第10天 数列的奇偶项问题每日专项练习 - 2027届新高考高三数学第一轮复习

**基本信息** 聚焦数列奇偶项分类讨论，通过递推关系分析与求和运算，培养数学推理能力与分类整合思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |奇偶项递推分析|2题|已知Sₙ或aₙ₊₂-aₙ=常数，求通项及证明等差|等差数列定义与前n项和公式的关联应用| |分奇偶求和|2题|结合等比数列、递推式求前2n项和及最值|分奇偶项构建数列模型，融合函数性质分析|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 答案与解析 第10天 数列的奇偶项问题 1.解　(1)由Sn=+n2+1,n∈N*, 当n=1时,a1=+2,a1=4; 当n=2时,a1+a2=+5,a2=2, 所以a1+a2=6. 因为Sn=+n2+1, ① 则Sn+1=+(n+1)2+1, ② ②-①得:an+1=-+(n+1)2-n2,整理得 an+an+1=4n+2,n∈N*, 又(an+1+an+2)-(an+an+1)=[4(n+1)-2]-(4n+2)=4, 故{an+an+1}是首项为6,公差为4的等差数列. (2)由(1)知,an-1+an=4(n-1)+2=4n-2,n≥2, 当n为偶数时,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)==n2+n; 当n为奇数时,Sn=a1+(a2+a3)+…+(an-1+an)=4+=n2+n+2. 综上,Sn= 2.解　(1)由题设知,{an}的奇数项是以18为首项、-6为公差的等差数列,则an=21-3n. {an}的偶数项是以24为首项、-6为公差的等差数列,则an=30-3n. 故数列{an}的通项公式为 an= (2)当n为奇数时,an=21-3n≥0, 即a1,a3,a5都大于零,a7=0,a9<0; 当n为偶数时,an=30-3n≥0, 即a2,a4,a6,a8都大于零,a10=0,a12<0, 所以Sn的最大值为a1+a2+…+a8=96. 3.解　(1)设等比数列{an}的公比为q,由题意可得 则 因为数列{an}是等比数列,解得a1=q=, 所以数列{an}的通项公式为 an=a1qn-1=, 因为bn+1=2bn-2n+1, 所以bn+1-2(n+1)-1=2(bn-2n-1), 因为b1=3,则b1-2×1-1=0, 所以bn-2n-1=0,故数列{bn}的通项公式为bn=2n+1. (2)当n为奇数时,cn=, 令An=c2i-1, 则An=+++…+, 所以An=++…++, 两个等式作差可得An=+++…+-=+-=-, 化简得An=-; 当n为偶数时, cn===-, 令Bn=c2i,则Bn=++…+=-, 故T2n=An+Bn=--. 4.(1)解　由{Sn+2-Sn}是以为首项,-为公比的等比数列,得 Sn+2-Sn=·, 则a3+a2=,a4+a3=-, 而a2=-, 所以a3=,a4=-. (2)解　数列{Sn}中,S1=a1=1,S2=a1+a2=-,Sn+2-Sn=·, 当n=2k-1,k∈N*时, S2k+1-S2k-1=· =·=3·, S2k+1-S1=(S3-S1)+(S5-S3)+…+(S2k+1-S2k-1)=·=1-,则S2k+1=2-, 当n为奇数,n≥3时,Sn=2-,S1=1满足上式,因此当n为奇数时,Sn=2-; 当n=2k,k∈N*时, S2k+2-S2k=· =-·=-·, S2k+2-S2=(S4-S2)+(S6-S4)+…+(S2k+2-S2k)=-·=-+·,则S2k+2=-2+, 当n为偶数,n≥4时,Sn=-2+, S2=-满足上式, 因此当n为偶数时,Sn=-2+, 所以{Sn}的通项公式是 Sn=(-1)n-1. (3)证明　由(2)知,Sn=(-1)n-1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1 =(-1)n-1- =(-1)n-1, 而a1=1满足上式, 因此an=(-1)n-1, |Sn|-|an|=-=-2≤0, 所以|Sn|≤|an|. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第10天 数列的奇偶项问题 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 解答题(1题13分,2题15分,3题15分,4题17分) 1.记Sn为数列{an}的前n项和,已知Sn=+n2+1,n∈N*. (1)求a1+a2,并证明{an+an+1}是等差数列; (2)求Sn. 2.在数列{an}中,a1=18,a2=24,an+2-an=-6. (1)求{an}的通项公式; (2)记数列{an}的前n项和为Sn,求Sn的最大值. 3.(2025·辽阳模拟)已知等比数列{an}是递减数列,{an}的前n项和为Sn,且,2S2,8a3成等差数列,3a2=a1+2a3,数列{bn}满足bn+1=2bn-2n+1,b1=3,n∈N*. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)若cn=求数列{cn}的前2n项和T2n. 4.(2025·衡水联考)已知数列{an}满足a1=1,a2=-.记{an}的前n项和为Sn,且{Sn+2-Sn}是以为首项,-为公比的等比数列. (1)求a3,a4的值; (2)求{Sn}的通项公式; (3)求{an}的通项公式,并证明:|Sn|≤|an|. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $