25.1 一元二次方程的概念 课时同步训练 2026-2027学人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版数学九年级上册“一元二次方程的概念”同步练，以分层递进设计覆盖从概念识别到综合应用的完整路径，适配新授课知识巩固，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|定义、一般形式、各项名称与系数识别|以选择、填空题为主，如判断一元二次方程、转化一般形式，强化符号意识| |提升层|实际问题方程转化、隐含条件|结合增长率等情境题，如矩形面积问题，发展模型意识| |综合层|含参数方程参数求解|通过解答题考查二次项系数不为0的推理，提升逻辑思维|

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 ▌课时目标 1. 理解一元二次方程的定义，能准确识别一元二次方程，并掌握其一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）。 2. 能准确指出一元二次方程的二次项、一次项、常数项，以及对应的系数（含符号），并能将实际问题中的方程整理为一般形式。 3. 理解一元二次方程的隐含条件（二次项系数不为0），能解决含参数的一元二次方程中利用定义求参数取值范围或特定值的问题。 ▌课时目录 知识点01：一元二次方程的定义 知识点02：一元二次方程的一般形式 知识点03：二次项、一次项、常数项的名称 知识点04：二次项系数、一次项系数、常数项的识别 知识点05：判断一个方程是否为一元二次方程 知识点06：将实际问题方程化为一般形式并确定各项系数 知识点07：一元二次方程的隐含条件 知识点08：含参数的一元二次方程中利用方程反求参数 ▌知识点01：一元二次方程的定义 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。定义包含三个要点： 1. 是整式方程（分母不含未知数，根号内不含未知数）； 2. 只含一个未知数； 3. 未知数的最高次数为2。 例如：x²－3x＋2＝0、2x²＝5、x²＝4x都是一元二次方程；(x－1)(x＋2)＝0展开后也是一元二次方程。 1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 方程含两个未知数，不是一元二次方程． B. 方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程． C. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程． D. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 3．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）在下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A的方程，整理得，未知数最高次数为1，不符合一元二次方程定义； 选项B的方程含有2个未知数，不符合一元二次方程定义； 选项C的方程不是整式方程，不符合一元二次方程定义； 选项D的方程是整式方程，只含1个未知数，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程定义． 4．（25-26八年级下·浙江台州·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程需要同时满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：一元二次方程需同时满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程， 选项A：中未知数最高次数为1，是一元一次方程，故该选项不符合题意； 选项B：中含有两个未知数，是二元二次方程，故该选项不符合题意； 选项C：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意； 选项D：中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意． ▌知识点02：一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为（），其中ax²是二次项，bx是一次项，c是常数项；a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项系数。将一元二次方程化为一般形式时，通常按未知数的降幂排列（先二次项、再一次项、最后常数项）。 例如：3x²－5x＝2化为一般形式为3x²－5x－2＝0。 5．（25-26九年级上·河北保定·期末）将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将原方程所有项移至等号左边即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程化成一般形式是， 故选：． 6．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程通过移项化为（）的形式． 将方程右边的移到左边，使方程右边为即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（）， 将方程两边同时减去，得，对应选项B． 故选：B． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将方程化成一般形式是____________ 【答案】 【分析】一元二次方程的一般式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据多项式与多项式的乘法法则先去括号，然后移项，合并同类项计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即． 8．（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）一元二次方程化成一般形式为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题关键．先计算完全平方公式、去括号，再移项、合并同类项，整理成一元二次方程的一般式即可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． ▌知识点03：二次项、一次项、常数项的名称 在一般形式（）中： 1. 二次项为ax²； 2. 一次项为bx； 3. 常数项为c。 注意：系数是包括符号的，如方程3x²－5x－2＝0中，二次项3x²，一次项－5x，常数项－2。当某项系数为1或－1时，1通常省略不写。 9．（25-26八年级下·吉林·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解：已经是一般形式， 对应可得二次项系数，一次项系数，常数项． 10．（25-26八年级下·广西百色·期中）一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的有关定义，解题的关键是掌握相关定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，一般形式为，其中，，分别为二次项，一次项和常数项．先将一元二次方程化为一般式，即可求解． 【详解】解：由可得， 则常数项为，D选项符合题意． 11．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）一元二次方程的二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式（），再根据定义确定一次项系数和常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为， 方程可整理为， 一次项系数、常数项分别是，， 故选：D． 12．（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）一元二次方程的一次项系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式（），再根据一般形式确定一次项系数． 【详解】解： ∴ ∵一元二次方程的一般形式为（），其中为一次项系数 ∴该方程的一次项系数是， 故选：D． ▌知识点04：二次项系数、一次项系数、常数项的识别 在一般形式（）中： 1. 二次项为ax²，二次项系数为a； 2. 一次项为bx，一次项系数为b； 3. 常数项为c。 注意：系数是包括符号的，如方程3x²－5x－2＝0中，二次项系数a＝3，一次项系数b＝－5，常数项c＝－2。当某项系数为1或－1时，1通常省略不写，但指出系数时需补出（如x²－3x＝0中，二次项系数a＝1）。 13．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）方程展开为一般形式后，一次项系数是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式和系数，其一般形式为．方程整理为一般形式，确定出一次项系数即可． 【详解】解：方程整理得：， 则方程的一次项系数是． 故选：A． 14．（25-26九年级上·河南许昌·期末）将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程化为（）的形式，从而确定二次项系数和一次项系数； 先展开方程左边的完全平方，再移项合并同类项，得到一般形式，进而确定二次项系数和一次项系数． 【详解】解： 二次项系数为2，一次项系数为，此选项B符合题意． 故选：B． 15．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是，则这个一元二次方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A选项：是一元一次方程，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意； B选项：的二次项系数为1，常数项为2，故本选项不符合题意； C选项：的常数项为，故本选项不符合题意； D选项：将移项得，其中二次项系数为3，常数项为，故本选项符合题意； 故选D 16．（25-26九年级上·河南周口·期末）将方程改写成的形式，则的值分别为（   ） A．1，3，2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程转化为一般式后，进行判断即可． 【详解】解：， ， ，，． 故选：D． ▌知识点05：判断一个方程是否为一元二次方程 判断步骤： 1. 看是否为整式方程（分式方程、根式方程不是一元二次方程）； 2. 看是否只含一个未知数； 3. 看未知数最高次数是否为2。 三个条件必须同时满足。 易错题辨析： 1. 不是（分式方程）； 2. x²＋y²＝5不是（两个未知数）； 3. 2x＋3＝0不是（最高次数为1）； 不一定是（未说明，当a＝0时为一次方程）。 17．（25-26九年级上·云南昭通·期末）一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键．将方程化为一般形式后，识别系数并求和． 【详解】解：原方程：， 移项得：， ，，， ， 故选：A． 18．（25-26八年级下·山东东营·期中）下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义逐个判断方程，统计符合条件的个数即可得到结果，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解： ∵①满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵②未说明，当时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 ∵③是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥展开整理原方程得，化简得，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 19．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A中方程含有和两个未知数，不符合一元二次方程定义，所以A不符合题意； 选项B中方程整理为，只含一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程定义，所以B符合题意； 选项C中方程含，分母含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，所以C不符合题意； 选项D中方程展开化简得，即，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义，所以D不符合题意． 20．（25-26八年级下·浙江台州·期中）下列关于的方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程必须满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，依次判断各选项即可． 【详解】选项A中，原方程整理得 ，满足一元二次方程的全部条件，故A符合要求； 选项B中，原方程是分式方程，不是整式方程，故B不符合要求； 选项C中，原方程含有两个未知数，故C不符合要求； 选项D中，原方程整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，故D不符合要求． 故选：A． ▌知识点06：将实际问题方程化为一般形式并确定各项系数 解决实际问题时，先根据题意列出方程，再通过移项、去括号、合并同类项等步骤化为一般形式，最后确定各项系数。 示例：用一根长为24cm的铁丝围成一个面积为32cm²的矩形，设矩形的一边长为xcm，则另一边长为(12－x)cm，列方程x(12－x)＝32，展开得12x－x2＝32，移项得一般形式－x2＋12x－32＝0（或x2－12x＋32＝0）。此时二次项系数a＝－1（或1），一次项系数b＝12（或－12），常数项c＝－32（或32）。 21．（25-26八年级·全国·暑假作业）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月增长率为x，由题意列方程应为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为平均增长率实际问题，解题思路是先求出每月的营业额，再根据第一季度总营业额等于三个月营业额之和列方程． 【详解】解：平均每月增长率为，则二月份营业额为万元，三月份营业额为万元， 根据题意，得， 即． 22．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）如果一个直角三角形三边的长为连续整数，求它的斜边长．若设这个直角三角形的斜边长为，则可列方程______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理和一元二次方程的应用，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 由于直角三角形三边为连续整数且斜边最长，设斜边长为，则两直角边分别为和，根据勾股定理列出方程． 【详解】解：设斜边长为，则两条直角边长分别为和． 由勾股定理，得． 故答案为：． 23．（2026·江苏泰州·一模）某特色美食街的商户二月份的营业额为300万元，四月份的营业额为432万元，若月均增长率为x，则根据题意可列方程为_________． 【答案】 【分析】根据 二月份的营业额为万元，月均增长率为，得到 三月份的营业额为万元，四月份的营业额为万元，结合 四月份的营业额为万元，即可列得方程． 【详解】解：根据题意， 可列方程为． 24．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，学校计划用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，菜地的一边利用墙、设菜地垂直于墙的一边长为，可列方程是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由篱笆的总长及垂直于墙的篱笆长度，可得出平行于墙的篱笆长为，根据长方形菜地的面积为，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：∵要用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，垂直于墙的边长为， ∴平行于墙的边长为， 根据题意，可得． 故答案为：． ▌知识点07：一元二次方程的隐含条件 一元二次方程必须满足，这是隐含条件，也是判断方程是否为一元二次方程的重要依据。若题目中说“关于x的方程是一元二次方程”，则隐含；若未说明，则需分类讨论：当时为一元二次方程，当a＝0时退化为一元一次方程bx＋c＝0。 例如：关于x的方程(m－2)x²＋3x－5＝0是一元二次方程，则m－2≠0，即m≠2。 该隐含条件在含参问题中尤为重要，常作为求参数取值范围的限制条件。 25．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）若方程是一元二次方程，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，关键是熟练应用； 根据一元二次方程的定义，方程最高次项必须为次，且二次项系数不能为． 【详解】解：化简原方程得：， ∵方程为一元二次方程， ∴ 且 ， 由，得 或 ， 又∵ ， ∴， ∴． 故选：B． 26．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若是关于的一元二次方程，则的值是_____． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟记未知数最高次为2，二次项系数不为0的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 根据一元二次方程的定义得到，，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴或， ∵， ∴， ∴舍去， 故， 故答案为：． 27．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段检测）若是一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【分析】本题考查根据一元二次方程的定义求参数的值，根据一元二次方程的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故答案为： 28．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：4． ▌知识点08：含参数的一元二次方程中利用方程反求参数 已知方程是一元二次方程，求参数的值或取值范围时，需利用“二次项系数不为0”的条件。 示例1：若方程是一元二次方程，则，即。 示例2：若方程是一元二次方程，则，解得。 29．（25-26九年级上·吉林白城·阶段检测）已知是关于的一元二次方程，则代数式______． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．利用一元二次方程的定义求出m的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：由是关于x的一元二次方程，得到， 则原式． 故答案为：． 30．（25-26九年级上·湖北·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程定义，熟练掌握一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程是解题的关键． 根据一元二次方程定义得出且，即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为： 31．（25-26九年级上·四川绵阳·阶段检测）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是____． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程，根据定义求解即可． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为：1． 32．（25-26九年级上·陕西延安·阶段检测）已知是关于的一元二次方程，则实数的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不符合题意； 、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不符合题意； 、方程中未知数的最高次数是，不是一元二次方程，该选项不符合题意． 2．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）下列各方程中一定是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程的定义为只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A选项只含有一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； B选项中，未说明，当时，方程不是一元二次方程； C选项中含有和两个未知数，不符合一元二次方程定义； D选项整理得，含有两个未知数，不符合定义． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程的二次项、一次项、常数项分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的标准形式及其各项的识别. 将方程化为标准形式后，确定各项系数及符号. 【详解】原方程整理为标准形式：. 其中，二次项为，一次项为，常数项为. 故选：C． 4．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）如果方程是关于x的一元二次方程，则k的值是（    ）． A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义得出且，再求出k的值即可． 【详解】解：由题意可得且， 解得． 故选：A． 二、填空题 5．（24-25九年级上·广东广州·期中）将一元二次方程化成一般形式为__ ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式：（）． 通过移项将方程化为一般形式（）． 【详解】解：原方程为，移项得． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）把方程化成一般式（a，b，c为常数且a≠0）的形式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为______． 【答案】0 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握相关知识是解决问题的关键．将方程化为一般形式后，确定二次项系数、一次项系数和常数项，再求它们的和． 【详解】解：方程 移项得 ， 则 ，，， ∴ ， 故答案为：0． 7．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）一元二次方程 的两根为，则 的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到及的值，代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）已知是关于的方程的一个根，则________． 【答案】 【分析】把代入方程中求得的值，再将所求代数式变形并整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴． 三、解答题 9．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)解这个方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的定义和求解方法是解题的关键． （1）依据一元二次方程未知数最高次数为2的定义，令方程中的次数等于2，从而列方程求解； （2）把求得的值代入原方程，再用合适的方法（如因式分解法）解一元二次方程． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：由（1）可知，方程为， ∴， ∴或， 解得，． 10．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【答案】3 【分析】此题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程，根据定义列方程求出答案 【详解】解：由一元二次方程的定义可知， 由①得． 由②得， 所以． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 ▌课时目标 1. 理解一元二次方程的定义，能准确识别一元二次方程，并掌握其一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）。 2. 能准确指出一元二次方程的二次项、一次项、常数项，以及对应的系数（含符号），并能将实际问题中的方程整理为一般形式。 3. 理解一元二次方程的隐含条件（二次项系数不为0），能解决含参数的一元二次方程中利用定义求参数取值范围或特定值的问题。 ▌课时目录 知识点01：一元二次方程的定义 知识点02：一元二次方程的一般形式 知识点03：二次项、一次项、常数项的名称 知识点04：二次项系数、一次项系数、常数项的识别 知识点05：判断一个方程是否为一元二次方程 知识点06：将实际问题方程化为一般形式并确定各项系数 知识点07：一元二次方程的隐含条件 知识点08：含参数的一元二次方程中利用方程反求参数 ▌知识点01：一元二次方程的定义 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。定义包含三个要点： 1. 是整式方程（分母不含未知数，根号内不含未知数）； 2. 只含一个未知数； 3. 未知数的最高次数为2。 例如：x²－3x＋2＝0、2x²＝5、x²＝4x都是一元二次方程；(x－1)(x＋2)＝0展开后也是一元二次方程。 1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）在下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江台州·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． ▌知识点02：一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为（），其中ax²是二次项，bx是一次项，c是常数项；a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项系数。将一元二次方程化为一般形式时，通常按未知数的降幂排列（先二次项、再一次项、最后常数项）。 例如：3x²－5x＝2化为一般形式为3x²－5x－2＝0。 5．（25-26九年级上·河北保定·期末）将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将方程化成一般形式是____________ 8．（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）一元二次方程化成一般形式为________． ▌知识点03：二次项、一次项、常数项的名称 在一般形式（）中： 1. 二次项为ax²； 2. 一次项为bx； 3. 常数项为c。 注意：系数是包括符号的，如方程3x²－5x－2＝0中，二次项3x²，一次项－5x，常数项－2。当某项系数为1或－1时，1通常省略不写。 9．（25-26八年级下·吉林·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 10．（25-26八年级下·广西百色·期中）一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 11．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）一元二次方程的二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 12．（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）一元二次方程的一次项系数是（   ） A． B． C． D． ▌知识点04：二次项系数、一次项系数、常数项的识别 在一般形式（）中： 1. 二次项为ax²，二次项系数为a； 2. 一次项为bx，一次项系数为b； 3. 常数项为c。 注意：系数是包括符号的，如方程3x²－5x－2＝0中，二次项系数a＝3，一次项系数b＝－5，常数项c＝－2。当某项系数为1或－1时，1通常省略不写，但指出系数时需补出（如x²－3x＝0中，二次项系数a＝1）。 13．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）方程展开为一般形式后，一次项系数是（   ） A． B．1 C． D．2 14．（25-26九年级上·河南许昌·期末）将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 15．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是，则这个一元二次方程可能是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26九年级上·河南周口·期末）将方程改写成的形式，则的值分别为（   ） A．1，3，2 B． C． D． ▌知识点05：判断一个方程是否为一元二次方程 判断步骤： 1. 看是否为整式方程（分式方程、根式方程不是一元二次方程）； 2. 看是否只含一个未知数； 3. 看未知数最高次数是否为2。 三个条件必须同时满足。 易错题辨析： 1. 不是（分式方程）； 2. x²＋y²＝5不是（两个未知数）； 3. 2x＋3＝0不是（最高次数为1）； 不一定是（未说明，当a＝0时为一次方程）。 17．（25-26九年级上·云南昭通·期末）一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 18．（25-26八年级下·山东东营·期中）下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 19．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 20．（25-26八年级下·浙江台州·期中）下列关于的方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． ▌知识点06：将实际问题方程化为一般形式并确定各项系数 解决实际问题时，先根据题意列出方程，再通过移项、去括号、合并同类项等步骤化为一般形式，最后确定各项系数。 示例：用一根长为24cm的铁丝围成一个面积为32cm²的矩形，设矩形的一边长为xcm，则另一边长为(12－x)cm，列方程x(12－x)＝32，展开得12x－x2＝32，移项得一般形式－x2＋12x－32＝0（或x2－12x＋32＝0）。此时二次项系数a＝－1（或1），一次项系数b＝12（或－12），常数项c＝－32（或32）。 21．（25-26八年级·全国·暑假作业）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月增长率为x，由题意列方程应为（     ） A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）如果一个直角三角形三边的长为连续整数，求它的斜边长．若设这个直角三角形的斜边长为，则可列方程______． 23．（2026·江苏泰州·一模）某特色美食街的商户二月份的营业额为300万元，四月份的营业额为432万元，若月均增长率为x，则根据题意可列方程为_________． 24．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，学校计划用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，菜地的一边利用墙、设菜地垂直于墙的一边长为，可列方程是_______． ▌知识点07：一元二次方程的隐含条件 一元二次方程必须满足，这是隐含条件，也是判断方程是否为一元二次方程的重要依据。若题目中说“关于x的方程是一元二次方程”，则隐含；若未说明，则需分类讨论：当时为一元二次方程，当a＝0时退化为一元一次方程bx＋c＝0。 例如：关于x的方程(m－2)x²＋3x－5＝0是一元二次方程，则m－2≠0，即m≠2。 该隐含条件在含参问题中尤为重要，常作为求参数取值范围的限制条件。 25．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）若方程是一元二次方程，则的值为（　　） A． B． C． D． 26．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若是关于的一元二次方程，则的值是_____． 27．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段检测）若是一元二次方程，则m的值为______． 28．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为____________． ▌知识点08：含参数的一元二次方程中利用方程反求参数 已知方程是一元二次方程，求参数的值或取值范围时，需利用“二次项系数不为0”的条件。 示例1：若方程是一元二次方程，则，即。 示例2：若方程是一元二次方程，则，解得。 29．（25-26九年级上·吉林白城·阶段检测）已知是关于的一元二次方程，则代数式______． 30．（25-26九年级上·湖北·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则的值是________． 31．（25-26九年级上·四川绵阳·阶段检测）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是____． 32．（25-26九年级上·陕西延安·阶段检测）已知是关于的一元二次方程，则实数的值为________． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）下列各方程中一定是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程的二次项、一次项、常数项分别为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）如果方程是关于x的一元二次方程，则k的值是（    ）． A．2 B． C． D．3 二、填空题 5．（24-25九年级上·广东广州·期中）将一元二次方程化成一般形式为__ ． 6．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）把方程化成一般式（a，b，c为常数且a≠0）的形式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为______． 7．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）一元二次方程 的两根为，则 的值为______． 8．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）已知是关于的方程的一个根，则________． 三、解答题 9．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)解这个方程． 10．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $