专题14概率的进一步认识暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题14概率的进一步认识暑假预习讲义 1. 方法掌握：熟练运用列表法、树状图法，完整列举两步、多步随机试验的全部等可能结果，做到结果不重复、不遗漏。 2. 场景辨析：精准区分放回试验与不放回试验，摸球、抽卡片题型中，根据抽取规则正确罗列所有结果，避免两类场景混淆出错。 3. 概率计算：熟记等可能事件概率公式，结合树状图、统计表统计总结果数与目标事件结果数，规范计算事件概率；掌握配紫色、掷骰子、抛硬币、转盘等经典题型解法。 4. 公平判定：借助概率数值判断游戏公平性，双方事件概率相等则游戏公平，概率不等则不公平；能根据要求调整规则设计公平游戏。 5. 频率认知：理解频率与概率的区别和联系，明确单次试验频率具有波动性，大量重复试验后频率会稳定于概率附近。 6. 估算应用：学会利用稳定的频率估算随机事件概率，结合该方法估算总体数量，解决种群数量、产品合格率等实际统计问题。 7. 模拟试验：简单了解随机模拟试验思路，知晓可用试验方式估算无理论公式事件的概率。 8. 易错规避：列举结果时忽略先后顺序、放回与不放回场景搞混；误将少量试验频率等同于概率；计算概率时分母分子颠倒。 9. 素养铺垫：建立随机观念、数据分析思想，区分确定事件与随机事件，为高中概率统计内容筑牢基础。 预习必备 知识梳理 1.概率的计算 2.频率的稳定性 3.用频率估计概率 4.频率与概率的区别与联系 5.用列举法求概率 6.几何概率 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1几何概率. 2.列举法求概率 3.列表发或树状图法求概率 4.游戏公平性 5.概率随机事件平均发生次数 6.概率在保险业中的应用 7.概率在转盘抽奖中的应用 8.概率在比赛中的应用 9.概率的其他应用 10.求某事件的频率 11.由频率估计概率 12.频率估计概率的应用 强化题型 解答题7题 知识点01：概率的计算 （1）公式法 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)= （2）列表法 当一次试验要涉及两个因素 (例如掷两个骰子) 并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. （3）画树状图 当一次试验要涉及 3 个或更多的因素 (例如从 3 个口袋中取球) 时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图. （4）几何概型 一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)=，解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算. （5） 游戏公平性 判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平. 知识点02：频率的稳定性 1. 相关定义 1）频率：在相同条件下重复进行n次试验，事件A发生m次， 事件A发生的频率= 特点：频率依托试验产生，具有随机性，试验次数不同，频率一般不同。 2）概率：刻画随机事件发生可能性大小的固定常数，是事件本身固有的属性，不随试验改变。 2. 频率的稳定性（课本核心定理） 在大量重复试验中，如果试验条件保持不变，随着试验次数不断增大，随机事件发生的频率将会稳定在某个常数附近，这个规律叫做频率的稳定性。 解读：试验次数较少时，频率波动幅度很大；试验次数越多，波动幅度越小，频率越靠近概率。 3. 频率与概率全面对比表 对比维度 频率 概率 本质属性 通过试验统计得到的试验值 事件本身自带的理论常数 与试验次数关系 受试验次数影响，次数少波动大；次数越大越稳定 与试验次数无关，数值固定不变 获取方式 动手重复试验统计得出 理论计算或大量重复试验估计 相互联系 试验次数足够大时，频率稳定于概率，可用频率近似代表概率 知识点03：用频率估计概率 1. 适用场景 当随机试验的所有结果不具备等可能性，无法用列表法、树状图求出理论概率时，我们利用大量重复试验，用稳定后的频率估计概率。 典型例子：种子发芽率、产品次品率、篮球运动员投篮命中率、不规则几何体落地朝向。 2. 核心结论 在相同条件下进行大量重复试验，当频率逐渐稳定后，可以用这个稳定的频率作为事件发生概率的近似值。 P(A)稳定后的频率 3. 重要注意事项 ① 所有试验必须在完全相同的条件下开展； ② 少量试验的频率不能用来估计概率，只有试验次数足够多，频率才会稳定； ③ 通过频率估计得到的概率是近似值，不是精确理论值。 4. 两大常用拓展计算模型 （1）估算事件发生次数： 预计发生次数=总试验次数估计概率 （2）估算总体数量（抽样调查题型）： 总体数量= 知识点04：频率与概率的区别与联系 知识点 05 用列举法求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率。 （1） 直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2） 列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素。 知识点 6几何概率（几何概型） 1. 几何概率定义 一般地，如果试验的结果有无限多个，并且每个结果出现的可能性大小相等，所有结果均匀分布在线段、平面、扇形等几何区域内，我们利用几何图形的长度、面积、角度的比值计算随机事件发生的概率，这类概率称为几何概率。 2. 几何概率通用公式 P(A)= 度量可对应线段长度、平面图形面积、扇形圆心角度数。 3. 三类常见几何概率模型 （1）线段型：(P(A)= （2）面积型（覆盖率）：P(A)= （3）转盘扇形型：P(A)= 4. 几何概率核心前提 ① 试验结果有无穷多个； ② 落点均匀分布，任意区域可能性与区域度量成正比。 知识点7高频易错点汇总 · 混淆有放回、无放回试验，列举结果时重复或遗漏； · 不等面积转盘直接按颜色计算概率，忽略 “等可能” 前提； · 错误认为：几次试验算出的频率就是事件的概率； · 三步及以上试验误用列表法，造成解题失误； · 判断游戏公平性只凭主观感受，不计算概率对比； · 分不清 “同时抽取两个” 与 “先后不放回抽取” 的内在联系； · 计算概率后忘记约分，答题格式不规范。 题型1几何概率. 【典例】一只蚂蚁在如图所示边长为2的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为______． 【跟踪专练1】将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动，最终停在黑色方砖上的概率为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，激光打靶游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人用激光枪向打靶游戏板发射激光一次（光点落在游戏板上），则光点落在涂色部分的概率是______． 【跟踪专练3】如图，公园广场上铺设的图案是由五个过同一点且半径不同的圆组成，阴影部分涂成了彩色．小明在规定的地点随意向图案内投掷毽子，毽子都能落在图案内，经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是，，，已知最大圆的半径是1，则阴影区域的总面积为（     ） A． B． C． D． 题型2.列举法求概率 【典例】在如下电路图中，随机闭合开关，，中的两个，灯泡发亮的概率是_______． 【跟踪专练1】下面是四张以我国“四大发明”为主题的纪念卡片，将它们背面朝上放在桌面上（卡片背面完全相同）．若从中随机抽取两张，求抽到的两张纪念卡片恰好是“火药”和“指南针”的概率是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中有五个点，分别是从中任选一个点恰好在第二象限的概率是_________． 【跟踪专练3】从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 题型3.列表发或树状图法求概率 【典例】有张正面分别标有数字，，，的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，数记为，不放回，再从剩余卡片中随机抽取一张，数记为，则使能被整除的概率为______． 【跟踪专练1】为激发学生对科技的浓厚兴趣，弘扬科学精神，某校开展了“机器人科普讲座”活动，需要两名志愿者维持秩序，准备从甲、乙、丙三人中随机抽取，则甲、乙同时被抽中的概率为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】小王设计一种游戏，2张卡片上各画1只羊，另2张卡片上各画1只猴，从这4张卡片中第一次随机抽取1张后重新放回，第二次再随机抽取1张，两张抽取的卡片画面不同的概率是______． 【跟踪专练3】从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下： 那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是（     ） A． B． C． D． 题型4.游戏公平性 【典例】袋中有形状、大小都相同的8个球，上面依次写着2、3、4、5、6、7、8、9八个数字，小刚和小明两人玩摸球游戏，下面规则中对双方都公平的是（   ） A．任意摸一球，摸到质数小刚胜，摸到合数小明胜 B．任意摸一球，摸到2的倍数小刚胜，摸到3的倍数小明胜 C．任意摸一球，小于5小刚胜，大于5小明胜 D．任意摸一球，小于6小刚胜，大于6小明胜， 【跟踪专练1】冰冰和雪雪做掷两个筹码的游戏，其中一个两面都写有8，另一个一面写有8，另一面写有9．游戏规则如下：两人各持一个筹码同时掷出，如果掷出一对8，雪雪获胜；如果掷出一个8和一个9，冰冰获胜．你认为这个游戏________（填“公平”或“不公平”）． 【跟踪专练2】在的两个空格口中，任意填上“”或“”．若运算结果是3，则丽丽获胜，否则颖颖获胜．这个游戏对双方__________（填“公平”或“不公平”）． 题型5.概率随机事件平均发生次数 【典例】已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是_________． 【跟踪专练1】事件发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每100次实验，事件发生的次数是_______ 【跟踪专练2】在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 【跟踪专练3】在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 题型6.概率在保险业中的应用 【典例】某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 【跟踪专练1】某险种的基本保险费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，保险公司规定：续保人本年度的保险费与其上年度出险次数有关，具体规定如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 本年度保险费（元） 小明随机调查了该险种的100名续保人在上年度的出险情况，得到如下尚不完整的统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 频数 30 30 m 15 10 5 (1)　　； (2)在这100名续保人中随机抽取1名续保人，求其本年度保险费不高于基本保险费的概率； (3)请估计续保人本年度保险费的平均值．（结果用含a的代数式表示） 题型7.概率在转盘抽奖中的应用 【典例】转动如图所示的转盘一次，指针指向阴影部分的概率为__________． 【跟踪专练1】某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是一个均匀的可以自由转动的转盘，被平均分成9等份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动如图所示的转盘，则小明转出的数字小于7的概率为________． 【跟踪专练3】2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 题型8.概率在比赛中的应用 【典例】足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【跟踪专练1】．某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 【跟踪专练2】体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 题型9.概率的其他应用 【典例】．某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，则作出决策为________（填“出海”、“不出海”）． 【跟踪专练1】小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（     ） A．抽到语文作业本的可能性最大 B．抽到数学作业本的可能性最小 C．抽到英语作业本的可能性最大 D．抽到物理作业本的可能性最大 【跟踪专练2】小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上各写下的数是__________． 【跟踪专练3】在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（    ） A． B． C． D． 题型10.求某事件的频率 【典例】一个袋子中有黑色、红色和黄色三种颜色的球，这些球除颜色外其他都相同，若从中任意摸出一球，记下颜色后再放回去，重复这样的试验600次，有120次摸出了黄球，则这次试验中随机摸出的一球为黄球的频率为_____． 【跟踪专练1】某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共10个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是（         ） A．6 B．5 C．4 D．3 【跟踪专练2】八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_________． 【跟踪专练3】某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2 B．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球 C．转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃 题型11.由频率估计概率 【典例】做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.47，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（     ） A．0.47 B．0.50 C．0.51 D．0.53 【跟踪专练1】某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如表所示： 射击总次数 10 20 50 100 200 500 1000 2000 击中靶心的频率 0.9 0.8 0.80 0.88 0.84 0.858 0.861 0.858 估计该运动员射击一次便命中靶心的概率为________．（保留小数点后两位） 【跟踪专练2】如图，为测量一个“福”字的面积，某同学将该“福”字贴在一个面积为的正方形内，现将米随机撒到贴有“福”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“福”字区域的频率稳定在常数附近，由此可估计这个“福”字的面积是______． 【跟踪专练3】如图1，欢欢将自己的微信付款码打印在边长为的正方形纸上，为了估计图中黑色部分的面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，记录该点落在黑色部分上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计图中黑色部分面积约为（     ）． A． B． C． D． 题型12.频率估计概率的应用 【典例】某同学在抛掷硬币的试验中做了次，得到正面朝上的频率为，则出现正面朝上的次数是（    ） A．180 B．200 C．450 D．220 【跟踪专练1】在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共5只，学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是试验进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 1000 摸到白球的次数 58 118 183 295 604 摸到白球的频率 请估计：当很大时，摸到白球的概率将会接近________（结果精确到）． 【跟踪专练2】一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中红球的个数为_________． 【跟踪专练3】小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上的频数 53 98 156 202 249 若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（    ） A．200 B．300 C．400 D．500 解答题 1．深空探测是人类探索宇宙的重要窗口，中国航天事业不断突破，从“天问”探火到“天宫”遨游（图1），彰显了大国科技实力．如图2，一圆环被4条线段等分成4个区域，现有火星探测模型和空间站模型各一个，将这两个模型随机放在任意两个不同区域内． (1)火星探测模型放在区域①的概率是______； (2)求火星探测模型和空间站模型放在相邻两个区域的概率（请用树状图或列表法表示）． 2．小明每天骑自行车上学，都要通过安装有红、绿灯的3个十字路口．假设每个路口红灯和绿灯亮的时间相同． (1)小明从家到学校，求通过前2个十字路口时都是绿灯的概率（请用“画树状图”或“列举”等方法给出分析过程）； (2)小明从家到学校，通过这3个十字路口时至少有2个绿灯的概率为 ．（请直接写出答案） 3．一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 4．某公园游乐场为了增加趣味性，精心设计了一款独具创意的转盘（转盘被等分成8个扇形）游戏，命名为“开心大转盘”，游戏规则如下：参与者可随心转动转盘，指针指向“A”区，参与者需支付2元费用；指针指向“B”区，参与者可获得3元奖励；指针指向“C”区，参与者可获得1元奖励．某天，参与游戏的人共转动转盘80次，你认为这一天针对该转盘游戏游乐场盈利了还是亏损了？为什么？ 5．放暑假前，为了加强学生的安全教育，七年级举办了“防溺水安全”的主题班会，为了激发学生参与热情，王老师制作了一个可以自由转动的转盘，并规定：学生每答对一道题即可获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，若指针正好对应一等奖、二等奖或三等奖，即可获得对应奖品一份．（转盘被平均分成8个扇形）． (1)七（1）班的小艺参与活动并答对1道题，求她获得一等奖的概率； (2)七（2）班的小诚也答对了1道题，求他获奖的概率． 6．为弘扬中华传统文化，学校准备开展“国学知识挑战赛”．张老师将7张写有“成语故事”和若干张写有“国学常识”的卡片放入一个不透明的盒子中，这些卡片除上面的字不同外，其余完全相同．七年级学生想知道盒子中“国学常识”的卡片数量，于是他们将卡片搅匀后从中任意摸出1张卡片，记下卡片上面的字后放回，不断重复上述过程，获得数据如表： 摸卡次数 50 100 150 200 250 300 摸到“国学常识”的卡片次数 16 29 46 60 b 90 摸到“国学常识”的卡片频率 0.32 0.29 0.31 a 0.30 0.30 (1)填空：表中________（保留两位小数），________； (2)根据表中数据，估计从盒子中任意摸出一张卡片摸到“国学常识”卡片的概率（保留一位小数）． 7．某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14概率的进一步认识暑假预习讲义 1. 方法掌握：熟练运用列表法、树状图法，完整列举两步、多步随机试验的全部等可能结果，做到结果不重复、不遗漏。 2. 场景辨析：精准区分放回试验与不放回试验，摸球、抽卡片题型中，根据抽取规则正确罗列所有结果，避免两类场景混淆出错。 3. 概率计算：熟记等可能事件概率公式，结合树状图、统计表统计总结果数与目标事件结果数，规范计算事件概率；掌握配紫色、掷骰子、抛硬币、转盘等经典题型解法。 4. 公平判定：借助概率数值判断游戏公平性，双方事件概率相等则游戏公平，概率不等则不公平；能根据要求调整规则设计公平游戏。 5. 频率认知：理解频率与概率的区别和联系，明确单次试验频率具有波动性，大量重复试验后频率会稳定于概率附近。 6. 估算应用：学会利用稳定的频率估算随机事件概率，结合该方法估算总体数量，解决种群数量、产品合格率等实际统计问题。 7. 模拟试验：简单了解随机模拟试验思路，知晓可用试验方式估算无理论公式事件的概率。 8. 易错规避：列举结果时忽略先后顺序、放回与不放回场景搞混；误将少量试验频率等同于概率；计算概率时分母分子颠倒。 9. 素养铺垫：建立随机观念、数据分析思想，区分确定事件与随机事件，为高中概率统计内容筑牢基础。 预习必备 知识梳理 1.概率的计算 2.频率的稳定性 3.用频率估计概率 4.频率与概率的区别与联系 5.用列举法求概率 6.几何概率 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1几何概率. 2.列举法求概率 3.列表发或树状图法求概率 4.游戏公平性 5.概率随机事件平均发生次数 6.概率在保险业中的应用 7.概率在转盘抽奖中的应用 8.概率在比赛中的应用 9.概率的其他应用 10.求某事件的频率 11.由频率估计概率 12.频率估计概率的应用 强化题型 解答题7题 知识点01：概率的计算 （1）公式法 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)= （2）列表法 当一次试验要涉及两个因素 (例如掷两个骰子) 并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. （3）画树状图 当一次试验要涉及 3 个或更多的因素 (例如从 3 个口袋中取球) 时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图. （4）几何概型 一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)=，解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算. （5） 游戏公平性 判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平. 知识点02：频率的稳定性 1. 相关定义 1）频率：在相同条件下重复进行n次试验，事件A发生m次， 事件A发生的频率= 特点：频率依托试验产生，具有随机性，试验次数不同，频率一般不同。 2）概率：刻画随机事件发生可能性大小的固定常数，是事件本身固有的属性，不随试验改变。 2. 频率的稳定性（课本核心定理） 在大量重复试验中，如果试验条件保持不变，随着试验次数不断增大，随机事件发生的频率将会稳定在某个常数附近，这个规律叫做频率的稳定性。 解读：试验次数较少时，频率波动幅度很大；试验次数越多，波动幅度越小，频率越靠近概率。 3. 频率与概率全面对比表 对比维度 频率 概率 本质属性 通过试验统计得到的试验值 事件本身自带的理论常数 与试验次数关系 受试验次数影响，次数少波动大；次数越大越稳定 与试验次数无关，数值固定不变 获取方式 动手重复试验统计得出 理论计算或大量重复试验估计 相互联系 试验次数足够大时，频率稳定于概率，可用频率近似代表概率 知识点03：用频率估计概率 1. 适用场景 当随机试验的所有结果不具备等可能性，无法用列表法、树状图求出理论概率时，我们利用大量重复试验，用稳定后的频率估计概率。 典型例子：种子发芽率、产品次品率、篮球运动员投篮命中率、不规则几何体落地朝向。 2. 核心结论 在相同条件下进行大量重复试验，当频率逐渐稳定后，可以用这个稳定的频率作为事件发生概率的近似值。 P(A)稳定后的频率 3. 重要注意事项 ① 所有试验必须在完全相同的条件下开展； ② 少量试验的频率不能用来估计概率，只有试验次数足够多，频率才会稳定； ③ 通过频率估计得到的概率是近似值，不是精确理论值。 4. 两大常用拓展计算模型 （1）估算事件发生次数： 预计发生次数=总试验次数估计概率 （2）估算总体数量（抽样调查题型）： 总体数量= 知识点04：频率与概率的区别与联系 知识点 05 用列举法求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率。 （1） 直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2） 列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素。 知识点 6几何概率（几何概型） 1. 几何概率定义 一般地，如果试验的结果有无限多个，并且每个结果出现的可能性大小相等，所有结果均匀分布在线段、平面、扇形等几何区域内，我们利用几何图形的长度、面积、角度的比值计算随机事件发生的概率，这类概率称为几何概率。 2. 几何概率通用公式 P(A)= 度量可对应线段长度、平面图形面积、扇形圆心角度数。 3. 三类常见几何概率模型 （1）线段型：(P(A)= （2）面积型（覆盖率）：P(A)= （3）转盘扇形型：P(A)= 4. 几何概率核心前提 ① 试验结果有无穷多个； ② 落点均匀分布，任意区域可能性与区域度量成正比。 知识点7高频易错点汇总 · 混淆有放回、无放回试验，列举结果时重复或遗漏； · 不等面积转盘直接按颜色计算概率，忽略 “等可能” 前提； · 错误认为：几次试验算出的频率就是事件的概率； · 三步及以上试验误用列表法，造成解题失误； · 判断游戏公平性只凭主观感受，不计算概率对比； · 分不清 “同时抽取两个” 与 “先后不放回抽取” 的内在联系； · 计算概率后忘记约分，答题格式不规范。 题型1几何概率. 【典例】一只蚂蚁在如图所示边长为2的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为______． 【答案】 【详解】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的， 即蚂蚁停在阴影部分的概率为． 【跟踪专练1】将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动，最终停在黑色方砖上的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每块小方砖的边长为1，先求出整个地砖的面积、黑色方砖的面积，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：设每块小方砖的边长为1， 由图可知，整个地砖的面积为，黑色方砖的面积为， 所以最终停在黑色方砖上的概率为． 【跟踪专练2】如图，激光打靶游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人用激光枪向打靶游戏板发射激光一次（光点落在游戏板上），则光点落在涂色部分的概率是______． 【答案】 【分析】根据图形平移的性质可得出涂色部分为八个正方形，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：如图，将中间涂色部分向右平移即可发现涂色部分共为八个正方形，游戏板总共有十六个正方形， ∴光点落在涂色部分的概率是． 【跟踪专练3】如图，公园广场上铺设的图案是由五个过同一点且半径不同的圆组成，阴影部分涂成了彩色．小明在规定的地点随意向图案内投掷毽子，毽子都能落在图案内，经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是，，，已知最大圆的半径是1，则阴影区域的总面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出整个图案的面积，再求出落在阴影区域内的总概率，最后根据几何概率公式可得答案． 【详解】解：∵最大圆的半径为1， ∴整个图案的面积为， ∵经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是，，， ∴落在阴影区域内的总概率为， ∴阴影区域的总面积为． 题型2.列举法求概率 【典例】在如下电路图中，随机闭合开关，，中的两个，灯泡发亮的概率是_______． 【答案】 【分析】根据随机闭合开关，，中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光，即可求解． 【详解】解：随机闭合开关，，中的两个，可以闭合、；、；，三种情况， 其中闭合、或、时，灯泡可以发光， ∴能够让灯泡发亮的概率是． 【跟踪专练1】下面是四张以我国“四大发明”为主题的纪念卡片，将它们背面朝上放在桌面上（卡片背面完全相同）．若从中随机抽取两张，求抽到的两张纪念卡片恰好是“火药”和“指南针”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用列举法求概率即可. 【详解】解：用A，B，C，D分别表示四张纪念卡片，随机抽取两张，共有，共6种等可能的结果，其中抽到的两张纪念卡片恰好是“火药”和“指南针”的结果只有1种， ∴. 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中有五个点，分别是从中任选一个点恰好在第二象限的概率是_________． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，第二象限的点坐标的特征．熟练掌握列举法求概率，第二象限的点坐标的特征是解题的关键． 由题意知，在第二象限，然后求概率即可． 【详解】解：由题意知，在第二象限， ∴任选一个点恰好在第二象限的概率是， 故答案为：． 【跟踪专练3】从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了概率计算以及三角形三边关系，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比；组成三角形的两条小边之和大于最大的边． 由4条线段中任意取3条，是一个列举法求概率问题，是无放回的问题，共有4种可能结果，每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有3个结果．因而就可以求出概率． 【详解】解：由4条线段中任意取3条，共有4种可能结果， 分别为：2，3，4；2，3，5；3，4，5；2，4，5； 每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有2，3，4；3，4，5；2，4，5；共3个结果， 所以P（能组成三角形）． 故选：A． 题型3.列表发或树状图法求概率 【典例】有张正面分别标有数字，，，的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，数记为，不放回，再从剩余卡片中随机抽取一张，数记为，则使能被整除的概率为______． 【答案】 【分析】先画出树状图，则可得从中随机抽出两张卡片的所有等可能的结果，再找出使能被整除的结果，然后利用概率公式计算即可． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从中随机抽出两张卡片共有种等可能的结果，其中，使能被整除的结果有4种， 则使能被整除的概率为． 【跟踪专练1】为激发学生对科技的浓厚兴趣，弘扬科学精神，某校开展了“机器人科普讲座”活动，需要两名志愿者维持秩序，准备从甲、乙、丙三人中随机抽取，则甲、乙同时被抽中的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：两种方法： ①根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，所有可能出现的结果共有6种，并且它们出现的可能性相等，甲、乙同时被抽中（记为事件A）的结果有2种， ∴． ②用列表法，如下表所示： 第一名第二名 甲 乙 丙 甲 —— （乙，甲） （丙，甲） 乙 （甲，乙） —— （丙，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） —— 由上表可知，所有可能出现的结果共有6种，并且它们出现的可能性相等，甲、乙同时被抽中（记为事件A）的结果有2种， ∴． 【跟踪专练2】小王设计一种游戏，2张卡片上各画1只羊，另2张卡片上各画1只猴，从这4张卡片中第一次随机抽取1张后重新放回，第二次再随机抽取1张，两张抽取的卡片画面不同的概率是______． 【答案】 【分析】列表或树状图将所有等可能的结果全部列举出来，用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 羊1 羊2 猴A 猴B 羊1 1，1 1，2 1，A 1，B 羊2 2，1 2，2 2，A 2，B 猴A A，1 A，2 A，A A，B 猴B B，1 B，2 B，A B，B 由列表得：共有16种等可能的结果，两次抽取的卡片画面不同的有8种， 故两张抽取的卡片画面不同的概率是． 【跟踪专练3】从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下： 那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据树状图分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【详解】解：由树状图得：两次抽签的所有可能结果一共有9种情况， 一根标有A，一根标有C的有A，C与C，A两种情况， 一根标有A，一根标有C的概率是． 题型4.游戏公平性 【典例】袋中有形状、大小都相同的8个球，上面依次写着2、3、4、5、6、7、8、9八个数字，小刚和小明两人玩摸球游戏，下面规则中对双方都公平的是（   ） A．任意摸一球，摸到质数小刚胜，摸到合数小明胜 B．任意摸一球，摸到2的倍数小刚胜，摸到3的倍数小明胜 C．任意摸一球，小于5小刚胜，大于5小明胜 D．任意摸一球，小于6小刚胜，大于6小明胜， 【答案】A 【分析】本题考查游戏公平性的判断，判断游戏规则是否公平，就要计算每个参与者取胜的可能性，可能性相等就公平，否则就不公平． 看游戏规则是否公平，主要看双方是否具有均等的机会，如果机会是均等的，那就公平，否则，则不公平；据此逐项分析后再选择． 【详解】解：A、质数有：2、3、5、7共4个，合数有：4、6、8、9共4个，双方的机会是均等的，所以说这个游戏规则对双方都公平； B、2的倍数有：2、4、6、8共4个，3的倍数有：3、6、9共3个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小明不公平； C、小于5的数有：2、3、4共3个，大于5的数有：6、7、8、9共4个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小刚不公平； D、小于6的数有：2、3、4、5共4个，大于6的数有：7、8、9共3个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小明不公平． 故选：A． 【跟踪专练1】冰冰和雪雪做掷两个筹码的游戏，其中一个两面都写有8，另一个一面写有8，另一面写有9．游戏规则如下：两人各持一个筹码同时掷出，如果掷出一对8，雪雪获胜；如果掷出一个8和一个9，冰冰获胜．你认为这个游戏________（填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【分析】本题考查了用列举法求事件的概率，游戏的公平性，正确理解题意是关键．通过列表列举所有可能结果，计算双方获胜概率，并比较概率是否相等来判断游戏公平性． 【详解】解：根据题意，列表如下： 由表可知，共有4种等可能的结果，其中掷出一对8的结果有2种，掷出一个8和一个9的结果有2种， ， 因此游戏公平． 故答案为：公平． 【跟踪专练2】在的两个空格口中，任意填上“”或“”．若运算结果是3，则丽丽获胜，否则颖颖获胜．这个游戏对双方__________（填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【分析】本题主要考查了有理数加减运算、简单概率计算等知识，正确计算两人获胜的概率是解题关键．根据题意，可知共有4种运算结果，其中运算结果是3的有2种，结果不为3的有2种，然后分别计算两人获胜概率，比较即可获得答案． 【详解】解：根据题意，在的两个空格口中，任意填上“”或“”， 可有4种结果，如下所示： ，，，， 其中运算结果是3的有2种，结果不为3的有2种， 所以丽丽获胜的概率为，颖颖获胜的概率为， 又因为， 所以，这个游戏对双方公平． 故答案为：公平． 题型5.概率随机事件平均发生次数 【典例】已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了已知概率求数量，掌握概率的意义是解题的关键．根据概率的意义直接计算即可. 【详解】解：该运动员比赛中罚球投中的概率是， 若有次罚球机会，则他估计能投中的次数是（次）． 故答案为：． 【跟踪专练1】事件发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每100次实验，事件发生的次数是_______ 【答案】25 【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案． 【详解】解：事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是25， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1之间． 【跟踪专练2】在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可． 【详解】设瓶子中有豆子粒豆子， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：估计瓶子中豆子的数量约为粒． 故选：． 【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法． 【跟踪专练3】在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 【答案】B 【分析】本题考查了概率的定义，列举法等知识，结合选项，利用排除法求解即可． 【详解】假设两人第一次都摸到红球，若第二次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第二次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故A、C都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小星先摸球，则小星先摸到2个红球，所以一定是小星获胜，故B正确；若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第四次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故D不正确． 故选：B． 题型6.概率在保险业中的应用 【典例】某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 【答案】 【分析】根据保险公司不亏本的条件，总保险费需不小于失事时的期望赔偿金额，通过建立不等式化简求解每位乘客的最低保险费． 【详解】解：设保险公司应向每位乘客收取x元保险费， 由题意得：， 解得：， 所以保险公司应向每位乘客至少收取元保险费才能保证不亏本． 【跟踪专练1】某险种的基本保险费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，保险公司规定：续保人本年度的保险费与其上年度出险次数有关，具体规定如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 本年度保险费（元） 小明随机调查了该险种的100名续保人在上年度的出险情况，得到如下尚不完整的统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 频数 30 30 m 15 10 5 (1)　　； (2)在这100名续保人中随机抽取1名续保人，求其本年度保险费不高于基本保险费的概率； (3)请估计续保人本年度保险费的平均值．（结果用含a的代数式表示） 【答案】(1)10 (2) (3)元 【分析】本题主要考查了频数分布表，求概率，求平均数： （1）用100减去出险次数为0，1，3，4，的频数，即可求出m的值； （2）求出本年度保险费不高于基本保险费的频数，再根据概率公式计算即可； （3）根据平均数的公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：10； （2）解：本年度保险费不高于基本保险费的频数为：， ∴其本年度保险费不高于基本保险费的概率； （3）解：续保人本年度保险费的平均值（元）． 题型7.概率在转盘抽奖中的应用 【典例】转动如图所示的转盘一次，指针指向阴影部分的概率为__________． 【答案】 【分析】由题目已知条件可知，本题考查几何概率问题，可利用面积所占比率解答本题 【详解】由题目可知，转盘被均匀分成8等份，其中阴影部分占4等份 故指向阴影部分概率为： 【点睛】本题考查几何概率，只需求出部分面积占总体面积之比即可解答 【跟踪专练1】某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图进而可得答案． 【详解】解：转动转盘1次，获得一袋橘子的概率为，获得一袋苹果的概率为，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图如下： ∴转动转盘2次，共9种情况，其中苹果和橘子都获得的有4种情况， ∴转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是， 故选：D． 【跟踪专练2】如图是一个均匀的可以自由转动的转盘，被平均分成9等份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动如图所示的转盘，则小明转出的数字小于7的概率为________． 【答案】 【分析】转盘被平均分成9等份，共有9种等可能结果，小于7的数字有6个，利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字， ∴共有9种等可能的结果， ∵小于7的数字有1，2，3，4，5，6，共6个， ∴小明转出的数字小于7的概率为． 【跟踪专练3】2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 【答案】 【详解】解：指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，结果有“骐骐”，“骥骥”，“驰驰”，“骋骋”，共4种等可能的结果，其中指针仍回到“骥骥”所在区域的结果为1种， ∴指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为． 题型8.概率在比赛中的应用 【典例】足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【答案】C 【分析】本题考查的简单随机事件的概率，掷硬币是一种随机事件，正面和反面出现的概率相等，均为，从而确保双方机会均等，体现公平性． 【详解】∵抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的可能性相同，概率均为， ∴这种方法使比赛双方在场地和发球权的选择上具有同等机会，因此主要原因是体现比赛的公平性． 故选：C． 【跟踪专练1】．某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 【答案】 【分析】先列出乙队所有等可能的出场顺序，再找出乙队获胜的情况，根据概率公式计算结果即可． 【详解】解：甲队出场顺序固定为快、中、慢，对乙队出场顺序进行排列，所有等可能的结果共种，分别为快中慢、快慢中、中快慢、中慢快、慢快中、慢中快． 根据比赛规则，乙队要获得三局两胜，必须满足：乙队慢速舟对甲队快速舟（输一局），乙队快速舟对甲队中速舟（赢一局），乙队中速舟对甲队慢速舟（赢一局），仅有一种排列顺序满足获胜条件，因此乙队获胜的概率为． 【跟踪专练2】体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的计算，根据题意，计算出每一轮比赛队伍的支数，然后求出每一轮抽到轮空概率，结合赢得总决赛的概率，算得答案即可． 【详解】解：∵所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式， ∴第一轮共有17支队伍，第二轮共有9支队伍，第三轮共有5支队伍，第四轮共有3支队伍， ∴第一轮抽中轮空概率为，第二轮抽中轮空概率为，第三轮抽中轮空概率为，第四轮抽中轮空概率为， ∵赢得总决赛概率为， ∴那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为：． 故选：B． 题型9.概率的其他应用 【典例】．某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，则作出决策为________（填“出海”、“不出海”）． 【答案】出海 【分析】利用概率算出获得收益的平均值比较即可． 【详解】解：预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，， 下月是好天气的可能性坏天气的可能性； 又若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费， 出海的话，获得平均收益（获得收益的数学期望）（元， 不出海：（元， ， 船队队长作出决策为：出海． 故答案为：出海． 【点睛】本题主要考查概率的实际应用，能够通过概率算出平均收获是解题关键． 【跟踪专练1】小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（     ） A．抽到语文作业本的可能性最大 B．抽到数学作业本的可能性最小 C．抽到英语作业本的可能性最大 D．抽到物理作业本的可能性最大 【答案】A 【分析】求出抽到每种作业本的概率，再比较大小即可． 【详解】解：∵总共有8个作业本，其中语文3本，数学2本，英语2本，物理1本， ∴， ， ， ， ∵， ∴抽到语文作业本的可能性最大，抽到物理作业本的可能性最小， ∴因此选项A正确，选项B，C，D错误． 【跟踪专练2】小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上各写下的数是__________． 【答案】2，3，3，5或2，3，4，4 【分析】首先假设这四个数字分别为：A，B，C，D且A≤B≤C≤D，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：四个数只能是2，3，3，5或2，3，4，4 理由：设这四个数字分别为：A，B，C，D且A≤B≤C≤D， 故A+B=5，C+D=8， （1）当A=1时，得B=4， ∵A≤B≤C≤D， ∴B=C=D=4，不合题意舍去，所以A≠1， （2）当A=2时，得B=3， （I）当C=B=3时，D=5， （II）当C＞B时，∵A≤B≤C≤D， ∴C=D=4， 故综上所述：这四个数只能是：2，3，3，5或2，3，4，4． 故答案为：2，3，3，5或2，3，4，4． 【点睛】此题主要考查了应用类问题，利用分类讨论得出是解题关键． 【跟踪专练3】在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意模拟骰子的翻动过程，可以得到最后骰子朝上的点数所有的可能性和点数为2的基本事件的个数，代入概率公式即可． 【详解】设三行三列的方格棋盘的格子坐标为，其中开始时骰子所处的位置为，则图题（2）所示的位置为，则从到且次数翻动最少，共有6种走法，最后骰子朝上的点数分别为2，5，1，5，3，2，故最后骰子朝上的点数为2的概率为，故选C． 【点睛】本题主要考查概率，根据已知条件计算出骰子朝上的点数所有的基本事件和满足条件的基本事件个数是关键． 题型10.求某事件的频率 【典例】一个袋子中有黑色、红色和黄色三种颜色的球，这些球除颜色外其他都相同，若从中任意摸出一球，记下颜色后再放回去，重复这样的试验600次，有120次摸出了黄球，则这次试验中随机摸出的一球为黄球的频率为_____． 【答案】 【详解】解：由题意可知，这次试验中随机摸出的一球为黄球的频率为． 【跟踪专练1】某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共10个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是（         ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】解：∵随机摸出的5个球中，有3个是红球， ∴摸到红球的频率为， ∵袋中共有10个球， ∴估计袋中红球的个数为（个）． 【跟踪专练2】八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用、频率的概念等知识点，根据题意列出代数式即可解答． 先求出参加扎染社团的学生数，然后除以全班总人数即可解答． 【详解】解：参加扎染社团的学生数为：， 八年级2班学生参加扎染社团的频率是． 故答案为． 【跟踪专练3】某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2 B．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球 C．转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃 【答案】B 【分析】本题考查的是求频率； 先分别求解各选项事件出现的频率，再结合题干信息可得答案． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2的频率为； B、从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球的频率为； C、转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数的频率为； D、从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃的频率为； 由图可知当试验次数很多时，频率稳定在， ∴B符合题意， 故选：B． 题型11.由频率估计概率 【典例】做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.47，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（     ） A．0.47 B．0.50 C．0.51 D．0.53 【答案】A 【详解】解：抛掷同一枚啤酒瓶盖次为大量重复试验，已知“凸面向上”的频率约为， 可估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为． 【跟踪专练1】某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如表所示： 射击总次数 10 20 50 100 200 500 1000 2000 击中靶心的频率 0.9 0.8 0.80 0.88 0.84 0.858 0.861 0.858 估计该运动员射击一次便命中靶心的概率为________．（保留小数点后两位） 【答案】 【分析】在大量重复试验中，频率的稳定值即为概率值，据此结合表格中的数据可得答案． 【详解】解：由表格数据可知，当射击次数不断增大，击中靶心的频率稳定在附近，因此估计该运动员射击一次命中靶心的概率为． 【跟踪专练2】如图，为测量一个“福”字的面积，某同学将该“福”字贴在一个面积为的正方形内，现将米随机撒到贴有“福”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“福”字区域的频率稳定在常数附近，由此可估计这个“福”字的面积是______． 【答案】 【分析】设这个“福”字的面积是，由题意可得，然后解方程即可． 【详解】解：设这个“福”字的面积是， 由题意可得， 解得， ∴这个“福”字的面积是． 【跟踪专练3】如图1，欢欢将自己的微信付款码打印在边长为的正方形纸上，为了估计图中黑色部分的面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，记录该点落在黑色部分上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计图中黑色部分面积约为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据频率估计概率得到点落在黑色部分上的概率为，利用正方形纸的面积乘以即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，点落在黑色部分上的频率约为，即点落在黑色部分上的概率为， ∴图中黑色部分面积约为． 题型12.频率估计概率的应用 【典例】某同学在抛掷硬币的试验中做了次，得到正面朝上的频率为，则出现正面朝上的次数是（    ） A．180 B．200 C．450 D．220 【答案】A 【分析】本题考查频率与频数的关系，根据“频数试验总次数频率”的公式即可计算出正面朝上的次数． 【详解】解：∵频数试验总次数频率， 又∵试验总次数为，正面朝上的频率为， ∴正面朝上的次数， 故选：． 【跟踪专练1】在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共5只，学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是试验进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 1000 摸到白球的次数 58 118 183 295 604 摸到白球的频率 请估计：当很大时，摸到白球的概率将会接近________（结果精确到）． 【答案】 【分析】当试验次数足够大时，摸到白球的频率会逐渐稳定在某一数值附近，该数值可作为摸到白球概率的估计值． 【详解】解：观察表格中的数据可得，当逐渐增大时，摸到白球的频率逐渐稳定在附近，因此当很大时，摸到白球的概率将会接近． 【跟踪专练2】一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中红球的个数为_________． 【答案】21 【分析】设盒子中红球的个数为n个，根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，再根据概率公式计算即可； 【详解】设盒子中红球的个数为n个， 根据题意得， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ∴盒子中红球的个数为21个． 故答案是21． 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，概率公式的应用，准确计算是解题的关键． 【跟踪专练3】小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上的频数 53 98 156 202 249 若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（    ） A．200 B．300 C．400 D．500 【答案】D 【分析】随着实验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近， 所以抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近1000×0.5=500次， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率可以估计概率，难度不大． 解答题 1．深空探测是人类探索宇宙的重要窗口，中国航天事业不断突破，从“天问”探火到“天宫”遨游（图1），彰显了大国科技实力．如图2，一圆环被4条线段等分成4个区域，现有火星探测模型和空间站模型各一个，将这两个模型随机放在任意两个不同区域内． (1)火星探测模型放在区域①的概率是______； (2)求火星探测模型和空间站模型放在相邻两个区域的概率（请用树状图或列表法表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接概率公式作答即可； （2）画出树状图，列举出所有等可能的情况，并找出符合题意的情况数，进而根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵一圆环被4条线段等分成4个区域， ∴火星探测模型放在区域①的概率是 （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况数，其中火星探测模型和空间站模型放在相邻的两个区域有8种，则火星探测模型和空间站模型放在相邻的两个区域的概率是． 2．小明每天骑自行车上学，都要通过安装有红、绿灯的3个十字路口．假设每个路口红灯和绿灯亮的时间相同． (1)小明从家到学校，求通过前2个十字路口时都是绿灯的概率（请用“画树状图”或“列举”等方法给出分析过程）； (2)小明从家到学校，通过这3个十字路口时至少有2个绿灯的概率为 ．（请直接写出答案） 【答案】(1)解：设红灯为红，绿灯为绿， 列举通过前2个十字路口的所有等可能结果如下： 红红，红绿，绿红，绿绿 ∵共有4种等可能的结果，其中两个路口都是绿灯的结果有1种 ∴通过前2个十字路口时都是绿灯的概率为． (2) 【详解】（1）略 （2）解：画树状图如图，表示红灯，表示绿灯， ∵至少有2个绿灯的结果共有4种，总共有8种等可能结果 ∴通过3个十字路口时至少有2个绿灯的概率为． 3．一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 【答案】支 【分析】将集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段获得新图案平均需要购买的雪糕数，再求和得到总的平均购买数． 【详解】解 我们把集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段的平均购买数量再求和. 获得第一种不同图案阶段： 此时没有任何图案，买1支一定能得到第一种图案，该阶段平均需要买1支； 获得第二种不同图案阶段： 已经获得1种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 获得第三种不同图案阶段： 已经获得2种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 获得第四种不同图案阶段： 已经获得3种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 总平均购买次数为： （支）． 答：平均要买支雪糕才能得奖． 4．某公园游乐场为了增加趣味性，精心设计了一款独具创意的转盘（转盘被等分成8个扇形）游戏，命名为“开心大转盘”，游戏规则如下：参与者可随心转动转盘，指针指向“A”区，参与者需支付2元费用；指针指向“B”区，参与者可获得3元奖励；指针指向“C”区，参与者可获得1元奖励．某天，参与游戏的人共转动转盘80次，你认为这一天针对该转盘游戏游乐场盈利了还是亏损了？为什么？ 【答案】盈利了，理由见解析 【分析】本题考查概率的应用，根据几何概率的定义，面积比即概率．图中A，B，C所占的面积与总面积之比即为A，B，C各自的概率，算出相应的可能性，乘以钱数，比较即可． 【详解】解：盈利了． 理由如下： 游乐场收入：（元）． 游乐场支出：（元）． 因为，所以盈利了． 5．放暑假前，为了加强学生的安全教育，七年级举办了“防溺水安全”的主题班会，为了激发学生参与热情，王老师制作了一个可以自由转动的转盘，并规定：学生每答对一道题即可获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，若指针正好对应一等奖、二等奖或三等奖，即可获得对应奖品一份．（转盘被平均分成8个扇形）． (1)七（1）班的小艺参与活动并答对1道题，求她获得一等奖的概率； (2)七（2）班的小诚也答对了1道题，求他获奖的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，转盘被平均分成8个扇形，一等奖占一个， ∴小艺获得一等奖的概率； （2）解：由图可知，转盘被平均分成8个扇形，其中6个有奖品， ∴小诚获奖的概率． 6．为弘扬中华传统文化，学校准备开展“国学知识挑战赛”．张老师将7张写有“成语故事”和若干张写有“国学常识”的卡片放入一个不透明的盒子中，这些卡片除上面的字不同外，其余完全相同．七年级学生想知道盒子中“国学常识”的卡片数量，于是他们将卡片搅匀后从中任意摸出1张卡片，记下卡片上面的字后放回，不断重复上述过程，获得数据如表： 摸卡次数 50 100 150 200 250 300 摸到“国学常识”的卡片次数 16 29 46 60 b 90 摸到“国学常识”的卡片频率 0.32 0.29 0.31 a 0.30 0.30 (1)填空：表中________（保留两位小数），________； (2)根据表中数据，估计从盒子中任意摸出一张卡片摸到“国学常识”卡片的概率（保留一位小数）． 【答案】(1)，； (2)0.3 【分析】（1） 由频率=频数总次数，可分别求出和的值． （2） 观察表中频率随摸卡次数增大的变化趋势，当试验次数足够大时频率趋于稳定，该稳定值即为概率的估计值． 【详解】（1）解：频率， ， 第5列频率为0.30，摸卡次数为250， ． （2）解：观察表中频率数据： 0.32，0.29，0.31，0.30，0.30，0.30， 随着摸卡次数的增大，频率在0.3附近波动并趋于稳定， 估计从盒子中摸到“国学常识”卡片的概率为0.3． 7．某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 【答案】(1)，； (2)； (3)次 【分析】根据表格中数据求出、的值即可； 根据频率估计概率即可； 根据抽到“闪电”的概率，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，从而得出抽到“凌云”概率，再用乘以抽到“凌云”的概率即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由表可知抽到“闪电”的概率的估计值是， 故答案为：； （3）解：∵抽到“闪电”的概率为，抽到其他三种徽章的概率相同， ∴抽到“凌云”的概率为， ∴抽到“凌云”的次数为（次）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $