7.1条件概率与全概率公式专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 高中数学一轮复习专项训练，聚焦条件概率与全概率公式，以公式应用为主线，分层突破计算与实际应用，发展逻辑推理与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |计算条件概率|6题|条件概率公式直接应用；独立性判定与性质|从概念辨析到公式直接计算，夯实基础| |实际问题中的条件概率|6题|情境化事件定义；古典概型下条件概率计算|联系生活实际，强化公式应用能力| |利用全概率公式求概率|5题|划分完备事件组；分步求和计算总概率|承接条件概率，构建多情况综合计算框架| |利用贝叶斯公式求概率|7题（含3解答题）|逆概率思维；结合全概率公式求解后验概率|深化概率逆向推理，形成完整概率计算体系|

7.1条件概率与全概率公式 知识点一 计算条件概率 1．设事件，相互独立，且，则下列命题正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知随机事件，相互独立，，，则（    ） A． B． C． D． 3．对于事件，，，，，则（     ） A． B． C． D． 4．已知随机事件，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知条件概率，，则（   ） A． B． C． D． 6．（多选）若，为两个随机事件，且，，，则（     ） A． B． C． D．与相互独立 知识点二 实际问题中的条件概率 7.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率为（    ） A． B． C． D． 8．从装有个红球和个白球的口袋中任取个小球，在其中个小球是红球的条件下，个小球都是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 9．近年来，河南旅游事业得到飞速发展，越来越多的游客选择来河南旅游，现甲、乙两位游客准备从万岁山武侠城、清明上河园、只有河南、龙门石窟、老君山五处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往龙门石窟”，事件“甲和乙选择不同的景点”，则（     ） A． B． C． D． 10．已知张奖券中只有张有奖，现有人依次不放回地各随机抽取张，设每张奖券被抽到的可能性相同，记事件“第个人抽取并中奖”，则（    ） A．事件与独立 B． C． D． 11．（多选）中国科学院海洋研究所（海洋）､青岛港自动化码头（科技）､中国人民解放军海军博物馆（人文）是青岛市适合高中生的代表性研学地点.现有甲､乙､丙､丁4位同学计划利用假期研学，每人从这三个地点中随机选择一个前往，且每个地点至少有一人前往.设事件A为“甲同学前往中国科学院海洋研究所研学”，事件B为“乙同学前往青岛港自动化码头研学”，则（    ） A．事件发生有12种方案 B． C． D． 12．（多选）已知为样本空间上的两个随机事件，其中，，则（    ） A． B．如果与为互斥事件，则 C．如果，则 D．如果与相互独立时，则 知识点三 利用全概率公式求概率 13．学校测试智能阅卷，启用了标注为甲，乙，丙的三款评卷系统．平台将随机调用甲，乙，丙的概率依次为，，．若甲，乙，丙批改一道数学题的正确率分别为，，．现随机抽取一道题目，则该题目被正确批改的概率为（    ） A． B． C． D． 14．某电子邮箱具有垃圾邮件过滤功能，若任意一封电子邮件为垃圾邮件的概率为，一封垃圾邮件被过滤的概率为，一封正常邮件（即非垃圾邮件）被过滤的概率为，则任意一封电子邮件被过滤的概率为（    ） A． B． C． D． 15．已知高二年级有数学和物理两个兴趣小组，其中数学兴趣小组有6名男生，3名女生；物理兴趣小组有5名男生，4名女生.现从数学小组随机选取1名同学加入物理小组，从调整后的物理小组任意选出1人，则选出的同学是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 16．由甲、乙两个车间生产的一批产品中，甲车间出品占70%，次品率为4%，乙车间出品占30%，次品率为2%，从这批产品中任取1件，取到次品的概率为（    ） A．0.034 B．0.03 C．0.036 D．0.032 17．超市的某商品从甲、乙两个工厂进货的数量分别占总数的，，且甲、乙两工厂此产品的优品率分别为，．若小明同学从该超市购买一件该商品，则该商品是优品的概率为（     ） A． B． C． D． 知识点四 利用贝叶斯公式求概率 18．某奶茶店两款招牌饮品，“乌龙奶芙”的顾客点单率为，“生椰拿铁”的点单率为；点乌龙奶芙的顾客选择加珍珠的概率为，点生椰拿铁的顾客选择加珍珠的概率为，若已知某顾客点单时加了珍珠，则该顾客点的饮品是乌龙奶芙的概率为（    ） A． B． C． D． 19．某中学食堂安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“正常”或“异常”两种判断.现对系统进行测试，结果如下：食堂员工被判定为“异常”的概率为，非食堂员工被判定为“正常”的概率为已知进入该食堂的人员中，非食堂员工和食堂员工的比为：，经测试某人被判定为“正常”，则其是食堂员工的概率为（    ） A． B． C． D． 20．在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，三个地区人口数之比为．现从这三个地区中任意选取一人，如果此人患了流感，则此人来自丙地区的概率是（    ） A． B． C． D． 21．现有甲、乙、丙三个车间生产某种产品，其中甲车间每日生产件，乙车间每日生产件，丙车间每日生产件，产品的合格率分别为、、，现随机抽取件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自丙车间的概率为（     ） A． B． C． D． 22．某题库中有，，三类题目，所占比例分别为，，．小明答对，，三类题目的概率分别为，，．若他从该题库中任选一题作答并且回答正确，则此题来自类题目的概率为（    ） A． B． C． D． 23．设某批产品中，编号为1，2，3的三个厂生产的产品分别占、、，各厂产品的次品率分别为、、．现从中任取一件， (1)求取到的是次品的概率； (2)经检验发现取到的为次品，问该次品来自哪个厂的可能性最大． 24．某单位有甲、乙两家食堂，员工小张第一天随机选择一家食堂就餐，若他第一天去甲食堂，则他第二天去乙食堂的概率为0.8；若他第一天去乙食堂，则他第二天去甲食堂的概率为0.6． (1)求小张第二天去乙食堂的概率； (2)若小张第二天去了乙食堂，求他第一天去甲食堂的概率． 25．某系列盲盒中有隐藏款、稀有款、普通款三种玩偶，从中随机抽取一盒，每盒必为其中一款.已知抽到隐藏款、稀有款、普通款的概率分别为、、，若抽到隐藏款、稀有款、普通款，则消费者给出好评的概率依次为、、. (1)求随机抽取一盒盲盒，消费者给出好评的概率； (2)若消费者未给出好评，求其抽到普通款的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A A A ACD D A D C 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 ACD ABD B C B A C A D A 题号 21 22 答案 A A 1．C 【详解】对于A选项，事件“”表示与至少有一个发生，其概率应为：， 由于相互独立，所以，故，所以A错误； 对于B选项，对于独立事件，正确的乘法公式是：，所以B错误； 对于C选项，由条件概率公式：，因为相互独立，所以， 代入上式：， 所以C正确； 对于D选项，由C选项已得，而题目并没有给出的条件， 所以一般不等于，例如：若，，则，所以D错误． 2．A 【分析】利用相互独立事件的条件概率性质求出、，再结合和事件概率公式计算. 【详解】由随机事件，相互独立，则， 且事件，相互独立，故， 则，故 . 3．A 【分析】先算出 ；结合 求出交事件概率 ；再用条件概率公式计算 . 【详解】条件概率性质：, ，得，而， 由条件概率公式，得 = ，又， 由条件概率公式得=，A正确. 4．A 【详解】 . 5．A 【详解】根据条件概率公式， ． 6．ACD 【详解】, 选项 A,,A 正确; 选项 B,在发生的条件下，与对立,,B 错误; 选项 C, ,C 正确; 选项 D, ,故相互独立，D 正确 7．D 【分析】根据条件概率公式即可求解． 【详解】设“第1次抽到几何题”为事件，“第2次抽到代数题”为事件， 则， 所以． 8．A 【分析】通过条件概率公式即可求解. 【详解】设事件为“取出的个小球中至少有个是红球”，事件为“取出的个小球都是红球”， 从个球中任取个，总取法为种， 包含一红一白、两红两类情况，共种，故， 两红的取法共种，故， 由于，故，根据条件概率公式： ，故A正确. 9．D 【分析】求出、的值，结合条件概率公式可求得的值. 【详解】由题意可得， “甲和乙中有一人选择龙门石窟，另一人不选择龙门石窟”，则， 由条件概率公式可得. 10．C 【分析】利用事件的独立性、全概率公式和条件概率公式求解即可. 【详解】选项A：判断事件与是否独立，需验证： 由抽签原理，任意第个人中奖概率，因此， 计算（前两人都中奖）：，不满足独立定义，A错误； 选项B：由全概率公式计算：，B选项错误； 选项C：由上述计算，，C选项正确， 选项D：由条件概率公式：： ，， 因此：，D选项错误. 11．ACD 【分析】利用分类加法计数原理，组合排列计数及组合计数问题列式计算判断A；利用古典概率求解判断BC；利用条件概率公式推理判断D. 【详解】对于A，事件为“甲同学去研学海洋”，此时其余3名同学的分配： 一类是从其余3人中任选1人与甲同往，其余2人分别去研学科技与人文， 第二类是其余3人，选出2人合成一组，与剩下的1人分别去研学科技与人文， 共有种，A正确； 对于B，依题意，总基本事件数为，，B错误； 对于C，事件AB：当甲同学研学海洋，乙同学研学科技时，有两种情况： 丙丁两位同学研学人文，只有1种情况；丙丁中有1人去研学人文，另1人去研学海洋或科技，共有种， 因此事件共有种情况，，C正确； 对于D，由选项B知，而，则，D正确． 12．ABD 【分析】由条件概率计算公式，结合独立事件乘法公式，互斥事件积事件概率，逐项判断即可. 【详解】对于A，，A正确， 对于B，因为与为互斥事件，所以， 所以，B正确， 对于C，因为，所以， 所以，C错误， 对于D，因为与相互独立，所以， 所以，D正确. 13．B 【详解】设该题目被正确批改为事件, 事件为调用甲系统，概率为，正确率为， 事件为调用乙系统，概率为，正确率为， 事件为调用丙系统，概率为，正确率为， 由全概率公式得：． 14．C 【分析】先划分垃圾邮件、正常邮件两个互斥完备事件组，求出两类邮件各自的发生概率，再结合对应过滤的条件概率，套用全概率公式分别计算两类邮件被过滤的概率并求和，得到邮件整体被过滤的概率． 【详解】设“邮件是垃圾邮件”为事件，“邮件是正常邮件”为事件，“邮件被过滤”为事件， 则，，，， 所以． 15．B 【分析】分数学小组调去物理小组的是男生和从数学小组调去物理小组的是女生，两类情况讨论，再结合互斥事件和事件概率公式即可求解. 【详解】情况1：从数学小组调去物理小组的是男生 ， 数学小组共人，调男生的概率为； 调整后物理小组共人，男生变为人， 此时选出男生的概率为； 该情况的联合概率为：， 情况2：从数学小组调去物理小组的是女生， 调女生的概率为； 调整后物理小组共人，男生仍为人，此时选出男生的概率为​； 该情况的联合概率为：， 故从调整后的物理小组任意选出1人，则选出的同学是男生的概率为. 16．A 【详解】任取1件，这件产品来自甲车间为事件A，这件产品为次品为事件B， 则，，，， 可得， 故取到次品的概率为. 17．C 【详解】记事件“任意购买一件买到优品”，事件“买到甲工厂的产品”，事件“买到乙工厂的产品”， 则，， 所以买到优品的概率． 18．A 【分析】先用全概率公式求出顾客加珍珠的总概率，再用贝叶斯公式计算在加珍珠条件下点乌龙奶芙的概率． 【详解】设事件为“顾客点乌龙奶芙”，事件为“顾客点生椰拿铁”，事件为“顾客点单加珍珠”， 由题意：， 所以， 所以， 因此，某顾客点单时加了珍珠，则该顾客点的饮品是乌龙奶芙的概率为． 19．D 【分析】由全概率公式求出某人被判定为“正常”的概率，再由贝叶斯公式即可求得答案. 【详解】设表示“食堂员工”，表示“非食堂员工”，设表示“正常”， 已知非食堂员工和食堂员工的比为，则，， 食堂员工被判定为“异常”的概率为，则食堂员工被判定为“正常”的概率， 非食堂员工被判定为“正常”的概率， 因此某人被判定为“正常”的概率为， 所以. 20．A 【分析】先利用全概率公式计算任选一人为流感患者的概率，再通过贝叶斯公式求解该患者来自丙地区的条件概率. 【详解】设事件为“选取的人是流感患者”，事件分别表示此人来自甲、乙、丙地区. 由三个地区人口数之比为，可得各地区的选取概率： ，，， 由题意得各地区患流感的条件概率：，，. 根据全概率公式，任选一人为流感患者的概率为： . 再根据贝叶斯公式，已知此人患流感时来自丙地区的概率为： . 21．A 【分析】记事件、、分别表示随机抽取的件产品为甲、乙、丙车间生产的，事件为随机抽取件产品检验为不合格品，利用全概率公式求出的值，再结合条件概率公式求出的值. 【详解】记事件、、分别表示随机抽取的件产品为甲、乙、丙车间生产的，事件为随机抽取件产品检验为不合格品， 则，， 且，，， 由全概率公式可得 ， 由条件概率公式可得. 所以随机抽取件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自丙车间的概率为. 22．A 【分析】借助贝叶斯公式计算即可得. 【详解】设事件、、分别表示“小明从该题库中选中、、类题目”， 事件表示“小明答对了选中的题目”， 则 . 23．(1) (2)编号为2的工厂 【详解】（1）事件A表示“取到的是一件次品”，事件表示“取到的产品是由第i家工厂生产的”（）， 显然，，是样本空间S的一个划分，且有，，， ，，． 由全概率公式得 ． （2）由贝叶斯公式得 ， ， ． 所以，发现取到的为次品，该次品由编号为2的工厂生产的可能性最大． 24．(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件和条件概率性质求，再用全概率公式计算. （2）利用贝叶斯公式求解. 【详解】（1）设事件“第i天去甲食堂”， “第i天去乙食堂”，， 由题意得， ， 所以． 由全概率公式得小张第二天去乙食堂的概率为： ． （2）由（1）可知，若小张第二天去了乙食堂， 则他第一天去甲食堂概率为. 25．(1) (2) 【分析】（1）利用全概率公式，把三种款的概率与对应好评概率相乘再相加，即可得到结果； （2）先算出未给出好评的概率，再结合抽到普通款且未给出好评的概率，利用贝叶斯公式即可求得. 【详解】（1）设事件表示“抽到隐藏款”，表示“抽到稀有款”，表示“抽到普通款”， 事件表示“消费者给出好评”，事件表示“消费者未给出好评”. 根据题意，，两两互斥，且. 由题意得，，，，，. 由全概率公式，得， 所以消费者给出好评的概率为. （2）由（1）知，因此. 根据题意，得. 因为，，两两互斥，且， 由贝叶斯公式，得， 所以，若消费者未给出好评，其抽到普通款的概率为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $