培训专练2 与三角形的高有关的问题（知识点&模板&限时练）2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 以“定义-位置规律-等积法-分类讨论”为逻辑链，通过三步解题模板系统突破三角形高的性质应用与易错点，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与位置规律|选择1-4题|图形类型判断（锐角/直角/钝角）|高的定义→三类三角形位置特征→垂心位置规律| |等积法应用|选择5/8/11题|面积等式建立方程（底高乘积相等）|面积恒定原理→线段长度/比值计算→动点面积不变性| |分类讨论|选择6/10/18题|高线位置/等腰腰高分类（内部/外部）|图形不确定性→多解分析→避免漏解| |作图与综合应用|解答19-24题|尺规作图与面积转化（拆分图形）|操作技能→综合问题解决→推理能力提升|

第十三章 三角形 培优专练2 与三角形的高有关的问题 1.三角形的高定义 从三角形一个顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做这条边上的高；三角形三条高所在直线交于一点，该点称为垂心。 2. 三类三角形高线位置规律 锐角三角形：三条高全部在三角形内部，垂心位于图形内部； 直角三角形：两条直角边互为高，斜边上的高在内部，垂心与直角顶点重合； 钝角三角形：钝角两条邻边上的高落在三角形外部，仅钝角对边上的高在内部，垂心在图形外部。 3.等积法核心公式（本专题万能工具） 同一三角形面积恒定，因此底与对应高的乘积相等，用于求线段长度、线段比值、线段和差。 4. 等腰三角形高线特殊性质 底边上的高满足三线合一（同时为中线、顶角平分线）；一腰上的高需分锐角等腰、钝角等腰两类讨论，极易漏解。 5.通用解题三步模板 ① 判图形：先判断三角形类型（锐角 / 直角 / 钝角），确定高在内部还是外部； ② 用等积：已知边长、高、面积任意两类条件，优先使用面积等式建立方程； ③ 分讨论：高的位置不固定、等腰腰上的高、垂足在线段延长线上时，必须分类计算。 易错1：作图判断题忽略 “垂直” 要求，混淆高、中线、角平分线的尺规痕迹； 易错2：未说明三角形类型时，高分两种位置，角度计算只算一种情况，答案缺失； 易错3：钝角三角形外部高线计算时，长度代错、角度加减逻辑混乱； 易错4：多条高线综合题型，舍弃等积法，纯靠角度推导增加计算难度； 易错5：动点、面积探究题，不会拆分大三角形为两个小三角形转化线段关系。 满分：90分｜建议用时：40分钟｜ 一、单选题（本大题共12小题，每题3分） 1．如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 根据高线的定义即可得出答案． 【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高， 借助直角三角板作的边上的高，直角三角板的位置摆放正确的是， 故选A． 2．如图，三角形中， ，于点，若，，，则点到直线的距离是（ ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 3．根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的是的高的是（     ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】解：由尺规作图的作图痕迹，可判断： A．作的是的角平分线，是的角平分线，不符合题意； B． 作的是，是的高，符合题意； C． 作的是边上的垂直平分线，是的中线，不符合题意； D． 作的是，不是的高，不符合题意． 4．如图，是的边上的高．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据高的定义求出的度数，所以可求，利用三角形的外角即可求出的度数． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故B正确． 故选B． 5．如图， , 是 的两条高， ， ， ，则 的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 , 是 的两条高，所以 .因为 ， ，所以 ,所以 .因为 ，所以 ,所以 ，所以 .故选 . 6．已知 AD 是△ABC 的一条高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，则∠BAC 的度数为（   ） A．50° B．60° C．90° D．50°或 90° 【答案】D 【分析】此题要分情况考虑：当 AD 在三角形的内部时，∠BAC ＝∠BAD+∠CAD；当 AD 在三角形的外部时，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD． 【详解】解：当 AD 在三角形的内部时，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝90°； 当 AD 在三角形的外部时，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝50°． 故选D． 7．如图，在中，某同学用尺规作图的方法在上作出点D，点E在上，于点F，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查尺规作图作角平分线，三角形内角和定理及四边形内角和定理，掌握是角平分线是解题的关键． 由尺规作图可知平分，得到，再由三角形内角和定理及四边形内角和定理求解即可． 【详解】由尺规作图可知，平分， ， ， ， 又， ， 在四边形中， ， ， ． 故选C． 8．如图，在中，，点沿自点向点运动（点与点，不重合），作于点，的延长线于点，在点的运动过程中，（   ） A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．不变 D．先变大后变小 【答案】B 【分析】本题考查三角形相关知识解决问题，理解题意，将转化为三角形面积关系是解决问题的关键． 利用三角形面积关系，将转化为分析即可得到答案． 【详解】解：，，在中，， ， 的值固定不变，在点沿自点向点运动（点与点，不重合）过程中，的长度逐渐变小， 在点的运动过程中，的值逐渐变大， 故选B． 9．如图，将纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点E，D，连接，，．下列线段中，是的高的是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形的高的定义，熟练掌握折叠的性质及三角形的高的定义是解题的关键．根据折叠的性质得到，即可得出结论． 【详解】解：由折叠的性质得，， ∴线段是的高， 故选C． 10．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的底角等于（  ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出高在三角形内部一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当高在三角形内部时，如图， ∵ ∴， ∴ ∴底角为； 当高在三角形外部时， 如图， ∵于D， ∴， ∴ ∴底角是是． 故选A． 11．如图，ABC是等腰三角形，点O 是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为 A．4 B． C．15 D．8 【答案】B 【分析】连接AO，根据S△ABC=S△ABO+S△AOC，结合AB=AC=5，利用三角形面积公式进行求解即可. 【详解】连接AO，如图， ∵AB=AC=5， ∴S△ABC=S△ABO+S△AOC=AB•OE+AC•OF=OE+OF=12， ∴OE+OF=， 故选 B． 12．如图，已知为等边三角形，D是上一点，E是的延长线上一点，且．若的面积为8，则的面积为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的面积；根据等边三角形的性质得到，，进而得到，得到，再结合，得到，即可求出结果． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ，， 边上的高与边上的高相同， ， 的面积为， ， 边上的高与的边上的高相同， ， ， ． 故选B． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 13．[3分]清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时，____．    【答案】 【分析】根据公式求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴. 14．[3分]如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O、A、B在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点C，使△ABC的面积为3，则这样的点C共有个 个． 【答案】3 【分析】求得AB的长，根据三角形的面积公式即可确定C所在直线，从而确定C的位置． 【详解】AB=3，设C到AB的距离是a，则×3a=3， 解得a=2， 则C在到AB的距离是2，且与AB平行是直线上，则在第四象限满足条件的格点有3个． 15．[3分]如图，在中，，是边上的高，求= ． 【答案】 【分析】先设，根据三角形内角和定理列出方程，求得的值，最后根据直角三角形的性质求得的度数． 【详解】解：设，则， 是边上的高 解得 ． 16．[3分]如图，在中，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先作，再根据面积相等求出．然后根据“垂线段最短”，可知点P与点D重合时，最小，则此题可解． 【详解】解：在中，，为边上的高，且，如图所示，过点C作于点D， ∴， ∴， 解得． 根据“垂线段最短”，可知点P与点D重合时，最小， 即的最小值为． 17．[3分]不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12,若第三条高也为整数,那么它的长度最大值是____. 【答案】5 【详解】 18．[3分]在中，是边上的高线，垂足为，，且，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】根据直角三角形的性质，角的和差计算，需要分情况讨论垂足的位置，垂足在线段上和垂足在线段的延长线上，利用直角三角形两锐角互余求出，再结合已知条件求出，最后根据角的和差关系计算的度数． 【详解】解：是边上的高线， ，， 在中，， ， ， ， 分两种情况讨论： ①当垂足在线段上时， ， ②当垂足在线段的延长线上（点在，之间）时， ， 综上可得：的度数为或． 三、解答题（本大题共6小题） 19．如图，在正方形网格中，点，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出边的高； （2）在图2中作出的垂心． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【分析】（1）利用网格的特征，取格点，连接并延长交于点即可； （2）同理（1）作出边的垂线，交边的垂线于点，点即为垂心． 【详解】（1）解：如图所示，为所作； （2）解：如图所示，点为所作； 20．画图并回答：在下图6×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，的顶点,,都在正方形网格的格点（两条虚线的交点）上． （1）过点画的垂线，交于点； （2）画点到的垂线段； （3）请直接写出的面积． 【答案】 （1） 【解】如图，直线即为所求． （2） 如图，线段即为所求． （3） ． 21．数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： （1）如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； （2）如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） （3）如图②，若，，求的值． 【答案】（1） （2）见详解 （3） 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据直角三角形三条高的交点为直角顶点的性质进行解答即可； （2）根据三角形三条高所在直线交于一点的性质，作出第三条高即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点； （2）解：延长、交于点，连接，延长交于点，则线段为的第三条高， （3）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 22．【背景材料】从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．不同类型的三角形，其高线具有不同的特点．锐角三角形三条边上的高均在三角形内部且交于一点，交点位于三角形内部；直角三角形两条边上的高与直角边重合，第三条边上的高在三角形内部，且三条高交于一点，交点位于直角三角形的直角顶点． （1）【提出问题】仿照上面的方式写出钝角三角形的高具有的特点； （2）【解决问题】在中，为边的高，若，，求的度数． 【答案】（1）钝角三角形两条边上的高均在三角形外部，第三条边上的高在三角形内部，且三条高交于一点，交点位于三角形外部． （2）或 【分析】（1）画钝角三角形，并作出三条高即可得出其特点； （2）分高在内部和高在外部两种情况求解． 【详解】（1）解：如图，钝角中， 分别为边上的高，相交于， 所以钝角三角形两条边上的高均在三角形外部，第三条边上的高在三角形内部， 且三条高交于一点，交点位于三角形外部； （2）解：情况一：如图，高在内部， 为边的高， ， 又， ， ， ； 情况二：如图，高在外部， 为边的高， ， 又， ，， ， ； 综上，的度数为或． 23．【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ （1）请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． （2）你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． （3） 【分析】（1）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （2）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （3）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． 24．如图1，在中，，D为边上一点，于E，于F． 作图： （1）请作出边上的高． 探究： （2）请你通过观察、测量找到之间的数量关系： ； （3）为了说明之间的数量关系，小嘉是这样做的： 连接，则 ， ， ，还可以表示为 请你帮小嘉完成上述填空： 拓展： （4）如图2，当D在如图2的位置时，上面之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由 【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）答案见解析；（4）成立，见解析． 【分析】本题考查了三角形的高，利用割补法求三角形的面积， （1）按要求作出边上的高即可； （2）连接，分别求出与的面积，进而可得出结论； （3）根据（2）中的过程即可得； （4）根据（2）中的证明过程可得出结论． 【详解】解：（1）如图所示：即为所求， （2）， 连接， ∵于E，于F，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： （3）由（2）可知，， ∴， 还可以表示为， 故答案为：，，； （4）拓展结论仍然成立，即， 连接， ∵于E，于F，， ∴， ∵， ∴， ∴ 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 培优专练2 与三角形的高有关的问题 1.三角形的高定义 从三角形一个顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做这条边上的高；三角形三条高所在直线交于一点，该点称为垂心。 2. 三类三角形高线位置规律 锐角三角形：三条高全部在三角形内部，垂心位于图形内部； 直角三角形：两条直角边互为高，斜边上的高在内部，垂心与直角顶点重合； 钝角三角形：钝角两条邻边上的高落在三角形外部，仅钝角对边上的高在内部，垂心在图形外部。 3.等积法核心公式（本专题万能工具） 同一三角形面积恒定，因此底与对应高的乘积相等，用于求线段长度、线段比值、线段和差。 4. 等腰三角形高线特殊性质 底边上的高满足三线合一（同时为中线、顶角平分线）；一腰上的高需分锐角等腰、钝角等腰两类讨论，极易漏解。 5.通用解题三步模板 ① 判图形：先判断三角形类型（锐角 / 直角 / 钝角），确定高在内部还是外部； ② 用等积：已知边长、高、面积任意两类条件，优先使用面积等式建立方程； ③ 分讨论：高的位置不固定、等腰腰上的高、垂足在线段延长线上时，必须分类计算。 易错1：作图判断题忽略 “垂直” 要求，混淆高、中线、角平分线的尺规痕迹； 易错2：未说明三角形类型时，高分两种位置，角度计算只算一种情况，答案缺失； 易错3：钝角三角形外部高线计算时，长度代错、角度加减逻辑混乱； 易错4：多条高线综合题型，舍弃等积法，纯靠角度推导增加计算难度； 易错5：动点、面积探究题，不会拆分大三角形为两个小三角形转化线段关系。 满分：90分｜建议用时：40分钟｜ 一、单选题（本大题共12小题，每题3分） 1．如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（    ） A．B．C．D． 2．如图，三角形中， ，于点，若，，，则点到直线的距离是（ ） A． B．3 C．4 D．5 3．根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的是的高的是（   ） A．B．C．D． 4．如图，是的边上的高．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 第4题图 第5题图 第7题图 第8题图 5．如图， , 是 的两条高， ， ，，则 的面积为（ ） A． B． C． D． 6．已知 AD 是△ABC 的一条高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，则∠BAC 的度数为（   ） A．50° B．60° C．90° D．50°或 90° 7．如图，在中，某同学用尺规作图的方法在上作出点D，点E在上，于点F，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，点沿自点向点运动（点与点，不重合），作于点，的延长线于点，在点的运动过程中，（   ） A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．不变 D．先变大后变小 9．如图，将纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点E，D，连接，，．下列线段中，是的高的是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 第9题图 第11题图 第12题图 10．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的底角等于（  ） A．或 B． C． D．或 11．如图，ABC是等腰三角形，点O 是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为（  ） A．4 B． C．15 D．8 12．如图，已知为等边三角形，D是上一点，E是的延长线上一点，且．若的面积为8，则的面积为（  ） A．28 B．30 C．32 D．34 二、填空题（本大题共6小题，每题3分） 13．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时，____． 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 14．如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O、A、B在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点C，使△ABC的面积为3，则这样的点C共有个 个． 15．如图，在中，，是边上的高，= ． 16．如图，在中，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为______． 17．不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12,若第三条高也为整数,那么它的长度最大值是____. 18.在中，是边上的高线，垂足为，，，则的度数为__________． 三、解答题（本大题共6小题，每题6分） 19．如图，在正方形网格中，点，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出边的高； （2）在图2中作出的垂心． 20．画图并回答：在下图6×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，的顶点,,都在正方形网格的格点（两条虚线的交点）上． （1）过点画的垂线，交于点； （2）画点到的垂线段； （3）请直接写出的面积． 21．数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： （1）如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； （2）如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） （3）如图②，若，，求的值． 22．【背景材料】从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．不同类型的三角形，其高线具有不同的特点．锐角三角形三条边上的高均在三角形内部且交于一点，交点位于三角形内部；直角三角形两条边上的高与直角边重合，第三条边上的高在三角形内部，且三条高交于一点，交点位于直角三角形的直角顶点． （1）【提出问题】仿照上面的方式写出钝角三角形的高具有的特点； （2）【解决问题】在中，为边的高，若，，求的度数． 23．【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ （1）请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． （2）你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 24．如图1，在中，，D为边上一点，于E，于F． 作图： （1）请作出边上的高． 探究： （2）请你通过观察、测量找到之间的数量关系： ； （3）为了说明之间的数量关系，小嘉是这样做的： 连接，则 ， ， ，还可以表示为 请你帮小嘉完成上述填空： 拓展： （4）如图2，当D在如图2的位置时，上面之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $