第二章 有理数的运算 知识总结+练习 2026-2027学年人教版数学 七年级上册

该初中数学有理数运算单元复习讲义通过分板块系统梳理知识，以“全章知识清单”为框架涵盖加法、减法、乘法、除法、乘方、混合运算及科学记数法七大板块，每个板块明确运算法则、运算律并标注“★重点”“⚠易错”，构建清晰知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于分层训练设计，A至D档题涵盖基础巩固到压轴挑战，如微信交易收支计算培养应用意识，拆项法计算题提升运算能力与推理意识，助力学生分层提升，为教师精准教学提供有效支持。

初中数学（RJ）七年级上册 第二章　有理数的运算 学生版 一、全章知识清单 板块 1　　有理数的加法 有理数的加法运算法则： 1.同号相加：同号相加，符号不变，绝对值相加。即符号相同的数相加，和的符号与加数的符号一致，把绝对值相加。同为正数相加时，和大于每一个加数，同为负数相加时，和小于每一个加数。 2.异号相加：异号相加，取绝对值较大的数的符号，再把绝对值做差。大的绝对值减去小的绝对值。 3.与0相加：任何数与0相加都等于任何数本身。 有理数的加法运算定律及其运算技巧： 1.加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变 2.加法结合律：在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 3. 有理数加法计算时的技巧： 相反数结合：互为相反数的两个数可先相加。 同分母结合：同分母或者分母成倍数的分数可先相加。 凑整结合：和为整数的数可先相加。 相同符号结合：符号相同的数可先相加。 （5）带分数拆项结合：带分数可分拆成整数部分和分数部分然后分别相加。（两部分符号与原符号一致） ★ 重点　加法法则与运算律：同号取原号、异号取绝对值大的号；可凑整、同号结合简化。 ⚠ 易错　异号相加用"大减小"而非相加；0 参与运算结果仍是原数。 板块 2　　有理数的减法： 1.减法运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法变成加法计算。即。 2.数轴上两点之间的距离：数轴两点之间的距离等于这两点表示的数的差的绝对值。若A、B表示的数是a、b，则之间的距离为|a－b|。 ★ 重点　减法化加法：减变加、减数变其相反数。 ⚠ 易错　只改变减数符号，被减数不变；"两数都变号"是最常见的错误。 板块 3　　有理数的乘法： 乘法运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘。 任何数与0相乘都等于0。任何数与1相乘的积是原数，与﹣1相乘得到它的它的相反数。 在有理数的乘法计算时，小数化成分数，带分数化成假分数。 多个有理数相乘时，先观察因数中有无0作为因数，若有0作为因数，则积为 0；若没有0作为因数，则根据负因数的个数先确定积的符号，当负因数的个数为奇数个时，积的符号为﹣，当负因数的个数为偶数个时，积的符号为正。再把所有因数的绝对值相乘。 乘法交换律：交换因数的位置，积不变。 乘法结合律：三个有理数相乘，先把前两个因数相乘或先把后两个因数相乘，积不变。 乘法分配律：一个数乘以几个数的和或差，等于这个数分别乘以这几个数的积的和或差。 ★ 重点　同号得正、异号得负，绝对值相乘；负因数个数为奇则负、为偶则正。 ⚠ 易错　含 0 因子积必为 0；符号看的是"负因数个数"而非"负号总数"。 板块 4　　有理数的除法： 除法运算法则：①除以一个数，等于乘以这个数的倒数。②两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除。0除以任何一个不为0的数都得0。若两数相除的结果为1时，这两个数相等，若两数相除的结果为﹣1时，这两个数互为相反数。 ★ 重点　除以非 0 数等于乘其倒数；0 不能作除数。 ⚠ 易错　只把除数取倒数，被除数不变；除数含字母先排除为 0 的情形。 板块 5　　有理数的乘方： 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。一般地：，记作，读作：a的次n方。当看做结果时也可读作a的次n幂。在中，叫作底数，叫作指数。 特别提示：当指数是1时，指数省略不写。当底数是负数或分数时，要把底数用括号括起来。正数的任何次方都是正数。负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数。0的任何正整数次方（除0外）都得0。1的任何次方都得1 ，﹣1的奇次方得﹣1，﹣1的偶次方得1。 ★ 重点　先定符号再求幂；括号包不包含负号结果可能完全不同。 ⚠ 易错　−aⁿ 与 (−a)ⁿ 勿混；乘方是乘法不是乘法次数相加。 板块 6　　有理数的混合运算： 先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左至右算起，有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号；能简便运算的采用简便运算。 ★ 重点　顺序：乘方 > 乘除 > 加减；有括号先算括号内；同级从左到右。 ⚠ 易错　最易错在优先级颠倒与从左到右顺序搞反，务必先判运算顺序再动笔。 板块 7　　科学记数法： 把一个大于10的数表示成的形式（其中大于或等于1且小于10，是正整数），这种记数方法叫作科学记数法。对于小于−10的数也可以类似表示。 ★ 重点　a×10ⁿ（1≤a<10），n＝整数位数−1，常用于大数表达。 ⚠ 易错　a 不可越界（≥10 或 <1），n 由小数点左移位数确定。 二、分层综合训练 A 档 　基础巩固　 1.　根据有理数加法法则，计算2+（﹣5）过程正确的是（　　） A．+（2+5）　　B．﹣（5﹣2）　　C．﹣（2+5）　　D．+（5﹣2） 2.　计算−+(−)的正确结果是（　　） A．　　B．−　　C．1　　D．﹣1 3.　已知|x|＝5，|y|＝2，且x＞y，则x+y的值是（　　） A．﹣7或2　　B．7或3　　C．﹣3或﹣2　　D．﹣3或7 B 档 　巩固提升　 1.　如图，小华爸爸的微信零钱在某日只发生了两笔交易，那么他当天微信零钱的最终收支情况是（　　） A．﹣10元　　B．+10元　　C．﹣5元　　D．+5元 2.　我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为（+1）+（﹣2）＝﹣1，由此推算图2可列的算式为（　　） A．（﹣6）+（+8）＝2 B．（+6）+（﹣8）＝﹣2 C．（﹣6）﹣（+8）＝14 D．（+6）﹣（﹣8）＝14 3.　已知|x|＝2，|y|＝1，那么|x+y|＝（　　） A．3　　B．1　　C．±3或±1　　D．3或1 4.　嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、7、﹣8分别填入图7中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则a+b的值为（　　） A．﹣7或4　　B．﹣8或1　　C．﹣1或﹣4　　D．1或﹣1 5.　计算：(−3.125)+(+4.75)+(−9)+(+5)+(−4)． 6.　计算：(1)3−(−)+0.25+(−)；(2)(+0.36)−(−2.64)+(−)−1.25． 7.　计算：6.868×(−5)+6.868×(−12)+17×6.868. 8.　计算15×(−)−15×+15× C 档 　提高拓展　 1.　某邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行2千米到达A村，继续向西骑行3千米到达B村，然后向东骑行9千米到达C村，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1厘米表示1千米，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置； (2)求这名邮递员一共骑行了多少千米？ 2.　小车司机某天下午的运输全是在东西走向的高速公路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程(单位：千米)如下： +14，−3，+7，−3，+11，−4，−3，+11，+6，−7，+9 (1)司机这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？ (2)司机这天下午共行车多少千米？ (3)若每千米耗油0.2升，则这天下午司机用了多少升油？ 3.　 七年级一班去实践基地采摘苹果，一共采摘了9筐苹果，以每筐30千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下： (1)有几筐苹果的质量超过标准质量？有几筐苹果的质量不足标准质量？ (2)这9筐苹果中，最接近标准质量的一筐苹果重多少千克？ (3)请你计算这9筐苹果一共多少千克？ D 档 　压轴挑战 1.　阅读下面文字： 对于(−5)+(−9)+17+(−3)，可以按如下方法计算： 原式=((−5)+(−))+((−9)+(−))+(17+)+((−3)+(−)) =((−5)+(−9)+17+(−3))+((−)+(−)++(−))=0+(−)=− 上面这种方法叫做拆项法，仿照上面的方法，请你计算：(−21)+(−20)+42+(−1) 2.　先阅读理解第（1）题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算：(−1)+(−5)+21+(−3) 解：原式=((−1)+(−))+(−5+(−))+21++((−3)+(−)) =[(−1)+(−5)+21+(−3)]+((−)+(−)++(−))=12+(−1)=10． 上面的计算方法叫作拆分法． （2）计算：(−2025)+(−2026)+4000+(−1)． 3.　计算：−120×(−3)+(−7)×(−3)+37×(−3)； 4.　计算： (1)1+3+5+7+9+…+95+97+99； (2)1−2+3−4+…+1997−1998+1999． 5.　类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：−=−==，我们将上述计算过程倒过来，得到==−，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项． 【类比探究】（1）猜想并写出：=__________． 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：+++⋯+． 【拓展提高】（3）计算：+++⋯+． 6.　某中学为提高中学生身体素质，积极倡导“阳光体育”运动，开展一分钟跳绳比赛．七年级某班10名参赛代表成绩以160次为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，成绩记录如下（单位：次）：+16，−1，+4，−2，−5，+12，−8，+1，+8，+15． (1)求该班参赛代表最好成绩与最差成绩相差多少? (2)求该班参赛代表一分钟平均每人跳绳多少次? (3)规定：每分钟跳绳次数为标准数量，不加分；超过标准数量，每多跳1个加1分；未达到标准数量，每少跳1个，扣0.5分，若班级跳绳总积分超过40分，便可得到学校的奖励，请通过计算说明该班能否得到学校奖励？ 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）七年级上册 第二章　有理数的运算 教师版 一、全章知识清单 板块 1　　有理数的加法 有理数的加法运算法则： 1.同号相加：同号相加，符号不变，绝对值相加。即符号相同的数相加，和的符号与加数的符号一致，把绝对值相加。同为正数相加时，和大于每一个加数，同为负数相加时，和小于每一个加数。 2.异号相加：异号相加，取绝对值较大的数的符号，再把绝对值做差。大的绝对值减去小的绝对值。 3.与0相加：任何数与0相加都等于任何数本身。 有理数的加法运算定律及其运算技巧： 1.加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变 2.加法结合律：在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 3. 有理数加法计算时的技巧： 相反数结合：互为相反数的两个数可先相加。 同分母结合：同分母或者分母成倍数的分数可先相加。 凑整结合：和为整数的数可先相加。 相同符号结合：符号相同的数可先相加。 （5）带分数拆项结合：带分数可分拆成整数部分和分数部分然后分别相加。（两部分符号与原符号一致） ★ 重点　加法法则与运算律：同号取原号、异号取绝对值大的号；可凑整、同号结合简化。 ⚠ 易错　异号相加用"大减小"而非相加；0 参与运算结果仍是原数。 板块 2　　有理数的减法： 1.减法运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法变成加法计算。即。 2.数轴上两点之间的距离：数轴两点之间的距离等于这两点表示的数的差的绝对值。若A、B表示的数是a、b，则之间的距离为|a－b|。 ★ 重点　减法化加法：减变加、减数变其相反数。 ⚠ 易错　只改变减数符号，被减数不变；"两数都变号"是最常见的错误。 板块 3　　有理数的乘法： 乘法运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘。 任何数与0相乘都等于0。任何数与1相乘的积是原数，与﹣1相乘得到它的它的相反数。 在有理数的乘法计算时，小数化成分数，带分数化成假分数。 多个有理数相乘时，先观察因数中有无0作为因数，若有0作为因数，则积为 0；若没有0作为因数，则根据负因数的个数先确定积的符号，当负因数的个数为奇数个时，积的符号为﹣，当负因数的个数为偶数个时，积的符号为正。再把所有因数的绝对值相乘。 乘法交换律：交换因数的位置，积不变。 乘法结合律：三个有理数相乘，先把前两个因数相乘或先把后两个因数相乘，积不变。 乘法分配律：一个数乘以几个数的和或差，等于这个数分别乘以这几个数的积的和或差。 ★ 重点　同号得正、异号得负，绝对值相乘；负因数个数为奇则负、为偶则正。 ⚠ 易错　含 0 因子积必为 0；符号看的是"负因数个数"而非"负号总数"。 板块 4　　有理数的除法： 除法运算法则：①除以一个数，等于乘以这个数的倒数。②两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除。0除以任何一个不为0的数都得0。若两数相除的结果为1时，这两个数相等，若两数相除的结果为﹣1时，这两个数互为相反数。 ★ 重点　除以非 0 数等于乘其倒数；0 不能作除数。 ⚠ 易错　只把除数取倒数，被除数不变；除数含字母先排除为 0 的情形。 板块 5　　有理数的乘方： 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。一般地：，记作，读作：a的次n方。当看做结果时也可读作a的次n幂。在中，叫作底数，叫作指数。 特别提示：当指数是1时，指数省略不写。当底数是负数或分数时，要把底数用括号括起来。正数的任何次方都是正数。负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数。0的任何正整数次方（除0外）都得0。1的任何次方都得1 ，﹣1的奇次方得﹣1，﹣1的偶次方得1。 ★ 重点　先定符号再求幂；括号包不包含负号结果可能完全不同。 ⚠ 易错　−aⁿ 与 (−a)ⁿ 勿混；乘方是乘法不是乘法次数相加。 板块 6　　有理数的混合运算： 先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左至右算起，有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号；能简便运算的采用简便运算。 ★ 重点　顺序：乘方 > 乘除 > 加减；有括号先算括号内；同级从左到右。 ⚠ 易错　最易错在优先级颠倒与从左到右顺序搞反，务必先判运算顺序再动笔。 板块 7　　科学记数法： 把一个大于10的数表示成的形式（其中大于或等于1且小于10，是正整数），这种记数方法叫作科学记数法。对于小于−10的数也可以类似表示。 ★ 重点　a×10ⁿ（1≤a<10），n＝整数位数−1，常用于大数表达。 ⚠ 易错　a 不可越界（≥10 或 <1），n 由小数点左移位数确定。 二、分层综合训练 A 档 　基础巩固　 1.　根据有理数加法法则，计算2+（﹣5）过程正确的是（　　） A．+（2+5）　　B．﹣（5﹣2）　　C．﹣（2+5）　　D．+（5﹣2） 【答案】B解：2+（﹣5）＝﹣（5﹣2）＝﹣3， 2.　计算−+(−)的正确结果是（　　） A．　　B．−　　C．1　　D．﹣1 【答案】D解：−+(−)=−（+）＝﹣1． 3.　已知|x|＝5，|y|＝2，且x＞y，则x+y的值是（　　） A．﹣7或2　　B．7或3　　C．﹣3或﹣2　　D．﹣3或7 【答案】B解：∵|x|＝5，|y|＝2，∴x＝±5，y＝±2， ∵x＞y，∴x＝5，y＝2或x＝5，y＝﹣2，∴x+y＝5+2＝7或x+y＝5+（﹣2）＝3 B 档 　巩固提升　 1.　如图，小华爸爸的微信零钱在某日只发生了两笔交易，那么他当天微信零钱的最终收支情况是（　　） A．﹣10元　　B．+10元　　C．﹣5元　　D．+5元 【答案】B解：由题意得+15+（﹣5）＝+10（元），∴他当天微信零钱的最终收支情况是+10元． 2.　我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为（+1）+（﹣2）＝﹣1，由此推算图2可列的算式为（　　） A．（﹣6）+（+8）＝2 B．（+6）+（﹣8）＝﹣2 C．（﹣6）﹣（+8）＝14 D．（+6）﹣（﹣8）＝14 【答案】B解：根据题意，得图2可列的算式为（+6）+（﹣8）＝﹣（8﹣6）＝﹣2， 3.　已知|x|＝2，|y|＝1，那么|x+y|＝（　　） A．3　　B．1　　C．±3或±1　　D．3或1 【答案】D解：∵|x|＝2，|y|＝1，∴x＝±2，y＝±1， 当x＝2，y＝1时，|x+y|＝|2+1|＝3， 当x＝2，y＝﹣1时，|x+y|＝|2+（﹣1）|＝|1|＝1， 当x＝﹣2，y＝1时，|x+y|＝|﹣2+1|＝1， 当x＝﹣2，y＝﹣1时，|x+y|＝|﹣2+（﹣1）|＝|﹣3|＝3， 综上，|x+y|＝3或1． 4.　嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、7、﹣8分别填入图7中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则a+b的值为（　　） A．﹣7或4　　B．﹣8或1　　C．﹣1或﹣4　　D．1或﹣1 【答案】A解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d， ∵﹣1+﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8＝﹣4，且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是﹣2，横、竖的和也是﹣2，则﹣4﹣6+b+7＝﹣2，得b＝1， 由﹣6﹣2+b+c＝﹣2，得c＝5， 由a+c﹣2+d＝﹣2，得a+d＝﹣5， 当a＝3时，d＝﹣8，则a+b＝3+1＝4， 当a＝﹣8时，d＝3，则a+b＝﹣8+1＝﹣7， 5.　计算：(−3.125)+(+4.75)+(−9)+(+5)+(−4)． 【答案】解：原式=−3+4−9+5−4=(−3−9)+(4+5)−4=−13+10−4=−3−4=−7． 6.　计算 (1)3−(−)+0.25+(−)；(2)(+0.36)−(−2.64)+(−)−1.25． 【答案】（1）3−(−)+0.25+(−)=−(−)++(−)=+−=4−=3． （2）(+0.36)−(−2.64)+(−)−1.25=(+0.36)+2.64+(−0.75)+(−1.25)=3+(−2)=1． 7.　计算：6.868×(−5)+6.868×(−12)+17×6.868. 【答案】解：6.868×(−5)+6.868×(−12)+17×6.868=6.868×((−5)+(−12)+17)=6.868×0=0． 6.　计算15×(−)−15×+15× 【答案】解：原式=15×(−−+)=15×(−−)=15×(−2)=−30． C 档 　提高拓展　 1.　某邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行2千米到达A村，继续向西骑行3千米到达B村，然后向东骑行9千米到达C村，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1厘米表示1千米，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置； (2)求这名邮递员一共骑行了多少千米？ ⚠ 易错　动点问题：先标出起点与运动方向，用"起点 ± 速度×时间"表示动点位置；涉及距离或相遇的条件，通常要分"相遇前、相遇后"两种情况讨论。 【答案】（1）解：如图所示： （2）解：由题意可得：(−2)+(−3)+9+4=2+3+9+4=18千米；答：这名邮递员一共骑行了18千米． 2.　小车司机某天下午的运输全是在东西走向的高速公路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程(单位：千米)如下： +14，−3，+7，−3，+11，−4，−3，+11，+6，−7，+9 (1)司机这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？ (2)司机这天下午共行车多少千米？ (3)若每千米耗油0.2升，则这天下午司机用了多少升油？ ⚠ 易错　动点问题：先标出起点与运动方向，用"起点 ± 速度×时间"表示动点位置；涉及距离或相遇的条件，通常要分"相遇前、相遇后"两种情况讨论。 【答案】（1）解：14−3+7−3+11−4−3+11+6−7+9=38（千米）， 答：师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地38千米； （2）解：14+(−3)+7+(−3)+11+(−4)+(−3)+11+6+(−7)+9=14+3+7+3+11+4+3+11+6+7+9=78（千米） 答：师傅这天下午共行车78千米； （3）解：78×0.2=15.6，答：这天下午师傅用了15.6升油． 3.　七年级一班去实践基地采摘苹果，一共采摘了9筐苹果，以每筐30千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下： (1)有几筐苹果的质量超过标准质量？有几筐苹果的质量不足标准质量？ (2)这9筐苹果中，最接近标准质量的一筐苹果重多少千克？ (3)请你计算这9筐苹果一共多少千克？ 【答案】（1）质量超过标准质量有：0.8,2.1,3.2,1.7，共4筐 质量不足标准质量有：−1.3,−3,−1.1,−0.6,−1.5，共5筐 故有4筐苹果的质量超过标准质量，有5筐苹果的质量不足标准质量； （2）∵(−0.6)<(0.8)<(−1.1)<(−1.3)<(−1.5)<(1.7)<(2.1)<(−3)<(3.2)∴30−0.6=29.4（千克） 故这9筐苹果中，最接近标准质量的一筐苹果重29.4千克 （3）30×9+(0.8−1.3−3+2.1+3.2−1.5−0.6+1.7−1.1)=270+0.3=270.3（千克） D 档 　压轴挑战 1.　阅读下面文字： 对于(−5)+(−9)+17+(−3)，可以按如下方法计算： 原式=((−5)+(−))+((−9)+(−))+(17+)+((−3)+(−)) =((−5)+(−9)+17+(−3))+((−)+(−)++(−))=0+(−)=− 上面这种方法叫做拆项法，仿照上面的方法，请你计算：(−21)+(−20)+42+(−1) 【答案】解：原式=(−21−)+(−20−)+42++(−1−)=(−21−20+42−1)+(−−+−)=0−=−． 2.　先阅读理解第（1）题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算：(−1)+(−5)+21+(−3) 解：原式=((−1)+(−))+(−5+(−))+21++((−3)+(−)) =[(−1)+(−5)+21+(−3)]+((−)+(−)++(−))=12+(−1)=10． 上面的计算方法叫作拆分法． （2）计算：(−2025)+(−2026)+4000+(−1)． 【答案】解：原式=((−2025)+(−))+((−2026)+(−))+ (4000+)+((−1)+(−)) =[(−2025)+(−2026)+ (−1)+4000]+((−)+(−)+(−)+)=−52+ (−)=−53． 3.　计算：−120×(−3)+(−7)×(−3)+37×(−3)； 【答案】解：原式=(−120+(−7)+37)×(−)=(−90)×(−)=×90=350． 4.　计算： (1)1+3+5+7+9+…+95+97+99； (2)1−2+3−4+…+1997−1998+1999． ⚠ 易错　除法化乘法时只把"除数"取倒数、被除数不变；0 不能作除数，遇到除数含字母要先排除为 0 的情形。 【答案】（1）解：1+3+5+7+9+…+95+97+99=(1+99)+(3+97)+(5+95)+…+(49+51) =(1+99)×50÷2=100×50÷2=5000÷2=2500． （2）解：1−2+3−4+…+1997−1998+1999=1+(−2+3)−4+…+1997+(−1998+1999)=1+1+⋯+1=1000． 5.　类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：−=−==，我们将上述计算过程倒过来，得到==−，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项． 【类比探究】（1）猜想并写出：=__________． 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：+++⋯+． 【拓展提高】（3）计算：+++⋯+． 【答案】解：（1）猜想并写出：=−， （2）原式=(1−)+(−)+(−)+⋯+(−)=1−+−+−+⋯+−=1−=； （3）原式=×(−+−+−+⋯+−)=×(−)=×=． 6.　某中学为提高中学生身体素质，积极倡导“阳光体育”运动，开展一分钟跳绳比赛．七年级某班10名参赛代表成绩以160次为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，成绩记录如下（单位：次）：+16，−1，+4，−2，−5，+12，−8，+1，+8，+15． (1)求该班参赛代表最好成绩与最差成绩相差多少? (2)求该班参赛代表一分钟平均每人跳绳多少次? (3)规定：每分钟跳绳次数为标准数量，不加分；超过标准数量，每多跳1个加1分；未达到标准数量，每少跳1个，扣0.5分，若班级跳绳总积分超过40分，便可得到学校的奖励，请通过计算说明该班能否得到学校奖励？ 【答案】（1）解：+16−(−8)=24， 答：该班参赛代表最好成绩与最差成绩相差24次； （2）解：160+(16−1+4−2−5+12−8+1+8+15)÷10=160+40÷10=160+4=164次， 答：该班参赛代表一分钟平均每人跳绳164次； （3）解：(16+4+12+1+8+15)×1−(1+2+5+8)×0.5=56−8=48分， 48>40， 答：该班能得到学校奖励． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $