专题09 二次函数的应用暑假预习讲义2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题09 二次函数的应用 暑假预习讲义 ✺知识框架 基础支撑：二次函数解析式、开口方向、顶点最值、自变量取值范围 核心题型：几何面积最值、销售利润最值、抛物线实际轨迹应用 解题流程：实际情境 → 建立模型 → 限定范围 → 求解最值 → 检验作答 核心考向：函数建模、范围判定、区间最值、不合理解取舍 ✺学习目标 基础知识：掌握二次函数最值计算方法，熟记三类实际问题的标准建模思路。 能力提升：熟练列写函数解析式，精准确定自变量取值范围，规范求解区间最值。 综合素养：形成“先定范围、再求最值、结合实际检验”的规范解题思维。 ✺题型归纳 题型1.图形问题(实际问题与二次函数) 题型2.图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型3.拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型4.销售问题(实际问题与二次函数) 题型5.投球问题(实际问题与二次函数) 题型6.喷水问题(实际问题与二次函数) 题型7.增长率问题(实际问题与二次函数) 题型8.其他问题(实际问题与二次函数) 题型9.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、二次函数的应用解题步骤 ◉审题：梳理题干条件，明确最值求解目标； ◉设元：设定自变量与因变量，明确实际含义； ◉建模：根据数量关系，列写二次函数解析式； ◉求解：锁定自变量取值区间，判定顶点或端点最值； ◉作答：舍去无意义解，结合实际规范答题。 知识点二、三大核心应用模型 模型一：几何面积最值 ▲适用场景：适用于靠墙围栏、定长矩形等几何场景。 ▲解题思路：利用单一变量表示图形长宽，结合面积公式构建二次函数，根据边长为正、墙体长度限制等条件，求解最大面积。 模型二：销售利润最值 ▲适用场景：适用于商品涨跌价、销量随单价变化的场景。 ▲解题思路：：利用公式总利润=(单价−进价)×销售量，结合单价、销量为正的实际条件，求解最大利润。 模型三：抛物线轨迹应用 ▲适用场景：适用于拱桥、喷泉、投篮、抛体运动等轨迹场景。 ▲解题思路：建立平面直角坐标系，代入已知点坐标求解抛物线解析式，计算最大高度、水平射程等实际物理量。 知识点三、区间最值判定（重难点） ▲顶点横坐标在取值区间内：函数最值取顶点纵坐标 ▲顶点横坐标不在取值区间内：函数单调变化，最值取区间端点值 ✺题型精讲 题型1.图形问题(实际问题与二次函数) 1．如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】设，利用矩形的性质得到四边形周长，然后根据二次函数的性质解决问题． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴四边形周长， ∴当时，四边形周长有最大值，最大值为， 故选：C． 2．小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子设计稿，若，，则杯子的高的长为 _____． 【答案】 11 【分析】首先由求出D点的坐标为，然后根据，可知B点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 3．用长40米的篱笆围成一边靠墙（墙足够长）的矩形花圃，设垂直于墙的边长为x米，矩形面积为S平方米． (1)求S与x的函数关系式及自变量取值范围； (2)求S的最大值及对应x的值． 【答案】(1) (2)当时，的最大值为 【分析】（1）设垂直于墙的边长为x米，则米，则可得S与x的函数关系式，再利用线段的非负性，可得自变量取值范围； （2）利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：垂直于墙的边长为x米，则米， ， ， ， ； （2）解：， 所以当时，的最大值为． 题型2.图形运动问题(实际问题与二次函数) 1．在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： （1）当时，； （2）的最大面积为； （3）t只有一个值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由题意易得，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则， 当时，此时点M在边上， ∴， ∴，故（1）正确； 当时，过点M作于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 当时，的面积为最大，最大值为； 当时，过点M作于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴， 当时，的面积为最大，最大值为；故（2）错误； 当时，解得：（负根舍去），符合， 当时，解得：（负根舍去）， ∵， ∴，符合题意； ∴t有两个值满足的面积为，故（3）错误； 综上所述：正确的结论只有一个． 2．如图1，在正方形中，动点从点出发，沿的方向运动，当点到达点时停止运动，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，，设点的运动路程为，的面积为，图2表示的是关于的函数图象，已知点在的运动过程中，有最大值6，当点停止运动时，函数图象中的值为 _______． 【答案】48 【分析】本题考查二次函数的性质．旋转的性质，根据点在的运动过程中，得到与的二次函数关系，根据有最大值6，可得到正方形的边长；进而得到当运动到点时，的值，根据所给条件判断出正方形的边长是解决本题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，由旋转可得：点在的运动过程中，， ， ， 抛物线的开口方向向下，对称轴为：直线， 有最大值6， ， 解得：（取正值）， ， 当点停止运动时，点运动到点处，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，，如图： ， 四边形是正方形， ， ， 点、、在同一条直线上， ． 故答案为：48． 3．如图，在矩形中，，．动点P从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，设和矩形重叠部分的面积为S． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当点E落在边上时，求t的值； (3)求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意易得然后根据矩形的性质可进行求解； （2）由题意可知此时，然后问题可求解； （3）由题意可分和进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，， 由题意得：， ∴； （2）解：当点E落在边上时，则有， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3）解：由题意可分：①当时，设与分别交于点，如图所示： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 当时，此时在矩形的内部， ∴； 综上所述：S与t的函数关系式为． 题型3.拱桥问题(实际问题与二次函数) 1．如图，是某抛物线型拱桥横断面的示意图，正常水位时水面宽为，拱桥最高点到水面的距离为，当水位上升时，水面的宽为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，由此可得，，即可求函数解析式为，再将代入解析式，求出、点的横坐标即可求的长． 【详解】解：如图，以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 点到水面的距离为米， 、点的纵坐标为， 水面宽为米， ，， 将，代入， ， ∴ ， ∴， 水位上升米就达到警戒水位， 点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 【答案】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线解析式，然后代入即可求解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ， ∴水面宽度为米． 3．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽，涵洞顶点到水面的距离为，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 【答案】 【分析】设出解析式，待定系数法求出函数解析式即可. 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意，抛物线过点， ∴， ∴， ∴， 故抛物线的函数关系式是. 题型4.销售问题(实际问题与二次函数) 1．某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用总利润等于每件利润乘以销售量的关系，分别求出每件利润和实际销售量，即可推导得到函数关系式． 【详解】解：每件利润为元， 实际每天销售量为：， ∴． 2．道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 【答案】5 【分析】利用待定系数法可求出；设获得的利润为W元，根据总利润每千克的利润销售量列出W关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴； 设获得的利润为W元， 则 ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为2250， ∴这种干果每千克降价5元时，可获得最大利润． 3．某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：； ②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t（第t天） 1 2 10 20 …… 日销售量y（件） 119 118 110 100 …… (1)直接写出y与t之间的函数解析式； (2)设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果． 【答案】(1)（，为整数）； (2)；第50天的日利润最大，最大日利润为4900元； (3)51天． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）依据题意销售利润=销售量×（售价-进价）易得出销售利润为W（元）与t（天）之间的函数关系式， （3）根据销售利润为W（元）与t（天）之间的函数关系式，求出利润超过4000元的天数即可． 【详解】（1）解：∵销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系， ∴设y与的一次函数关系式为：， 将，代入得， ， 解得，， ∴； （2）解：根据题意得，， 当时， ， 当时， ， ∴， 当时， ， ∵， ∴当时，W随t的增大而增大，当时，W随t的增大而减小， 时，． 当时， ， ∵， ∴W随t的增大而减小， 时，． ∵， ∴第50天日利润最大，且最大日利润为4900元； （3）解：当时，， 令， ∴， ∴，， ∴符合题意； 当时，， 令， ∴， ∴时，符合题意， ∴当时，日利润不低于4000元， ∴共有：（天）． 题型5.投球问题(实际问题与二次函数) 1．如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：函数， ， 该函数图象开口向下，有最大值， 对称轴为， 将代入得：， 即小球速度的最大值为． 2．烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则最高点的高度为________米． 【答案】51 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．利用二次函数的顶点公式即可求最大值高度． 【详解】解：二次函数，顶点横坐标为， 代入得：． 故答案为：51． 3．中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； (3)在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 【答案】(1) (2)足球第二次落地点到点的距离为米 (3) 【分析】（1）当时，依题意得，设抛物线解析式为，代入，即可求解； （2），得出足球第一次落地点距点的距离为米，过点所在抛物线的顶点作的垂直平分线，交抛物线于点，则，令，进而求得，进而求得的长； （3）设球从点飞出到落到点的抛物线的解析式为，代入，得出，根据题意可得点，点，分别代入解析式，求得的范围，即可求解． 【详解】（1）解：当时，依题意得， 设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）令，则， 解得（舍去）， ∴足球第一次落地点距点的距离为米， 如图， ∵弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半， ∴过点所在抛物线的顶点作的垂直平分线，交抛物线于点， ， ∴令，则， 解得， 则， ， ∴足球第二次落地点到点的距离为米； （3）设球从点飞出到落到点的抛物线的解析式为， ∵抛物线过， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 又∵抛物线开口向下， ，即， ． 若球落在区域内（含点）， ，， 点，点， 当时，，解得， 当时，，解得， ． 题型6.喷水问题(实际问题与二次函数) 1．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 2．景区喷泉水柱如图建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 【答案】米 【分析】由题意易得该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，然后可得，当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度，进而问题可求解． 【详解】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系， ∴该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形通道， ∴矩形关于抛物线的对称轴对称， ∵通道宽为2米， ∴，即， ∵通道顶部到水柱的竖直距离均不小于2米， ∴，即， 即当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度， 当时，则有， ∴通道顶端到地面的最大高度为（米）． 3．政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【答案】(1)， (2)米 【分析】（1）抛物线经过，对称轴为直线，再由待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令，求出，即可求解半径． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； （2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 题型7.增长率问题(实际问题与二次函数) 1．最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是掌握增长率的公式． 已知初始值、年均增长率和增长年数、最终量，利用增长率模型公式即可求解． 【详解】解：由题意，年的市场规模为亿美元，年均增长率为，经过2024年和2025年共两年的增长． 第一年（年）：市场规模增长到． 第二年（年）：在第一年的基础上再增长，即． 因此，年的市场规模与年均增长率的函数关系为， 对应选项C． 其他选项中，A未包含初始值，B和D的表达式不符合增长率模型公式，故排除． 故选：C． 2．一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价． 根据题意列出函数解析式即可． 【详解】解：由题意得：两年后的价格为：， 故y与x的函数关系式是：． 故答案为：． 3．某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，求关于的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（涨价的百分率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据现在的价格等于原价乘以（涨价的百分率）的平方， 得：， 关于的函数关系式：． 题型8.其他问题(实际问题与二次函数) 1．成都低空经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度与时间满足二次函数，其图象如图所示．根据图象，下列说法错误的是（   ） A．该图象的对称轴是直线 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为 C．当时，该无人机飞行的高度为 D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是 【答案】C 【分析】先根据图象可得，和时，，即可求解对称轴，即可判断A；再将点代入求解抛物线表达式，继而进行判断B、C、D． 【详解】 解：由图象可得，和时，， ∴对称轴为直线，故A正确，不符合题意； 将点代入，则 解得 ∴抛物线表达式为， ∵， ∴当时，，故B正确，不符合题意； 当时，，故C错误，符合题意； 当时，则，解得或 ∴该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是，故D正确，不符合题意． 2．某汽车的紧急刹车距离（米）与车速（千米/小时）的关系是．如果前方25米处发生了事故，司机驾驶该车紧急刹车避免了碰撞，那么可以推测该车车速不超过_______千米/小时． 【答案】50 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出时的自变量的值即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，解得（负值舍去）； 故该车车速不超过50千米/小时． 故答案为：50 3．项目式学习 【项目主题】设计减速带之间的距离． 【项目背景】在校园、景区的道路中间，常常设置一些用于限制汽车速度的减速带，但是相邻减速带之间的距离不宜过大，也不宜过小，那么减速带之间的距离应该设置为多少较合适？数学兴趣小组以此为主题开展项目式学习． 【研究步骤】 ①査阅资料 数学兴趣小组查阅资料获知，在限速的情况下，汽车从一个减速带到另一个减速带之间需要经历先加速、再减速两个阶段，其中第一阶段汽车速度从（前一减速带）加速到，第二阶段从减速到（后一减速带），两个减速带之间的距离就是这两个阶段汽车行驶的路程之和． ②建立模型 经过物理老师的帮助，该兴趣小组确定了汽车在加速阶段行驶的路程，速度，其中v0为初始速度，a为加速度，t为行驶时间，在加速阶段． ③测量数据 数学兴趣小组利用秒表分别测量汽车加速过程中，速度达到所用的时间，并进行多次试验取平均值，得到表1信息： 表1 时间/s 0 1.5 3 4.5 6 速度/（） 0 10 20 30 40 ④整理数据 数学兴趣小组进一步把速度的单位进行转换，得到表2信息： 表2 时间/s 0 1.5 3 4.5 6 速度/（） 0 【解决问题】请你根据以上信息回答下列问题： (1)请你根据表2信息，求第一阶段v与t的函数关系式、s与t的函数关系式． (2)若第二阶段汽车行驶路程是第一阶段汽车行驶路程的，请计算相邻两个减速带之间的距离（结果精确到）． 【答案】(1)第一阶段与的函数关系式为，与的函数关系式为 (2)相邻两个减速带之间的距离约为 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）根据表中数据得到速度为时，，再代入函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，知第一阶段v与t的函数关系式为，s与t的函数关系式为． 将代入， 得， 解得． ∴第一阶段与的函数关系式为， 与的函数关系式为． （2）解：由题意，知当时，， 此时，即第一阶段汽车行驶的路程为． ∴第二阶段汽车行驶的路程为．． ∴相邻两个减速带之间的距离约为． ✺巩固测试 一、单选题 1．已知长方形的周长为，其中一条边长为，面积为，则与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据周长表示出长方形的另一边长，再根据面积长宽列出函数关系式．此题主要考查列二次函数关系式；得到长方形的另一边长是解决本题的易错点． 【详解】解：长方形的周长为，其中一边为， ∴， 长方形的另一边长为， 故选：D． 2．图1为苏州地标建筑“东方之门”，俗称“大秋裤”．如图2，门的内侧曲线为抛物线，以门的底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，门内侧曲线所在抛物线的函数表达式为，则下列说法错误的是（     ） A．门的最大高度为 B．门的底部宽度为 C．离地面处的门的水平宽度为 D．当门的水平宽度为时，门的高度为 【答案】C 【分析】以抛物线的解析式为基础，通过代入或解方程，分别验证每个选项里门的高度和水平宽度是否符合计算结果，从而找出错误选项． 【详解】解：选项：当，，即门的最大高度为，正确； 选项：，令可得，解得或，即点的坐标为，点的坐标为，故，正确； 选项：，令可得，解得或，故离地面处的门的水平宽度为，错误； 选项：当门的水平宽度为，此时，当，，即门的高度为，正确． 3．如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，动点问题与函数图象，含30度角直角三角形的性质，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：，， ∴． 如图，当点M在上运动时，，． 过点M作于点F． 在中，， ． ． 当点M在点A时，，即， 解得（负值已舍去）． ； 如图，当点M在AC上运动时，，． 过点M作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 故选：D． 二、填空题 4．某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价元时，日盈利为元．据此规律，在上述条件不变的情况下，求每件商品降价___________元时，超市的日盈利最大？ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用， 根据销售规律，建立日盈利w与降价x的二次函数关系，通过求二次函数最大值确定最优降价金额． 【详解】解：降价后每件盈利为元，日销售量为件， 故， 因二次项系数， 故函数有最大值， 当时，w最大． 故答案为：． 5．如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把代入，把结果与50比较即可． 【详解】解：把代入，得， ， 不能击中昆虫． 6．2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 【答案】 【分析】先求出点的横坐标为，设这条抛物线的表达式为，再利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：点的横坐标为， 设这条抛物线的表达式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴． 三、解答题 7．阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)、小、 (2)、大、5 (3)花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据阅读材料即可求解； （2）根据阅读材料即可求解； （3）根据矩形面积公式列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）当时，代数式有最小值； （2）代数式 当时，代数式有最大值5． （3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为，花园的面积为．根据题意，得 ，当时，有最大值32， 答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 8．某中学有500名学生在校就餐，因人数多就餐排队时间长，决定进行优化调整．经调研，发现放学后累计到达食堂的人数（人）随时间（分）的变化情况满足函数：． (1)放学几分钟后，全部学生都到达食堂？ (2)食堂计划调整方案，预期13分钟内完成全部出餐，且每个学生的排队时间不能超过5分钟．原方案和调整后方案如下表． 目前实施方案 调整方案 点餐 窗口 单个窗口 点餐 窗口 单个窗口 形式 数量 出菜速度 形式 数量 出菜速度 自由点菜 4个 5份/分钟 套餐选择 5个 8份/分钟 ①按原方案，等待点餐的学生最多达到多少人？ ②调整后，是否可以达到预期效果？如果可以，请说明理由；如果不行，请调整窗口个数，使之可以达到预期效果． 【答案】(1)10分钟 (2)①320人 ②可以达到预期效果 理由：， 可以在13分钟内完成全部出餐． 等待排队有名学生，则． 当（分钟）时，（人） ， 每个学生的排队时间不超过5分钟． 此方案可以满足预期效果． 【分析】（1）令，解方程求解即可； （2）①设等待排队有名学生，则，求函数的最值即可． ②设等待排队有名学生，则．求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 答：用时10分钟，全部学生到达食堂． （2）解：①设等待排队有名学生，则． ∵，抛物线开口向下， ∴当（分钟）时，（人）． ②略 9．某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，每天房间的出租率不低于，客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）的关系如下表： 客房日租金x（元） 160 170 180 190 客房出租数量y（间） 120 114 108 102 (1)观察表格中的数据，求出客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)设客房的日租金总收入为W（元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？ 【答案】(1) (2)每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最高收入为19440元 【分析】（1）根据图表可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设每间客房的日租金提高元，则每天客房出租数会减少间，列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由已知表格可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间， ∴设， 把代入得， 解得：， ∴客房每天的出租数量y（间）与每间房日租金x（元）的函数关系式为， ∵每天房间的出租率不低于， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：由已知表格可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间， ∴设每间客房的日租金提高元，则每天客房出租数会减少间． 则， 即． ∵，且， ∴． 当时，的最大值为． 这时每间客房的日租金为（元）． 答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最高为元． 10．某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … … (1)根据表格数据，求出水流的函数解析式； (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树可达到的最大高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)①2米；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①求出直线的函数解析式为；设，则，可求出，据此可得答案；②设第二棵树底横坐标为，同理可得，根据题意可得，，则可推出，再根据求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：设水流的函数解析式为， 由题意得 ∴， ∴水流的函数解析式为； （2）解：①∵米，米， ∴， 设直线的函数解析式为， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为； 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为2， 答：这棵小树可达到的最大高度是2米； ②设第二棵树底横坐标为， 同理可得， ∵两棵树等高，即， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二次函数的应用 暑假预习讲义 ✺知识框架 基础支撑：二次函数解析式、开口方向、顶点最值、自变量取值范围 核心题型：几何面积最值、销售利润最值、抛物线实际轨迹应用 解题流程：实际情境 → 建立模型 → 限定范围 → 求解最值 → 检验作答 核心考向：函数建模、范围判定、区间最值、不合理解取舍 ✺学习目标 基础知识：掌握二次函数最值计算方法，熟记三类实际问题的标准建模思路。 能力提升：熟练列写函数解析式，精准确定自变量取值范围，规范求解区间最值。 综合素养：形成“先定范围、再求最值、结合实际检验”的规范解题思维。 ✺题型归纳 题型1.图形问题(实际问题与二次函数) 题型2.图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型3.拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型4.销售问题(实际问题与二次函数) 题型5.投球问题(实际问题与二次函数) 题型6.喷水问题(实际问题与二次函数) 题型7.增长率问题(实际问题与二次函数) 题型8.其他问题(实际问题与二次函数) 题型9.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、二次函数的应用解题步骤 ◉审题：梳理题干条件，明确最值求解目标； ◉设元：设定自变量与因变量，明确实际含义； ◉建模：根据数量关系，列写二次函数解析式； ◉求解：锁定自变量取值区间，判定顶点或端点最值； ◉作答：舍去无意义解，结合实际规范答题。 知识点二、三大核心应用模型 模型一：几何面积最值 ▲适用场景：适用于靠墙围栏、定长矩形等几何场景。 ▲解题思路：利用单一变量表示图形长宽，结合面积公式构建二次函数，根据边长为正、墙体长度限制等条件，求解最大面积。 模型二：销售利润最值 ▲适用场景：适用于商品涨跌价、销量随单价变化的场景。 ▲解题思路：：利用公式总利润=(单价−进价)×销售量，结合单价、销量为正的实际条件，求解最大利润。 模型三：抛物线轨迹应用 ▲适用场景：适用于拱桥、喷泉、投篮、抛体运动等轨迹场景。 ▲解题思路：建立平面直角坐标系，代入已知点坐标求解抛物线解析式，计算最大高度、水平射程等实际物理量。 知识点三、区间最值判定（重难点） ▲顶点横坐标在取值区间内：函数最值取顶点纵坐标 ▲顶点横坐标不在取值区间内：函数单调变化，最值取区间端点值 ✺题型精讲 题型1.图形问题(实际问题与二次函数) 1．如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子设计稿，若，，则杯子的高的长为 _____． 3．用长40米的篱笆围成一边靠墙（墙足够长）的矩形花圃，设垂直于墙的边长为x米，矩形面积为S平方米． (1)求S与x的函数关系式及自变量取值范围； (2)求S的最大值及对应x的值． 题型2.图形运动问题(实际问题与二次函数) 1．在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： （1）当时，； （2）的最大面积为； （3）t只有一个值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图1，在正方形中，动点从点出发，沿的方向运动，当点到达点时停止运动，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，，设点的运动路程为，的面积为，图2表示的是关于的函数图象，已知点在的运动过程中，有最大值6，当点停止运动时，函数图象中的值为 _______． 3．如图，在矩形中，，．动点P从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，设和矩形重叠部分的面积为S． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当点E落在边上时，求t的值； (3)求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 题型3.拱桥问题(实际问题与二次函数) 1．如图，是某抛物线型拱桥横断面的示意图，正常水位时水面宽为，拱桥最高点到水面的距离为，当水位上升时，水面的宽为(    ) A． B． C． D． 2．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 3．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽，涵洞顶点到水面的距离为，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 题型4.销售问题(实际问题与二次函数) 1．某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 2．道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 3．某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：； ②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t（第t天） 1 2 10 20 …… 日销售量y（件） 119 118 110 100 …… (1)直接写出y与t之间的函数解析式； (2)设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果． 题型5.投球问题(实际问题与二次函数) 1．如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则最高点的高度为________米． 3．中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； (3)在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 题型6.喷水问题(实际问题与二次函数) 1．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 2．景区喷泉水柱如图建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 3．政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 题型7.增长率问题(实际问题与二次函数) 1．最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A．B．C．D． 2．一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为__________． 3．某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，求关于的函数关系式． 题型8.其他问题(实际问题与二次函数) 1．成都低空经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度与时间满足二次函数，其图象如图所示．根据图象，下列说法错误的是（   ） A．该图象的对称轴是直线 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为 C．当时，该无人机飞行的高度为 D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是 2．某汽车的紧急刹车距离（米）与车速（千米/小时）的关系是．如果前方25米处发生了事故，司机驾驶该车紧急刹车避免了碰撞，那么可以推测该车车速不超过_______千米/小时． 3．项目式学习 【项目主题】设计减速带之间的距离． 【项目背景】在校园、景区的道路中间，常常设置一些用于限制汽车速度的减速带，但是相邻减速带之间的距离不宜过大，也不宜过小，那么减速带之间的距离应该设置为多少较合适？数学兴趣小组以此为主题开展项目式学习． 【研究步骤】 ①査阅资料 数学兴趣小组查阅资料获知，在限速的情况下，汽车从一个减速带到另一个减速带之间需要经历先加速、再减速两个阶段，其中第一阶段汽车速度从（前一减速带）加速到，第二阶段从减速到（后一减速带），两个减速带之间的距离就是这两个阶段汽车行驶的路程之和． ②建立模型 经过物理老师的帮助，该兴趣小组确定了汽车在加速阶段行驶的路程，速度，其中v0为初始速度，a为加速度，t为行驶时间，在加速阶段． ③测量数据 数学兴趣小组利用秒表分别测量汽车加速过程中，速度达到所用的时间，并进行多次试验取平均值，得到表1信息： 表1 时间/s 0 1.5 3 4.5 6 速度/（） 0 10 20 30 40 ④整理数据 数学兴趣小组进一步把速度的单位进行转换，得到表2信息： 表2 时间/s 0 1.5 3 4.5 6 速度/（） 0 【解决问题】请你根据以上信息回答下列问题： (1)请你根据表2信息，求第一阶段v与t的函数关系式、s与t的函数关系式． (2)若第二阶段汽车行驶路程是第一阶段汽车行驶路程的，请计算相邻两个减速带之间的距离（结果精确到）． ✺巩固测试 一、单选题 1．已知长方形的周长为，其中一条边长为，面积为，则与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．图1为苏州地标建筑“东方之门”，俗称“大秋裤”．如图2，门的内侧曲线为抛物线，以门的底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，门内侧曲线所在抛物线的函数表达式为，则下列说法错误的是（     ） A．门的最大高度为 B．门的底部宽度为 C．离地面处的门的水平宽度为 D．当门的水平宽度为时，门的高度为 3．如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价元时，日盈利为元．据此规律，在上述条件不变的情况下，求每件商品降价___________元时，超市的日盈利最大？ 5．如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 6．2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 三、解答题 7．阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 8．某中学有500名学生在校就餐，因人数多就餐排队时间长，决定进行优化调整．经调研，发现放学后累计到达食堂的人数（人）随时间（分）的变化情况满足函数：． (1)放学几分钟后，全部学生都到达食堂？ (2)食堂计划调整方案，预期13分钟内完成全部出餐，且每个学生的排队时间不能超过5分钟．原方案和调整后方案如下表． 目前实施方案 调整方案 点餐 窗口 单个窗口 点餐 窗口 单个窗口 形式 数量 出菜速度 形式 数量 出菜速度 自由点菜 4个 5份/分钟 套餐选择 5个 8份/分钟 ①按原方案，等待点餐的学生最多达到多少人？ ②调整后，是否可以达到预期效果？如果可以，请说明理由；如果不行，请调整窗口个数，使之可以达到预期效果． 9．某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，每天房间的出租率不低于，客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）的关系如下表： 客房日租金x（元） 160 170 180 190 客房出租数量y（间） 120 114 108 102 (1)观察表格中的数据，求出客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)设客房的日租金总收入为W（元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？ 10．某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … … (1)根据表格数据，求出水流的函数解析式； (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树可达到的最大高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底的横坐标的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $