25.2.1 课时2 配方法 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过“基础理解-技能掌握-综合应用”三层设计，系统覆盖配方法原理、步骤及应用，强化运算能力与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|配方法适用对象、完全平方式识别|选择填空为主，如判断配方常数项，培养抽象能力| |技能掌握|二次项系数为1/不为1的配方步骤、等式平衡原理|解方程步骤题，如分步纠错训练，发展运算能力| |综合应用|配方法求代数式最值|阅读材料题，结合几何、实际情境，提升应用意识|

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十五章 一元二次方程 25.2.1 配方法 课时2 配方法 ▌课时目标 1. 理解配方法的原理，掌握用配方法解一元二次方程的步骤，能熟练运用配方法求解数字系数的一元二次方程。 2. 能准确确定配方所需的常数项，理解配方过程中“等式两边同加一个数以保持等式平衡”的原理，规范书写配方过程。 3. 初步体会配方法在求代数式最值中的应用，感受“配方”作为一种数学变形工具的通用性，为后续学习公式法奠定基础。 ▌课时目录 知识点01：配方法的适用对象 知识点02：二次项系数为1时的配方步骤 知识点03：二次项系数不为1时的配方步骤 知识点04：配常数项的确定 知识点05：配方过程中的等式平衡原理 知识点06：完全平方式的识别与配方常数 知识点07：配方法在求代数式最值中的应用 ▌知识点01：配方法的适用对象 配方法适用于所有一元二次方程，是推导一元二次方程求根公式的基础。尤其当一元二次方程的二次项系数化为1后，一次项系数为偶数时，使用配方法较为简便。 对于不能直接开平方的方程，通过配方可将其转化为形如(x＋m)2＝n（n≥0）的方程，进而用直接开平方法求解。 1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，对左边配方后即可求出的值． 【详解】解：原方程为，一次项系数为，其一半的平方为， 方程两边同时加，可得， 由完全平方公式整理左边，得， 要求方程化为的形式， ． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期末）解下列方程：； 【答案】(1)，； 【分析】用配方法变形方程后开方求解； 【详解】解：移项得， 配方得， 即， 开方得， 解得，． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：移项，得：． 配方，得． 即． ∴，即，． ∴，． 4．（25-26八年级下·安徽六安·期末）解一元二次方程：． 【答案】或 【详解】解：， ， ， 所以， 所以或， ▌知识点02：二次项系数为1时的配方步骤 对于形如x²＋px＋q＝0（二次项系数为1）的方程，配方法步骤： 1. 移项：将常数项移到等号右边，得x²＋px＝－q； 2. 配方：方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”，即(p)²，得x²＋px＋(p)²＝－q＋(p)²，左边化为(x＋p)²； 3. 开平方：对变形后的方程(x＋p)²＝n用直接开平方法求解； 4. 写出解。 例如：解方程x²＋6x－7＝0→移项得x²＋6x＝7→配方得x²＋6x＋9＝7＋9，即(x＋3)²＝16→开平方得x＋3＝±4→x₁＝1，x₂＝－7。 5．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）用配方法解方程时，若将方程变形为，则____． 【答案】 【分析】先对原方程进行配方，得到的形式后确定与的值，再代入计算即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理，得， 对比，可得，， ∴． 6．（25-26八年级下·浙江金华·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】方程运用配方法解答即可； 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：，； 7．（25-26八年级下·山东威海·期中）解下列方程：（用配方法）． 【答案】(1)， 【详解】解：， ， ， ， ， ，即或， 解得，． 8．（25-26九年级下·山东烟台·期中）解方程配方法：． 【答案】 【分析】首先把方程整理成一元二次方程的一般形式，再利用配方法求解； 【详解】解：, 去分母得：， 移项得：， 配方得：， ， 两边同时开平方得：， 解得：，； ▌知识点03：二次项系数不为1时的配方步骤 对于形如（）的方程，配方法的核心思路是先将方程两边同时除以a，使二次项系数化为1，再按上一课时的方法配方求解。完整步骤： 1. 化二次项系数为1：方程两边同除以a，得； 2. 移项：； 3. 配方：两边同时加上“一次项系数一半的平方”，即，得； 4. 左边写成完全平方式：； 5. 开平方求解。 例如：解方程2x²＋8x－10＝0→两边除以2得x²＋4x－5＝0→移项得x²＋4x＝5→配方得x²＋4x＋4＝5＋4，即(x＋2)²＝9→x＋2＝±3→x₁＝1，x₂＝－5。 9．（25-26八年级下·上海·期中）（用配方法解方程） 【答案】 ， 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得，. 10．（25-26八年级下·浙江金华·期中）解方程： 【答案】， 【分析】方程去括号，整理后运用配方法解答即可； 【详解】解：， ， ， ， ， ∴，； 11．（25-26八年级下·北京·课后作业）用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将原方程整理后利用配方法解方程即可； （2）将原方程整理后利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， 原方程整理得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：，； （2）解：， 原方程整理得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：，． 12．（25-26九年级下·江苏盐城·阶段检测）解方程（组）：． 【答案】 【分析】把方程化为，再进一步求解即可． 【详解】解：， 移项：， 配方：， ∴， ∴， ∴， ∴． ▌知识点04：配常数项的确定 完全平方式的标准形式为。在配方中，已知x2＋bx，要使其成为完全平方式，则：中间项bx对应±2ab，其中a＝x，故±2b＝b（系数），解得b＝；因此，常数项b2＝()2。 例如：x2－8x中，一次项系数为-8，故配方常数为()2＝16，即x2－8x＋16＝(x－4)2。 13．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如果用配方法解一元二次方程，那么方程可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边整理为完全平方式即可得到结果． 【详解】解： ∵原方程为， ∴移项得， ∴， ∴整理得 ． 14．（25-26九年级上·广西来宾·期末）将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（　　） A．1，2 B．1， C．， D．，2 【答案】D 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即，整理为的形式得， ，． 15．（25-26九年级上·山西晋中·期末）我们知道配方法是解一元二次方程的一种基本方法，例如，将一元二次方程化为的形式，然后两边同时开平方求解，这个过程体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．函数思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】C 【分析】本题考查配方法体现的数学思想，需结合配方法的转化过程，对照各数学思想的内涵进行判断． 【详解】解：∵配方法解一元二次方程时，将原方程通过配方转化为的形式，即将不易直接求解的一元二次方程转化为可直接开平方求解的形式， ∴该过程体现的数学思想是转化思想， 故选：C． 16．（25-26九年级下·广东惠州·开学考试）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：① ③ 或④ ⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】（1）步骤②中，等式两边没有同时加1； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：第二步出现错误，原因是右边没有加1， 故答案为：②； （2）解：， 配方得，即， 开方得或， ∴． ▌知识点05：配方过程中的等式平衡原理 配方过程必须遵循等式的基本性质：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。在配方时，为了使左边构成完全平方式而添加的常数项，必须同时在方程右边也加上相同的常数，以保持等式成立。 例如：对x²－4x＋3＝0配方，移项得x²－4x＝－3，左边需要添加(－4×)²＝4才能构成完全平方式，因此右边也必须同时加4，得x²－4x＋4＝－3＋4，即(x－2)²＝1。若只在左边加4而右边不加，则破坏了等式的平衡，导致求解错误。这是配方法中最容易忽视的环节，需特别强调。 17．（25-26九年级上·河北沧州·期末）一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，据此计算即可判断． 【详解】解：∵原方程整理成一般形式后该方程的常数项为0， ∴原方程为， 配方得，即， ∴，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 18．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）把关于x的一元二次方程配方，得，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法、多项式相等的条件以及代数式求值，熟练掌握配方法的步骤和多项式系数对应相等的性质是解题的关键． 先将配方后的方程展开，再与原方程比较对应项的系数，求出和的值，最后计算的值． 【详解】解：， ， ∵与是同一个方程， ∴，． ∴，． ∴． 故答案为：． 19．（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）某同学解一元二次方程的解题步骤如下： 解：① ② ③ ④ 该方程没有实数根⑤ (1)问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________． (2)请写出用配方法解方程的正确过程． 【答案】(1)第③步，方程两边未同时加上 (2) 或 【分析】（1）根据解方程的步骤分析判断即可； （2）利用配方法得出，解方程即可． 【详解】（1）解：这位同学解方程的过程中，从第③步开始写错了，错误原因是方程两边未同时加上． （2） 略 20．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）以下是小姜与小林分别解一元二次方程的结果，他们做的对吗？回答下列问题： 小姜 小林 解： ① ② ③ ④ ⑤ 解得：， ⑥ 解： ① ② ③ ④ ⑤ 解得：， ⑥ (1)王老师说小姜和小林的计算过程均有错误，分别指出他们错在哪一步． (2)请你正确求解一元二次方程 【答案】(1)小姜错在第③步；小林错在第③步 (2)， 【分析】（）根据完全平方公式的特点及等式的性质判断即可求解； （）利用配方法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：小姜错在第③步，应加上而不是；小林错在第③步，只左边加了，右边没有加； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， 解得， ． ▌知识点06：完全平方式的识别与配方常数 完全平方式的标准形式为(x＋m)²＝x²＋2mx＋m²，其中m为任意实数。识别要点： 1. 二次项系数为1； 2. 常数项是一次项系数一半的平方； 3. 中间项系数与常数项满足关系：。给定二次项和一次项，配方常数为(×一次项系数)²。 例如：x²－10x需要添加(－10×)²＝25才能构成完全平方式(x－5)²；3x²＋12x提取3得3(x²＋4x)，括号内需添加4，即3(x＋2)²－12。 注意：当二次项系数不为1时，配方常数需结合提取公因数的操作来确定，不能机械套用公式。 21．（25-26九年级上·广东深圳·期末）用配方法解一元二次方程时，应在方程两边同时加上（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程时，若二次项系数为1，那么需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，据此求解即可． 【详解】解： ，即， ∴用配方法解一元二次方程时，应在方程两边同时加上1， 故选：A． 22．（25-26九年级上·广东广州·期末）用配方法解方程时，通过配方后可得的形式，则m的值是（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法的步骤是解题的关键． 将常数项移到方程的右边，再将两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后对比即可解答． 【详解】解： 方程， 移项得， 配方得， 即， ∵方程配方后可得． ∴， 故选：A． 23．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 【答案】C 【分析】通过移项、配方将原方程化为题目要求的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比可得，， ∴． 24．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，关键是先将二次项系数化为，然后移项、配方，最后求解． 【详解】解：原方程为， 两边同除以得， 移项，得， 配方，两边加上，得， 即， 开平方，得， 解得； 所以原方程的根为：，． ▌知识点07：配方法在求代数式最值中的应用 对于形如（）的二次代数式，当a＞0时，通过配方可求其最小值；当a＜0时，可求其最大值。 原理：将配方为的形式，由于，故： 1. 若a＞0，当时，代数式有最小值n； 2. 若a＜0，当时，代数式有最大值n。 示例：求x2－4x＋5的最值。配方得(x－2)2＋1，因(x－2)2≥0，故当x＝2时，代数式有最小值1。 25．（25-26八年级上·四川眉山·期中）阅读材料： 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或求最值．例如： 材料一： 材料二： 的最小值为． 根据以上材料，解答下列问题： (1)依照阅读材料的方法分解因式：； (2)已知a、b、c是的三边长，且满足，求的周长； (3)已知实数a、b满足，求的最值． 【答案】(1) (2)12 (3)的最小值4，无最大值 【分析】本题考查了配方法、平方差公式以及完全平方公式的应用，熟记公式是解题的关键． （1）先通过配方法将多项式转化为完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解． （2）通过配方法将等式转化为完全平方和的形式，根据非负性求出三边长度，进而求出周长． （3）先用含的式子表示, 再代入, 通过配方法求最值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 解得， 的周长为； （3）解：， ， ， ， ， ， 有最小值4，无最大值． 26．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面的例题： 求代数式的最小值． 解：． ，， 的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值． 【答案】(1)2 (2)有最大值，最大值为12 【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）利用例题的解题思路，通过配方进行计算即可解答； （2）先提取负号，然后按照例题的解题思路将其配方，得到，再利用非负数的性质即可求出最大值． 【详解】（1）解：． ， ， 的最小值是2． （2）． ， ， 有最大值，最大值为． 27．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）阅读理解并解答： 【方法呈现】 （1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用． 例如：， ∵ ． 则这个代数式的最小值为_______，这时相应的x的值是________． 【尝试应用】 （2）求代数式的最小或最大值． 【拓展提高】 （3）已知a、b、c是的三边长，满足，求c的取值范围． 【答案】（1）2，（2）；（3） 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的三边关系，解题的关键是掌握完全平方公式的应用． （1）利用非负数的性质确定代数式的最值； （2）利用完全平方公式变形，最后确定最值； （3）变形等式，利用非负数的性质，求出、的值，再利用三角形的三边关系确定边长的取值范围． 【详解】解：（1）∵代数式 ∴代数式的最小值是，这时相应的的值是； （2） ∵ ∴， ∴代数式有最小值； （3）∵a，，是的三边长，满足， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 28．（24-25九年级上·海南海口·阶段检测）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式    解：原式              ，         ， 即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)因式分解：． (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了配方法的应用，因式分解： （1）仿照题意利用配方法把原式变形为，再利用平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法得到，根据，得到，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为1． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·浙江金华·期末）用配方法解方程，下列配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的一般步骤计算即可得到结果． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， 整理得． 2．（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，使用移项、直接开平方的方法即可得到结果． 【详解】∵， ∴， 故． 3．（25-26九年级上·江西赣州·期末）小东在用配方法解方程时，配成，发现，判断该方程无实数根，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，关键是熟练应用配方法解题；将原方程配方后与所给方程对照，利用求的值即可． 【详解】解：， 配方得：， 即：， ∵，， ∴， 解得：． 故选：D ． 二、填空题 4．（25-26九年级上·陕西·期末）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为_______． 【答案】14 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到的值即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海·期中）将一元二次方程配方成的形式，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过移项和配方，将方程化为完全平方形式，从而确定和的值，再计算它们的和．取一次项系数一半的平方，再添加到方程两边形成完全平方式即可．解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）化二次项系数为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；（2）在方程两边加上一次项系数一半的平方；（3）配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】解：， 移项，得：， 配方，得：， 即， ∴方程可配方成， 又∵一元二次方程可配方成的形式， ∴，， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江苏南京·期中）若，是方程为常数的两个实数根．若，则p的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解与根的关系，熟练掌握对一元二次方程根的推到能力是解题的关键． 首先需要将给定的方程展开，转化为一般形式，再利用直接开平方法求出方程的两个根，最后根据两根之差的绝对值建立等式，从而求出p的值． 【详解】解：将方程用直接开平方法求解： 对等式两边开平方，得， 由此可求出方程的两个根： ，， 接下来计算两根之差的绝对值： ， 已知， ， 解得． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·山西晋中·期中）一元二次方程的解是________． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用直接开平方法求解一元二次方程． 【详解】解：由方程，两边开平方，得，即． 当时，解得； 当时，解得． 故答案为，． 8．（25-26九年级上·福建漳州·期中）把关于的一元二次方程配方，得，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，通过配方法，将方程左边配成完全平方式，右边为常数，比较系数得出c的值． 【详解】解：对方程进行配方，移项得， 两边同时加上一次项系数一半的平方16，得，即，与给定的比较，得， 解得． 故答案为：5． 三、解答题 9．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键． （1）根据直接开平方法步骤计算可得； （2）将常数项移到右边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得； （3）将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， 10．（25-26八年级下·山东威海·期中）关于x 的一元二次方程的一个根是 ，且a，b 满足，用配方法解关于y的方程. 【答案】， 【分析】根据方程的根的定义得到，根据二次根式有意义的条件求出的值，进而求出的值，再利用配方法解方程即可. 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程的一个根是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，. / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十五章一元二次方程 25.2.1配方法 课时2配方法 课时目标 1. 理解配方法的原理，掌握用配方法解一元二次方程的步骤，能熟练运用配方法求解数 字系数的一元二次方程。 2.能准确确定配方所需的常数项，理解配方过程中“等式两边同加一个数以保持等式平 衡”的原理，规范书写配方过程。 3.初步体会配方法在求代数式最值中的应用，感受“配方”作为一种数学变形工具的通 用性，为后续学习公式法奠定基础。 课时目录 知识点01：配方法的适用对象 知识点02：二次项系数为1时的配方步骤 知识点03：二次项系数不为1时的配方步骤 知识点04：配常数项的确定 1/11 知识点05：配方过程中的等式平衡原理 知识点06：完全平方式的识别与配方常数 知识点07：配方法在求代数式最值中的应用 知识点01：配方法的适用对象 配方法适用于所有一元二次方程，是推导一元二次方程求根公式的基础。尤其当一元二次 方程的二次项系数化为1后，一次项系数为偶数时，使用配方法较为简便。 对于不能直接开平方的方程，通过配方可将其转化为形如(x十m=n(≥0)的方程，进 而用直接开平方法求解。 1.(25-26八年级下陕西西安期末)用配方法将方程2+6x=5化成x+3)=m的形式，则”的值为 2.(25-26八年级下江苏南京期末)解下列方程：x2-6x+3=0: 3.(25-26八年级下·安徽合肥期末)解方程：x2-4x-6=0. 4.(25-26八年级下·安徽六安期末)解一元二次方程：x2-6x-4=0. 知识点02：二次项系数为1时的配方步骤 对于形如x2十x十q=0(二次项系数为1)的方程，配方法步骤： 移项：将常数项移到等号右边，得x2十px=一q: 1 配方：方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”，即(2p),得x2十x十(2p)?=一q十( 1 2p),左边化为+2p): 1 开平方：对变形后的方程x+2p)=n用直接开平方法求解： 写出解。 例如：解方程x2+6x-7=0→移项得x2+6x=7→配方得x2+6x十9=7+9，即(x十3)？=16→ 2/11 开平方得x十3=±4→x1=1,x2=-7。 5.(25-26八年级下安徽阜阳期中)用配方法解方程r+8x+3=0时，若将方程变形为x+P广=9，则 q-p=- 6.(25-26八年级下·浙江金华期中)解方程：2x2-4x+1=0. 3y2-6y+1=0 7.(25-26八年级下·山东威海·期中)解下列方程： (用配方法)· 825-26九年级下山东烟台期中)解方程配方法：)一6x-7=0 知识点03：二次项系数不为1时的配方步骤 对于形如a'+bx+c=0(a≠0,1)的方程，配方法的核心思路是先将方程两边同时除以 a,使二次项系数化为1，再按上一课时的方法配方求解。完整步骤： x+Bx+C-0 化二次项系数为1：方程两边同除以a,得aa; x2+2x=- 移项： aa: 配方：两边同时加上“一次项系数一半的平方”，即 得 + (2a a 2a b)2 b2-4ac x+ 左边写成完全平方式： 2a 4a2 开平方求解。 例如：解方程2x2+8x一10=0→两边除以2得x2+4x-5=0→移项得x2+4x=5→配方得x2 +4x+4=5+4,即6x+2)2=9→x+2=±3→x1=1,x2=-5。 9.(25-26八年级下·上海期中)（用配方法解方程)2x2-3x-3=0 3/11 10.(25-26八年级下·浙江金华期中)解方程： x(x-4)=1 11.(25-26八年级下·北京·课后作业)用配方法解下列方程： ①2-8r+13=0 2+5x+7=3x+11 12.(25-26九年级下·江苏盐城阶段检测)解方程（组）：x2+4x+1=0 知识点04：配常数项的确定 完全平方式的标准形式为a±2ab+b=(a±b。在配方中，己知x2+bx,要使其成为完全 6 平方式，则：中间项bx对应±2ab,其中a=x,故±2b=b（系数)，解得b=2;因此，常 6 数项b2=(2)2。 -8 例如：x2-8x中，一次项系数为-8，故配方常数为(2)2=16，即x2-8x+16=(x-4)2。 13.(25-26九年级上山西运城阶段检测)如果用配方法解一元二次方程x2-4x-1=0,那么方程可变形 为() A.(x-4=17B(x+4)=17 c.(x-2)}=5 D.(x-2}=-3 14.(25-26九年级上广西来宾期末)将方程-2x-1=0化成+=b (a、b为常数)的形式，则 a、b的值分别是() A.1,2 B.1,-2 C.-1,-2 D.-1,2 15.(25-26九年级上山西晋中·期末)我们知道配方法是解一元二次方程的一种基本方法，例如，将一元 二次方程+6x+5=0化为(x+3)=4 的形式，然后两边同时开平方求解，这个过程体现的数学思想 是() A.数形结合思想B.函数思想 C.转化思想 D.公理化思想 4/11 16.(25-26九年级下广东惠州开学考试)阅读下列关于解方程：x2-2x-9=0的解题过程，解决下列问 题 解：x2-2x=9① x2-2x+1=9② (x-=9⑧ x-1=3或x-1=-3④ .x=4,x2=-2 “⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤一（填序号）： (2)请你写出正确的解答过程. 知识点05：配方过程中的等式平衡原理 配方过程必须遵循等式的基本性质：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成 立。在配方时，为了使左边构成完全平方式而添加的常数项，必须同时在方程右边也加上 相同的常数，以保持等式成立。 例如：对x2一4x十3=0配方，移项得x2一4x=一3，左边需要添加（一4×2）=4才能构成完 全平方式，因此右边也必须同时加4，得x2一4x十4=一3+4，即(x一2)=1。若只在左边加 4而右边不加，则破坏了等式的平衡，导致求解错误。这是配方法中最容易忽视的环节， 需特别强调。 17. (25-26九年级上河北沧州期末)一元二次方程x2-6x-1= 的等号右边只有常数项，且该常数 项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为(x+广=6，则下 列判断正确的是() A.a=-3 B.a=3 C.b=10 D.b=-1 18。(25-26九年级上江西鹰潭期末)把关于x的一元二次方程-4+c=0配方，得x-m=9,则 c+m= 5/11 19.(25-26九年级上山西临汾阶段检测)某同学解一元二次方程2x2-6x+1=0的解题步骤如下： 解：2x2-6x=-1① -x= 该方程没有实数根⑤ (1)问：这位同学解方程过程中从第 步开始出现错误，错误原因是 (2)请写出用配方法解方程2x2-6x+1=0的正确过程. 20.(25-26八年级上浙江寒假作业)以下是小姜与小林分别解一元二次方程3x2-8x-16=0的结果，他们 做的对吗？回答下列问题： 小姜 小林 解：3x2-8x-16=0 解：3x2-8x-16=0 3x2二8x=16… 3x2-8x=16 ① ① 号9e 939③ x2_8x+1616 x+ 3+9=3.③ (g x-4=±4 3 323 .⑥ 4V5+4 解得： x-4+8 3, 七= 解得： 3 6/11 -4v7+8 -4V3+4 x2= 3 x2= …⑥ 3 …⑥ (1)王老师说小姜和小林的计算过程均有错误，分别指出他们错在哪一步， (2)请你正确求解一元二次方程3x2-8x-16=0 知识点06：完全平方式的识别与配方常数 完全平方式的标准形式为(x十m)P=x2+2x+2,其中m为任意实数。识别要点： 二次项系数为1： 常数项是一次项系数一半的平方： 中间项系数与常数项满足关系：一次项系数=2√常数项 给定二次项和一次项，配方常数 为(2×一次项系数)。 1 例如：x2-10x需要添加(-10×2)P=25才能构成完全平方式(x一5}；3x2+12x提取3得3(x2 +4x),括号内需添加4，即3+2)2-12。 注意：当二次项系数不为1时，配方常数需结合提取公因数的操作来确定，不能机械套用 公式。 21.(25-26九年级上广东深圳期末)用配方法解一元二次方程x2-2x=0时，应在方程两边同时加上 () A.1 B.2 c.-1 D.4 2.(25-26九年级上圹东广州期末)用配方法解方程-6x-2=0时，通过配方后可符（x-m=”的 形式，则m的值是() A.3 B.-3 C.6 D.-6 23.(2526八年级下江苏苏州期末)将一元二次方程+6x-1=0转化为x+m=”的形式，则m+n 的值为() A.8 B.11 C.13 D.16 24.（25-26八年级上上海奉贤期末)用配方法解方程：22-3x-)-0. 7/11 知识点07：配方法在求代数式最值中的应里 对于形如ar+bx+c=0(a≠0)的二次代数式，当a>0时，通过配方可求其最小值；当 a<0时，可求其最大值。 原理：将r2+bx+c=0配方为(x+m°+”的形式，由于(x+m≥0，故： 若a>0,当x=-m时，代数式有最小值： 若a<0,当x=-m时，代数式有最大值n。 示例：求x2一4x十5的最值。配方得(x-2)2+1,因(x一2)≥0，故当x=2时，代数式有最 小值1。 25.(25-26八年级上四川眉山期中)阅读材料： 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或求最值.例如： 材料一： x2+4x-5=x2+4x+ =(x+22-9 =(x+2+3)(x+2-3) =(x+5)(x-1) 材料二： +-5r44( =(x+2)2-9≥-9 .x2+4x-5 -9 的最小值为 根据以上材料，解答下列问题： (1)依照阅读材料的方法分解因式：x2+2x-8: 8/11 2)已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足d2+b2+c2+50=6a+8b+10c,求△ABC的周长： 3)已知实数a、b满足-a2+3a+b-5=0,求a+b的最值. 26.(25-26八年级下·全国课后作业)阅读下面的例题： 求代数式x2+6x+10的最小值 x2+6x+10=x2+6x+9+1=(x+3)2+1 解： (x+3)2≥0.(x+3)2+121 .x2+6x+10 的最小值是1. 请利用以上方法，解答下列问题： y2+10y+27 (1)求代数式 的最小值 (2)判断代数式8-m+4m有最大值还是有最小值，并求出该最值. 27.(24-25九年级上宁夏中卫期中)阅读理解并解答： 【方法呈现】 (1)配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用. 例如：r+2x+3=(+2x+z+2=(c++2 .(x+2≥0 （x+1)2+2≥2 则这个代数式x2+2x+3的最小值为 这时相应的x的值是 【尝试应用】 (2)求代数式x2-8x+10的最小或最大值. 【拓展提高】 (3)己知a、b、c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b-41,求c的取值范围. 9/11 28.(24-25九年级上海南海口阶段检测)【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式， 再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应 用 例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8.②求x2+6x+11的最小值. 解：原式=a+6a+9-1解：原式=x2+6x+9+2 =(a+3}2-1=(x+3}+2 =(a+3-1)(a+3+1)(x+3)2≥0 =(a+2)(a+4):.(x+32+2≥2 即x2+6x+11的最小值为2. 请根据上述材料解决下列问题： (1)因式分解：a2-12a+32, (2)求x2+8x+17的最小值. 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下·浙江金华期末)用配方法解方程x2-6x-9=0,下列配方结果正确的是() A.(x-3=0B.(x+3=18C.(x-3=18 D.(x-32=15 2.(25-26九年级上·甘肃平凉阶段检测)方程x2-4=0的解是() A.x=+2 B.x=±4 C.x=2 D.x=-2 3.(25-26九年级上江西赣州期未)小东在用配方法解方程2-4x=n时，配成x-2少=m,发现m<0, 判断该方程无实数根，则n的值可能是() A.1 B.0 C.-4 D.-5 10/11 二、填空题 4.(25-26九年级上陕西期未)用配方法解一元二次方程2-6x-5=0,将它转化为x+@=b的形式。 则b的值为 5.(25-26八年级上上海期中)将一元二次方程产+8x+5=0配方成x+=b的形式，则a+b的值为 6,(2526九年级上江苏南京期中)若5,5是方程《-m=D(mP为常数)的两个实数根.若 x1-x2=6 ,则卫的值为 7.(25,25九年级上山西晋中期中)一元二次方程x+3=9的解是 8.(25-26九年级上·福建漳州期中)把关于x的一元二次方程2-8x+c=0配方，得(x-m=山，则 C=- 三、解答题 9.(25-26九年级上·山东青岛阶段检测)用指定方法解下列一元二次方程： a)3(x-=12(直接开平方法)： g)r+4x-3=0 (配方法)： 6)y=y+4(配方法)· 10,(2526八年级下山东减海期中)关于×的一元二次方程+r+6=0(a40)的一个根是1，且 a,b满足 b=Va-3+v3-a-2 用配方法解关于y的方程旷+y+c=0 11/11