第二十五章一元二次方程、第二十六章二次函数、第二十七章反比例函数 暑假预习综合训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程、二次函数、反比例函数跨模块整合，通过基础辨析、综合应用及实际建模，系统考查代数核心知识逻辑与解题思维。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元二次方程|选择1-4、填空13-14、解答19-20|定义辨析、解法（配方法/求根公式）、根的判别式与应用|从概念到解法，再到实际问题（比赛场次）的方程建模，体现运算能力与应用意识| |二次函数|选择5、7、9、12，填空17-18，解答22-23、25|图像性质（开口/增减性）、最值、与方程不等式综合|以图像为载体，结合表格数据、实际情境（利润/面积），构建“性质-应用-最值”逻辑链，发展推理意识| |反比例函数|选择6、8、10-11，填空15-16，解答21、24|图像分布、增减性、与一次函数/几何图形综合|通过点坐标、图形面积（矩形/三角形）探究函数关系，强化几何直观与模型意识|

第二十五章一元二次方程、第二十六章二次函数 第二十七章反比例函数综合训练 一、选择题 1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（      ） A． B． C． D． 2.如果用配方法解一元二次方程=0，那么方程可变形为（　　） A. =0 B. =0 C. D. 3.定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 4.足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（      ） A．7 B．8 C．9 D．10 5. 二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（ ） x … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 -2 … A. 抛物线开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. 当时， D. 的最大值为 6.对于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A.图像分布在第二、四象限内 B．当时，随的增大而增大 C．图像经过点 D．若点都在函数的图像上，且时，则 7.二次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8.已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 9.如图是二次函数图象的一部分，则关于的不等式的解集是(　 　) A. B. C. D. 10.如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，轴于点C，轴于点D，连接．若点C的坐标为，，的面积为3，则的面积是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 11. 如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 6 12.如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根；⑤．其中，正确结论的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 13.一元二次方程的根为________． 14. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 15.已知点，在反比例上，若．则a的取值范围是________． 16.若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 17.抛物线经过点A（2，0），该抛物线顶点在直线上，则该抛物线解析式为______． 18.已知二次函数，对于该二次函数图象上的两点，，设，当时，恒成立，则的取值范围是________． 3、 解答题 19.解下列关于的一元二次方程： (1) (2) 20.已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求实数k的值． 21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是和3． (1)当时，自变量的取值范围为________； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向上平移m个单位长度后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若，求m的值． 22.某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）求月利润为7000元时，每件衬衫的售价； （3）求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 23.如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是。 （1）当矩形菜园的面积为时，求的长； （2）当矩形菜园的面积最大时，求的长． 24.矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点F的反比例函数的图象与边AB交于点E(8,m)，AB＝4． （1）如图1，若BE＝3AE． ①求反比例函数的表达式； ②将矩形OABC折叠，使O点与F点重合，折痕分别与x，y轴交于点H，G，求线段OG的长度． （2）如图2，连接OF，EF，请用含m的关系式表示OAEF的面积，并求OAEF的面积的最大值． 25.已知，二次函数． （1）若该图象过点，求函数的顶点坐标； （2）当时， y的最大值是，求a的值； （3）当时，若在函数图象上，且，求m的取值范围． 第二十五章一元二次方程、第二十六章二次函数 第二十七章反比例函数综合训练 1、 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B A B C D A C D B D C 二、填空题 13． ， 14. 2035 15. 16. 17. 18. 4、 解答题 19. 解下列关于的一元二次方程： （1） 解： 代入求根公式得 ∴， （2） 解： 整理得 因式分解得 ∴或 解得， 20.（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 即， 展开整理得， 解得； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ， 代入得， 整理得， 解得， ，， 不符合题意，舍去， ． 20. （1）或； （2）解：∵点 、点的横坐标分别是和3， ∴点、， 将点、代入一次函数得： ，解得：， ∴一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为； （3） 解：∵直线， ， 设直线与y轴交于点G， 令，则， ∴， 又， ， 即， 解得， ∴， ∴ 设平移后的函数解析式为： 把代入，得， 直线的表达式为， ∵直线向上平移m个单位长度， ∴平移后的函数解析式为：， ∴， 解得：． 22.（1）解：设每件衬衫的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元， 由题意得：， ∵每件售价不能高于105元， ∴， 解得：， 又∵x为正整数， ∴y与x的函数关系式为（，x为正整数）． （2）解：由题意得：， 解得：（舍弃）， ， 答：每件衬衫的售价90 元． （3）解：由（1）知， ∴，开口向下， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 此时每件衬衫的售价为（元）， 答：每件衬衫的售价定为 100 元时，每个月可获得最大利润，最大月利润 7200 元． 23. （1）解：设，则， ∴， 当时，解得，， ∵四边形是矩形，分别为边的中点， ∴，， ∵篱笆的长度是， ∴， ∴， ∵的长不超过， ∴， ∴， ∴， ∴的长为， （2） ∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大， 24.（1）解：①∵BE＝3AE，AB＝4， ∴AE＝1，BE＝3， ∴E(8，1)， ∴k＝8×1＝8， ∴反比例函数表达式为y； ②当y＝4时，x＝2， ∴F(2,4)， ∴CF＝2， 设OG＝x，则CG＝4﹣x，FG＝x， 由勾股定理得， ， 解得x， ∴OG； （2）解：∵点E、F在反比例函数的图象上， ∴CF×4＝8m， ∴CF＝2m， ∴四边形OAEF的面积为8×4 =-+4m+16＝﹣+20， ∵0＜m＜4， ∴当m＝2时，四边形OAEF的面积最大为20． 25.（1）解：把点代入中，得， 解得， ∴， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，， ∴把代入中，得， 当时， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，， ∴把代入中，得， ∴综上所述，a的值为或； （3）解：∵当时，，，在二次函数图象上， 此时抛物线开口向上，对称轴为直线， 故函数图象上的点离对称轴越近，函数值越小， ∵， ∴B点离对称轴的距离小于A点离对称轴的距离，A点离对称轴的距离小于C点离对称轴的距离， 即， 化简得， 由，两边平方得， 解得； 由，两边平方得， 解得， ∴m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $