20.1 勾股定理及其应用（分层题型专练，6夯基题型+4进阶题型+拓展培优）2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十章 勾股定理 20.1 勾股定理及其应用 （分层题型专练） 题型一 利用勾股定理解三角形 1．在中，，若，，则的值是（    ） A．10 B． C． D．4.8 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求解直角三角形的斜边长度即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴根据勾股定理， ∴， 故选A． 2．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理计算斜边长度，从而得到两棋子之间的距离． 【详解】解：根据题意得，“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为：． 故选：C． 3．如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后从中点垂直向上拉伸至点，则橡皮筋被拉长了（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，运用几何计算思想，解题关键是准确应用勾股定理，易错点是忽略对称性质导致边长计算失误；解题思路是通过勾股定理求出拉后伸橡皮筋的边长，进而计算拉长的长度． 【详解】解：已知橡皮筋原长，是的中点，所以； 又因为是垂直向上拉伸得到的点，所以，且； 在中，由勾股定理，所以； 因为（对称性质），所以拉伸后橡皮筋的长度为，原长度为因，此拉长的长度为； 故选：B． 4．如图，中，__________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据已知条件利用勾股定理即可求得的长度． 【详解】解：在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 5．如图，在中，，，则的值为______． 【答案】8 【分析】本题考查勾股定理．利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， 由勾股定理得 ∴． 6．如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为以为腰的等腰三角形时，的值为_____． 【答案】3或 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质与等腰三角形的分类讨论，解题的关键是先求出AB和BC的长度，再分两种等腰情况（和）进行计算． 先在中，由、得，；再分和两种情况：当时，，可得；当时，由等腰三角形三线合一得，可得． 【详解】解：在中， ∵ ，，， ∴ ，． ∵ 点速度为每秒个单位，运动时间为秒， ∴ ． 分两种情况： 情况一：当时：，解得． 情况二： 当时， ∵ ， ∴ ，． 解得． 故答案为：或． 7．已知中，，为直角边，为斜边． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （）利用勾股定理直接计算即可； （）利用勾股定理直接计算即可； 【详解】（1）解：∵为直角边，为斜边，， ∴； （2）解：∵为直角边，为斜边，， ∴． 8．如图，在一个长方形的木块上截下一个三角形，使，截线的长是多少？ 【答案】 【分析】该题考查了勾股定理，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：， ． 题型二 已知两点坐标求距离 1．在平面直角坐标系中，点，则点P到原点的距离为（   ） A．3 B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理在平面直角坐标系中的应用． 【详解】解：由勾股定理得，点到原点的距离为， 故选：C． 2．在平面直角坐标系中有一点P，其到x轴的距离为1，与原点的距离为，则点P到y轴的距离是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，勾股定理，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键． 根据勾股定理求出点P到y轴的距离即可． 【详解】解：∵点P到x轴的距离为1，与原点的距离为， ∴点P到y的距离为， 故选：D． 3．在平面直角坐标系中有、两点，则线段的长是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据平面直角坐标系中两点间距离的计算，应用勾股定理求解即可. 【详解】解：根据两点间距离公式，点与点的距离为：； 因此，线段的长度为5， 故选：C 4．在平面直角坐标系中，若点，则点P到原点的距离为________； 【答案】 【分析】本题考查两点间距离公式，熟练掌握两点间距离公式：是解题的关键；根据点P坐标和原点坐标，直接代入公式计算即可． 【详解】解：点P坐标为，原点坐标为，则点P到原点的距离为 ； 故答案为：． 5．在平面直角坐标系中，点，，则线段的长为________． 【答案】4 【分析】本题考查了求平面直角坐标系中两点间的距离，解题关键是观察两坐标的特征再求解． 根据两点的纵坐标相同，可知两点间的距离为横坐标的差（大的减小的）． 【详解】解：∵点，，它们的纵坐标相同， ∴， 故答案为：4． 6．如图，的顶点分别在第一，二象限内，，则n的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟知坐标系中两点距离公式是解题的关键． 利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵的顶点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得. 故答案为：． 题型三 勾股数问题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查勾股数，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐一进行判定即可． 【详解】解：A．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意； B．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意； C．，，，故该选项是勾股数，符合题意； D．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意． 故选：C． 2．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．8，15，16 C．7，24，25 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数，根据勾股数的定义（三个正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方），结合勾股定理的逆定理判断各选项即可． 【详解】解：A．、、不是正整数，不符合勾股数定义，故不符题意； B．，，，不满足勾股定理逆定理，故不符题意； C．，，即，且7、24、25均为正整数，故C选项是勾股数； D．，，，不满足勾股定理逆定理，故不符题意， 故选：C． 3．若5、m、13是一组勾股数，则m的值为________． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是正整数且满足较大的数的平方等于较小的两个数的平方和，理解题意，先分情况讨论m是斜边或13是斜边，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，当m为斜边时，由勾股定理得， 即， 解得，不是正整数，舍去； 当13为斜边时，由勾股定理得， 即， ∴， 解得（负值已舍去）， 故答案为：12． 4．下面各组数中，是勾股数的是_____（填序号）． （1），，； （2），，； （3），，； （4），，． 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查勾股数，判断各组数是否为正整数，并验证是否满足勾股定理即可． 【详解】（1）三个数均为正整数，且，该组数为勾股数； （2）三个数均为正整数，且，该组数为勾股数； （3）三个数均为正整数，但，该组数不是勾股数； （4）三个数不是正整数，该组数不是勾股数． 故答案为：（1）（2）． 5．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑥组勾股数为________ 【答案】13，84，85 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察勾股数序列，每组第一个数为奇数，且第n组第一个数为；设第二个数为x，第三个数为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：由题意得，第⑥组第一个数为，设第二个数为x，则第三个数为， 由勾股定理得， 解得，则， 故第⑥组勾股数为13,84,85． 故答案为：13，84，85． 6．勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；．．．这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：若此类勾股数的勾为（为正整数），则股是___________．（结果用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键；设股为，则弦为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：依题意，勾为，设股为，则弦为．由勾股定理，得， 即，整理得，即，解得． 故股为； 故答案为． 题型四 已知直角三角形一边为边长的图形面积问题 1．如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C，若正方形C的边长为7cm，则A，B两个正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的面积与勾股定理的性质，将勾股定理与正方形的面积结合是解题的关键． 首先将直角三角形的直角边与正方形的边长联系起来，再根据勾股定理将正方形的面积表示，再结合已知斜边的长度，即可得到A，B两个正方形的面积之和． 【详解】解：如图，令直角三角形的三边分别为a，b，c， ∴在直角三角形中，， ∴， ∵以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C， ∴，， ∴A，B两个正方形的面积之和为49， 故选：C． 2．如图，字母所代表的正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，由题意得，，然后根据勾股定理求出即可得到答案，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，， 由题意得，，， ∴， ∴所代表的正方形的面积是， 故选：． 3．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用以及规律型等知识，熟练掌握勾股定理，得出规律是解题的关键．由勾股定理得，再由图1可知，“生长”1次后，所有正方形的面积和为，由图2可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为，得出规律，即可解决问题． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为：a、b，斜边为c， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， 由图1可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， ∴此时，所有正方形的面积和为：， 由图2可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为：， …… ∴在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是：． 故选：A． 4．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为__________． 【答案】6 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟记相关性质定理是解题的关键．由勾股定理结合正方形的面积可知，，再结合三个正方形的面积分别为7、16、3，即可推出结果． 【详解】解：如图， 由勾股定理结合正方形的面积可知，， 又∵三个正方形的面积分别为7、16、3， ∴， 故答案为：6． 5．如图，在Rt中，，分别以为边在三角形外部作正方形，若以和为边的正方形面积分别为5和3，则以为边的正方形面积的值为___________． 【答案】8 【分析】由勾股定理求得的长度，即可求得正方形面积．本题考查了与勾股定理相关的图形面积问题，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】由题意得， ∴， 故答案为：8． 6．如图，阴影部分是个直角三角形，其余均为正方形，若最大正方形的边长为，则正方形 ，，，的面积和是_____． 【答案】256 【分析】根据勾股定理可得A和B的面积和等于正方形Q的面积，C和D的面积和等于正方形P的面积，再根据勾股定理可得正方形Q和P的面积和等于正方形M的面积，进而得到答案． 【详解】解：如图， ∵根据勾股定理可得：A和B的面积和等于正方形Q的面积， C和D的面积和等于正方形P的面积， ∴正方形Q和P的面积和等于正方形M的面积， ∴正方形A，B，C，D的面积和． 故答案为：256． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，关键是掌握勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 7．如图，图①中的直角三角形斜边长为5，将四个图①中的直角三角形分别拼成如图②所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为__________． 【答案】25 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．根据题意设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，根据勾股定理可得，根据图形面积可得，即可求得答案． 【详解】解：设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为， ∴ 故答案为：25． 题型五 勾股定理与实数问题 1．如图，为数轴原点，，两点分别对应-3，3，作腰长为4的等腰，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质．先利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后利用画法可得到，于是可确定点对应的数． 【详解】解：为等腰三角形，， ， 在中，， 以为圆心，长为半径画弧交数轴于点， ， 点对应的数为． 故选：D． 2．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键是利用勾股定理计算出即可求解． 【详解】解：， 故点所表示的数是， 故选：C． 3．如图，边长为的正方形两个顶点分别与数轴上的和重合，以数轴上所在的点为圆心按图示作弧线，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，无理数的知识，解题的关键是根据题意，求出正方形的对角线，再根据以对角线为半径，作弧线，即可得到点表示的数． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的对角线为， 以数轴上所在的点为圆心，对角线为半径，按图示作弧线， ∴点表示的数为：． 故选：D． 4．如图，数轴上点表示的数为______． 【答案】/ 【分析】此题考查了勾股定理、实数与数轴的关系等知识，由勾股定理得：，，从而有，则得到数轴上点表示的数，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图， 由勾股定理得：，， ∴， ∴数轴上点表示的数为， 故答案为：． 5．如图，点为数轴原点，点对应实数为3，，连接，，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点对应的实数为 _________ ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据题意，先用勾股定理求出的长度，可得的长度即可． 【详解】解：由题意得 故点对应的实数为． 故答案为：． 6．如图，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理与网格，解题的关键在于能够根据题意求出的长． 先利用勾股定理求出的长，即可得到的长，再根据实数与数轴的关系求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵点A表示的数为， ∴点E表示的数为， 故答案为：． 题型六 网格中的勾股定理问题 1．如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意． 故选：C． 2．图中的小正方形边长都相等，若，则点可能是图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．不妨设每个小正方形的边长为，则，，再根据全等三角形的性质解答即可得． 【详解】解：设每个小正方形的边长为， ∴， 由网格可知，， ∵， ∴，， 如图，观察四个点可知，点可能是图中的点， 故选：A． 3．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在网格线的交点上，其中长度为无理数的线段是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理求出每条线段的长即可判断． 【详解】解：由勾股定理可得：，， 故长度为无理数的线段是， 故选：D． 4．如图，在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与格点三角形全等，则这样的格点三角形最多可以画出______个． 【答案】4 【分析】本题考查网格作图、勾股定理、全等三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 由网格知，，根据勾股定理解得的长，再由全等三角形对应边相等的性质，作图即可． 【详解】解：如图： 共4个． 故答案为：4． 5．图中每个小方格的边长是1，若线段能与线段、组成一个直角三角形，线段的长度是______． 【答案】或 【分析】此题主要考查勾股定理，根据勾股定理得出，的长度，然后分为是斜边和是直角边进而利用勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：，， 当是斜边时，， 当是直角边时，， 故答案为：或． 6．如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，优秀同学在观察探究时发现：①的形状是等腰三角形；②的周长是；③点C到边的距离是．你认为优秀同学观察的结论正确的序号是______． 【答案】①③/③① 【分析】①结合图形及等腰三角形的判定进行分析即可； ②利用勾股定理求得各边的长度，从而可判断； ③求得的面积，再求点C到边的距离即可判断． 本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． 【详解】 解：方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上， ∴， ， ∴， ∴是等腰三角形， 故①结论正确； ∵， ∴的周长为：， 故②的结论错误； ∵ ， ∴点C到边的距离为：， 故③结论正确． 故答案为：①③． 题型一 勾股定理的证明 1．勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证勾股定理的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键． 根据大正方形的面积等于四个直角三角形面积的和加上小正方形的面积计算． 【详解】解：大正方形的边长为，面积为， 小正方形的边长为，面积为， 四个直角三角形的面积都为， 所以， 故选：A． 2．我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则，据此可判断C；D选项中的图形不能证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故A能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故B能证明勾股定理，不符合题意； C、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ∴， ∴， ∴，故C能证明勾股定理，不符合题意； D选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； 故选：D． 3．在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键． 由图形中的面积关系：梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积，正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，化简即可求解． 【详解】解：甲同学的方案： 由题意得等腰三角形的直角三角形； 梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积， ， 整理得， 因此甲同学的方案可以证明勾股定理． 乙同学的方案： 大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积， ， ， ， 因此乙同学的方案可以证明勾股定理； 故选：C． 4．根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法．简称为“无字证明”．例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等式是________________．（任选1图作答．回答时请注明图形序号，如图1、图2） 【答案】(图1) ；(图2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明、完全平方公式等知识点，熟练掌握等面积法是解题的关键． 直接利用等面积法列出等式并整理即可解答． 【详解】解：如图1，根据矩形的面积公式得； 故答案为：(图1)； 如图2，，整理得： 故答案为：(图2)． 5．人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有______．（直接填写图序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，解题的关键是理解题意，掌握利用等面积法进行证明．分别求出①②③④的面积，进行化简即可得． 【详解】解：①长方形的面积：， ②， ③， 整理，得， ④， 整理，得， 故答案为：③④． 6．素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”，几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见，现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是________（填写数字序号即可）． 【答案】①②③④ 【分析】根据各部分图形的面积和差系导出a、b、c三者关系进行判断便可． 【详解】解：①由图形可知，， 整理得， 故①符合题意； ②由图形可知，， 整理得， 故②符合题意； ③由下图知，， 整理得， 故③符合题意； ④由下图知，， 即， ∴， ∴， 由的面积公式得， 整理得， 故④符合题意； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的证明，掌握正方形、梯形、直角三角形的面积公式是解决此题的关键． 7．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）． (1)由图2正方形面积的等量关系可列式：______，化简得直角三角形中的勾股定理，该定理的结论用字母表示：______； (2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，，记，，，求证（1）中的定理结论． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由大正方形的面积的两种表示列出等式，可求解； （2）由四边形的面积两种计算方式列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积，大正方形的面积也可以表示为， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）证明：如图：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ， ∴， ∴． 8．（1）计算：_______________________________； （2）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系．例如：上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释．请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式： 图2：________________________________； 图3：________________________________； （3）利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其它的等量关系； 做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做1个长分别为c的正方形，把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形．试用不同的方法计算正方形的面积，就可以得到直角三角形的三边的数量关系：．这一个数量关系，我们叫做“勾股定理”，请你利用图4来证明勾股定理，即． （4）如图5，在中，，是边上高，，求的长度． 【答案】（1）；（2），；（3）见解析；（4） 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，勾股定理的证明以及应用． （1）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算即可； （2）根据图形的两种面积计算方法即可得出答案； （3）在图4中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和得出，然后化简即可求证； （4）先利用勾股定理求出，再根据等面积法即可求得． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）图二：； 图三：； 故答案为：，； （3）证明：在图4中， 大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和， 即， 化简得：． （4）在中， ， ∴由勾股定理，得：， ， ， ， ． 题型二 利用勾股定理解决折叠问题 1．如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得到，设，在中结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 2．如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解得：， 故选：A． 3．如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质和勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质可得，，，，设，则，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】解：如图，记点C的对应点为， 长方形中，，， ，，， 由折叠可得，，，， 设，则， 在中，， ，解得， 则的长为． 故选：C． 4．如图，在长方形中，，，E、F分别在边、上．现将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为点、．当点恰好与点D重合时，则_____． 【答案】5 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识．由翻折的性质可得，，，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由翻折的性质可知：，，， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：5． 5．我们知道长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等． 小亮在参加数学兴趣小组活动时，对一张长方形纸片进行了探究．如图是长方形纸片，点E是边的中点．先将沿着翻折，得到；再将翻折至与重合，折痕是．请你帮助小亮解决下列问题：    (1)求三边之间的关系； (2)已知，． ①与相交于M，求的长； ②求． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】此题重点考查长方形的性质、轴对称的性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识与方法． （1）由翻折得，，求得，证明是直角三角形，据此可得； （2）①由矩形的性质以及等角对等边证得，再根据折叠的性质即可求解；②根据（1）的结论求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵由翻折得，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将翻折至与重合，折痕是， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (2)如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； 故答案为：． （2）解：∵折叠， ∴，在中，∵，， ∴ ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得： 即 题型三 与弦图有关的计算 1．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与弦图有关的勾股定理的应用，完全平方公式的应用，根据小正方形面积为7得出，结合，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：D． 2．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了与弦图有关的计算，解题的关键是对三角形的面积设而不求，借用三角形的面积寻找三个正方形面积的关系． 结合图形，借助直角三角形的面积，设八个全等的直角三角形每个面积为，寻找三个正方形面积之间的关系为，即可求解． 【详解】解：设八个全等的直角三角形每个面积为， 由图形可得知，， 则 ∵正方形的边长为3 ∴ ∴ 故选C． 3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．图①是由四个全等的直角三角形和一个小正方形排成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，这个风车的外围（实线）周长是______． 【答案】76 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据题意得出，，，根据勾股定理求出，再求出这个风车的外围（实线）周长即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴这个风车的外围（实线）周长是：． 故答案为：76． 4．补充填空：完成证明 (1)勾股定理有数百种证法，我国汉代数学家赵爽的“出入相补”无字证明尤为绝妙！其思路是：如图1．把边长为、的两个正方形连在一起，其面积是．把这个图形分割成四个全等的直角三角形和一个正方形如图2，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为__________．由于它们的面积相等，即__________． (2)对于图4，可以利用两种不同的方法计算正方形的面积并完成上述推理，请你完成推理过程． 【答案】(1)， (2)见详解 【分析】本题考查了旋转性质，勾股定理以及完全平方公式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解上下文，旋转不会改变面积大小，因此以为边长的大正方形的面积等于把边长为、的两个正方形连在一起的面积是，即可作答． （2）根据正方形的面积等于四个全等三角形的面积加上一个小正方形的面积以及正方形的面积等于边长乘边长，列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为． 由于它们的面积相等，即． 故答案为：，； （2）解：观察图4：正方形的面积等于四个全等三角形的面积加上一个小正方形的面积， 或正方形的面积等于边长乘边长， 即． 题型四 勾股定理的实际应用 1．如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇的长度是尺，因为水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．可得，整理得，即可作答． 【详解】解：设芦苇的长度是尺， ∵水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺． ∴ 整理得， 故选：D． 2．如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（   ） A．米 B．米 C．2米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并学会应用是解题的关键． 根据梯子、墙、地面正好构成直角三角形，再由勾股定理即可顶端距离地面的高度． 【详解】解：根据题意得顶端距离地面的高度， 故选：D 3．如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：C． 4．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．掌握勾股定理是解题的关键．设，表示出，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设秋千绳索， ，， ， ， 在中，，即， 解得， 秋千绳索的长度是． 故答案为：． 5．如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有二尺（绳索比木柱长2尺），牵着绳索退行，在距木柱底部6尺（）处时绳索用尽，则木柱长为__________尺． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设木柱长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设木柱长为x尺，根据题意得： ， 则， 解得：， 答：木柱长为尺． 故答案为：． 6．如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为______海里/时． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理，方向角的概念，关键是应用勾股定理求出的长．由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：由条件得：(海里)，(海里)， 而， ∴ (海里)， ∴乙船的速度是(海里/时)． 故答案为：15． 7．如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______． 【答案】13 【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如下图， 因为， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为． 故答案为：． 8．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为100元，则购买地毯需花费_______元． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用. 先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， ∴购买地毯需花费（元）， 故答案为：． 9．如图，一个直三棱柱盒子底面边长，高，是的中点，一只蚂蚁想从盒底的点处沿盒的外表面爬到盒顶的点处，蚂蚁爬行的最短路程是___________． 【答案】 【分析】本题考查了立体图形表面展开图与勾股定理的应用，将三棱柱侧面展开为平面图形，再利用勾股定理计算最短路程即可． 【详解】解：∵， ∴ 故将三棱柱的两个侧面展开，如图，则最短路程是的长， 由题意，，，， 由勾股定理得， 即蚂蚁爬行的最短路程是． 故答案为：． 10．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 11．如图，市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处，以千米/时的速度向北偏西的方向移动，距台风中心千米范围内是受台风影响的区域． (1)市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； (2)如果市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1)市会受到台风的影响 (2)小时 【分析】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题关键是掌握勾股定理，含角的直角三角形的性质． （1）是否会受到影响，需要求得点A到台风所走路线的最短距离，根据垂线段最短，即作于C，再根据直角三角形的性质进行计算比较； （2）需要计算出受影响的总路程，再根据时间=路程÷速度进行计算． 【详解】（1）解：过A作于C， ∵台风向北偏西的方向移动， ∴， ∵市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处， ∴， ∴市会受到台风的影响； （2）过A作，交于点D，E， ， ∵，A市气象站测得台风中心在A市正东方向千米的B处，以千米/时的速度向北偏西的方向移动， ∴受台风影响的路程为， ∴该市受台风影响的时间为：（小时）， ∴如果市受这次台风影响，那么受台风影响的时间为小时． 12．2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 【答案】(1)小明所在的E站应在离A站处 (2)则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等角对等边的性质，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得． （2）作点D关于的对称点，连接交于点，即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F，证明，由勾股定理得出，的最小值即为，再得出，根据等角对等边得出． 【详解】（1）解：∵使得两活动点到地点站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 则小明所在的E站应在离A站处． （2）作点D关于的对称点，连接交于点， 即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F， 则，，， ∴， ∴． ∴的最小值即为，即 此时， ∴， ∴， ∴， 则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 1．在一次夏令营活动中，小明从A营地出发，要到A营地的北偏东方向的C营地，他先沿正东方向走了100米到达B营地，再沿北偏东方向走， 恰好能到达C营地(如图)，由此可知C营地到直线的距离是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】先结合方向角的度数得到三角形中角的度数，再利用直角三角形性质得到三角形的各个角的度数，进而推出，最后利用勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：由题知，， ， ， 米， 米， 米， 米． 2．如图，在中，，是边上的中线，F是上一点，延长，交于点E，若，且满足，则的长为（　　） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】延长到H，使，连接，依题意得，，，，证明和全等得，，证明得，则，之后在中由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：延长到H，使，连接，如图所示： ∵， ∴，， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，． 3．把两个同样大小的含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一条直线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，先利用等腰直角三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于F， 在中，， ∴，， ∵两个同样大小的含角的三角尺， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 故选：D． 4．如图，四边形的对角线，互相垂直，垂足为O，，，，若，则______． 【答案】 【分析】利用勾股定理可得，根据面积的加减可得，再根据，求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形的对角线，互相垂直， ∴， ∴，即， ∴． 5．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________． 【答案】 【分析】连接，由勾股定理可得，再结合正方形面积公式求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，，， ，，， ， 另一个正方形的面积为． 6．如图，在等边中，是的平分线，点E、P分别是上的动点．若，则的最小值是________________ ． 【答案】 【分析】连接，易得，进而得到，根据垂线段最短得到当时，最小，此时的值最小，三线合一结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵等边，，是的平分线， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，， 又∵点是上的动点， ∴当时，的值最小， 此时， ∴， ∴的最小值为． 7．已知是等边三角形，是边上一点(不与点重合)，是射线上一点(不与点重合)． (1)如图，若点在上，且，则的度数是________； (2)如图，若点在上，且，，相交于点，求的度数； (3)如图，若点在的延长线上，连接，，且满足．若，，求的面积． 【答案】(1) (2)的度数为 (3)的面积是 【分析】（1）利用等边三角形的内角为，结合等腰三角形“等边对等角”三角形内角和定理，直接求出的度数； （2）根据等边三角形的边相等、角相等的性质，结合已知条件，通过证明，再利用三角形外角的性质，将转化为等边三角形的内角，从而求出其度数； （3）通过构造辅助线，结合已知条件证明角相等，再通过证明得到线段相等关系；设未知数后利用勾股定理列方程求解边长，最后根据三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）解：， ， ∵在等边中，， ； （2）解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ． （3）解：延长到点，使得，连接，过点作于点． ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ∴， ， 令，则， ，，， ， 在中， ，， ，则， 由得，，则， 在中，， 由勾股定理得， 则，解得， ， ， ， 的面积是． 8．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． (3)这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据直角三角形和正方形的面积公式，得到三角形面积为，正方形的面积为即可； （2）分别表示和，根据即可得结论； （3）根据完全平方公式，画出图形即可． 【详解】（1）证明：由图1，知，正方形的边长为， ∵，，， ，即． （2）解：由题意可知，， ， ∵， ∴，即． （3）解：如图所示：可解释的代数恒等式为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 勾股定理 20.1 勾股定理及其应用 （分层题型专练） 题型一 利用勾股定理解三角形 1．在中，，若，，则的值是（    ） A．10 B． C． D．4.8 2．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 3．如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后从中点垂直向上拉伸至点，则橡皮筋被拉长了（    ） A． B． C． D． 4．如图，中，__________． 5．如图，在中，，，则的值为______． 6．如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为以为腰的等腰三角形时，的值为_____． 7．已知中，，为直角边，为斜边． (1)若，求； (2)若，求． 8．如图，在一个长方形的木块上截下一个三角形，使，截线的长是多少？ 题型二 已知两点坐标求距离 1．在平面直角坐标系中，点，则点P到原点的距离为（   ） A．3 B． C．5 D．4 2．在平面直角坐标系中有一点P，其到x轴的距离为1，与原点的距离为，则点P到y轴的距离是（    ） A．2 B．4 C． D． 3．在平面直角坐标系中有、两点，则线段的长是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 4．在平面直角坐标系中，若点，则点P到原点的距离为________； 5．在平面直角坐标系中，点，，则线段的长为________． 6．如图，的顶点分别在第一，二象限内，，则n的值为______． 题型三 勾股数问题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．8，15，16 C．7，24，25 D．4，5，6 3．若5、m、13是一组勾股数，则m的值为________． 4．下面各组数中，是勾股数的是_____（填序号）． （1），，； （2），，； （3），，； （4），，． 5．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑥组勾股数为________ 6．勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；．．．这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：若此类勾股数的勾为（为正整数），则股是___________．（结果用含的式子表示） 题型四 已知直角三角形一边为边长的图形面积问题 1．如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C，若正方形C的边长为7cm，则A，B两个正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 2．如图，字母所代表的正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 3．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 4．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为__________． 5．如图，在Rt中，，分别以为边在三角形外部作正方形，若以和为边的正方形面积分别为5和3，则以为边的正方形面积的值为___________． 6．如图，阴影部分是个直角三角形，其余均为正方形，若最大正方形的边长为，则正方形 ，，，的面积和是_____． 7．如图，图①中的直角三角形斜边长为5，将四个图①中的直角三角形分别拼成如图②所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为__________． 题型五 勾股定理与实数问题 1．如图，为数轴原点，，两点分别对应-3，3，作腰长为4的等腰，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点所表示的数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，边长为的正方形两个顶点分别与数轴上的和重合，以数轴上所在的点为圆心按图示作弧线，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上点表示的数为______． 5．如图，点为数轴原点，点对应实数为3，，连接，，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点对应的实数为 _________ ． 6．如图，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是______． 题型六 网格中的勾股定理问题 1．如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ） A． B． C． D． 2．图中的小正方形边长都相等，若，则点可能是图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在网格线的交点上，其中长度为无理数的线段是（  ） A． B． C． D． 4．如图，在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与格点三角形全等，则这样的格点三角形最多可以画出______个． 5．图中每个小方格的边长是1，若线段能与线段、组成一个直角三角形，线段的长度是______． 6．如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，优秀同学在观察探究时发现：①的形状是等腰三角形；②的周长是；③点C到边的距离是．你认为优秀同学观察的结论正确的序号是______． 题型一 勾股定理的证明 1．勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证勾股定理的等式是（   ） A． B． C． D． 2．我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A．B．C． D． 3．在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 4．根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法．简称为“无字证明”．例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等式是________________．（任选1图作答．回答时请注明图形序号，如图1、图2） 5．人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有_____．（直接填写图序号） 6．素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”，几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见，现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是________（填写数字序号即可）． 7．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）． (1)由图2正方形面积的等量关系可列式：______，化简得直角三角形中的勾股定理，该定理的结论用字母表示：______； (2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，，记，，，求证（1）中的定理结论． 8．（1）计算：_______________________________； （2）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系．例如：上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释．请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式： 图2：________________________________； 图3：________________________________； （3）利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其它的等量关系； 做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做1个长分别为c的正方形，把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形．试用不同的方法计算正方形的面积，就可以得到直角三角形的三边的数量关系：．这一个数量关系，我们叫做“勾股定理”，请你利用图4来证明勾股定理，即． （4）如图5，在中，，是边上高，，求的长度． 题型二 利用勾股定理解决折叠问题 1．如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在长方形中，，，E、F分别在边、上．现将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为点、．当点恰好与点D重合时，则_____． 5．我们知道长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等． 小亮在参加数学兴趣小组活动时，对一张长方形纸片进行了探究．如图是长方形纸片，点E是边的中点．先将沿着翻折，得到；再将翻折至与重合，折痕是．请你帮助小亮解决下列问题：    (1)求三边之间的关系； (2)已知，． ①与相交于M，求的长； ②求． 6．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (2)如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 题型三 与弦图有关的计算 1．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 2．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．图①是由四个全等的直角三角形和一个小正方形排成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，这个风车的外围（实线）周长是______． 4．补充填空：完成证明 (1)勾股定理有数百种证法，我国汉代数学家赵爽的“出入相补”无字证明尤为绝妙！其思路是：如图1．把边长为、的两个正方形连在一起，其面积是．把这个图形分割成四个全等的直角三角形和一个正方形如图2，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为__________．由于它们的面积相等，即__________． (2)对于图4，可以利用两种不同的方法计算正方形的面积并完成上述推理，请你完成推理过程． 题型四 勾股定理的实际应用 1．如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（   ） A．米 B．米 C．2米 D．米 3．如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是______． 5．如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有二尺（绳索比木柱长2尺），牵着绳索退行，在距木柱底部6尺（）处时绳索用尽，则木柱长为__________尺． 6．如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为______海里/时． 7．如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______． 8．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为100元，则购买地毯需花费_______元． 9．如图，一个直三棱柱盒子底面边长，高，是的中点，一只蚂蚁想从盒底的点处沿盒的外表面爬到盒顶的点处，蚂蚁爬行的最短路程是___________． 10．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    11．如图，市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处，以千米/时的速度向北偏西的方向移动，距台风中心千米范围内是受台风影响的区域． (1)市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； (2)如果市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 12．2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 1．在一次夏令营活动中，小明从A营地出发，要到A营地的北偏东方向的C营地，他先沿正东方向走了100米到达B营地，再沿北偏东方向走， 恰好能到达C营地(如图)，由此可知C营地到直线的距离是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，在中，，是边上的中线，F是上一点，延长，交于点E，若，且满足，则的长为（　　） A． B．3 C． D．5 3．把两个同样大小的含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一条直线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形的对角线，互相垂直，垂足为O，，，，若，则______． 5．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________． 6．如图，在等边中，是的平分线，点E、P分别是上的动点．若，则的最小值是________________ ． 7．已知是等边三角形，是边上一点(不与点重合)，是射线上一点(不与点重合)． (1)如图，若点在上，且，则的度数是________； (2)如图，若点在上，且，，相交于点，求的度数； (3)如图，若点在的延长线上，连接，，且满足．若，，求的面积． 8．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． (3)这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 学科网（北京）股份有限公司 $