暑期预习讲义（第12讲）——二次函数的图象与性质（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026年北师大版九年级数学上册

暑期预习讲义（第12讲）——二次函数的图象与性质（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 2 预习目标 2 预习重难点 2 课本原文预习填空 2 二.教材知识梳理解读 3 【知识点一】二次函数基本图象与开口性质 3 【知识点二】对称轴、顶点与最值性质 3 【知识点三】二次函数增减性（核心重难点） 4 【知识点四】二次函数图象平移规律 4 【知识点五】二次函数系数a、b、c与图象关系 4 三.经典题型精析（基础夯实） 5 【题型 1】二次函数开口、顶点、对称轴基础判断 5 【题型 2】二次函数最值（最大/最小值） 6 【题型 3】判断二次函数增减性、比较函数值大小 6 【题型 4】二次函数图象平移变换基础应用 7 四.经典题型精析（基础夯实） 8 【题型 5】a、b、c系数符号与图象综合判断 8 【题型 6】限定区间内二次函数最值求解 10 【题型 7】二次函数图象平移、对称综合变换 10 五.同步自测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 14 一.预习目标与填空 预习目标 1. 掌握二次函数抛物线的图象特征，熟练区分开口方向、开口大小，理解参数a对图象的影响。 2. 熟练求解二次函数的对称轴、顶点坐标，掌握二次函数最大值与最小值的求解方法。 3. 理解二次函数的增减性规律，能根据自变量取值范围判断函数增减、比较函数值大小。 4. 掌握二次函数图象的平移规律，能完成函数平移前后的解析式变换。 5. 学会通过二次函数图象判断a、b、c及相关代数式的符号，建立数形结合的解题思维。 预习重难点 重点：二次函数开口、对称轴、顶点、最值、增减性基础性质；函数图象平移规律；系数a、b、c的基础图象特征。 难点：对称轴两侧函数增减性区分；自变量有限区间内的最值求解；复杂图象中a、b、c及衍生代数式符号判断；平移与对称综合变换。 课本原文预习填空 请结合课本自主完成填空，夯实概念，扫清预习基础障碍。 1. 二次函数的图象是一条__________。 2. 当时，抛物线开口______，顶点是抛物线的最______点，函数有最______值；当时，抛物线开口______，顶点是抛物线的最______点，函数有最______值。 3. 二次函数的对称轴直线公式为__________，顶点横坐标为__________，顶点纵坐标可通过代入解析式求解。 4. 对于的二次函数：对称轴左侧（），y随x的增大而______；对称轴右侧（），y随x的增大而______。 5. 对于的二次函数：对称轴左侧（），y随x的增大而______；对称轴右侧（），y随x的增大而______。 6. 二次函数图象平移规律：__________、__________，即左右平移改变h，上下平移改变k。 7. |a|越大，抛物线开口越______；|a|越小，抛物线开口越______。 预习填空参考答案 1. 抛物线 2. 向上；低；小；向下；高；大 3. ； 4. 减小；增大 5. 增大；减小 6. 左加右减；上加下减 7. 窄；宽 二.教材知识梳理解读 【知识点一】二次函数基本图象与开口性质 1. 图象形状：所有二次函数的图象都是平滑、对称的抛物线，无限延伸，无断点、无折线。 2. 开口方向（由a决定） ：开口向上，抛物线整体向上伸展，存在最低点； ：开口向下，抛物线整体向下伸展，存在最高点。 3. 开口大小（由|a|决定） |a|越大，抛物线弯曲程度越大，开口越窄；|a|越小，抛物线越平缓，开口越宽。多个二次函数比较开口大小时，只看a的绝对值，与正负无关。 【知识点二】对称轴、顶点与最值性质 1. 对称轴公式 一般式：，对称轴为直线； 顶点式：，对称轴为直线。 2. 顶点坐标 一般式顶点：；顶点式顶点：。 3. 最值规律 ，当时，； ，当时，。 4. 核心结论：顶点是二次函数唯一的最值点，也是抛物线的对称中心。 【知识点三】二次函数增减性（核心重难点） 增减性以对称轴为分界线，左右两侧单调性相反，是考试高频考点。 1. （开口向上） 当（对称轴左侧），y随x增大而减小； 当（对称轴右侧），y随x增大而增大。 2. （开口向下） 当（对称轴左侧），y随x增大而增大； 当（对称轴右侧），y随x增大而减小。 3. 易错警示：必须限定自变量取值范围，不能直接说函数单调递增或递减，二次函数整体不具备单调性。 4. 函数值比较技巧：自变量距离对称轴越近，开口向上则函数值越小，开口向下则函数值越大。 【知识点四】二次函数图象平移规律 统一口诀：左加右减，上加下减（仅针对顶点式） 1. 左右平移（改变x，水平移动） ：向左平移m个单位； ：向右平移m个单位。 2. 上下平移（改变k，竖直移动） ：向上平移m个单位； ：向下平移m个单位。 3. 易错点：左右平移仅针对单独的x进行加减，切勿对整体括号外数值变形；平移不改变a的值，开口、大小、形状始终不变。 【知识点五】二次函数系数a、b、c与图象关系 1. 系数a：决定开口方向与开口大小，与前文性质一致。 2. 系数b：与a共同决定对称轴位置 a、b同号（ab>0）：对称轴在y轴左侧； a、b异号（ab<0）：对称轴在y轴右侧； b=0：对称轴为y轴。 3. 系数c：决定抛物线与y轴交点 c>0：交点在y轴正半轴；c=0：抛物线过原点；c<0：交点在y轴负半轴。 4. 常用特殊值判断 ，；，； ，；，。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】二次函数开口、顶点、对称轴基础判断 核心考点：快速识别开口方向、对称轴、顶点坐标，基础性质辨析 【例题1】（专题22.11二次函数y）已知二次函数，求顶点坐标，小明的计算结果与其他同学的不同，小明的计算过程如下： ……① ……② ……③ ∴顶点坐标是……④ （1）请你帮他检查一下，在标出①②③④的几个步骤中开始出现错误的是第______步； （2）请你改正小明的过程，写出本题的正确求顶点的计算过程，并写出顶点坐标； （3）我们知道的顶点坐标为，请你利用公式求出二次函数的顶点坐标． 【变式1】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．对称轴是直线 B．对称轴是直线 C．对称轴是直线 D．对称轴是直线 【变式2】（25-26九年级下·全国·课后作业）试说出函数（a、k是常数，）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表： 开口方向 对称轴 顶点坐标 【变式3】（24-25九年级下·青海西宁·开学考试）已知二次函数的表达式为：． （1）将该二次函数配方成顶点式； （2）写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 思路总结：一般式套公式、顶点式直接读数据，a定开口，对称轴优先用公式快速求解，顶点坐标可代值计算。 【题型 2】二次函数最值（最大/最小值） 核心考点：无取值限制下的全局最值求解 【例题2】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知二次函数 （1）将该函数表达式化为二次函数的一般形式； （2）当________时，函数有最________值是________． 【变式1】（25-26九年级上·广西梧州·期末）函数的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）当______时，二次函数的最小值是______． 【变式3】（2023·广东揭阳·二模）已知关于x的函数．若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值． 思路总结：a正取最小、a负取最大，最值均在对称轴顶点处取得，无区间限制时直接代顶点计算。 【题型 3】判断二次函数增减性、比较函数值大小 核心考点：对称轴分段增减性、利用距离对称轴远近比较函数值 【例题3】（21.2二次函数的图象与性质（7知识点 10题型 巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪科版））在平面直角坐标系中，点是抛物线上任意一点，点在该抛物线上．若存在，恰好使．比较的大小，并说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·福建福州·阶段检测）已知抛物线，且经过点，，试比较和的大小：____________（填“”、“”或“”）． 【变式3】（24-25九年级上·北京东城·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+2ax（0＜a＜3）上，其中x1＜x2． （1）求抛物线的对称轴； （2）若A（﹣2，y1），B（0，y2），直接写出y1，y2的大小关系； （3）若x1+x2＝1﹣a，比较y1，y2的大小，并说明理由． 思路总结：先找对称轴、看开口方向，分区间判断增减；比较函数值优先比自变量到对称轴的距离，快速秒杀。 【题型 4】二次函数图象平移变换基础应用 核心考点：利用“左加右减、上加下减”求平移后解析式 【例题4】（2026·内蒙古兴安·模拟预测）将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位． （1）用配方法将写成的形式； （2）求平移后的解析式； （3）求平移后抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标； （4）对于平移后的抛物线，当取何值时，随着的增大而减小？ 【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）将抛物线向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 【变式3】（24-25九年级上·上海·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； （3）若点D是线段上一动点，过点D作轴于点E，交抛物线于点F，求线段长度的最大值． 例题4：将二次函数的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，求平移后的解析 思路总结：平移问题优先化为顶点式，严格遵循口诀，平移不改变a，只改变顶点坐标。 四.经典题型精析（基础夯实） 【题型 5】a、b、c系数符号与图象综合判断 核心考点：数形结合，由图象判断系数及代数式符号 【例题5】（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的有________．（请填写所有正确的序号） 【变式1】（2026·甘肃嘉峪关·二模）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【变式2】（2026·四川泸州·一模）如图，二次函数的图象经过，对称轴是直线，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·河南平顶山·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④的实数其中正确的结论有______． 【题型 6】限定区间内二次函数最值求解 核心考点：自变量有取值范围，结合对称轴位置求区间最值 【例题6】（25-26九年级上·江西赣州·期中）已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求函数的最小值． 【变式1】（24-25九年级上·浙江舟山·开学考试）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 【变式2】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知抛物线为常数）经过点． （1）求a的值． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段的中点，求t的值． （3）设，抛物线的一段最大值与最小值的差为，求的最大值与最小值． 【题型 7】二次函数图象平移、对称综合变换 核心考点：平移+对称复合变换，解析式综合求解 【例题7】（24-25九年级上·云南楚雄·期中）如图，已知抛物线过点，与轴交于，与x轴交于点B．点D在抛物线上，且与点C关于对称轴对称． （1）求该抛物线的函数关系式和D点坐标； （2）求的面积． 【变式1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段检测）点在以直线为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，抛物线交x轴于A、B两点（A在B的右侧），交y轴于点C，点于D是线段的中点，点P是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是 ___． 【变式3】（2026·江苏盐城·三模）如图，抛物线与轴交于、两点，若直线与抛物线交于点、两点，已知， （1）求直线的函数表达式； （2）若将直线沿轴的正方向向上平移个单位长度后，与抛物线只有一个公共点，求此时的值． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2024·天津南开·模拟预测）顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川德阳·模拟预测）将抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西·模拟预测）二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 4．（24-25九年级·浙江温州·学业考试模拟）点，，是抛物线上的三个点，若，则，，的值可以为（     ） A．0，2，4 B．1，3，4 C．1，4，5 D．1，2，4 5．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 3 … y … 1 3 4 3 … 下列关于该二次函数的说法，错误的是（   ） A．开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y有最大值4 D．当时， 6．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）若的图像与的图像只有两个交点，则的取值范围为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数图象上有两点：点，，其中，．当时，则t的取值范围为（　　） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）二次函数的对称轴是直线________；函数的图象的对称轴是直线________． 12．（24-25九年级上·上海闵行·阶段检测）已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于_____． 13．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是__________填序号 15．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）已知抛物线的对称轴是，与轴交于、两点，若点坐标是，则点的坐标是______． 16．（2024·浙江台州·二模）已知二次函数（为常数），当时，，若，且，则的最大值等于______． 17．（2024·福建泉州·一模）已知二次函数的图象经过点，，若，，都有，则的最大值为_____． 18．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，点O是正方形ABCD的对称中心，射线OM，ON分别交正方形的边AD，CD于E，F两点，连接EF，已知，． （1）以点E，O，F，D为顶点的图形的面积为_________； （2）线段EF的最小值是_________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·山东济南·期末）用配方法把二次函数化成的形式． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，当时，求y的最大值和最小值． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（m是常数）的图像经过点． （1）若，，求m的值； （2）若点P到对称轴的距离为1，求b的值． 22．（本小题满分10分）（2024·河南郑州·模拟预测）已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为． （1）求出，，的值，并写出此二次函数的解析式； （2）求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）如图，正比例函数的图象与抛物线相交于点． （1）求与的值； （2）已知抛物线的顶点是，若是轴上的一个动点，求当的值最小时点的坐标． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图，抛物线经过点和点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴交于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式及点的坐标． （2）当线段长等于2时，求点的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第12讲）——二次函数的图象与性质（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 2 预习目标 2 预习重难点 2 课本原文预习填空 2 二.教材知识梳理解读 3 【知识点一】二次函数基本图象与开口性质 3 【知识点二】对称轴、顶点与最值性质 3 【知识点三】二次函数增减性（核心重难点） 4 【知识点四】二次函数图象平移规律 4 【知识点五】二次函数系数a、b、c与图象关系 4 三.经典题型精析（基础夯实） 5 【题型 1】二次函数开口、顶点、对称轴基础判断 5 【题型 2】二次函数最值（最大/最小值） 7 【题型 3】判断二次函数增减性、比较函数值大小 9 【题型 4】二次函数图象平移变换基础应用 12 四.经典题型精析（基础夯实） 16 【题型 5】a、b、c系数符号与图象综合判断 16 【题型 6】限定区间内二次函数最值求解 20 【题型 7】二次函数图象平移、对称综合变换 23 五.同步自测 28 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 28 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 34 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 40 一.预习目标与填空 预习目标 1. 掌握二次函数抛物线的图象特征，熟练区分开口方向、开口大小，理解参数a对图象的影响。 2. 熟练求解二次函数的对称轴、顶点坐标，掌握二次函数最大值与最小值的求解方法。 3. 理解二次函数的增减性规律，能根据自变量取值范围判断函数增减、比较函数值大小。 4. 掌握二次函数图象的平移规律，能完成函数平移前后的解析式变换。 5. 学会通过二次函数图象判断a、b、c及相关代数式的符号，建立数形结合的解题思维。 预习重难点 重点：二次函数开口、对称轴、顶点、最值、增减性基础性质；函数图象平移规律；系数a、b、c的基础图象特征。 难点：对称轴两侧函数增减性区分；自变量有限区间内的最值求解；复杂图象中a、b、c及衍生代数式符号判断；平移与对称综合变换。 课本原文预习填空 请结合课本自主完成填空，夯实概念，扫清预习基础障碍。 1. 二次函数的图象是一条__________。 2. 当时，抛物线开口______，顶点是抛物线的最______点，函数有最______值；当时，抛物线开口______，顶点是抛物线的最______点，函数有最______值。 3. 二次函数的对称轴直线公式为__________，顶点横坐标为__________，顶点纵坐标可通过代入解析式求解。 4. 对于的二次函数：对称轴左侧（），y随x的增大而______；对称轴右侧（），y随x的增大而______。 5. 对于的二次函数：对称轴左侧（），y随x的增大而______；对称轴右侧（），y随x的增大而______。 6. 二次函数图象平移规律：__________、__________，即左右平移改变h，上下平移改变k。 7. |a|越大，抛物线开口越______；|a|越小，抛物线开口越______。 预习填空参考答案 1. 抛物线 2. 向上；低；小；向下；高；大 3. ； 4. 减小；增大 5. 增大；减小 6. 左加右减；上加下减 7. 窄；宽 二.教材知识梳理解读 【知识点一】二次函数基本图象与开口性质 1. 图象形状：所有二次函数的图象都是平滑、对称的抛物线，无限延伸，无断点、无折线。 2. 开口方向（由a决定） ：开口向上，抛物线整体向上伸展，存在最低点； ：开口向下，抛物线整体向下伸展，存在最高点。 3. 开口大小（由|a|决定） |a|越大，抛物线弯曲程度越大，开口越窄；|a|越小，抛物线越平缓，开口越宽。多个二次函数比较开口大小时，只看a的绝对值，与正负无关。 【知识点二】对称轴、顶点与最值性质 1. 对称轴公式 一般式：，对称轴为直线； 顶点式：，对称轴为直线。 2. 顶点坐标 一般式顶点：；顶点式顶点：。 3. 最值规律 ，当时，； ，当时，。 4. 核心结论：顶点是二次函数唯一的最值点，也是抛物线的对称中心。 【知识点三】二次函数增减性（核心重难点） 增减性以对称轴为分界线，左右两侧单调性相反，是考试高频考点。 1. （开口向上） 当（对称轴左侧），y随x增大而减小； 当（对称轴右侧），y随x增大而增大。 2. （开口向下） 当（对称轴左侧），y随x增大而增大； 当（对称轴右侧），y随x增大而减小。 3. 易错警示：必须限定自变量取值范围，不能直接说函数单调递增或递减，二次函数整体不具备单调性。 4. 函数值比较技巧：自变量距离对称轴越近，开口向上则函数值越小，开口向下则函数值越大。 【知识点四】二次函数图象平移规律 统一口诀：左加右减，上加下减（仅针对顶点式） 1. 左右平移（改变x，水平移动） ：向左平移m个单位； ：向右平移m个单位。 2. 上下平移（改变k，竖直移动） ：向上平移m个单位； ：向下平移m个单位。 3. 易错点：左右平移仅针对单独的x进行加减，切勿对整体括号外数值变形；平移不改变a的值，开口、大小、形状始终不变。 【知识点五】二次函数系数a、b、c与图象关系 1. 系数a：决定开口方向与开口大小，与前文性质一致。 2. 系数b：与a共同决定对称轴位置 a、b同号（ab>0）：对称轴在y轴左侧； a、b异号（ab<0）：对称轴在y轴右侧； b=0：对称轴为y轴。 3. 系数c：决定抛物线与y轴交点 c>0：交点在y轴正半轴；c=0：抛物线过原点；c<0：交点在y轴负半轴。 4. 常用特殊值判断 ，；，； ，；，。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】二次函数开口、顶点、对称轴基础判断 核心考点：快速识别开口方向、对称轴、顶点坐标，基础性质辨析 【例题1】（专题22.11二次函数y）已知二次函数，求顶点坐标，小明的计算结果与其他同学的不同，小明的计算过程如下： ……① ……② ……③ ∴顶点坐标是……④ （1）请你帮他检查一下，在标出①②③④的几个步骤中开始出现错误的是第______步； （2）请你改正小明的过程，写出本题的正确求顶点的计算过程，并写出顶点坐标； （3）我们知道的顶点坐标为，请你利用公式求出二次函数的顶点坐标． 【答案】（1）①；（2）过程见分析，顶点坐标；（3） 【分析】（1）根据配方法将二次函数解析式化为顶点式可得第①步出现错误； （2）将二次函数解析式化为顶点式求解； （3）利用顶点坐标公式解答即可． （1）解：∵， ∴开始出现错误的是第①步； 故答案为：① （2）解： ； ∴顶点坐标为； （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴顶点坐标为． 【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数一般式与顶点式的转化和顶点坐标公式． 【变式1】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．对称轴是直线 B．对称轴是直线 C．对称轴是直线 D．对称轴是直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称轴为直线，代入数值计算，即可作答． 解：∵， ∴对称轴是直线 故选：A 【变式2】（25-26九年级下·全国·课后作业）试说出函数（a、k是常数，）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表： 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】填表如下： 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线（轴） 向下 【分析】利用二次函数（a、k是常数，）是由向上或向下平移个单位得到，先由时，抛物线开口向上；时，抛物线开口向下；再由平移的性质，得到对称轴为直线（轴）顶点坐标为． 解：略 【变式3】（24-25九年级下·青海西宁·开学考试）已知二次函数的表达式为：． （1）将该二次函数配方成顶点式； （2）写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）；（2）图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为 【分析】（1）利用配方法进行求解即可； （2）根据顶点式直接写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标即可. （1）解：． （2）略 思路总结：一般式套公式、顶点式直接读数据，a定开口，对称轴优先用公式快速求解，顶点坐标可代值计算。 【题型 2】二次函数最值（最大/最小值） 核心考点：无取值限制下的全局最值求解 【例题2】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知二次函数 （1）将该函数表达式化为二次函数的一般形式； （2）当________时，函数有最________值是________． 【答案】（1）；（2）当时，函数有最大值是 【分析】本题考查了二次函数的一般形式、二次函数的性质， （1）按照完全平方公式计算函数右边的乘法运算，再合并同类项即可得到答案； （2）根据二次函数的性质求出最大值即可． （1）解：∵， ∴该二次函数的一般形式是； （2）解：， 当时，函数有最大值是：． 【变式1】（25-26九年级上·广西梧州·期末）函数的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，可先将函数展开整理为二次函数一般式，再通过配方法转化为顶点式，结合二次函数开口方向确定最大值． 解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为4， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）当______时，二次函数的最小值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，二次函数的图象与系数的关系，把化成顶点式，二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．将二次函数化成顶点式，然后根据二次函数的图象与性质即可求得答案． 解：将二次函数化成顶点式，得： ， 二次函数的顶点坐标为， ， 二次函数开口向上， 当时，二次函数的最小值为， 故答案为：，． 【变式3】（2023·广东揭阳·二模）已知关于x的函数．若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值． 【答案】， 【分析】根据题意得到方程组，解方程组求得，根据二次函数的性质即可得到结论； 解：将代入得， 将和代入得： ， 解得：， ∴， 当时，． 【点拨】本题主要考查了二次函数解析式求解和二次函数最值计算，准确计算是解题的感觉． 思路总结：a正取最小、a负取最大，最值均在对称轴顶点处取得，无区间限制时直接代顶点计算。 【题型 3】判断二次函数增减性、比较函数值大小 核心考点：对称轴分段增减性、利用距离对称轴远近比较函数值 【例题3】（21.2二次函数的图象与性质（7知识点 10题型 巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪科版））在平面直角坐标系中，点是抛物线上任意一点，点在该抛物线上．若存在，恰好使．比较的大小，并说明理由． 【答案】设抛物线对称轴为直线，则抛物线上点关于对称轴的对称点为， 存在，恰好使． ，即． 抛物线开口向上， 在对称轴的左侧随增大而减小． 又关于对称轴的对称点为且， 点，都在对称轴左侧，且， 【分析】设抛物线对称轴为直线，根据抛物线的增减性判断即可； 本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握抛物线的增减性求解. 解：略 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质等知识点，根据二次函数的解析式得出图象的对称轴是直线，结合题意得出抛物线开口向上，再将点求得关于对称轴对称的点，利用增减性即可得出答案． 解：∵， ∴图象的对称轴是直线， ∵当时，y随着x的增大而增大， ∴， ∴点关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·福建福州·阶段检测）已知抛物线，且经过点，，试比较和的大小：____________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 比较两个点离直线的远近即可得到、的大小关系． 解：∵ ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， ∵ ∴离对称轴较近， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·北京东城·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+2ax（0＜a＜3）上，其中x1＜x2． （1）求抛物线的对称轴； （2）若A（﹣2，y1），B（0，y2），直接写出y1，y2的大小关系； （3）若x1+x2＝1﹣a，比较y1，y2的大小，并说明理由． 【答案】（1）x=-1；（2）=；（3）<． 【分析】（1）根据对称轴与系数的关系可以直接求得对称轴为：x==-1； （2）利用对称轴到点的距离进行判定y值即可； （3）利用作差法，将表示出来，再进行判断正负，据此判断大小即可． 解：（1）由题意得：对称轴x==-1； （2）∵0＜a＜3， ∴抛物线开口向上， 又∵对称轴x=-1， ∴， ∴A、B两点到对称轴的距离相等，即：= （3）由题意得： = = = = ∵0＜a＜3，x1＜x2 ∴<0， 即：<． 【点拨】本题主要考查二次函数中系数的运用，以及比较函数值的大小，熟练掌握二次函数的基础运算是解题的关键． 思路总结：先找对称轴、看开口方向，分区间判断增减；比较函数值优先比自变量到对称轴的距离，快速秒杀。 【题型 4】二次函数图象平移变换基础应用 核心考点：利用“左加右减、上加下减”求平移后解析式 【例题4】（2026·内蒙古兴安·模拟预测）将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位． （1）用配方法将写成的形式； （2）求平移后的解析式； （3）求平移后抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标； （4）对于平移后的抛物线，当取何值时，随着的增大而减小？ 【答案】（1）；（2）；（3）对称轴为直线，与轴交点坐标为；（4）当时，随着的增大而减小 【分析】（1）利用配方法将原一般式抛物线化为顶点式即可； （2）根据抛物线平移“左加右减．上加下减”的规律得到平移后的解析式； （3）利用二次函数性质求解对称轴与y轴交点坐标； （4）根据开口方向和对称轴判断y随x变化的取值范围． （1）解： （2）解：根据抛物线平移规律可知平移后的解析式为： ； （3）解：平移后的抛物线顶点式为， 可得对称轴为直线， 令，代入得， 因此平移后抛物线与轴的交点坐标为； （4）解：平移后抛物线中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 因此当时，随着的增大而减小． 【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）将抛物线向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平移不改变抛物线的二次项系数，利用“左加右减，上加下减”的规律即可求出平移后的解析式． 解：∵ 原抛物线的顶点坐标为，将顶点向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到新顶点坐标为，平移后抛物线二次项系数不变，仍为， ∴平移后抛物线的解析式为． 【变式2】（24-25九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 【答案】或 【分析】当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点，当抛物线向下平移个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，即可求解． 解：如图，当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点， 如图，当抛物线向下平移3到4个单位（不含3和4个单位）时，抛物线与有两个交点， 当抛物线向下平移4个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点， 综上所述，t的取值范围是或． 【变式3】（24-25九年级上·上海·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； （3）若点D是线段上一动点，过点D作轴于点E，交抛物线于点F，求线段长度的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）再把原解析式化为顶点式，再根据二次函数平移的性质，即可求解； （3）先求出直线的解析式，设，则，可得，即可． （1）解：将代入， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴平移后的函数解析式为； （3）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴当时，的长有最大值4． 【点拨】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键． 例题4：将二次函数的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，求平移后的解析 思路总结：平移问题优先化为顶点式，严格遵循口诀，平移不改变a，只改变顶点坐标。 四.经典题型精析（基础夯实） 【题型 5】a、b、c系数符号与图象综合判断 核心考点：数形结合，由图象判断系数及代数式符号 【例题5】（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的有________．（请填写所有正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． ①根据二次函数的图象和性质确定各参数的取值范围即可； ②根据对称轴进行求解即可； ③根据对称轴得出点与关于对称轴对称，根据函数图象进行求解即可； ④根据顶点坐标进行求解即可． 解：①∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴位于轴的左侧， ∴同号， ∴； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴； ∴， 故①正确； ②图象关于直线对称， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵图象关于直线对称， ∴点与关于对称轴对称， 当时，， 故③错误； ④当时，值最大， 当时，， ∴， ∴， 故④正确； 综上，正确选项为①②④， 故答案为：①②④． 【变式1】（2026·甘肃嘉峪关·二模）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解：①由图可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 则，故①正确． ②③由图可知，抛物线的开口向上，则， 抛物线的对称轴为，，故③正确； ，， 抛物线交轴于负半轴，可得：， ，故②正确． ④由图可知，当时，，故④不正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③． 【变式2】（2026·四川泸州·一模）如图，二次函数的图象经过，对称轴是直线，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴求与 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键； 由抛物线的开口方向判断的正负，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴计算与的关系；再由与轴的交点个数判断根的判别式，进而对所得结论进行判断. 解：A.抛物线开口向上，，抛物线交轴的负半轴，故，则，故 A 选项不正确，不符合题意； B. 抛物线对称轴是直线，则，则，故，则 B 选项不正确，不符合题意； C. 二次函数的图象经过，对称轴是直线，则另一个交点坐标为，则当时，，故 C 选项正确，符合题意； D.当时，则，由于，代入后得，故 D 错误，不符合题意. 【变式3】（25-26九年级上·河南平顶山·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④的实数其中正确的结论有______． 【答案】②④ 【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解：①由图象可知：， ， ， ，故此选项错误； ②由对称知，当时，函数值大于0，即，故此选项正确； ③当时，；当时，， ，即， ，故此选项错误； ④当时，y的值最大．此时，， 而当时，， ∴， 故，即，故此选项正确．故②④正确． 故答案为：②④． 【题型 6】限定区间内二次函数最值求解 核心考点：自变量有取值范围，结合对称轴位置求区间最值 【例题6】（25-26九年级上·江西赣州·期中）已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求函数的最小值． 【答案】（1）；（2）最小值为 【分析】本题考查了抛物线解析式的求解及二次函数的最值问题，熟练掌握抛物线的表达式形式和二次函数的性质是解题的关键． （1）利用抛物线的交点式，结合与坐标轴的交点坐标，代入求解得到抛物线的解析式； （2）将抛物线解析式化为顶点式，结合抛物线的开口方向与对称轴，分析给定区间内函数的增减性，进而求出函数的最小值． （1）解：与轴交于、两点，与y轴交于点， 解得： 故该抛物线的解析式是． （2）解：， 抛物线的对称轴为，开口向上， 当时，随的增大而增大， 当时，时取得最小值． 【变式1】（24-25九年级上·浙江舟山·开学考试）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 【答案】D 【分析】先判断该二次函数的开口方向和对称轴，利用二次函数的增减性，分三种情况讨论h的范围，分别列方程求解，舍去不符合条件的解即可得到结果． 解：∵二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 分三种情况讨论： ①若，此时在对称轴右侧，随增大而减小，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； ②若，此时函数在处取最大值为，与题目中最大值为矛盾，此情况无解； ③若，此时在对称轴左侧，随增大而增大，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； 综上，的值为或． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答． 解：∵二次函数，，对称轴为轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知抛物线为常数）经过点． （1）求a的值． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段的中点，求t的值． （3）设，抛物线的一段最大值与最小值的差为，求的最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）最大值8，最小值是4 【分析】本题考查二次函数的图象性质，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的知识是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出对称轴，由题意，可知，，关于对称轴对称，，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可； （3）由题意，因为，而抛物线对称轴为直线，所以抛物线的一段的最小值取在顶点处，为，而最大值与最小值的差为，所以最大值为12，代入抛物线解析式，可求出当时相应的自变量取值，从而由题意可知，需满足，，且或，由此计算求解即可． （1）解：把代入， 得：， 解得：； （2）解：由（1）知：， 对称轴为直线， 点在轴上，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点， ，关于对称轴对称，，的纵坐标均为， 又点为线段的中点， ，即 由对称性知， ， 代入， 得：， ； （3）解， 抛物线的顶点坐标， ∵， ∴抛物线的一段的最小值取在顶点处取得， 即当，， ∵抛物线的一段最大值与最小值的差为， ∴， 当时，代入得： ， 解得：， 由题意可知，需满足，，且或， 当，时，取得最大值； 当时，或当时，取得最小值， 故的最大值为8，最小值为4． 【题型 7】二次函数图象平移、对称综合变换 核心考点：平移+对称复合变换，解析式综合求解 【例题7】（24-25九年级上·云南楚雄·期中）如图，已知抛物线过点，与轴交于，与x轴交于点B．点D在抛物线上，且与点C关于对称轴对称． （1）求该抛物线的函数关系式和D点坐标； （2）求的面积． 【答案】（1），；（2）3 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，把和分别代入，解出，再结合轴对称的性质，得出，即可作答． （2）先求出点，再结合三角形的面积公式列式计算，即可作答． （1）解：∵抛物线过点，与轴交于， ∴把和分别代入， 得， 解得， ∴． 该抛物线的对称轴为 ∵点D在抛物线上，且与点C关于对称轴直线对称．且 ∴； （2）解：连接，如图： ∵抛物线过点，与x轴交于点B，且对称轴直线， ∴令则， 解得 ∵， ∴，， 则的面积． 【变式1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段检测）点在以直线为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键；根据二次函数的对称轴为，可得出，将代入二次函数解析式中，可得出，根据二次函数的性质即可求解． 解：∵二次函数的对称轴为， ∴二次函数的解析式为， ∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为， 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，抛物线交x轴于A、B两点（A在B的右侧），交y轴于点C，点于D是线段的中点，点P是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是 ___． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识，先根据抛物线解析式求出点A，B，C坐标，从而得出，再根据勾股定理求出的长度，然后根据翻折的性质得出在以D为圆心，为半径的圆弧上运动，当在同一直线上时，最小，即可求解． 解：令，则， 解得， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵由沿折叠所得， ∴， ∴在以D为圆心，为半径的圆弧上运动， ∴当在同一直线上时，最小， ∵点D是线段的中点，则点， 则， 则最小值， 故答案为：． 【变式3】（2026·江苏盐城·三模）如图，抛物线与轴交于、两点，若直线与抛物线交于点、两点，已知， （1）求直线的函数表达式； （2）若将直线沿轴的正方向向上平移个单位长度后，与抛物线只有一个公共点，求此时的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把点代入抛物线中，求出的值，根据点，求出，根据待定系数法求出直线的函数表达式； （2）根据函数平移的性质得到一次函数解析式，与二次函数联立，得到关于x的方程，利用根的判别式，即可求解． 解：（1）∵点在抛物线中， ∴， ∴， ∴， ∵点在抛物线中， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴直线的函数表达式为：． （2）设平移后的直线解析式为：， ∵平移后的直线解析式与抛物线只有一个公共点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查二次函数和一次函数的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，函数平移的性质． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2024·天津南开·模拟预测）顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，二次函数顶点式中，决定抛物线的开口方向和形状，顶点坐标为，根据已知条件确定和顶点坐标即可得到解析式． 解：∵所求抛物线的开口方向、形状与相同， ∴所求抛物线的二次项系数，可排除C、D选项； ∵所求抛物线的顶点为，代入顶点式（顶点坐标为）， 得，，， ∴解析式为． 2．（2024·四川德阳·模拟预测）将抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数的平移的规律是左加右减，上加下减，由此可解． 解：将抛物线向左平移3个单位，自变量变为， 得到的抛物线解析式为． 3．（2024·陕西·模拟预测）二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y轴的哪一侧，交y轴的位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可． 解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 4．（24-25九年级·浙江温州·学业考试模拟）点，，是抛物线上的三个点，若，则，，的值可以为（     ） A．0，2，4 B．1，3，4 C．1，4，5 D．1，2，4 【答案】C 【分析】先求出抛物线对称轴为，再根据“抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大”逐项判断即可． 解：抛物线的开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 选项A：三点到对称轴的距离分别为2、0、2，则，不符合题意； 选项B：三点到对称轴的距离分别为1、1、2，得，不符合题意； 选项C：三点到对称轴的距离分别为1、2、3，得，符合题意； 选项D：三点到对称轴的距离分别为1、0、2，得，不符合题意． 5．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 3 … y … 1 3 4 3 … 下列关于该二次函数的说法，错误的是（   ） A．开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y有最大值4 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数函数的图象和性质，先根据表格数据确定对称轴，根据增减性，判断开口方向，再根据二次函数的性质，进行判断即可． 解：由表格可知，和的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线， 在对称轴的左侧，随着的增大而增大， ∴抛物线的开口向下，当时，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越远函数值越小， ∴当时，函数有最大值，当时，； 综上：只有选项C错误； 故选C． 6．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，需先确定抛物线的对称轴与开口方向，再利用二次函数的增减性或点到对称轴的距离判断函数值大小． 解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵开口向上时，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 又∵， ∴， 故选：B． 7．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则，得到平移后解析式的特征，即可判断正确选项． 解：原函数为，设向右平移个单位，再向下平移个单位， 平移规则为右减自变量，下减常数项， 平移后解析式为，满足，． 选项A：，得，，符合向右平移再向下平移的要求，正确； 选项B：常数项为，不符合要求，错误； 选项C：平方项底数为，，属于向左平移，不符合要求，错误； 选项D：平方项底数为，，未进行向右平移，不符合要求，错误． 8．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）若的图像与的图像只有两个交点，则的取值范围为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，将函数分和两种情况画出函数图象，分别与直线相交，通过交点的个数，确定��的取值范围。 解：对于函数， 当时，； 当时，； 画出函数，和的图象，如图， 当过时，即时，与函数有3个交点； 当与有唯一交点时， 令， 整理得， 此时，，解得； 当与有唯一交点时， 令， 整理得， 此时，，解得； 所以，函数的图像与的图像只有两个交点时，的取值范围为或， 故选：D． 9．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数图象上有两点：点，，其中，．当时，则t的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质；由题意可知点到对称轴的距离比点到对称轴的距离要远或相同，而关于对称轴的对称点为，即可得出． 解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∵点到对称轴的距离比点到对称轴的距离要远或相同， ∴， ∵，，关于对称轴的对称点为， ∴， 故选：D． 10．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可． 解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E， ∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等， ∴PE=PF， ∴△PMF的周长=FM+PM+PF， ∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小， ∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME， ∵M坐标为（3，6）， ∴ME=6， ∴PF+PM=6 ∵F（0，2）， ∴ ∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11， 故选C． 【点拨】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）二次函数的对称轴是直线________；函数的图象的对称轴是直线________． 【答案】 2 -1 【分析】根据二次函数和的对称轴的求解方法即可写出它们的对称轴，本题得以解决． 解：∵二次函数中，，b＝2， ∴其对称轴为； ∵与x轴的两交点为（1，0），， ∴其对称轴． 故答案为：2；． 【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的两种形式，解答本题的关键是根据不同形式的函数解析式的特点确定求解方法． 12．（24-25九年级上·上海闵行·阶段检测）已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，由题意得抛物线的对称轴，进而推出，，据此即可求解 解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴， 点与点关于该抛物线的对称轴对称， ，， 解得， 故的值等于， 故答案为：． 13．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是__________填序号 【答案】①④ 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定当时，当时，的范围，确定代数式的符号． 解：由题图知，， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故正确； 对称轴为直线， ，即， ，故错误； 当时，， ，故错误； 当时，，对称轴为直线， 当时，， ，故正确． 故答案为：①④． 15．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）已知抛物线的对称轴是，与轴交于、两点，若点坐标是，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查抛物线的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．利用抛物线的对称性，对称轴是两交点连线的垂直平分线，因此两交点的中点在对称轴上． 解：设点的坐标为， 由于抛物线与轴交于点和点，且对称轴为直线，则点和点的中点的横坐标等于对称轴的横坐标， 即， 解得， 故点的坐标为． 故答案为． 16．（2024·浙江台州·二模）已知二次函数（为常数），当时，，若，且，则的最大值等于______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．由二次函数开口向上得当时，随的增大而增大，结合得，故，则最小，即，然后求出即可． 解：二次函数开口向上 当时，随的增大而增大 要使最大 最小 ，则 或（舍去） ． 故答案为：． 17．（2024·福建泉州·一模）已知二次函数的图象经过点，，若，，都有，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质分和时即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质时解题的关键． 解：当时，则二次函数的顶点，图象开口向下，最大值为， ∴不符合题意， 当时，图象开口向上，最小值为， ∵，，都有， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，点O是正方形ABCD的对称中心，射线OM，ON分别交正方形的边AD，CD于E，F两点，连接EF，已知，． （1）以点E，O，F，D为顶点的图形的面积为_________； （2）线段EF的最小值是_________． 【答案】 1 【分析】（1）连接AO，DO，证明，可得，求出即可求解； （2）设，则，由勾股定理可得，即可求EF的最小值． 解：（1）连接AO，DO，    ∵， ∴， ∵四边形ABCD是正方形，O是中心， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：1； （2）设，则， ， 在中，， ∴当时，EF有最小值， 故答案为：． 【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数求最值的方法是解题的关键． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·山东济南·期末）用配方法把二次函数化成的形式． 【答案】 解： ． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，当时，求y的最大值和最小值． 【答案】y的最大值为6，最小值为 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，依据题意，由二次函数为，从而当时，y取最小值为，再结合到对称轴距离越远值越大求最大值即可． 解：二次函数为， 抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，y取最小值为， 又，即到对称轴的距离比大， ∴当时，有最大值，最大值； 当时，y的最大值为6，最小值为． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（m是常数）的图像经过点． （1）若，，求m的值； （2）若点P到对称轴的距离为1，求b的值． 【答案】（1）5或1；（2）0 【分析】（1）用待定系数法即可得； （2）根据二次函数的图像的对称轴为直线，点P到对称轴的距离为1得或，分情况讨论：当时，当时，进行计算即可得． （1）解：∵，，二次函数（m是常数）的图像经过点， ∴点P的坐标为：， ∴把点代入解析式得， 解得或， ∴m的值为5或1； （2）解：∵二次函数的图像的对称轴为直线，点P到对称轴的距离为1， ∴或， 当时，， 当时，， ∴b的值为0． 【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质． 22．（本小题满分10分）（2024·河南郑州·模拟预测）已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为． （1）求出，，的值，并写出此二次函数的解析式； （2）求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值． 【答案】（1），；（2）顶点坐标为 当时，函数最大值为，最小值为 【分析】（1）利用待定系数法求出，，的值，即可得到二次函数的解析式； （2）把二次函数的解析式整理成顶点坐标式即可得到抛物线的顶点坐标，根据解析式画出抛物线，由函数图象可知当时，函数的最大值即为抛物线顶点的纵坐标，当时，有最小值，最小值为． 解：（1）解：将，，代入， 可得：， 解得：， ； （2）解：， 抛物线顶点坐标为，抛物线开口向下， 当时，函数最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 图略． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）如图，正比例函数的图象与抛物线相交于点． （1）求与的值； （2）已知抛物线的顶点是，若是轴上的一个动点，求当的值最小时点的坐标． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据函数与抛物线相交于点，可以求得a、b的值； 根据二次函数性质求出顶点坐标，再求出点关于轴的对称点的坐标为，连接交轴于点，此时的值最小，求出的表达式，从而得出结果． （1）解：将代入正比例函数， 解得：． 点的坐标为， 将代入， 得， 解得； （2）由（1）得抛物线， 抛物线的对称轴是，顶点是， 点关于轴的对称点的坐标为， 如图，连接交轴于点，此时的值最小． 设直线的表达式是， 把代入， 得， 解得， 直线的表达式是. 令，则，解得． 点的坐标是． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图，抛物线经过点和点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴交于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式及点的坐标． （2）当线段长等于2时，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为；点的坐标为；（2）或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，线段问题，求出函数解析式，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）运用待定系数法求出解析式即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式，设点的横坐标为，可得，求出，由可得结论． 解：（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴可得， 解得， 抛物线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 直线的解析式为； 轴，点的横坐标为， ， ， 解得或， ， 或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $