培优专练4 三角形内角和定理的应用（知识点&模板&限时练）2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 以“通用解题三步模板”为核心，系统整合内角和定理、外角性质及跨知识结合应用，通过分层题型实现从基础到创新的能力突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-5题|标角识图+定工具（内角和/外角性质）|从内角和定理到外角性质，构建角度计算基础逻辑链| |综合应用|填空13-18题|折叠/旋转多解分类讨论|结合平行线、折叠规律，形成动态问题角度推导模型| |拓展创新|解答19-24题|新定义题型规则转化|融合方位角、等角三角形等实际情境，培养数学眼光与推理意识|

第十三章 三角形 培优专练4 三角形内角和定理的应用 1.三角形内角和定理：任意三角形三个内角之和等于180^。 2.三角形外角两大性质 ① 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； ② 三角形任意一个外角大于任意一个不相邻的内角。 3.平行线与角度结合：两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补。 4.折叠角度规律：折叠前后对应角大小完全相等，折叠产生的重叠角相等。 5.方位角解题：南北、东西方向互相垂直，南北线互相平行，可构造三角形求视角。 6.通用解题三步模板 ① 标角识图：在图形中标注已知角度、平行线、折叠相等角； ② 定工具：求内角用180^，求外角用外角和定理，平行模型用平行线性质；③ 分类讨论：等腰、动点旋转、多解题型必须分情况计算，避免漏解。 易错1：外角计算误加相邻内角，混淆 “相邻” 与 “不相邻” 内角； 易错2：折叠题漏算双重相等角，角度推导出错； 易错3：旋转、动点题只算一种位置，忽略多解情况； 易错4：方位题南北辅助线忘记平行，三角形构造错误； 易错5：新定义题型不读清规则，直接套用普通三角形结论。 满分：90分｜建议用时：40分钟｜ 一、单选题（本大题共12小题，每题3分） 1．绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中，都与地面平行，，．已知与平行，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据平行公理可证得，于是根据平行线的性质可求得，由三角形的内角和定理可求得，最后根据平行线的性质即可求得的度数. 【详解】解：，都与地面平行， ， ， ， ， 又， ， 故此题答案为． 2．马扎（图1）是中国传统手工艺制品，可以合拢，方便携带．图2为其侧面示意图．，与交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，等边对等角，根据题意得出，再由对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 3．榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图（实线部分），其中，，，则直线相交所夹锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等求出的度数，利用平行线的性质求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出直线与的夹角． 【详解】解：与是对顶角，， ， ， ， ， 设直线与相交于点P， 在中，， ， ， 直线，相交所夹锐角的度数是． 4．如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得：，则，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图，过点D作， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在中，，，是的中线，平分，、相交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边对等角结合三角形的内角和定理可得，由三线合一可得，结合角平分线可得，最后使用三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 6．如图，在中，，，结合尺规作图痕迹提供的信息，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和，求出，由作图，可知平分，于，得到，，再根据三角形的内角和进行求解即可． 【详解】解：，， ， 由作图得：平分，于， ，， ． 7．如图，，交于点，点位于的上方，平分．已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 8．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行线的性质及三角形内角和的性质即可求解． 【详解】解：如图，∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴， ∵重力G的方向竖直向下， ∴重力G的方向与地面垂直， ∴， ∵，， ∴． 9．如图，一束光线沿方向射入，经过平面镜，反射后，沿方向射出，已知，平面镜，的夹角，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【答案】C 【分析】由题意得，，通过三角形内角和定理可得，然后求出即可． 【详解】解：由题意得：，， ∵，， ∴， ∴． 6、小明家养了6只羊，在统计这6只羊的质量（单位：千克）时，不小心一滴墨水落在数据“27，42，28，，37，38”中的一个数据上，小明记得这个数据是四十多，据此可以确定这组数据的（    ）． A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【分析】设缺失的数据为，由题意可知，，则这组数的中间两个数是和，即中位数可以计算，其余数据无法确定． 【详解】解：设缺失的数据为，由题意可知，， 从小到大排列为：，，，，，或，，，，，， 无论哪种，第3个数和第4个数都是和， ∴中位数为为定值， 其余数据都与的值有关，无法确定． 10．《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宜有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宜，一宜半的角叫做欘……”．即：宜矩，欘宜（其中，矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求出和的度数，根据三角形内角和是进行计算即可求解． 【详解】解：∵宜矩，欘宜，矩，矩，欘， ∴，， ∴． 故此题答案为B． 11．如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，求从观测、两处的视角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方位角的识别与三角形内角和定理的应用，解题的关键是利用南北方向的平行关系求出三角形的一个内角，再结合方位角求出另一个内角，最后用三角形内角和为计算目标角．先根据A处的方位角求出；再利用南北方向平行的性质，结合B处的方位角求出；最后根据三角形内角和定理，用减去和，得出的度数． 【详解】解：设A处的正南方向为射线，B处的正北方向为射线， ∵ 南北方向互相平行， ∴ ∵ B在A的南偏西， ∴ ； ∵ C在A的南偏东， ∴ ； ∴ ∵ ， ∴ ； ∵ C在B的北偏东， ∴ ； ∴ ∵ 三角形内角和为， ∴ 故选D． 12．如图所示是地球截面图，其中，分别表示南回归线和北回归线，表示赤道，点表示某市的位置，现已知地球南回归线的纬度是，该市的纬度是北纬，而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线的延长线经过地心O），则该市冬至正午时，太阳光线与地面水平线的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出．，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】如图，设与交于点K，    ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故选B． 二、填空题（本大题共6小题） 13．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图5将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点，若且，则的度数为 【答案】/度 【分析】本题考查了轴对称的性质以及平行线的性质，正确求出的度数是解答本题的关键． 由折叠的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据三角形的内角和定理用含有的代数式表示出的度数，再根据三角形的外角性质可得的度数，进而得出的度数． 【详解】解：将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“友好三角形”，其中为“友好角”．如果一个“友好三角形”的“友好角”为，且所对的边长为，那么这个“友好三角形”的面积为 ． 【答案】50 【分析】本题考查三角形内角和定理，根据友好三角形的定义，“友好角”，则，由三角形内角和定理得第三个角为，故三角形为等腰直角三角形，β所对的边长为，即一条直角边为，另一条直角边相等，因此面积可求． 【详解】解：由题意，，， ∴， 设第三个角为γ，则， 因此，三角形为等腰直角三角形，且β所对的边为一条直角边，长度为，故另一条直角边也为， ∴面积为． 15．乐乐用一张直角三角形制片玩折纸游戏．如图1，在中，，．第一步，将纸片沿对折，使点A与点B重合，折痕与边的交点为点D；第二步，在边上找一点E，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第三步，将纸片沿折叠，点E落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，则的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，把握折叠的不变性是解题的关键．分两种情况讨论，画出示意图，根据折叠的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：当点在上时，如图， 由折叠得，， 那么此时， 记与交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在上时，如图， 由折叠知， 当点在上时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为或. 16．将一副三角板如图所示摆放，，，若三角板保持不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当斜边与三角板的一条边平行时，则所有满足条件的的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理的应用；分类讨论是解题的关键；根据题意，分，，三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：如图，， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴， 当时，如图， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴， 当，如图， ∴ ∴ ∴ 综上所述. 17．如图是某同学做化学实验时，倾倒烧杯中的试剂时的截面图，烧杯的横截面近似看作长方形，烧杯中液面，与交于点G，直线为水平面，当烧杯底面与水平面的夹角时，的度数为 ． 【答案】 【分析】利用平行线性质得到，进而得到，最后利用三角形内角和定理即可得到的度数． 【详解】解：由题知，， ， ， ， ， ． 18．如图，在中 ，，，平分，M 为射线上的一动点． 当为等腰三角形时，的度数为 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线有关计算，三角形内角和定理．能根据等腰三角形两个底角相等，用其中一个角求出另外两个角是解题关键．注意分类讨论．根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出，，根据角平分线的定义求出．分三种情况：当时，当时，当时，画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， 即， 解得， ∴， ∵平分， ∴． ①如图，当时， ， ∴； ② 如图 ，当时， ∴； ③如图，当时， ∴． 综上分析可知：的度数为：或或 三、解答题（本大题共6小题） 19．小雯做作业时遇到这样一个题目：如图， ，点A，B分别是射线，上的动点，平分，平分．当点A，B在，上运动时，的大小是否变化？请说明理由． 小雯想了许久，对于求的度数没有思路，就去请教好朋友小溪，小溪给了她下面的提示． （1）填空：以上提示中① ；② ． （2）请参考提示，帮助小雯写出完整的解答过程． 【答案】（1）①；② （2） 的大小不变化，.理由： ， ， ，， ， ， 平分，平分， ， ， ， 在中，， 的大小不变化． 【分析】（1）①根据直角三角形两锐角互余可得；②由，可得； （2）根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理可得． 本题主要考查了角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ． 故答案为：①；② （2）略 20．在学习了三角形的内角和与外角和后，老师给大家布置了一道题目：如图，在中．，，平分，平分，求的度数．下面是小华的解答过程． 解： ① （已知）， ． 同理，可得 ② ． 在中，三角形三个内角和等于， ③ ， ④ ⑤ ． 请将小华的解答过程中的空白处填上恰当的内容． 【答案】见详解 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．根据角平分线的定义求出的值，然后根据三角形内角和求解即可． 【详解】解：平分，（已知）， ． 同理可得． 在中，三角形三个内角和等于， ， ． 21．著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明． （1）如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程； （2）聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【分析】（1）由平行线的性质得到，，然后等量代换证明即可； （2）由平行线的性质得到，，，，等量代换得到，然后结合平角的定义证明即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴． 22．在综合与实践课上，老师和同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 【问题情境】在中，于点D． （1）如图①，在中，若，，平分，则_________； 【操作探究】 （2）如图①，若线段沿着翻折，正好落在上，，，试计算的度数，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图②，点M、N分别在线段、上，将折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为和，点G、F都在射线上；若，试计算的度数，并直接写出结果． 【答案】（1）5 （2）的度数为，理由如下： ∵线段沿着翻折，正好落在上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）的度数为 【分析】（1）由、，根据直角三角形两锐角互余，得．由三角形内角和得，因平分，故，进而可求出的度数； （2）由折叠可知平分，即．由、，得，结合，可得，则； （3）由折叠得，，故．根据三角形外角性质，，，两式相加得．由，代入得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，，且平分， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴， 由折叠可得，，， ∴， 由图可得，，， ∵ ， 又∵， ∴， ∴． 23．综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． （1）【初步探究】在中，，作的平分线交于点D．在图1中，作于E，求的度数； （2）【迁移探究】在中，，作的平分线交于点D．如图2，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数； （3）【拓展应用】如图③，在中，平分，点F在的延长线上，于E，求出与之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理，可求得，由平分，得到，又根据，可得，由此可求得； （2）根据三角形内角和定理，可求得，由平分，得到，由三角形内角和定理求得，再根据，利用直角三角形两锐角互余，即可求得； （3）同理，根据三角形内角和定理和平分，得到，，再结合，利用直角三角形两锐角互余，即可求得． 【详解】（1）解：在中，， ， 平分， ， ， ， ， ， ． （2）解：在中，， ， 平分.， ， 在中，， ， ， ， ． （3）解：在中，， 平分， ， 在中 ， ， . 24．请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 素材 定义1 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 定义2 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 任务图 探究任务 任务1 如图1，在中，，，和_____等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线． 任务3 在中，，是的等角分割线，若是等腰三角形，请求出的度数． 【答案】任务1：是；任务2：见详解；任务3：或 【分析】任务1：推出，,从而得出结论; 任务2：可计算得出，得出是等腰三角形，再结合，从而得出结论； 任务3：当是等腰三角形时，分为：三种情形讨论即可； 本题是在新定义的基础上，考查了等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类讨论． 【详解】解：任务1：是 ∵ 和是等角三角形； 任务2： 在中，， 则， 为角平分线， ， ， 则， ，， ， 则， ，，，， 为的等角分割线． 任务3： ①当时，如图1， ， 是的等角分割线， ， ②当时，如图2， ， 是的等角分割线， ， 则， ③当时，， 则， 那么（舍去）， 故的度数为或． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 培优专练4 三角形内角和定理的应用 1.三角形内角和定理：任意三角形三个内角之和等于180^。 2.三角形外角两大性质 ① 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； ② 三角形任意一个外角大于任意一个不相邻的内角。 3.平行线与角度结合：两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补。 4.折叠角度规律：折叠前后对应角大小完全相等，折叠产生的重叠角相等。 5.方位角解题：南北、东西方向互相垂直，南北线互相平行，可构造三角形求视角。 6.通用解题三步模板 ① 标角识图：在图形中标注已知角度、平行线、折叠相等角； ② 定工具：求内角用180^，求外角用外角和定理，平行模型用平行线性质；③ 分类讨论：等腰、动点旋转、多解题型必须分情况计算，避免漏解。 易错1：外角计算误加相邻内角，混淆 “相邻” 与 “不相邻” 内角； 易错2：折叠题漏算双重相等角，角度推导出错； 易错3：旋转、动点题只算一种位置，忽略多解情况； 易错4：方位题南北辅助线忘记平行，三角形构造错误； 易错5：新定义题型不读清规则，直接套用普通三角形结论。 满分：90分｜建议用时：40分钟｜ 一、单选题（本大题共12小题，每题3分） 1．绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中，都与地面平行，，．已知与平行，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．马扎（图1）是中国传统手工艺制品，可以合拢，方便携带．图2为其侧面示意图．，与交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图（实线部分），其中，，，则直线相交所夹锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，是的中线，平分，、相交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，结合尺规作图痕迹提供的信息，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，，交于点，点位于的上方，平分．已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8.一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为（  ） A． B． C． D． 9．如图，一束光线沿方向射入，经过平面镜，反射后，沿方向射出，已知，平面镜，的夹角，则（  ） A． B． C． D． 10．《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宜有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宜，一宜半的角叫做欘……”．即：宜矩，欘宜（其中，矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，求从观测、两处的视角的度数（   ） A． B． C． D． 12．如图所示是地球截面图，其中，分别表示南回归线和北回归线，表示赤道，点表示某市的位置，现已知地球南回归线的纬度是，该市的纬度是北纬，而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线的延长线经过地心O），则该市冬至正午时，太阳光线与地面水平线的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每题3分） 13．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图5将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点，若且，则的度数为 14．当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“友好三角形”，其中为“友好角”．如果一个“友好三角形”的“友好角”为，且所对的边长为，那么这个“友好三角形”的面积为 ． 15．乐乐用一张直角三角形制片玩折纸游戏．如图1，在中，，．第一步，将纸片沿对折，使点A与点B重合，折痕与边的交点为点D；第二步，在边上找一点E，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第三步，将纸片沿折叠，点E落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，则的度数为______． 16．将一副三角板如图所示摆放，，，若三角板保持不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当斜边与三角板的一条边平行时，则所有满足条件的的值为________． 17．如图是某同学做化学实验时，倾倒烧杯中的试剂时的截面图，烧杯的横截面近似看作长方形，烧杯中液面，与交于点G，直线为水平面，当烧杯底面与水平面的夹角时，的度数为 ． 18．如图，在中 ，，，平分，M 为射线上的一动点． 当为等腰三角形时，的度数为 三、解答题（本大题共6小题，每题6分） 19．小雯做作业时遇到这样一个题目：如图， ，点A，B分别是射线，上的动点，平分，平分．当点A，B在，上运动时，的大小是否变化？请说明理由． 小雯想了许久，对于求的度数没有思路，就去请教好朋友小溪，小溪给了她下面的提示． （1）填空：以上提示中① ；② ． （2）请参考提示，帮助小雯写出完整的解答过程． 20．在学习了三角形的内角和与外角和后，老师给大家布置了一道题目：如图，在中．，，平分，平分，求的度数．下面是小华的解答过程． 解： ① （已知）， ． 同理，可得 ② ． 在中，三角形三个内角和等于， ③ ， ④ ⑤ ． 请将小华的解答过程中的空白处填上恰当的内容． 21．著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明． （1）如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程； （2）聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：． 22．在综合与实践课上，老师和同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 【问题情境】在中，于点D． （1）如图①，在中，若，，平分，则_________； 【操作探究】 （2）如图①，若线段沿着翻折，正好落在上，，，试计算的度数，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图②，点M、N分别在线段、上，将折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为和，点G、F都在射线上；若，试计算的度数，并直接写出结果． 23．综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． （1）【初步探究】在中，，作的平分线交于点D．在图1中，作于E，求的度数； （2）【迁移探究】在中，，作的平分线交于点D．如图2，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数； （3）【拓展应用】如图③，在中，平分，点F在的延长线上，于E，求出与之间的数量关系． 24．请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 素材 定义1 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 定义2 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 任务图 探究任务 任务1 如图1，在中，，，和_____等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线． 任务3 在中，，是的等角分割线，若是等腰三角形，请求出的度数． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $