第3章 2.3 相似三角形的判定定理3 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大数学九年级上册“相似三角形判定定理3”同步练，以“基础概念—技能应用—综合拓展”分层，覆盖SSS/HL判定及综合应用，强化逻辑推理与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|SSS/HL判定概念辨析|选择/辨析题（如第1-4题）对比全等与相似条件，夯实概念| |技能应用|判定证明与方法选择|证明题（如第8题）规范推理步骤，网格题（如第6题）训练最优判定选择| |综合拓展|复杂图形多重判定及传递性应用|含嵌套图形（如第17题）、动态旋转（如第20题），提升识图与知识迁移能力|

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第三章 图形的相似 2 探索三角形相似的条件 第3课时 相似三角形的判定定理3 ▌课时目标 1. 理解并掌握相似三角形判定定理3（SSS）和直角三角形相似的HL判定，明确其与全等判定、前两种相似判定的联系与区别，避免判定条件误用。 2. 能根据已知条件灵活选择最优的相似判定方法，规范书写三角形相似的证明过程，提升逻辑推理的严谨性。 3. 能在复杂图形中识别多重相似关系，运用相似传递性解决简单的线段比例计算问题，增强识图能力和知识迁移能力。 ▌课时目录 知识点01：相似三角形判定定理3（SSS） 知识点02：利用SSS判定定理证明三角形相似 知识点03：直角三角形相似的HL判定 知识点04：三种判定定理的选择与优化 知识点05：复杂图形中相似三角形的多重判定 知识点06：相似传递性的应用 ▌知识点01：相似三角形判定定理3（SSS） 三边对应成比例的两个三角形相似，简称“SSS判定”。 几何语言：在△ABC和△DEF中，若，则△ABC∽△DEF。 该定理与全等三角形的SSS判定形式一致，区别在于全等要求对应边相等，相似要求对应边成比例。使用时需注意三组边的对应关系，顺序颠倒会导致判定错误。 1．（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定规则逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵选项A中，，符合两角分别相等的判定规则，∴A可以判定 ； ∵选项B中，符合三边成比例的判定规则，∴B可以判定； ∵选项C中，且相等角是两组比例边的夹角，符合两边成比例且夹角相等的判定规则，∴C可以判定； ∵选项D中，相等的角不是这两组成比例的边的夹角，不满足相似三角形的判定规则，∴D不能判定． 2．（25-26九年级上·河南郑州·期末）如图所示的6个三角形中，相似三角形是（    ）． A．①与③ B．④与⑥ C．②与⑤ D．②与⑥ 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握好相似三角形的判定定理是关键． 计算出每个三角形的三边比，根据三边对应成比例判定相似． 【详解】解：三角形①的三边比为，三角形②的三边比为，三角形③的三边比为，三角形④的三边比为，三角形⑤的三边比为，三角形⑥的三边比为， ∵， ∴三角形④与三角形⑥相似． 故选：B． 3．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在三角形纸片中，．剪下的涂色部分的三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题需依据相似三角形的判定定理，对每个选项中涂色三角形与的边、角关系逐一分析，判断是否满足相似条件． 【详解】选项A中， 则． 涂色三角形与： ，； ，． 边的比例：，， 即． 又是与的公共角， 可得， 即选项A中涂色三角形与相似． 选项B中，，则． 涂色三角形为，对比的边： ，， 但与并非对应夹角，不满足相似判定条件， 故选项B不相似． 选项C中，， 则． 涂色三角形为，对比的边： ，， 边的比例不相等，且无对应相等的角， 故选项C不相似． 选项D中，， 则． 涂色三角形为，对比的边： ，， 边的比例不相等，且无对应相等的角， 故选项D不相似． 故选A 【点睛】本题核心是运用相似三角形的判定定理（重点为“两边对应成比例且夹角相等”），通过分析各选项中涂色三角形与的边比例、角的关系，确定相似性．解题关键在于准确识别对应边、对应角，并验证比例与角度条件． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定．通过构造辅助线，利用等腰直角三角形的性质求出一个角的度数，再通过计算三角形三边的长度，根据三边对应成比例证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应角相等的性质求出目标角的度数． 【详解】 解： 取格点P，连接、，则． ∴． 设正方形网格中的每个小正方形的边长都是m，则． 由勾股定理得：，，． ∴，，． ∴． ∴． ∴． 故选B ▌知识点02：利用SSS判定定理证明三角形相似 规范证明步骤： 1. 标注两个三角形的三组对应边； 2. 分别计算三组对应边的比值； 3. 若三组比值相等，写出判定结论，对应顶点需与相似符号的书写顺序一致。 示例：已知△ABC中AB=6，BC=8，AC=10，△DEF中DE=3，EF=4，DF=5，求证△ABC∽△DEF。 证明：在△ABC和△DEF中，，，， ∴， ∴△ABC∽△DEF（三边对应成比例的两个三角形相似）。 5．（25-26九年级上·上海虹口·期中）一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（    ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定-三边分别对应成比例的两三角形相似．先计算出模型三角形三边比从小到大为，再逐项计算新三角形三边比，进行判断即可求解． 【详解】解：∵ 相似三角形对应边成比例，模型三角形三边为5cm、6cm、10cm， ∴模型三角形三边比为； A. 当新三角形另外两边为15厘米、18厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； B. 当新三角形另外两边为20厘米、24厘米时，三边比为，两三角形不相似，符合题意； C. 当新三角形另外两边为25厘米、50厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； D. 当新三角形另外两边为36厘米、60厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意． 故选：B 6．（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段检测）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（   ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题是在网格型图形中找相似三角形，设网格的边长为1，两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似，我们把D点和另外两点连接，三边和对应成比例的三角形即为所求的三角形． 【详解】解：设网格的边长为1．则． 连接， ． ∵， ∴． 同理可找到，和相似． 故选：D． 7．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图是一个正方形网格，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即可． 【详解】解：设每个小正方形的边长为，则在中，，，， A、在中，，，， ，，， ， ，故A选项不符合题意； B、在中，，，， ，，， ， 和不相似，故B选项符合题意； C、在中，，，， ，，， ， ，故C选项不符合题意； D、在中，，，， ，，， ， ，故D选项不符合题意； 故选：B ． 8．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 【答案】 证明：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， 即， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】略 ▌知识点03：直角三角形相似的HL判定 直角三角形有一个公共的直角（90°），因此有专用的相似判定：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，简称“HL判定”。 几何语言：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若，则Rt△ABC∽Rt△DEF。 该判定是AA与SSS判定的推论，区别于全等的HL判定（全等要求边相等，相似要求边成比例）。仅适用于直角三角形，不可推广到一般三角形。 9．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在和中，，若添加一个条件，使得，则下列条件中不符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定方法：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、，， ，故该选项不符合题意； B、，， ，故该选项不符合题意； C、，， ，故该选项不符合题意； D、与，与不是对应边，无法判断，故该选项符合题意． 故选：D． 10．（25-26九年级上·全国·随堂练习）在和中，，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是（    ） A．，； B．，，，； C．，，，； D．，，，； 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据相似三角形的判定方法和勾股定理，对各个选项进行分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似，符合题意； 、∵，，，， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 故选：． 11．（2025·江苏常州·二模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形是“全相似四边形”．如图，和关于直线对称，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质．如图，连接交于点O．证明，推出，，再证明当时符合题意即可． 【详解】解：如图，设交于点O． ∵和关于直线对称， ∴， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，同法可证，故选项B符合题意． 当或或时都不符合题意． 故选：B． 12．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，，是高线，四边形是正方形，，，则的长是______． 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是关键．先证明，求出，再证明，得到，即可根据正方形的性质求得答案． 【详解】解：， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2． ▌知识点04：三种判定定理的选择与优化 判定方法选择优先级： 1. 优先观察是否存在两组角相等，若有直接使用AA判定（最简便）； 2. 若已知两边对应成比例，检查相等的角是否为这两边的夹角，若是使用SAS判定； 3. 若仅已知三边长度，或图形为网格、坐标系背景便于计算边长时，使用SSS判定； 4. 直角三角形优先考虑AA或HL判定。 避免误区：不可用SSA作为判定依据，对应边的顺序不可颠倒。 13．（2025·山东威海·三模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质．如图，连接交于点O．证明，推出，再证明当时符合题意即可． 【详解】解：如图，连接交于点O． 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，同法可证， 故选项B符合题意． 当或或时都不符合题意． 故选：B． 14．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，则图中相似而不全等的三角形的对数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据三角形相似的判定定理，结合等腰直角三角形的性质解答即可． 本题考查了三角形相似的判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得和是两个全等的等腰直角三角形，， ， ， ， ， 又， ， ， 故有3对， 故选：B． 15．（25-26八年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，，是四边形的对角线，，若，，，则的长为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上定理和性质． 过点作，交的延长线于点，利用勾股定理求出相关线段的长度，证明，通过对应边成比例求出，然后再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， ∴， ∵，，， ∴由勾股定理得，； ∵，， ∴由勾股定理得，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：． 16．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】 连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H，得到，平分，，求出，然后证明出，得到，代数求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H， ∵中，，，点是中点， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． ▌知识点05：复杂图形中相似三角形的多重判定 常见含多重相似的图形： 1. “A”字型嵌套：若DE∥BC、FG∥AB，则△ADE∽△ABC，△CFG∽△ABC，故△ADE∽△CFG； 2. “子母型”（直角三角形斜边高模型）：Rt△ABC中CD⊥AB于D，则△ABC∽△ACD∽△CBD，可通过AA、SAS等方法判定。 解题策略：先标注公共角、对顶角、平行线带来的角相等，再梳理边的比例关系，避免遗漏隐藏的相似三角形。 17．（24-25九年级上·上海·阶段检测）如图，在正方形中，E为中点，，连接，那么下列结论中：①与相似；②与相似；③与相似；④与相似；⑤；其中错误的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定，根据正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定逐一判断即可，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵为中点，， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形，，故正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故正确； ∵， ∴，故正确； ∴，故④正确 ∵， ∴和不相似，故错误； ∴正确的有：①②④⑤，错误的有1个， 故选：A． 18．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）在Rt中，，，，平分交于点，于点，过点作的延长线于点，则线段的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理求出的长，角平分线的性质，得到，等积法求出，的长，证明，得到，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分交于点，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故答案为：． 19．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，是的中线，作于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：是的中线，， ，即， ， ， ． (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形的性质可得；再说明，最后根据两组对应角相等的三角形是相似三角形即可证明结论； （2）根据相似三角形的性质可得，进而得到，最后根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ，即， ， 是的中线， ． 20．（2024·安徽·模拟预测）如图（1），在中，，，点P是边上一点，过点P作于点D，连接，O为的中点，连接． (1)如图（1），若． ①填空：_；（用含α的式子表示） ②求证：． (2)将绕点A旋转，使点P落在边上，如图（2），则（1）②中结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①； ②如图，连接． ∵，点O是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴． (2) 解：成立 证明：如图，过点D作于点H． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴=， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 又， ∴， 又， 又， ∴， ∴，即（1）②中结论仍然成立 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造等腰直角三角形是解答本题的关键． （1）①根据题意得，得出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出，得到，再根据外角的性质可得结论； ②连接，证明是等腰直角三角形即可； （2）过点D作于点H．证明、是等腰直角三角形，得到，再证明即可得到结论． 【详解】（1）解：①∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵O为的中点，且， ∴， ∴ ∴， 故答案为：； ②略 （2）略 ▌知识点06：相似传递性的应用 相似三角形具有传递性：若△₁∽△₂，△₂∽△₃，则△₁∽△₃。若△₁与△₂的相似比为k1，△₂与△₃的相似比为k2，则△₁与△₃的相似比为k1·k2。 常见应用： 1. 简化证明：无需直接证明△₁与△₃相似，可通过中间三角形△₂过渡； 2. 比例计算：通过传递性串联多个线段的比例关系，例如若，则。 21．（2024·陕西西安·二模）如图，在中，分别为的中点，连接为的中点，过点H作，交于点D，连接，则与相似（不含）的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论． 【详解】解：∵、分别为、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 22．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据平行线的性质得出，，进而得出，然后结合选项一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ．仅知道，只能说明D是中点但无法建立与的角或边的比例关系，无法判定相似．故该选项符合题意； ．∵，∴，∵，，又，∴，故该选项不符合题意； ．∵，，∴，故该选项不符合题意； ．，又，∴，又，∴故该选项不符合题意； 故选A． 23．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，平面直角坐标系中点的坐标为，点的坐标为，连接并延长，得到射线，连接，，将沿射线方向平移，平移的距离为的长，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，设平移后为，分别过点作轴的垂线段，在中，由勾股定理得，由已知平移知：，在中，由勾股定理得，从而得到，证明，得到：，从而得到，再根据平移的规律可得，得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设平移后为，分别过点作轴的垂线段，如图： 则，，，， 在中，由勾股定理，得 ∵将沿射线方向平移，平移的距离为的长， ， 在中，由勾股定理，得 ， ，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点向左平移个单位长度、再向上平移3个单位长度得到点， ∴点向左平移个单位长度、再向上平移个单位长度得到点， ∴，即平移后点的坐标为， 故选：B． 24．（2026·广东深圳·一模）如图，在中，，点为内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，点为的中点，连接，，若，则___________． 【答案】 【分析】延长至H，使得，连接，，利用三角形的中位线定理得到；然后利用旋转性质和等腰直角三角形的判定与性质推导出，，进而证明，利用相似三角形的性质可得到答案． 【详解】解：延长至H，使得，连接，， ∵点为的中点，， ∴是的中位线， ∴； 由旋转性质得，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，能使成立的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定．根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】解：由题意得，， 若添加，利用两边及其夹角法可判断， 故选项C符合题意； 、、均不能判定，故不符合题意． 故选：C． 2．（25-26九年级上·山西晋中·期末）能判定的条件是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，需熟练掌握相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似等是解题的关键．据此逐一分析选项即可求解． 【详解】解：A、三边对应成比例但对应边匹配错误，应为才能判定相似，故A错误． B、与、与不是对应角，不满足两角分别相等的判定条件，故B错误． C、，但与不是这两组边的夹角，不满足两边对应成比例且夹角相等的条件，故C错误． D、，且（是与的夹角，是与的夹角）， 满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理，则，故D正确． 故选：D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 根据相似三角形的性质得到，， 根据四边形的内角和等于计算即可． 【详解】解：，，， ，， ， 故选：D． 4．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，方格纸中有与，其中的一边与的一边和方格线重合．下列判断正确的是（    ） A．一定相似，因为两个三角形都是直角三角形 B．一定相似，因为两个三角形的对应边成比例 C．不一定相似，因为两个三角形的对应角不一定相等 D．不相似，因为两个三角形的对应边不成比例 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是利用勾股定理计算出各边长度，再验证三边是否成比例． 设方格边长为1，用勾股定理算出和三边的长度．计算两组三角形对应边的比值，发现三组对应边比例相等．根据“三边对应成比例，两三角形相似”的判定定理，得出两三角形一定相似的结论．对照选项，选出正确答案． 【详解】解：设每个小方格的边长为1， 在中： ，， 在中： ，， ，， ∴三组对应边的比例相等，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可以判定与一定相似． A．仅为直角三角形不能判定相似，还需要对应边成比例或对应角相等，故本选项不符合题意； B．因为两个三角形的对应边成比例，满足相似三角形的判定条件，故本选项符合题意； C．对应边成比例必然导致对应角相等，所以一定相似，故本选项不符合题意； D．对应边成比例必然导致对应角相等，所以一定相似，故本选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 5．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，，，点在上．若与相似，则__________cm． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论①，②，先证明，再通过对应线段成比例，求出，综合两种情况，得到的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①，如下图 ， ， ； ②，如下图，即， ，， ， ， ， 综上所述，的值为或． 6．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据得出，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴当时，成立， 又∵， ∴． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt___________（填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 【详解】解：∵在Rt中，． ∴ ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：相似 ． 8．（2026·河南濮阳·二模）如图，在中，，，，点O是直线上一点，将绕点O旋转得到（点A，B，C分别与点，，对应），连接，．若以点B，C，，为顶点的四边形的最小内角是时，的长是________． 【答案】或 【分析】先根据勾股定理求出，然后分两种情况讨论： 当点O在上，且时，过点作于点D，于点E，根据面积法求出的长，即可求得答案； 当点O在的延长线上，且时，设，过点作，交的延长线于点H，根据相似三角形的判定与性质求出的长，即可求得答案． 【详解】解：，，， ， 当点O在上，且时，如图， 过点作于点D，于点E， ， ， ， ， ， ， ， 绕点O旋转得到， ， ； 当点O在的延长线上，且时，如图， 设， 过点作，交的延长线于点H， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， 解得， ， ； 综上所述，或． 三、解答题 9．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，中，是边上的高，且． (1)求证； (2)求的大小． 【答案】(1) 证明：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明； （2）由（1）知，然后根据相似三角形的对应角相等可得：，然后由，可得：，即． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即． 10．（2026·山西临汾·三模）综合与实践 “综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片，并提出如下问题：将图1中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，将绕点按顺时针方向旋转，当时，延长交的延长线于，如图2，试判断四边形的形状，并说明理由． (1)【数学思考】请你解答老师提出的问题． (2)【深入探究】在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究：“善思小组”在准备的菱形纸片中，将绕点按逆时针方向旋转，如图3，当点落在边上时，，，，四点共线，．若，请求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意得，再由菱形的性质得到，则先证明四边形为平行四边形，由菱形得到邻边相等，即可证明为菱形； （2）先证明，则，则，解方程即可； 【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下 ， ， 四边形是菱形，是的平分线， ， ， ， 四边形为平行四边形， 由旋转的性质可知， 平行四边形为菱形； （2）解：如图3，由题意可得， 设， 在菱形中，， ∴在中，， 又， ， 是的外角， ∴ 在和中， ，， ， ， 又， ， ， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第三章图形的相似 2探索三角形相似的条件 第3课时相似三角形的判定定理3 课时目标 理解并掌握相似三角形判定定理3(SSS)和直角三角形相似的HL判定，明确其与 全等判定、前两种相似判定的联系与区别，避免判定条件误用。 2. 能根据已知条件灵活选择最优的相似判定方法，规范书写三角形相似的证明过程，提 升逻辑推理的严谨性。 3. 能在复杂图形中识别多重相似关系，运用相似传递性解决简单的线段比例计算问题， 增强识图能力和知识迁移能力。 课时目逯 知识点01：相似三角形判定定理3(SSS) 知识点02：利用SSS判定定理证明三角形相似 知识点03：直角三角形相似的HL判定 知识点04：三种判定定理的选择与优化 1/13 知识点05：复杂图形中相似三角形的多重判定 知识点06：相似传递性的应用 【知识点01：相以三角形判定定理3(SSS) 三边对应成比例的两个三角形相似，简称“SSS判定”。 AB AC BC 几何语言：在△ABC和△DF中，若DEDF-EF,则△ABC一ADEF。 公 该定理与全等三角形的S$S判定形式一致，区别在于全等要求对应边相等，相似要求对应 边成比例。使用时需注意三组边的对应关系，顺序颠倒会导致判定错误。 1.(25-26八年级下·上海青浦期中)下列条件中，不能判定△ABC∽△AB'C的是() AB BC AC A.∠A=∠A,∠B=∠B B.ABB'CAC AB BC AB AC C.AB=B'C,且∠B=∠B D.AB=A'C,且∠C=∠C 2.(25-26九年级上河南郑州期末)如图所示的6个三角形中，相似三角形是(). ① ② ③ ④ ⑥ 阿 A.①与③ B.④与⑥ C.②与⑤ D.②与⑥ 3.(25-26九年级上：广东深圳阶段检测)在三角形纸片ABC中，AB=6,AC=4,BC=8.剪下的涂色部 2/13 分的三角形与△ABC相似的是() B D 4.(2425九年级上·安徽合肥期末)如图，在正方形网格中：△ABC,△EDF的顶点都在正方形网格的 格点上，则∠BAC的度数为() B A A.95 B.135° C.140° D.145° 知识点02：利用SSS判定定理证明三鱼形相似 规范证明步骤： 标注两个三角形的三组对应边： 分别计算三组对应边的比值： 若三组比值相等，写出判定结论，对应顶点需与相似符号的书写顺序一致。 示例：己知△ABC中AB=6,BC-8,AC=10,△DEF中DE=3,EF=4,DF=5,求证 △ABC△DEF。 一在人ABC和AD腰中，DE3=2,EE=4=25-2 AB AC BC .DE DF EF, △ABC一△DEF(三边对应成比例的两个三角形相似)。 5.(25-26九年级上·上海虹口·期中)一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米， 3/13 木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长 度不符合条件的是() A.15厘米、18厘米 B.20厘米、24厘米 C.25厘米、50厘米 D.36厘米、60厘米 6.(25-26九年级上·辽宁本溪阶段检测)如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶 点都在省点上（小正方形的顶）.片片BR是DF边上的5个格点，请在这5个格点中连 取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与△ABC相似，所有符合条件的三角形的个数为 () A.4 B.2 C.1 D.3 7.(25-26九年级上·上海阶段检测)如图是一个正方形网格，里面有许多三角形.在下面所列出的各三 角形中，与△ABC不相似的是() D A.△BDE B.△BCD C.△FGH D.△BFG 8.(25-26九年级上安徽毫州期中)如图，点O是△ABC的边BC上一点，连接AO,点D,E,F分别 是OA,OB,OC的中点，连接DE,DF.求证：△ABCn△DEF B 知识点03：直鱼三鱼形相似的HL判定 直角三角形有一个公共的直角(90°)，因此有专用的相似判定：斜边和一条直角边对应成 4/13 比例的两个直角三角形相似，简称“亚判定”。 ABAC 几何语言：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C-∠F=90°，若DEDF,则 Rt△ABC一Rt△DEF。 该判定是AA与SSS判定的推论，区别于全等的HL判定（全等要求边相等，相似要求边 成比例)。仅适用于直角三角形，不可推广到一般三角形。 9.(25-26九年级上安徽毫州期中)如图，在Rt△ABC和Rt△AB'C中，∠ACB=∠ACB'=90°，若添加 一个条件，使得Rt△ABC∽Rt△AB'C,则下列条件中不符合要求的是() B BC AC AB AC ABAB A.∠A=∠A B. C. D.AC B'C 10.(25-26九年级上·全国随堂练习)在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，下列各组的条件不 能判定这两个三角形相似的是() A.∠A=65°，∠D=25°： B.AC=3,BC=4,DF=6,DE=8: C.AC=9,BC=12,DF=12,EF=16: D.AB=10,AC=8,DE=35,EF=21: 11.(2025·江苏常州·二模)定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角 形，那么称这样的四边形是“全相似四边形”.如图，△ABC和△ADC关于直线AC对称，下列条件 能使四边形ABCD成为“全相似四边形”的是() 5/13 A.∠BAD=90° B.∠ABC=90° C.∠BCD=60° D.∠CDA=60° 12.(25-26九年级上广东深圳阶段检测)如图，∠BAC=90°，AD是高线，四边形ADEF是正方形， BD=2,DC=8,则FM的长是 知识点04：三种判定定理的选择与优化 判定方法选择优先级： 优先观察是否存在两组角相等，若有直接使用AA判定（最简便）； 若已知两边对应成比例，检查相等的角是否为这两边的夹角，若是使用SAS判定； 若仅已知三边长度，或图形为网格、坐标系背景便于计算边长时，使用$SS判定； 直角三角形优先考虑AA或L判定。 避免误区：不可用SSA作为判定依据，对应边的顺序不可颠倒。 13.(2025山东威海·三模)定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角 形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,下 列条件能使四边形ABCD成为“全相似四边形”的是() A.∠A=90°B.∠D=90° C.∠C=90° D.∠D=60° 14.(25-26九年级上广东佛山期末)如图，△ABC和△ADE是两个全等的等腰直角三角形， 6/13 ∠BAC=∠ADE=90°，则图中相似而不全等的三角形的对数是() E MD A A.4 B.3 C.2 D.1 15.(25-26八年级上甘肃武威阶段检测)如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线， ∠BAD=∠BDC=90,若4B=8,BC=55,cD=5,则4C的长为 16.(2026江苏扬州一模)如图，△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D是BC中点，点E在AC上且 CE=2AE,将线段DE绕点D顺时针旋转9O°得到线段DF,连接AF,则AF的长为 知识点05：复杂图形中相似三角形的多重判定 常见含多重相似的图形： “A”字型嵌套：若DEBC、FGIAB,则△ADE一△ABC,△CFG一△ABC,故 △ADE-△CFG; 7/13 “子母型”（直角三角形斜边高模型）：Rt△ABC中CD⊥AB于D,则 △ABC△ACD一△CBD,可通过AA、SAS等方法判定。 D 解题策略：先标注公共角、对顶角、平行线带来的角相等，再梳理边的比例关系，避免遗 漏隐藏的相似三角形。 17.(24-25九年级上：上海阶段检测)如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，DF=3FC,连接 AE、AF、EF,那么下列结论中：①△ABE与△EFC相似：②△ABE与△AEF相似：③△ABE与△AFD 相似；④△AEF与△EFC相似；⑤∠AEF=90°；其中错误的有()个. E A.1 B.2 C.3 D.4 18.(25-26九年级上安徽宿州阶段检测)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,BC=6,BD平分 ∠ABC交AC于点D,DE上AB于点E,过点C作CF⊥ED的延长线于点F，则线段CF的长为 8/13 19.(23-24九年级上陕西榆林期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，作 AE⊥CD于点E. D (I)求证：△ACE△BAC: ②活4C=5,CE=1,求CD的长 20.(2024安徽模拟预测)如图(1)，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，点P是AC边上一点，过 点P作PD⊥AB于点D,连接CD,BP,O为PB的中点，连接OD 图(1) 图(2) (I)如图(1)，若∠PBC=a」 ①填空：∠POD=-;(用含a的式子表示) CD=V√2OD ②求证： (2)将△ADP绕点A旋转，使点P落在AB边上，如图(2)，则(1)②中结论是否仍然成立？若成立， 请写出证明过程：若不成立，请说明理由. 知识点06：相似传递性的应里 相似三角形具有传递性：若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3。若△1与△2的相似比为(， △2与△的相似比为k2,则△与△的相似比为。 常见应用： 简化证明：无需直接证明△与△3相似，可通过中间三角形△2过渡； AB=2 DE =3 AB =6 比例计算：通过传递性串联多个线段的比例关系，例如若DE ,FG 则FG 21.(2024陕西西安·二模)如图，在RiABC中，∠ABC=90，°E、F分别为ACBC的中点，连接 9/13 EF,H为AE的中点，过点H作HD⊥AC,交BC于点D,连接DE,则与△ABC相似（不含△ABC) 的三角形个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 22.(25-26九年级上河北唐山期末)如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上（都 不与顶点重合)，EF∥BC.添加下列一个条件，仍无法判定△AEF与△BDE相似，则这个条件是 () E AE EF ABBC A.BD=DC B.DElAC C.BD BE D.BE BD 23.(24:25八年级下河南郑州期中)如图，平面直角坐标系中点A的坐标为V5),点B的坐标为 (2,0）,连接O1并延长，得到射线OC,连接OB,4B,将△0MB沿射线0C方向平移，平移的距离 为AB的长，则平移后点B的坐标为() A2-5,)B.(2-5,3)c.(5-l,2) D.（1-5,2) 10/13 24.(2026广东深圳一模)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D为△ABC内一点，将线段 BD绕点D顺时针旋转9O°得到线段DE,连接BE,CE,点F为CE的中点，连接DF,AD,若 DF=2√3 则AD 课时训练 一、选择题 1.(25-26九年级上浙江绍兴期末)如图，能使△ABC∽△ADE成立的条件是() D E A.∠A=∠A B.∠ADE=∠AED ADAE C.AB AC D.ABBC AEDE 2.(25-26九年级上·山西晋中·期末)能判定△ABC∽△DEF的条件是() AB_BCAC A.DE DF EF B.∠A=∠F,∠B=∠E AB AC AB AC C.DEDF，∠B=∠E D.DEDF,∠A=LD 3.(25-26九年级上浙江杭州期末)如图，△ABC∽aDAC,若∠B=31°，∠D=117°，则∠BCD= () B A.31° B.32 C.62 D.64° 11/13 4.(25-26九年级上河北保定·期末)如图，方格纸中有△ABC与△DEF,其中aABC的一边与△DEF的一 边和方格线重合.下列判断正确的是() B A.一定相似，因为两个三角形都是直角三角形 B.一定相似，因为两个三角形的对应边成比例 C.不一定相似，因为两个三角形的对应角不一定相等 D.不相似，因为两个三角形的对应边不成比例 二、填空题 5.(2026江苏南京模拟预测)如图，在△ABC中，AB=6cm,AC=8cm,AD=2Cm,点E在AC上. 若△ADE与△ABC相似，则AE=」 cm 6.(2026江苏徐州一模)如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，AD=3,CD=1,要使 △ADBP△ABC,则AB的长为 B4 7.(25-26九年级上全国课后作业)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=8.若在Rt△AB'C中， ∠C'=90°，B'C=4,A'C'=3 则Rt△AB 与Rt△ABC (填“相似”或“不相似”). 8.(2026河南濮阳二模)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=6,BC=4,点O是直线AB上一 点，将△ACB绕点O旋转18O°得到△A'CB(点A,B,C分别与点A,B',C对应)，连接BC', 12/13 B'C.若以点B,C,C',B为顶点的四边形的最小内角是45°时，OA的长是 三、解答题 AD CD 9.(25-26九年级上江苏南通期末)如图，△ABC中，CD是边4B上的高，且CDBD· (I)求证△ADC∽△CDB; (2)求∠ACB的大小. 10.(2026山西临汾·三模)综合与实践 “综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片ABCD,并提出如下问题：将图1中的菱形纸片 沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△CDE,将△CDE绕点C按顺时针方向 旋转，当∠ACE=∠BAC时，延长DE交BA的延长线于F,如图2，试判断四边形ACEF的形状，并 说明理由 F A(E) D B B 图1 图2 图3 (1)【数学思考】请你解答老师提出的问题. (2)【深入探究】在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究：“善思小组”在准备的菱形 纸片中，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转，如图3，当点E落在边AB上时，B,E,A,D四点 共线，∠ACB=2∠BCE.若EC=2,请求出BA的长度. 13/13