公式分别求出两人获得电影票的概率，比较即可得到答案． 解：这种方式获得电影票对小辰、小乐不公平，理由如下： ∵一共有8个小球，其中印有奇数的小球有5个，印有偶数的小球有3个， ∴小辰获得电影票的概率为，小乐获得电影票的概率为， ∵， ∴小辰获得电影票的概率比小乐获得电影票的概率大， ∴这种方式获得电影票对小辰、小乐不公平． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）疫情期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求，某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小开和小袁两位同学将随机通过测温通道进入校园． （1）小开选择A通道测温进校的概率是______； （2）利用画树状图或列表的方法，求这两个同学从不同通道通过的概率． 【答案】（1）；（2）这两个同学从不同通道通过的概率． 【分析】（1）直接利用等可能事件概率公式求解． （2）通过列表法列举所有等可能结果，计算符合条件的事件概率． （1）解，由题意，共有A、B、C，3个测温通道， 小开选择每个通道的可能性相等，选择A通道的结果有1种， 故小开选择A通道测温进校的概率为． （2）解：由题意，列表可得 小袁           小开 A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 由表格可知，可能出现的结果有种， 这两个同学从不同通道通过（记为事件）的结果有种， 所以这两个同学从不同通道通过的概率． 22．（本小题满分10分）（2025·江苏盐城·一模）盐城市鹿鸣路初级中学初一年级学生于五月初正式进入西校区，开始了新的学习与生活．为庆祝这一美好的日子，初一（1）班同学在操场上举行了击鼓传花的游戏．甲、乙、丙三位同学在操场上互相传递手中的花环，假设他们相互间传递是等可能的，并且由甲首先开始传递． （1）经过1次传递后，花环传到乙手中的概率是_________； （2）请画树状图或列表求经过2次传递后，花环传到乙手中的概率； （3）猜想并直接写出：经过2022次传递后，传到_________同学手中（填甲、乙、丙）的可能性最大． 【答案】（1）；（2）；（3）甲 【分析】（1）列举1次传递的所有等可能结果，直接计算概率； （2）通过树状图列出2次传递的所有等可能结果，统计传到乙手中的结果数，计算概率； （3）通过列举前几次传递的结果找规律，判断2022次传递后可能性最大的对象． （1）解：∵ 第1次传递从甲出发，有乙、丙2种等可能结果，传到乙手中的结果有1种， ∴ 经过1次传递后，花环传到乙手中的概率为． （2）解：画树状图可得所有等可能结果： 第1次传递：甲→乙，甲→丙； 第2次传递：乙→甲，乙→丙；丙→甲，丙→乙， 共有4种等可能的结果，其中经过2次传递后花环传到乙手中的结果有1种， ∴（传到乙手中）； （3）解：列举前几次传递的结果规律： 传递1次（奇数）：乙、丙可能性相同且最大； 传递2次（偶数）：甲可能性最大； 传递3次（奇数）：乙、丙可能性相同且最大； 传递4次（偶数）：甲可能性最大. 由此可猜想：当传递次数为偶数时，花环在甲手中的可能性最大； 当传递次数为奇数时，花环在乙、丙手中的可能性相同且最大． ∵ 2022是偶数， ∴经过2022次传递后，传到甲同学手中的可能性最大． 23．（本小题满分10分）（2025·陕西西安·模拟预测）现有A，B，C，D四张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同．将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． （1）从中随机取出1张卡片，卡片上的图案是轴对称图形的概率是________； （2）若从中随机抽取1张卡片，不放回，再从剩下的3张中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片都是中心对称图形的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）概率等于所求情况数与总情况数之比； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． （1）解：由题意可得A卡片上的图案是轴对称图形，B卡片上的图案不是轴对称图形，C卡片上的图案是轴对称图形，D卡片上的图案是轴对称图形， 故从中随机取出1张卡片，卡片上的图案是轴对称图形的概率是； （2）解：由题意可得A卡片上的图案是轴对称图形，不是中心对称图形，B卡片上的图案不是轴对称图形，是中心对称图形，C卡片上的图案是轴对称图形，也是中心对称图形，D卡片上的图案是轴对称图形，不是中心对称图形， 画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能的结果， 其中两次所抽取的卡片都是中心对称图形的有，这2种结果， ∴两次抽取的卡片都是中心对称图形的概率为． 24．（本小题满分12分）（2025·贵州黔东南·模拟预测）今年三月中旬，某校初三年级为了解学生体育成绩情况，随机抽取了部分学生进行一次体育中考模拟测试，测试结果分为四个等级：A：优秀（45-50分），B：良好（38-44分），C：合格（30-37分），D：不合格（29分及以下），分值含平时成绩10分，将测试结果绘成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题． （1）本次测试共抽取学生多少人？ （2）求A级的圆心角a的度数？并补充完整条形统计图． （3）该校初三年级共有学生800人，若所有学生全部参加测试，估计成绩属于优秀的学生有多少人？ （4）王刚同学要在跳远、跳绳、排球、足球、篮球中选其中一项进行针对性训练，求他选中排球的概率； （5）体育老师想从小军、小兵、小明、小林四位同学中随机了解两位同学平时训练情况，请用列表法或画树形图法求选中小明的概率． 【答案】（1）40；（2），如图， （3）120；（4）；（5） 【分析】（1）根据B级学生人数及其所占百分比求出抽取学生的人数； （2）用A级所占百分比乘以，再求出C级的学生人数，并补全统计图； （3）用总人数乘以A级所占的百分比解答； （4）根据概率公式解答即可； （5）列出表格得出所有可能出现的结果，再得出符合题意的结果，然后根据概率公式解答． （1）解：（人）， 所以本次测试共抽取学生40人； （2）解：， 所以A级圆心角的度数是； （人），则C级学生有14人； （3）解：（人）， 所以成绩属于优秀的学生有120人； （4）解：一共有5项训练，排球有1项， 所以选中排球的概率是； （5）解：列表如下： 小军 小兵 小明 小林 小军 （小兵，小军） （小明，小军） （小林，小军） 小兵 （小军，小兵） （小明，小兵） （小林，小兵） 小明 （小军，小明） （小兵，小明） （小林，小明） 小林 （小军，小林） （小兵，小林） （小明，小林） 一共有12种可能出现的结果，选中小明的有6种，所以选中小明的概率是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第14讲）——列表法、树状图法求概率与频率估计概率（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 2 预习目标 2 预习重难点 2 课本原文预习填空 2 二.教材知识梳理解读 3 【知识点一】随机事件与概率基础概念 3 【知识点二】列表法求概率（两步试验专用） 3 【知识点三】树状图法求概率（通用万能法） 3 【知识点四】频率与概率的区别与联系 4 【知识点五】用频率估计概率实际应用 4 三.经典题型精析（夯实基础） 4 【题型1】事件分类与概率意义辨析 5 【题型2】列表法求两步随机事件概率 5 【题型3】简单树状图求概率 6 【题型4】频率、频数、概率基础计算 7 四.经典题型精析（综合提升） 8 【题型5】三步及以上树状图综合概率 8 【题型6】不放回抽取模型概率问题 9 【题型7】频率估计概率实际应用 10 五.同步自测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 14 一.预习目标与填空 预习目标 1. 掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概率的定义与取值范围。 2. 熟练使用列表法求解两步试验概率，掌握列表规范、等可能结果统计方法。 3. 熟练使用树状图法解决两步、三步及多步骤随机试验概率问题，区分放回与不放回模型。 4. 明确频率与概率的区别与联系，理解大量重复试验下，频率稳定于概率的统计规律。 5. 会利用频率估计未知概率，解决生活中的统计与概率实际应用题，规范解题步骤。 预习重难点 重点：列表法、树状图法求等可能事件概率；放回与不放回模型区分；频率估计概率计算。 难点：多步骤试验树状图分层绘制；不放回抽样结果统计；频率波动与概率稳定的辩证理解。 课本原文预习填空 结合课本自主填空，夯实概念，扫清预习盲区 1. 在一定条件下，一定会发生的事件叫__________；一定不会发生的事件叫__________；可能发生也可能不发生的事件叫__________。 2. 概率取值范围：必然事件概率为____，不可能事件概率为____，随机事件概率范围是________。 3. 求等可能事件概率公式：__________。 4. 两步随机试验优先用__________；两步及以上、多分支试验优先用__________。 5. 放回抽样：每次试验总数__________；不放回抽样：每次试验总数依次__________。 6. 频率是__________值，随试验次数变化；概率是__________值，固定不变。 7. 当试验次数足够大时，频率会逐渐__________于概率，可用频率估计概率。 预习填空参考答案 1. 必然事件；不可能事件；随机事件 2. 1；0； 3. 事件A发生的可能结果数÷所有等可能结果总数 4. 列表法；树状图法 5. 不变；减少 6. 波动变化的随机；固定的理论 7. 稳定 二.教材知识梳理解读 【知识点一】随机事件与概率基础概念 1. 事件分类 必然事件：一定发生，； 不可能事件：一定不发生，； 随机事件：可能发生、可能不发生，。 2. 概率核心公式 若试验所有结果等可能、有限个，则： ：所有等可能结果总数；：事件A符合条件的结果数。 易错提醒：只有满足“有限、等可能”才能用公式计算概率，非等可能事件只能用频率估计。 【知识点二】列表法求概率（两步试验专用） 1. 适用场景 只适用于两步随机试验（两次掷骰子、两次摸球、先后抽取、一先一后试验），结果数量适中、便于列表枚举。 2. 解题步骤 ① 确定第一步、第二步所有可能结果； ② 绘制表格，横行、竖列分别对应两步结果； ③ 统计总结果数与符合条件结果数； ④ 代入公式计算概率。 3. 优缺点 优点：结果清晰、不重不漏、不易数错；缺点：无法解决三步及以上试验。 关键区分：列表默认有序，先、后结果不同，符合考试评分标准。 【知识点三】树状图法求概率（通用万能法） 1. 适用场景 两步、三步及多步骤随机试验；分支多、结果复杂、列表不便的题型，是考试首选通用方法。 2. 绘图规范 第一层：第一次试验所有结果； 第二层：第二次试验所有分支； 第三层：第三次试验分支； 逐层延伸，末端为所有完整等可能结果。 3. 放回 vs 不放回（核心重难点） 放回抽样：每次抽取后恢复原状，每次总数量不变、结果重复出现； 不放回抽样：抽取后不返回，下次总数减少、不会重复抽取同一对象。 高分口诀：放回可重复，不放回必去重。 【知识点四】频率与概率的区别与联系 1. 核心定义 频数：事件实际发生的次数； 频率：； 概率：事件固有、固定的理论大小。 2. 区别 频率是试验值，随试验次数改变，存在波动； 概率是理论值，唯一固定，与试验次数无关。 3. 联系（大数定律） 当重复试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在概率附近，可用频率近似估计概率。 【知识点五】用频率估计概率实际应用 1. 无法枚举所有等可能结果时，不用列表、树状图，用频率估计概率； 2. 统计大量试验的频率，取稳定值作为事件概率； 3. 已知概率可反求总体数量：。 易错警示：单次、少量试验的频率不能代表概率。 三.经典题型精析（夯实基础） 【题型1】事件分类与概率意义辨析 核心考点：区分必然、不可能、随机事件，判断概率取值范围。 【例题1】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）有三张正面分别标有数字，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的概率为__________． 【变式1】（2026·湖北武汉·中考真题）袋中只有个红球和个黑球，从中一次摸出两个球，下列事件是不可能事件的是（     ） A．两个球都是黑球 B．两个球中必有一个红球 C．两个球都是红球 D．两个球中一个是红球一个是黑球 【变式2】（25-26六年级上·上海青浦·开学考试）用2，4，5三张卡片摆三位数，摆出的数是偶数算赢，摆出的数是奇数算输，用这三张卡片摆出的数是偶数的可能性是________（每张卡片都要用）. 【变式3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小丽做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把球放回，不断重复上述过程，如图是摸到白球的频率折线统计图．估计盒子里白球有______个． 【题型2】列表法求两步随机事件概率 核心考点：标准两步试验，列表枚举、不重不漏。 【例题2】（2026·江苏苏州·一模）学校招募博物馆义务讲解员，将义务讲解员随机分配到“A（苏州博物馆）”“B（苏州丝绸博物馆）”“C（苏州评弹博物馆）”“D（苏州革命博物馆）”四个博物馆．甲、乙两位同学报名参加了此项活动． （1）甲分配在“A（苏州博物馆）”的概率是______； （2）求甲、乙分配在不同博物馆的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 【变式1】（2026·北京·模拟预测）不透明袋子中有1个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是白球的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏无锡·期末）谚语能通过生活化的场景帮助人们直观理解事件发生的可能性．下列事件①水往低处流；②东边日出西边雨；③歪打正着．其中发生概率最大的事件是________．（请填写正确的序号） 【变式3】（2026·江苏泰州·一模）“苏超冠军城”是泰州最新的亮眼名片，2026年春节期间，溱湖国家湿地公园、梅兰芳纪念馆、凤栖湖冰雪乐园等多处景点备受游客追捧．小林，小凯两人分别从这3个景点中选择景点游玩． （1）若每人选择1个景点，则小林选中凤栖湖冰雪乐园的概率为 ； （2）若每人选择1个景点，求两人所选景点相同的概率． 【题型3】简单树状图求概率 核心考点：两步树状图规范绘制，统计结果。 【例题3】（2026·吉林长春·模拟预测）截至2025年底，中国的高铁里程数已突破5万公里，位居世界第一，随着智能化高铁的出现，越来越多的人愿意选择高铁出行、元旦假期，小明和小亮乘坐高铁外出游玩，由于特等座余票不多，售票系统将随机分配座位，且系统已将两人分配到同一排．如图所示的是在特等座同一排座位A，C，F的排列示意图．求小明和小亮被分配到相邻的座位的概率（过道两侧座位不算相邻）． 【变式1】（2026·山西长治·三模）2026年总台春晚以“骐骥驰骋，势不可挡”为主题，借千里马意象传递开拓进取、一往无前的时代精神．现推出骐骐、骥骥、驰驰、骋骋四款吉祥物盲盒，小明从这四款外观完全相同的盲盒中一次性随机抽取两个，抽到的盲盒中含有“驰驰”的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·四川达州·期中）把下列事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列是_____ （填序号）． （1）一副去掉大小王的扑克牌中，随意抽取一张抽到的牌是红色； （2）随意遇到一位青年，他接受过九年义务教育； （3）从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的一个球恰好是白球； （4）站在平地上抛一块小石头，石头会落下． 【变式3】（2026·江苏徐州·二模）一个不透明的盒子中装有2个红球和若干个白球，这些小球除颜色外均相同，将盒中小球摇匀，从中随机摸出一个小球是白球的概率为 （1）白球的数量是 个； （2）从盒中任意摸出两个球（不放回），用画树状图或列表的方法，求这两个小球是一红一白的概率． 【题型4】频率、频数、概率基础计算 核心考点：频率公式运算、频率与概率简单辨析。 【例题4】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品（指针落在分界线上，重转）．下表是活动进行中的一组统计数据：    转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“洗手液”区域的次数m 65 108 136 345 552 690 落在“洗手液”区域的频率 0.65 0.72 0.68 0.69 a 0.69 （1）填空： ______； （2）根据上表，随机转动该转盘一次，获得“洗手液”的概率大约是多少？（结果保留两位小数） 【变式1】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.47，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（     ） A．0.47 B．0.50 C．0.51 D．0.53 【变式2】（2026·安徽滁州·三模）学校食堂推出了“健康午餐”活动，鼓励学生从两组菜品中各选一种进行搭配． ◎主菜组（组）：红烧肉、鱼香肉丝、宫保鸡丁（共种）． ◎素菜组（组）：炒青菜、西红柿炒蛋、酸辣土豆丝（共种）． 一名学生需要从组随机挑选种主菜，从组随机挑选种素菜．已知“经典搭配”共有种：红烧肉炒青菜、宫保鸡丁酸辣土豆丝．则该学生选中的“主菜”和“素菜”恰好是“经典搭配”的概率是__________． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称，韩叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 800 1000 2000 成活数 47 90 183 362 724 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.905 0.902 0.901 （1）上表中，________，________； （2）根据上表的数据，请你估计该种苹果树苗成活的概率是多少？（精确到0.1） 四.经典题型精析（综合提升） 【题型5】三步及以上树状图综合概率 核心考点：多步骤试验，列表失效，必须树状图分层枚举。 【例题5】（25-26九年级下·江苏南京·期中）甲、乙、丙3人间相互传球．假设他们相互间传球是等可能的，并且由甲开始传球． （1）经过3次传球后，球在乙手中的概率是多少？请画树状图解决问题． （2）猜想：经过次传球后，球传到甲、乙、丙3人手中的概率之间的大小关系（直接写出结果）． 【变式1】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）一椭圆形地块，打算分、、、四个区域栽种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有种不同的植物可供选择，那么有（    ）种栽种方案． A． B． C． D． 【变式2】（2026·黑龙江·模拟预测）如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定和为入口，为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从入口进入、从出口离开的概率是__________． 【变式3】（2026·福建三明·二模）如图，在课外体育锻炼中，甲、乙、丙三人做传球的游戏．开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球等可能传给其余两人中的一人． （1）求事件“传球两次，球传回到甲的手中”的概率； （2）事件“传球三次，球传回到甲的手中”是否可能发生？若可能，求该事件的概率；若不可能，说明理由． 【题型6】不放回抽取模型概率问题 核心重难点：不放回导致第二次总数减少、无重复结果，是考试高频易错点。 【例题6】（2026·江苏苏州·模拟预测）桌面上有下列4张图，小坤从中随机抽取，抽取各个图片的概率相等． （1）小坤从下列图片随机抽取一张作为表情包，抽到图片①的概率为________． （2）小坤从中抽取两张（抽到后不放回），求抽到的两张图片中至少有1张没有拿任何物品的概率． 【变式1】（25-26九年级下·四川绵阳·期中）现有编号为①、②、③、④的四种化学试剂，分别是：、、溶液、溶液，装在了4个不透明的化学试剂瓶中．某同学从这四种化学试剂中随机不放回地先后抽取两种，规定：若两种物质之间能发生化学反应，则称为“有效反应组合”，则该同学抽到有效反应组合的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）假期将至，学校向全校师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“河”字出现的频率为________． 【变式3】（25-26九年级下·福建福州·开学考试）小雅和妈妈参加学校组织的“爱心义卖”活动．妈妈看中了一款标价为30元/件的学习用品．摊主提供两种购买方式： 方式A：直接打七折； 方式B：参与一次抽奖决定折扣．规则如下： 在一个不透明袋子里装有4个除颜色外完全相同的小球，其中红球2个、蓝球2个． 顾客从中随机摸出一个球，不放回，再摸出第二个球．如果两次摸出的球颜色相同，则按标价打六折；如果颜色不同，则按标价打九折． 妈妈觉得“六折很便宜”，于是想选方式B． 请解答下列问题： （1）求妈妈以六折价格买到该学习用品的概率； （2）小雅说：“如果我们要买很多件，其实方式A可能更省钱．”你同意小雅的说法吗？请通过计算说明理由． 【题型7】频率估计概率实际应用 核心考点：利用稳定频率估计总体概率、估算总体数量。 【例题7】（25-26七年级下·江西景德镇·期中）某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，不透明的抽奖袋中装有除颜色外其他都相同的红色、黄色、白色三种小球，红色、黄色、白色的小球分别代表一、二、三等奖，从袋子中任意摸出1个球，记下颜色后放回． （1）小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估计袋中白球的数量． （2）在（1）的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·广东梅州·期末）某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（     ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.401 0.410 0.413 0.412 0.413 A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410 【变式2】（23-24九年级·全国·一轮复习）金华创建文明城市，推行垃圾分类．小区里有可回收、不可回收、有害垃圾和厨余垃圾四种垃圾箱．一天小林把家里分好类的四袋垃圾拿去投放，他不小心放错了其中的三个垃圾袋，则小林将四个垃圾袋中的三个垃圾袋投放错误的概率是________． 【变式3】（2026·江苏盐城·模拟预测）完成以下问题 （1）下表是历史上一些著名数学家做掷硬币试验的数据： 试验者 抛硬币次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率 德•摩根 布丰 费勒 皮尔逊 由这些数据，你可以估计掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为_____； （2）两个人做掷硬币游戏，掷出正面甲得分，掷出反面乙得分，先得到分的人赢得一个大蛋糕，如果游戏因故中途结束，此时甲得了分，乙得了分，那么这个蛋糕该如何分配呢？请你用概率的树状图模拟游戏继续，请帮助甲乙两人提出合理的分配方案． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）下列成语中表示随机事件的是（     ） A．守株待兔 B．水中捞月 C．刻舟求剑 D．竹篮打水 2．（25-26七年级下·山东烟台·期末）同时投掷两枚均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中不可能发生的事件是（     ） A．点数之和为13 B．点数之和小于3 C．点数之和是3的倍数 D．点数之和为11 3．（25-26七年级下·河南郑州·期末）下列四个随机事件中，发生的可能性最小的是（     ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．掷一个质地均匀的骰子，朝上的点数是3 C．从52张扑克牌（无大小王）中随机抽一张，抽到红桃 D．从1~10这10个整数中随机抽一个，抽到数字6 4．（25-26九年级下·北京·阶段检测）一个不透明的袋子中装有1个红球、2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中摸两个球，摸出1红球和1黄球的概率是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·河南平顶山·三模）如图，下列四张卡片反面完全相同，正面分别是《西游记》和《三国演义》中的人物：孙悟空、猪八戒、诸葛亮、关羽．现将卡片全部反面朝上混合均匀，小鼎从这四张卡片中随机抽取两张，则抽出的两张卡片上的人物恰好属于同一部名著的概率是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的统计图，由此可估计其中一棵树苗移植成活的概率为（     ） A． B． C． D． 7．（2024·河南信阳·模拟预测）从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下： 那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是（     ） A． B． C． D． 8．（2025·山东潍坊·模拟预测）随着信息发展，移动网络普及，无接触移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，王老师和郝老师都随机从“微信”、“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付．则两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25六年级上·广西防城港·开学考试）下面说法正确的是（     ） A．小军进行打靶训练，他命中100发，脱靶5发，命中率是． B．任意两个等底等高的平行四边形都可以拼成一个平行四边形． C．连续抛10次硬币，正面朝上的次数一定是5次． D．三角形的面积一定，它的底与对应的高成反比例关系． 10．（2026·河北邯郸·三模）某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（     ） A．共有12种等可能的结果 B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D．顾客获得5元奖金的概率为 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）“抛出的篮球会下落”这个事件是__________事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 12．（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）景区文创盲盒里装有6个民族徽章、4个山水徽章、1个动物徽章，随机抽取一枚，抽到________徽章可能性最大，动物徽章数量占徽章总数量的________（填分数）． 13．（25-26八年级下·江苏常州·期中）一只不透明的袋子中装有除颜色外都相同的5个红球、2个白球、1个黑球，从中随机摸出一个球，则摸出__________球的概率最大．（填“红”、“白”、“黑”） 14．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段检测）从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是负数的概率是______． 15．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）学校元旦联欢会设置盲盒抽奖游戏，盲盒内放有三枚纪念币，分别刻有数字5，15，25．参与者一次性抽取两枚纪念币，抽到的两枚纪念币数字之和为40的概率是_________． 16．（2026·河南周口·二模）某校举行班级歌咏比赛，九年级1班和2班的同学从《少年中国说》、《黄河大合唱》、《歌唱祖国》和《我和我的祖国》中各随机选择一首参加比赛，则两个班恰好选择的是《少年中国说》和《我和我的祖国》的概率是________． 17．（2025·山东枣庄·模拟预测）在盒子里放有分别写有整式2，，，的四张卡片，从中随机抽取两张把卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是_________ 18．（2026·全国·二模）年，长沙市中小学全面实施“活力课间15分钟”行动，鼓励学生走出教室参与体育锻炼．某校在课间开设了花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目．甲、乙两位同学各自从这三项中随机选择一项参加，且两人选择相互独立．则他们恰好都选择花样跳绳的概率是________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·全国·课后作业）一个袋中装有22个红球和18个白球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？这个问题与第1题有什么关系？ 第1题：某班有22名男生和18名女生，将每名学生的姓名写在完全相同的纸条上，放在盒子中混合均匀，从中任意抽取1张纸条，抽取到男生姓名的概率是多少？ 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）近期电影《飞驰人生3》火热上映，现有一张《飞驰人生3》的电影票，小辰和小乐都想获得，他们想到如下方法：从印有数字1，2，3，4，5，5，6，7的8个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字为奇数，则小辰得到电影票；否则，小乐得到电影票．你认为用这种方式获得电影票对双方公平吗？请说明理由． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）疫情期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求，某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小开和小袁两位同学将随机通过测温通道进入校园． （1）小开选择A通道测温进校的概率是______； （2）利用画树状图或列表的方法，求这两个同学从不同通道通过的概率． 22．（本小题满分10分）（2025·江苏盐城·一模）盐城市鹿鸣路初级中学初一年级学生于五月初正式进入西校区，开始了新的学习与生活．为庆祝这一美好的日子，初一（1）班同学在操场上举行了击鼓传花的游戏．甲、乙、丙三位同学在操场上互相传递手中的花环，假设他们相互间传递是等可能的，并且由甲首先开始传递． （1）经过1次传递后，花环传到乙手中的概率是_________； （2）请画树状图或列表求经过2次传递后，花环传到乙手中的概率； （3）猜想并直接写出：经过2022次传递后，传到_________同学手中（填甲、乙、丙）的可能性最大． 23．（本小题满分10分）（2025·陕西西安·模拟预测）现有A，B，C，D四张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同．将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． （1）从中随机取出1张卡片，卡片上的图案是轴对称图形的概率是________； （2）若从中随机抽取1张卡片，不放回，再从剩下的3张中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片都是中心对称图形的概率． 24．（本小题满分12分）（2025·贵州黔东南·模拟预测）今年三月中旬，某校初三年级为了解学生体育成绩情况，随机抽取了部分学生进行一次体育中考模拟测试，测试结果分为四个等级：A：优秀（45-50分），B：良好（38-44分），C：合格（30-37分），D：不合格（29分及以下），分值含平时成绩10分，将测试结果绘成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题． （1）本次测试共抽取学生多少人？ （2）求A级的圆心角a的度数？并补充完整条形统计图． （3）该校初三年级共有学生800人，若所有学生全部参加测试，估计成绩属于优秀的学生有多少人？ （4）王刚同学要在跳远、跳绳、排球、足球、篮球中选其中一项进行针对性训练，求他选中排球的概率； （5）体育老师想从小军、小兵、小明、小林四位同学中随机了解两位同学平时训练情况，请用列表法或画树形图法求选中小明的概率． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $