2.2直线方程讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（北京适用）

本讲义聚焦直线方程核心知识点，系统梳理五种方程形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）的公式与适用范围，衔接倾斜角与斜率知识，构建平行垂直判定、含参直线恒过定点及四大数形综合模型的完整学习支架，为圆和圆锥曲线学习奠定基础。 该资料以北京高考考纲为导向，通过高频失分避坑清单强化数学思维的严谨性，如强调截距式不能过原点等易错点。分类题型练习结合真实考题，借助分离参数法等培养数学眼光的几何直观，课中辅助教师精准突破难点，课后助力学生通过实例巩固知识，提升模型观念与应用意识。

2.2直线方程（解析版） 一、北京高考 / 高二考纲要求 1. 核心要求：掌握确定直线的两类条件（一点一斜率、两点），熟练直线五种方程形式，能灵活互化； 2. 判定能力：利用直线方程系数、斜率判断两直线平行、垂直； 3. 难点掌握：含参数直线恒过定点问题、直线与线段相交斜率范围求解； 4. 综合应用：三角形中线 / 高线 / 垂直平分线、截距面积最值、光线对称反射； 5. 考查形式：选择题、填空题基础小题（5 分），解答题第一问必考计算，是圆、圆锥曲线前置核心工具。 二、核心知识体系（公式 + 适用范围） 模块 1 直线五种方程形式 方程名称 标准形式 已知条件 适用限制（高频易错点） 点斜式 定点(x0,y0)、斜率k 无法表示竖直直线x=x0​（斜率不存在） 斜截式 斜率k、y轴截距b 无法表示竖直直线x=x0；b为与y轴交点纵坐标，不是长度 两点式 两点P1​(x1,y1),P2(x2,y2) 不能用于平行 x 轴、y 轴的直线 截距式 + =1 x（横）截距a，y(纵)截距b 、；不能过原点、不能平行坐标轴 一般式 （A、B不同时为 0） 任意直线 无限制，所有直线都适用，（平行垂直判定首选） 补充：截距定义 1、x截距：令，解得x的值； 2、y截距：令，解得y的值； ⚠️关键：截距可正、可负、可为 0，不是线段长度，不能加绝对值。 模块 2 两直线平行、垂直判定（承接上一节倾斜角与斜率） 设直线， 1、平行判定: 斜截简化版：且(b1≠b2)；两条竖直线(x=m1、x=m2(m1≠m2))互相平行。 2、垂直判定（万能公式，无需讨论斜率） 斜截简化版：；一条水平直线、一条竖直直线一定垂直。 模块 3 含参直线恒过定点（填空、解答高频难点） 通用解法：1、分离参数法把方程中含参数的项全部合并，常数项单独分组； 2、 令参数整体的系数 = 0、常数部分 = 0，联立二元一次方程组； 3、 方程组的解((x,y))即为直线恒过定点。 示例： 变形： 联立，解得定点((1,1))。 模块 4 四大数形综合模型 · 直线与线段相交：求定点到线段两个端点的临界斜率，数形结合写取值区间； · 截距面积最值：直线交 x、y 正半轴，用基本不等式求最小值； · 三角形特殊直线：中线（中点 + 两点式）、高线（垂直求斜率）、垂直平分线（中点 + 垂线斜率）； · 光线反射：求已知点关于反射直线的对称点，两点连线即为反射光线。 三、北京考试高频失分避坑清单 1. 截距式限制：a、b不能为 0，过原点直线禁止使用截距式； 2. 两直线平行判定：只算会包含重合直线，必须验证截距不等； 3. 倾斜角给时，一定存在两条直线，极易漏一解； 4. 点斜式无法表示竖直线，遇到必须单独分类； 5. “截距相等” 默认包含过原点情况，多数学生只计算不过原点； 6. 恒过定点不能代特殊值验证，分离参数法才不会出错； 7. 垂直优先使用，避开斜率不存在的讨论； 8. 斜截式b可负，截距不是线段长度，不能加绝对值。 四、题型分类练习 题型一：点斜式方程 1．（25-26高二上·北京·阶段检测）经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角为，求出斜率，代入直线的点斜式方程求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又直线经过点，代入点斜式方程得直线方程为. 故选：B 2．（24-25高二上·北京·期中）直线的倾斜角为，且，若过点，则直线的方程为__________. 【答案】或 【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【详解】由直线l的倾斜角为，且，得，则， 因此直线l的斜率，直线l的方程为或， 所以直线l的方程为或. 故答案为：或 3．（25-26高二上·北京·期中）已知直线经过点，且与轴平行，则直线的方程为__________. 【答案】 【分析】由题意可知直线的斜率为0，即可得直线方程. 【详解】因为直线经过点，且与轴平行，可知直线的斜率为0， 所以直线的方程为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线l经过点，且斜率为2，则直线l的方程为___________. 【答案】 【分析】由直线方程的点斜式列出方程，整理即可． 【详解】因为直线经过点且斜率为2， 所以直线l的方程为：，整理得：. 所以直线l的方程为：. 故答案为：. 5．（25-26高二上·北京·期中）直线恒经过定点，则的坐标为______． 【答案】 【分析】由，可得，可求定点坐标. 【详解】当时，，所以直线恒经过定点. 故答案为：. 6．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知的顶点为，，． (1)求出直线的斜率 (2)求过且平行于直线的直线的方程； (3)求边上的高所在直线的方程． 【答案】(1) (2)： (3)： 【分析】（1）根据已知两点坐标求斜率公式求解即可； （2）根据平行求出斜率，结合点斜式方程即可解题； （3）根据垂直求出斜率，结合点斜式方程即可解题. 【详解】（1）由题意可得，，，设直线的斜率为，所以. （2）设该直线为，由题意可得与直线平行，所以的斜率为，所以，所以：. （3）设该直线为，斜率为，由题意可得与直线垂直，所以，所以，所以，所以：. 7．（25-26高二上·北京房山·阶段检测）过点且斜率为的直线，其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程的点斜式直接判断. 【详解】因为过点且斜率为的直线， 其点斜式方程为：. 故选：A 8．（24-25高二上·辽宁·期中）直线经过点且与直线垂直，则直线的方程是__________. 【答案】 【分析】先根据两直线垂直求出直线的斜率，再由点斜式方程写出直线的方程. 【详解】直线的斜率为，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为：， 即. 故答案为：. 9．（23-24高二上·北京昌平·期中）经过点，且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】因为所求直线的倾斜角为，所以所求直线的斜率， 所以直线方程为，即，故ACD错误. 故选：B. 10．（24-25高二上·北京延庆·期中）已知的顶点坐标为. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程； (3)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出直线的斜率再利用点斜式方程即可得出结果； （2）求出中点坐标再计算中线斜率，代入点斜式方程即可； （3）根据垂直关系得出斜率，再利用点斜式方程可求. 【详解】（1）直线的斜率 过点且与直线平行的直线的斜率为 过点且与直线平行的直线方程为 即 （2）设边的中点为，因为， 所以点的坐标为，即， 所以边的中线所在直线方程为 即 （3）因为， 所以边的高线所在直线的斜率为， 因此边的高线所在直线方程为， 即 题型二：斜截式方程 1．（25-26高二上·北京·期末）直线的一个方向向量可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的斜截式与斜率的关系结合方向向量的定义求解 【详解】因为直线的斜率为， 对A，，A正确； 对B，，B错误； 对C，，C错误； 对D，，D错误； 故选：A. 2．（23-24高三·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线的方程化为斜截式，结合图象，根据斜率和在y轴上的截距的正负判断. 【详解】直线可化为，斜率为，在y轴上的截距为； 直线可化为，斜率为，在y轴上的截距为， A.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； B.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故正确； C.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； D.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； 故选：B 3．（24-25高二上·湖南永州·期中）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线方程确定斜率，结合倾斜角与斜率关系及其范围即可求解. 【详解】由题可知：直线的斜率为，由倾斜角与斜率的关系可得，，所以. 故选：C. 4．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线的方程为. 故选：D 5．（23-24高二·全国·课后作业）已知直线倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线斜率，根据直线的斜截式方程，即可求得答案. 【详解】因为直线倾斜角为，故直线的斜率为, 又直线在轴上的截距为，故直线方程为, 故选：D 6．（24-25高二上·北京·期中）在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每个选项中与的图象，分别确定的取值即可判断. 【详解】对于A，直线单调递减，与轴交于正半轴，则， 直线单调递减，与轴交于负半轴，则，不成立，故A错误； 对于B，直线单调递减，与轴交于负半轴，则， 直线单调递减，与轴交于负半轴，则，成立，故B正确； 对于C，直线单调递增，与轴交于负半轴，则， 直线单调递增，与轴交于正半轴，则，不成立，故C错误； 对于D，直线单调递增，与轴交于正半轴，则， 直线单调递减，与轴交于正半轴，则，不成立，故D错误； 故选：B. 7．（24-25高二上·江苏盐城·期中）直线的方程为：，若直线不经过第一象限，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率与截距讨论不经过第一象限时所满足的条件，解得结果. 【详解】若直线斜率不存在，即不经过第一象限， 若直线斜率存在，即， 所以， 综上实数的取值范围为， 故选：C. 8．（24-25高二上·北京延庆·期中）已知点，直线与线段无交点，则直线在轴上的截距为__________；的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据直线所过的定点，根据条件求边界的斜率，即可求解. 【详解】直线在轴上的截距为，表示直线的斜率， 直线恒过点，，， 若直线与线段无交点，则的取值范围是. 故答案为： 9．（23-24高二上·北京·期中）求倾斜角为直线的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程： （1）经过点； （2）在轴上的截距为． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由题意可得的倾斜角为，可得所求直线倾斜角为，斜率为1，代入直线的点斜式方程，即可得答案； （2）由题意，代入直线的斜截式方程，化简整理，即可得答案. 【详解】由于直线的斜率为，且倾斜角，所以其倾斜角为． 由题意知所求直线的倾斜角为，所求直线的斜率． （1）由于直线经过点，由直线的点斜式方程得，即． （2）由于直线在轴上的截距为，由直线的斜截式方程得，即． 10．（25-26高二上·北京·期中）与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是__________. 【答案】 【分析】根据垂直关系可得所求直线的斜率，进而可得斜截式方程. 【详解】由题意可知：直线的斜率为， 因为所求直线与直线垂直，则所求直线的斜率， 且在轴上的截距为4，所以所求直线的斜截式方程是. 故答案为：. 题型三：两点式方程 1．（25-26高二上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，点，，点在轴上，直线的斜率为. (1)求直线的方程； (2)求线段的垂直平分线与直线相交于点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合直线的点斜式方程运算求解即可； （2）根据题意可得，结合垂直关系可得直线的斜率，即可得直线的方程，利用直线两点式方程可得直线的方程，进而可得交点坐标. 【详解】（1）因为直线的斜率为，点， 所以直线的方程为，即. （2）因为直线的方程为， 因为点在轴上，令可得，即， 又因为点，则线段的中点坐标为，即， 设线段的垂直平分线的斜率为，则，可得， 所以直线的方程为，即， 因为点，，则直线的方程为，即， 联立方程，解得，， 所以. 2．（24-25高二上·北京·期中）已知两点，直线为线段AB的垂直平分线，求： (1)直线的方程； (2)直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用中点坐标和直线垂直的斜率关系，结合点斜式即可得解. （2）求出直线与坐标轴的交点坐标，进而求出三角形面积. 【详解】（1）点，则线段的中点为 ，直线的斜率， 于是直线的斜率为，其方程为，即. （2）由（1）知，直线交轴于点，交轴于点， 所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 3．（23-24高二上·甘肃金昌·阶段检测）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解. 【详解】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即， 将各个选项中的坐标代入直线方程， 可知点，，都在直线l上，点不在直线l上． 故选：D． 4．（2024高二·北京·学业考试）过点和的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意利用直线的截距式方程，直接写出经过和两点的直线方程，化简求得结果. 【详解】∵直线经过两点和，而这两个点恰是直线和坐标轴的交点， ∴由直线的截距式方程可得，即， 故选：C. 6. （23-24高二上·北京顺义·期中）的顶点，，，则BC边上的中线所在的直线方程是____________． 【答案】 【分析】由中点坐标公式求出BC中点坐标，由中线过点A，利用两点式求出直线方程. 【详解】由中点坐标公式， BC中点坐标为，BC边上的中线过点A，由直线两点式方程，得，化为一般式方程为:， 故答案为： 6．（23-24高二·全国·课后作业）经过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用直线方程的两点式公式求解即可 【详解】由已知得直线的两点式方程为，即． 故选：D 【点睛】此题考查直线方程的求法，属于基础题 7．（23-24高一下·广东·期末）已知平面直角坐标系xOy中，点A（4，1），点B（0，4），直线l：y＝3x﹣1，则直线AB与直线l的交点坐标为_____． 【答案】 【分析】先利用两点式方程求出直线的方程，再联立方程组可求两直线的交点坐标 【详解】解：由题意得，直线的方程为：，即， 由，得， 所以则直线AB与直线l的交点坐标为 故答案为： 【点睛】此题考查两直线的交点坐标的求法，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题 8．（23-24高一·全国·课后作业）经过与两点的直线的方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得，两点的纵坐标相等，所以，该直线的斜率为0，可得直线方程为 【详解】由两点的坐标可知，直线与轴平行，所以直线的方程为. 【点睛】本题考查已知两点求直线方程，属于基础题 9．（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则ΔABC的边AB上的中线所在的直线方程为（  ） A．x+5y-15=0 B．x=3 C．x-y+1=0 D．y-3=0 【答案】A 【详解】由题可知AB的中点坐标为（0,3），又点C（5,2）所以中线的直线方程根据两点式可得：x+5y-15=0 10．（23-24高二上·安徽合肥·期末）光线沿直线射到直线上, 被反射后的光线所在的直线方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】考点：与直线关于点、直线对称的直线方程． 专题：计算题；综合题． 分析：先求出y=2x+11与y=x的交点（-1，-1），然后求出反射光线与X轴的交点（1，0），然后两点确定直线． 解答：解：直线y=2x+1与y=x的交点为（-1，-1）， 又直线y=2x+1与y轴的交点（0，1）被y=x反射后，经过（1，0） 所以反射后的光线所在的直线方程为：= 即 y=x- 故选B． 点评：本题考查与直线关于电、直线对称的直线方程，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题． 题型四：截距式方程 1．（25-26高二上·北京顺义·期中）已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距之和为零，则直线l的方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据已知，讨论截距是否为0，分别设直线为、，结合所过的点求参数，即可得直线方程. 【详解】当截距为0时，令直线为，则，故， 当截距不为0时，令直线为，则，故， 所以，所求直线为或. 故选：D 2．（25-26高二上·北京丰台·阶段检测）求过点 ，且横、纵截距相等的直线方程. 【答案】或 【分析】分横、纵截距都为0和横、纵截距都不为0两种情况讨论即可求解. 【详解】当横、纵截距都为0时，所求为，即； 当横、纵截距都不为0时，设直线方程为 ，代入点 得 ，即 . 因此，直线方程为 或. 3．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线过点． （1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为___________ （2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为___________． 【答案】 或． 4 【分析】先分两种情况讨论，当直线过原点，代入求出参数的值，当直线不过原点时，设出直线截距式，代点即可求解；利用三角形面积公式、基本不等式，求得面积的最小值． 【详解】当直线经过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点可得， 所以所求直线方程为，即． 综上可得，所求直线方程为：或． （2）依题意，设点，（，），直线的方程为， 又点在直线上，于是有， 利用基本不等式，即，当且仅当，时等号成立， ，即的面积的最小值为4． 故答案为：或；4. 4．（25-26高二上·北京房山·阶段检测）过点且在轴上截距为3的直线方程为__________. 【答案】 【分析】由题意直线过点，由截距式化简即可得解. 【详解】由题意直线过点，故所求直线方程为，即. 故答案为：. 5．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）直线：在轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题意结合截距的概念运算即可得解. 【详解】令，代入，得， 故选：B 6．（24-25高二上·云南·期中）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】讨论直线是否过原点，再设直线的斜截式求解即可. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为0，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为，因为点在直线上， 所以，解得，所以直线方程为， 故所求直线方程为或. 故选：D. 7．（24-25高二上·天津北辰·阶段检测）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是______. 【答案】或． 【分析】当直线过原点时，由点斜式求出直线的方程．当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得的值，从而得到直线方程．综合以上可得答案． 【详解】当直线过原点时，由于斜率为，故直线方程为，即． 当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得， 故直线的方程为， 故答案为：或． 8．（24-25高二上·北京·阶段检测）已知顶点、、． (1)求边的垂直平分线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据、，即可得中点及斜率，进而可得其中垂线方程； （2）当直线过坐标原点时可得直线方程；当直线不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解. 【详解】（1）由、， 可知中点为，且， 所以其垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； （2）当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 9．（23-24高二上·广西南宁·开学考试）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 10．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（    ） A．1 B． C．2或1 D．或1 【答案】C 【分析】根据题意，分别求得直线在坐标轴上的截距，列出方程，即可求解. 【详解】由直线，显然， 当时，可得，即直线在轴上的截距为； 当时，可得，即直线在轴上的截距为； 因为直线在x轴和y轴上的截距相等，可得， 即，解得或. 故选：C. 题型五：一般式方程 1．（25-26高二上·北京西城·期末）与直线平行且过点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行关系可求斜率，利用点斜式可得答案. 【详解】因为所求直线与直线平行，所以斜率为， 因为直线过点，所以直线方程为，即. 故选：A 2．（25-26高二上·北京西城·期末）已知直线经过点，且与直线垂直，那么直线的方程是_____． 【答案】 【分析】由直线的垂直关系得直线的斜率为，再根据点斜式方程求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直，直线的斜率为， 所以直线的斜率为， 因为直线经过点， 所以直线的方程为：，即 故答案为： 3．（25-26高二上·北京西城·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 因为直线的斜率为， 则， 又，所以， 即直线的倾斜角为. 故选：D. 4．（25-26高二上·北京平谷·阶段检测）直线的斜率为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程化成斜截式，可得直线斜率. 【详解】由 . 所以直线斜率为. 故选：C 5．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把直线的方程整理为，显然直线过定点，结合图形进行求解即可. 【详解】由直线的方程为，变形得， 显然直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或，即k的取值范围是. 故选：B. 6．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知直线方程是，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的方程求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线：的斜率，所以直线的倾斜角为. 故选：D 7．（25-26高二上·北京西城·期中）若直线过点且与直线垂直，则的方程为___________. 【答案】 【分析】设出与直线垂直的直线系，再将点代入即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以设直线的方程为， 将点代入得： 所以直线的方程为. 故答案为：. 8．（25-26高二上·北京大兴·期中）经过坐标原点且与直线平行的直线方程为______． 【答案】 【分析】根据平行关系可设直线方程为，将点代入求得，从而得到结果. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为过原点，所以，得， 所以所求直线方程为. 故答案为：. 9．（25-26高二上·北京朝阳·期中）经过点且倾斜角为45°的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求出直线的斜率，利用点斜式方程化为一般式即可. 【详解】直线斜率，点斜式为，一般式为， 故选：B. 10．（25-26高二上·北京海淀·期中）对于直线，下列说法不正确的是（   ） A．的斜率有可能不存在 B．恒过定点 C．的倾斜角有可能是 D．恒过第一象限 【答案】B 【分析】对A：整理方程后令的系数为即可得；对B：整理方程后令的系数为即可得；对C：令，解出即可得；对D：由直线所过定点即可得. 【详解】对A：直线可化为， 令，则，此时，斜率不存在，故A正确； 对B：直线可化为， 令，解得，故恒过定点，故B错误； 对C：令，解得， 此时直线，斜率为，倾斜角为，故C正确； 对D：由B知，恒过定点，故恒过第一象限，故D正确. 故选：B. 题型六：直线过定点 1．（25-26高二上·北京西城·期中）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线不恒过定点 B．当时，直线不过第三象限 C．直线的斜率可能不存在 D．若直线在坐标轴上的截距相等，则 【答案】B 【分析】求出直线过定点坐标，即可判断A；求出直线所过象限，即可判断B；将直线方程化为斜截式，即可判断C；分截距均为、截距均不为两种情况讨论，求出参数的值，即可判断D. 【详解】对于A：因为直线：，即， 令，解得，所以直线过定点，故A错误； 对于B：当时直线：，即， 所以直线过第一、二、四象限，不过第三象限，故B正确； 对于C：直线：，即，所以直线的斜率为，即直线的斜率一定存在，故C错误； 对于D：若直线在坐标轴上的截距相等， 若截距均为，则，解得； 若截距均不为，显然，对于，令可得， 令，则，所以，解得（舍去）或； 综上可得或，故D错误. 故选：B 2．（25-26高二上·天津东丽·阶段检测）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把直线方程整理为，根据题意，列出方程组，求解即可. 【详解】根据题意，把直线方程整理，得， 令，解得，所以当变动时，所有直线恒过定点. 故选：C 3．（25-26高二上·北京·阶段检测）点，，直线与线段相交，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先求出直线所过定点，求出定点与两点连线的斜率，结合图形可得范围. 【详解】直线可化为，即直线恒过定点， 直线的斜率为，直线的斜率为， 如图，因为直线与线段相交，所以. 故答案为： 4．（23-24高二上·山东·阶段检测）直线方程为． (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 【答案】(1)证明：因为直线的方程，即， 令，解得， 所以直线恒过定点； (2)的周长为，直线的方程 【分析】（1）将直线的方程变形为，令，解得即可； （2）首先求出直线在、轴上的截距，即可求出的范围，再由面积公式及基本不等式求出面积最小值及此时的值，从而求出直线的方程及三角形的周长. 【详解】（1）略 （2）因为直线的方程，依题意，即， 令，得到；令，得到； 令，解得， 可得， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立 此时直线的方程为， 且，，，    所以当的面积最小时，的周长为，直线的方程. 5．（24-25高二上·北京·期中）已知直线：． (1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）． 【答案】(1)； (2) 由直线可改写为，联立，可得， 将点代入原直线方程，显然成立，故直线恒过定点，得证. (3). 【分析】（1）令是关于的对称点，利用垂直和中点在直线上求点坐标，进而写出直线方程； （2）将直线写成，可求定点，即可证； （3）由题设易知，利用垂直及点斜式写出直线方程. 【详解】（1）由题设，令是关于的对称点， 则，可得，故， 由题意，反射光线过和原点， 所以反射光线所在直线方程为. （2）略 （3）当原点到直线的距离最大，即点到点的距离，此时， 由，则，故，整理得. 6．（24-25高二上·北京·期中）对于直线：，下列说法不正确的是（    ） A．恒过定点 B．当时，不经过第二象限 C．的斜率一定存在 D．当时，的倾斜角为 【答案】D 【分析】利用直线过定点的求法判断A，利用直线的斜截式，结合其与坐标的交点判断B，将直线方程化为斜截式可判断C，利用直线的斜率与倾斜角的关系判断D，从而得解. 【详解】对于A，直线：，可化为， 当时，，所以直线过点，故A正确； 对于B，当时，直线为，即， 其斜率是2，与坐标轴的交点分别是和， 因此直线过一、三、四象限，不过第二象限，故B正确. 对于C，直线方程可化为，斜率为，一定存在，故C正确； 对于D，当时，直线的斜率为，倾斜角为，故D错误； 故选：D. 7．（24-25高二上·浙江台州·阶段检测）已知直线：和直线：，下列说法错误的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或-3 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【答案】B 【分析】将直线化为可判断A；将或-3代入直线方程可判断B；根据可判断C；将直线化为，即可求解D. 【详解】：,令且，解得，故直线过点，A正确； 当时，：和直线：，故，重合，故B错误； 由，得或2，故C正确； ：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确. 故选：B 8．（23-24高二上·北京西城·期中）任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点. 【详解】因为，即， 所以直线恒过定点. 故选：C. 9．（22-23高二上·北京·期中）已知直线l的方程为，则直线l（　　） A．恒过点且不垂直x轴 B．恒过点且不垂直y轴 C．恒过点且不垂直x轴 D．恒过点且不垂直y轴 【答案】B 【分析】由直线l的方程，令，对分类讨论即可求解. 【详解】由直线l的方程为， 令，解得． ∴直线恒过点， 若，则直线不垂直y轴， 若，则直线不垂直于轴， 综上所述，恒过点且不垂直y轴. 故选：B． 10．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）联立方程求出坐标，然后根据两直线垂直确定所求直线的斜率，进而得到所求直线的方程. （2）①根据两直线平行计算即可；②先求出点关于直线对称的点为，进而确定的最小值. 【详解】（1）联立方程，解得，所以交点为， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2） ①因为、，所以直线的斜率为1，与直线平行， 所以A，B两点到的距离相等. 、的中点为，直线的方程， A，B两点到的距离相等.   所以过点，且与，两点距离相等的直线方程或. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则，故的最小值为. 题型七：直线综合练习 1．（25-26高二上·北京延庆·期末）已知动点到的距离与到的距离相等，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定点的轨迹，再求直线方程. 【详解】由条件可知，点的轨迹是线段的垂直平分线， 线段的中点为，，所以所求直线的斜率为， 直线方程为，整理为. 故选：D 2．（25-26高二上·北京平谷·阶段检测）已知的三个顶点分别为，求： (1)所在直线的方程； (2)过点与边平行的直线方程； (3)边的垂直平分线的方程． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据的坐标即可求得直线的斜率，利用点斜式可得所求方程； （2）根据平行可设所求方程，再将点的坐标代入可得所求方程； （3）根据垂直可求得斜率，再求得线段的中点坐标，根据点斜式可得所求方程. 【详解】（1）如图，因为，所以直线的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为，即. （2）因为所求直线与直线平行， 由（1）知可设所求直线方程为， 又直线过点， 所以将的坐标代入可得，解得， 所以所求直线方程为. （3）因为，且其斜率都存在， 所以，解得. 又直线过线段的中点， 由点斜式可得直线的方程为，即. 3．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求的平分线所在直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出边上的高所在直线的斜率，可得出边上的高所在直线的点斜式方程，化为一般式方程即可； （2）由图可知，所以的平分线所在直线的斜率为，可得到的平分线所在直线的点斜式方程，化为斜截式方程即可. 【详解】（1）因为点、，则， 所以，边上的高所在直线的斜率为， 又，所以边上的高所在直线的方程为，即， 即边上的高所在直线的一般式方程为. （2）    如图，可得，所以的平分线所在直线的倾斜角为，斜率为， 又，所以的平分线所在直线的方程为，即， 即的平分线所在直线的斜截式方程为. 4．（24-25高二上·北京·阶段检测）已知直线与直线的交点为. (1)直线经过，且与直线垂直，求直线的一般式方程； (2)直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1） 联立方程组，求出直线的交点坐标，根据直线垂直的性质，求出直线斜率，进而根据点斜式方程，求出一般式方程； （2）分截距是否为，结合直线截距式方程的性质，列出方程，求出结果. 【详解】（1）联立，解得，即， 由与直线垂直可得其斜率为， 所以直线的方程为，即； （2）当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设直线的方程为， 因为，且直线经过点，，所以， 故此时直线的方程为； 综上可知，直线的方程为或. 5．（25-26高二上·北京·期中）过点作直线， (1)若直线被直线所截得的线段被点平分，求直线的方程； (2)若直线将平面分成6个部分，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或或. 【分析】（1）先写出直线的方程，分别与联立方程组求出交点坐标，再由中点坐标公式计算出参数的值，再由点斜式写出直线方程. （2）先确定直线的位置即直线经过的交点或与直线或平行，再根据两点坐标或直线方程计算出斜率，最后根据点斜式写出直线方程. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为，与的交点为，与的交点为，线段的中点坐标为,不符合题意中的所截得的线段被点平分； 设直线的斜率为，直线的方程为：， 联立，解得交点坐标， 联立，解得交点坐标， 又因为点是线段的中点，所以，解得， 故所求直线方程为,即. （2）若直线将平面分成6个部分，则直线经过的交点或与直线或平行， 联立，解得交点，直线经过则直线的斜率为， 由点斜式写出直线方程为即， 当直线与平行时，直线的斜率与直线的斜率相等即， 由点斜式写出直线方程为即， 当直线与平行时，直线的斜率与直线的斜率相等即， 由点斜式写出直线方程为即， 综上所述直线的方程为：或或. 6．（25-26高二上·北京西城·期中）在中，已知，边的中点在轴上，边的中线所在直线的方程 (1)求顶点的坐标； (2)求边上的高所在直线方程； (3)求外接圆的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，利用边的中点在轴上，求得，利用边的中线所在直线的方程，求得； （2）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （3）利用待定系数法求得外接圆的方程． 【详解】（1）设，则的中点坐标为， 又因为边的中点在轴上，所以，解得， 又的中点是，即， 因为边的中线所在直线的方程，解得， 所以点C的坐标为； （2）因为，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即； （3）设外接圆的方程为， 可得，化简得， 解得，所以外接圆的方程为， 化为标准方程为. 7．（25-26高二上·北京西城·期中）已知直线过点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设直线的方程为，将代入，求得，即可求解； （2）根据题意，分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，可设直线的方程为， 将代入得：，解得， 所以直线的方程为. （2）解：①当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时点到直线的距离为1，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为点到直线的距离为1，可得，解得. 直线的方程为，即， 综上可得，直线的方程为或. 8．（25-26高二上·北京平谷·期中）已知正方形的中心为点，一条边所在的直线方程是 (1)求正方形的边长； (2)求正方形其他三边所在的直线方程. 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）先求中心到直线的距离，即可得边长； （2）根据平行、垂直关系设直线方程，再结合中心到四边距离相等列式求解即可. 【详解】（1）因为正方形的中心到直线的距离， 所以正方形的边长为. （2）设正方形中与已知直线平行的边所在的直线方程为， 则，即， 解得（舍去）或. 故与已知直线平行的边所在的直线方程为； 设正方形中与已知直线垂直的边所在的直线方程为， 则，即， 解得或， 所以正方形另一组对边所在的直线方程分别为和； 综上所述：正方形其他三边所在的直线方程分别为，，. 9．（25-26高二上·北京丰台·期中）求满足下列条件的直线的方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过点和； (3)经过点，且与直线平行. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助斜率与倾斜角的关系求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （2）借助斜率公式求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （3）借助直线平行的性质，设出直线后代入点计算即可得. 【详解】（1）因为直线过点，斜率， 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； （2）因为直线经过点和， 所以直线的斜率. 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； （3）因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线的方程为. 因为直线经过点， 所以，即. 所以直线的方程为. 10．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程； (3)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）将直线写成，可求定点，即可证； （2）由题设易知，利用垂直及点斜式写出直线方程； （3）令是关于的对称点，利用垂直和中点在直线上求点坐标，进而写出直线方程. 【详解】（1）由直线可改写为， 联立，可得， 将点代入原直线方程，显然成立， 故直线恒过定点，得证. （2）当原点到直线的距离最大，即点到点的距离， 此时， 由，则，故，整理得. （3）由题设，令是关于的对称点， 则，可得，故， 由题意，反射光线过和原点， 所以反射光线所在直线方程为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2直线方程（原卷版） 一、北京高考 / 高二考纲要求 1. 核心要求：掌握确定直线的两类条件（一点一斜率、两点），熟练五种直线方程形式，能灵活互化； 2. 判定能力：利用直线方程系数、斜率判断两直线平行、垂直； 3. 难点掌握：含参数直线恒过定点问题、直线与线段相交斜率范围求解； 4. 综合应用：三角形中线 / 高线 / 垂直平分线、截距面积最值、光线对称反射； 5. 考查形式：选择题、填空题基础小题（5 分），解答题第一问必考计算，是圆、圆锥曲线前置核心工具。 二、核心知识体系（公式 + 适用范围） 模块 1 五种直线方程形式 方程名称 标准形式 已知条件 适用限制（高频易错点） 点斜式 定点(x0,y0)、斜率k 无法表示竖直直线x=x0​（斜率不存在） 斜截式 斜率k、y轴截距b 无法表示竖直直线x=x0；b为与y轴交点纵坐标，不是长度 两点式 两点P1​(x1,y1),P2(x2,y2) 不能用于平行 x 轴、y 轴的直线 截距式 + =1 x（横）截距a，y(纵)截距b 、；不能过原点、不能平行坐标轴 一般式 （A、B不同时为 0） 任意直线 无限制，所有直线都适用，（平行垂直判定首选） 补充：截距定义 1、x截距：令，解得x的值； 2、y截距：令，解得y的值； ⚠️关键：截距可正、可负、可为 0，不是线段长度，不能加绝对值。 模块 2 两直线平行、垂直判定（承接上一节倾斜角与斜率） 设直线， 1、平行判定: 斜截简化版：且(b1≠b2)；两条竖直线(x=m1、x=m2(m1≠m2))互相平行。 2、垂直判定（万能公式，无需讨论斜率） 斜截简化版：；一条水平直线、一条竖直直线一定垂直。 模块 3 含参直线恒过定点（填空、解答高频难点） 通用解法：1、分离参数法把方程中含参数的项全部合并，常数项单独分组； 2、 令参数整体的系数 = 0、常数部分 = 0，联立二元一次方程组； 3、 方程组的解((x,y))即为直线恒过定点。 示例： 变形： 联立，解得定点((1,1))。 模块 4 四大数形综合模型 · 直线与线段相交：求定点到线段两个端点的临界斜率，数形结合写取值区间； · 截距面积最值：直线交 x、y 正半轴，用基本不等式求最小值； · 三角形特殊直线：中线（中点 + 两点式）、高线（垂直求斜率）、垂直平分线（中点 + 垂线斜率）； · 光线反射：求已知点关于反射直线的对称点，两点连线即为反射光线。 三、北京考试高频失分避坑清单 1. 截距式限制：a、b不能为 0，过原点直线禁止使用截距式； 2. 两直线平行判定：只算会包含重合直线，必须验证截距不等； 3. 倾斜角给时，一定存在两条直线，极易漏一解； 4. 点斜式无法表示竖直线，遇到必须单独分类； 5. “截距相等” 默认包含过原点情况，多数学生只计算不过原点； 6. 恒过定点不能代特殊值验证，分离参数法才不会出错； 7. 垂直优先使用，避开斜率不存在的讨论； 8. 斜截式b可负，截距不是线段长度，不能加绝对值。 四、题型分类练习 题型一：点斜式方程 1．（25-26高二上·北京·阶段检测）经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京·期中）直线的倾斜角为，且，若过点，则直线的方程为__________. 3．（25-26高二上·北京·期中）已知直线经过点，且与轴平行，则直线的方程为__________. 4．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线l经过点，且斜率为2，则直线l的方程为___________. 5．（25-26高二上·北京·期中）直线恒经过定点，则的坐标为______． 6．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知的顶点为，，． (1)求出直线的斜率 (2)求过且平行于直线的直线的方程； (3)求边上的高所在直线的方程． 7．（25-26高二上·北京房山·阶段检测）过点且斜率为的直线，其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·辽宁·期中）直线经过点且与直线垂直，则直线的方程是__________. 9．（23-24高二上·北京昌平·期中）经过点，且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·北京延庆·期中）已知的顶点坐标为. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程； (3)求边上的高所在直线的方程. 题型二：斜截式方程 1．（25-26高二上·北京·期末）直线的一个方向向量可以为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象有可能是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南永州·期中）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二·全国·课后作业）已知直线倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·北京·期中）在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏盐城·期中）直线的方程为：，若直线不经过第一象限，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·北京延庆·期中）已知点，直线与线段无交点，则直线在轴上的截距为__________；的取值范围是__________. 9．（23-24高二上·北京·期中）求倾斜角为直线的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程： （1）经过点； （2）在轴上的截距为． 10．（25-26高二上·北京·期中）与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是__________. 题型三：两点式方程 1．（25-26高二上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，点，，点在轴上，直线的斜率为. (1)求直线的方程； (2)求线段的垂直平分线与直线相交于点的坐标. 2．（24-25高二上·北京·期中）已知两点，直线为线段AB的垂直平分线，求： (1)直线的方程； (2)直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 3．（23-24高二上·甘肃金昌·阶段检测）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二·北京·学业考试）过点和的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·北京顺义·期中）的顶点，，，则BC边上的中线所在的直线方程是____________． 6．（23-24高二·全国·课后作业）经过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·广东·期末）已知平面直角坐标系xOy中，点A（4，1），点B（0，4），直线l：y＝3x﹣1，则直线AB与直线l的交点坐标为_____． 8．（23-24高一·全国·课后作业）经过与两点的直线的方程为 A． B． C． D． 9．（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则ΔABC的边AB上的中线所在的直线方程为（  ） A．x+5y-15=0 B．x=3 C．x-y+1=0 D．y-3=0 10．（23-24高二上·安徽合肥·期末）光线沿直线射到直线上, 被反射后的光线所在的直线方程为 A． B． C． D． 题型四：截距式方程 1．（25-26高二上·北京顺义·期中）已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距之和为零，则直线l的方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 2．（25-26高二上·北京丰台·阶段检测）求过点 ，且横、纵截距相等的直线方程. 3．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线过点． （1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为___________ （2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为___________． 4．（25-26高二上·北京房山·阶段检测）过点且在轴上截距为3的直线方程为__________. 5．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）直线：在轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D．2 6．（24-25高二上·云南·期中）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 7．（24-25高二上·天津北辰·阶段检测）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是______. 8．（24-25高二上·北京·阶段检测）已知顶点、、． (1)求边的垂直平分线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 9．（23-24高二上·广西南宁·开学考试）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 10．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（    ） A．1 B． C．2或1 D．或1 题型五：一般式方程 1．（25-26高二上·北京西城·期末）与直线平行且过点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京西城·期末）已知直线经过点，且与直线垂直，那么直线的方程是_____． 3．（25-26高二上·北京西城·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·北京平谷·阶段检测）直线的斜率为（　　） A．2 B． C． D． 5．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知直线方程是，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·北京西城·期中）若直线过点且与直线垂直，则的方程为___________. 8．（25-26高二上·北京大兴·期中）经过坐标原点且与直线平行的直线方程为______． 9．（25-26高二上·北京朝阳·期中）经过点且倾斜角为45°的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·北京海淀·期中）对于直线，下列说法不正确的是（   ） A．的斜率有可能不存在 B．恒过定点 C．的倾斜角有可能是 D．恒过第一象限 题型六：直线过定点 1．（25-26高二上·北京西城·期中）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线不恒过定点 B．当时，直线不过第三象限 C．直线的斜率可能不存在 D．若直线在坐标轴上的截距相等，则 2．（25-26高二上·天津东丽·阶段检测）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京·阶段检测）点，，直线与线段相交，则的取值范围是__________． 4．（23-24高二上·山东·阶段检测）直线方程为． (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 5．（24-25高二上·北京·期中）已知直线：． (1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）． 6．（24-25高二上·北京·期中）对于直线：，下列说法不正确的是（    ） A．恒过定点 B．当时，不经过第二象限 C．的斜率一定存在 D．当时，的倾斜角为 7．（24-25高二上·浙江台州·阶段检测）已知直线：和直线：，下列说法错误的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或-3 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 8．（23-24高二上·北京西城·期中）任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高二上·北京·期中）已知直线l的方程为，则直线l（　　） A．恒过点且不垂直x轴 B．恒过点且不垂直y轴 C．恒过点且不垂直x轴 D．恒过点且不垂直y轴 10．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 题型七：直线综合练习 1．（25-26高二上·北京延庆·期末）已知动点到的距离与到的距离相等，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京平谷·阶段检测）已知的三个顶点分别为，求： (1)所在直线的方程； (2)过点与边平行的直线方程； (3)边的垂直平分线的方程． 3．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求的平分线所在直线的斜截式方程. 4．（24-25高二上·北京·阶段检测）已知直线与直线的交点为. (1)直线经过，且与直线垂直，求直线的一般式方程； (2)直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 5．（25-26高二上·北京·期中）过点作直线， (1)若直线被直线所截得的线段被点平分，求直线的方程； (2)若直线将平面分成6个部分，求直线的方程. 6．（25-26高二上·北京西城·期中）在中，已知，边的中点在轴上，边的中线所在直线的方程 (1)求顶点的坐标； (2)求边上的高所在直线方程； (3)求外接圆的方程． 7．（25-26高二上·北京西城·期中）已知直线过点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为1，求直线的方程. 8．（25-26高二上·北京平谷·期中）已知正方形的中心为点，一条边所在的直线方程是 (1)求正方形的边长； (2)求正方形其他三边所在的直线方程. 9．（25-26高二上·北京丰台·期中）求满足下列条件的直线的方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过点和； (3)经过点，且与直线平行. 10．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程； (3)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $