第六章 数据的分析 复习讲义--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第六章 数据的分析 知识归纳与题型总结 题型01 平均数与方差 一、算术平均数 1. 一般地，对于n个数，，，，我们把叫作这n个数的算术平均数，简称平均数，记为，即． 2. 算术平均数的意义 反映一组数据的集中趋势，是度量一组数据波动大小的基准． 3. 算术平均数的特征 （1）一组数据的平均数是唯一的，与数据的排列顺序无关； （2）平均数的大小与一组数据中的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动，且容易受极端值的影响． 4. 若，，，的平均数为，则有如下结论： （1），，，的平均数为； （2），，，的平均数为； （3），，，的平均数为． 二、加权平均数 1. 实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同．因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”．“权”是一组数据中各数据所占的比重，反映了某个数据的重要程度． 2. 若n个数中，出现次，出现次，，出现次（其中），则由平均数的定义可得其平均数为，该平均数称为该组数据的加权平均数．其中的权为，的权为，，的权为． 3. 算术平均数与加权平均数的区别与联系 用法的区别 ①在实际问题中，当各数据的权相等时，计算平均数要采用算术平均数；②在实际问题中，当各数据的权不相等时，计算平均数就要采用加权平均数 影响因素的区别 ①算术平均数易受极端值的影响；②加权平均数受总体中各数据所占权重的大小和各数据出现的次数（频数）的影响 联系 算术平均数是各数据的权相等时的加权平均数，即算术平均数是加权平均数的特殊情况，但加权平均数不一定是算术平均数 3、 众数 1. 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数． 2. 众数是描述一组数据集中趋势的量，一组数据可以不止一个众数，也可以没有众数，但如果一组数据存在众数，那么众数必然是这组数据中的数． （1）若一组数据中有两个或两个以上数据出现的次数并列最多，那么这两个或两个以上的数据都为众数； （2）若一组数据中所有数据出现的次数都相同，我们就说这组数据没有众数． 4、 方差与标准差 1. 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数．用表示，即．其中是数据，，，的平均数． 2. 标准差：方差的算术平方根．用字母s表示，即． 3. 方差和标准差的计算 （1）计算这组数据的平均数； （2）计算各数据与平均数之差的平方，得到一组新数据； （3）求这组数据的平均数，这个平均数就是原数据的方差； （4）方差的算术平方根就是这组数据的标准差． 4. 方差和标准差的意义 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，一般来说，一组数据的方差、标准差越小，说明这组数据波动越小，这组数据就越稳定． 5. 适当变形后新数据的平均数和方差 样本数据 平均数 方差 ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 6.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”，多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和． 【典例1-1】某班级学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面按2：3：2：2：1确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为_____分． 【答案】9 【分析】根据加权平均数的计算方法即可解答本题． 【详解】解：由题意可得， （分）， 答：他期末操行得分为9分． 【典例1-2】现有一组数据：，则这组数据的离差平方和为______，方差是______． 【答案】 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义计算各数据与平均数差的平方和，最后根据方差的定义计算方差． 【详解】解：由题意可得，这组数据的平均数， 离差平方和 ； 方差． 【典例1-3】有一组数据：1，2，2，4，4，5，这组数据的方差是________． 【答案】 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差公式计算方差即可． 【详解】解：这组数据的平均数为： ， 则这组数据的方差 ． 题型02 中位数与箱线图 一、中位数 1. 一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． 2. 一组数据的中位数有且只有一个，代表这组数据的“中等水平”．其单位与数据的单位相同． 3. 中位数的求法 （1）把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列； （2）确定这组数据的个数； （3）当数据的个数是奇数时，取最中间的一个数作为中位数；当数据的个数是偶数时，取最中间两个数的平均数作为中位数． 二、四分位数与箱线图 在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 箱线图 【典例2-1】教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要试行》指出，学生要承担一定的家庭劳动．某学校为了解全校学生每月参与家庭劳动的次数，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为_____，图①中的值为_____，被调查学生每月参与家庭劳动的次数的统计中，众数和中位数分别为_____和_____； (2)求被调查学生参加家庭劳动次数的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参与家庭劳动的次数是7次的人数为多少？ 【答案】(1)，，7， (2)平均数是6.48； (3)估计该校学生每月家庭劳动次数是7次的人数为360人 【分析】（1）根据条形统计图求得总人数，即可求得，进而求得的值． （2）运用平均数的定义进行计算，即可作答． （3）根据样本估计总体进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：由题意可知， ， ，即， 每月参与家庭劳动次数中人数最多的是7次， 众数是7， 将这组数据按从小到大的顺序排列，第25、26个数据分别为6，7， 中位数是 ． （2）解： ， 被调查学生参加家庭劳动次数的平均数是6.48； （3） （人）， 答：估计该校学生每月家庭劳动次数是7次的人数为360人 【典例2-2】若一组数据，，，的众数和中位数相等，则的值为________． 【答案】 【分析】这组数据存在众数，因此只能等于已有数据，，中的一个，分类讨论验证众数和中位数是否相等即可． 【详解】解：∵这组数据存在众数， 又∵原有数据各出现一次， ∴或或， 当时，将数据从小到大排序得：，，，， 此时众数为，中位数为，，不合题意，舍去； 当时，将数据从小到大排序得：，，，， 此时众数为，中位数为，，符合题意； 当时，将数据从小到大排序得：，，，， 此时众数为，中位数为，，不合题意，舍去； 综上，． 【典例2-3】下面是某地区监测的近两年7月的空气质量指数． 前年7月  71  42  45  58  67  48  51  63  51  73  55  79  52  52  77  54 87  54  62  55  56  58  60  61  62  65  69  42  72  69  73 去年7月  38  50  19  37  22  47  31  38  22  26  28  19  30  31  32  34 35  33  18  49  47  37  22  38  38  18  39  25  22  42  44 (1)分别计算两组监测数据的平均数、方差和四分位数（结果保留小数点后一位）： (2)画出两组数据的箱线图； (3)通过上面的结果，比较说明这个地区的空气质量情况． 【答案】(1)前年7月：平均数为60.7，方差为118.5，第一、二、三四分位数分别为52，60，69 去年7月：平均数为32.6，方差为90.0，第一、二、三四分位数分别为22，33，38 (2)箱线图如图所示 (3)可以看出，空气质量的平均数、三个四分位数以及最大值、最小值，去年7月都明显低于前年7月的，前年7月有75%的空气质量超过50，去年7月所有空气质量都不超过50，因此整体空气质量去年7月比前年7月明显好． 【详解】（1）解：前年7月数据从小到大排列为： 42  42  45  48  51  51  52  52  54  54  55  55  56  58  58  60   61  62  62  63  65  67  69  69  71  72  73  73  77  79  87 平均数为 方差为 最小值为42，最大值为87， 共有31个数据， 第一四分位数为前15个数的中位数52，（或，即第8个数） 第二四分位数为第16个数60，（或，即第16个数） 第三四分位数为后15个数的中位数69．（或，即第24个数） 去年7月数据从小到大排列为： 18  18  19  19  22  22  22  22  25  26  28  30  31  31  32  33 34  35  37  37  38  38  38  38  39  42  44  47  47  49  50                 平均数为 方差为 最小值为18，最大值为50， 共有31个数据， 第一四分位数为前15个数的中位数22，（或，即第8个数） 第二四分位数为第16个数33，（或，即第16个数） 第三四分位数为后15个数的中位数38．（或，即第24个数） （2）略 （3）略 题型03 哪个团队收益大 1、 从统计图数据的集中趋势 条形统计图 扇形统计图 众数 最高的直条所对的横轴的数 占比例最大的部分所对应的数 中位数 确定中间位置是第n个数，按从左到右的顺序依次计算纵轴对应的个数和，和为n时对应的横轴上的数就是中位数（若处于中间位置的数有两个，则求这两个数的平均数） 按从小到大的顺序计算所占百分比之和，处于最中间位置的数（或最中间位置两个数的平均数）就是中位数 平均数 按平均数的计算公式计算 2、 合理使用平均数，中位数和众数分析问题 1. 平均数、中位数和众数各自的特征 （1）平均数：计算时所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息，因此在现实中较为常用，但它易受极端值的影响． （2）中位数：计算简单，受极端值影响较小，但不能充分利用所有数据的信息，而且当数据个数为偶数时，中位数不一定是数据中的数． （3）众数：是一组数据中多次重复出现的那个数，往往是人们尤为关心的一个量，但各个数据的重复次数大致相等时，众数就没有特别的意义，但众数一定是数据中的数． 2. 数据分析时的选用依据 平均数 众数 中位数 当要解决的问题需要一组数据中的每个数据都参加运算时，应当选用平均数 当一组数据中 出现极端值时， 应选用中位数 当一组数据中有的数据重 复出现，以至于其他数据 的作用显得相对较小时，应选用众数 【典例3-1】某地区一年内月的月降水量数据分别为：53，48，51，45，53，56，56，71，58，64，66，56． (1)该地区一年之内降水量最高和最低的月份分别是几月？ (2)求该地区的月降水量数据的四分位数，和． 【答案】(1)降水量最高的月份是8月份，降水量最低的月份是4月份 (2)，， 【分析】（1）找出最大和最小的数即可求解； （2）先将数据由小到大排序，根据四分位数的定义分别求得，和即可． 【详解】（1）解：∵所给数据中71最大，45最小， ∴该地区一年之内降水量最高的月份是8月份，降水量最低的月份是4月份． （2）解：把这组数据由小到大排序为45，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71， 中位数即分位数，因此． 前一半数据的中位数为整组数据的下四分位数，故． 后一半数据的中位数为整组数据的上四分位数，故 【典例3-2】在学校举办的“劳动与科技”实践周中，八年级（1）班的同学负责照料两块草莓试验田．其中甲组地块采用“智能水肥一体化”技术种植，乙组地块采用“传统土壤”方式种植．为了评估两种种植方式的效果，成熟期时，同学们从甲、乙两地块中各随机采摘了10颗草莓进行甜度检测（单位：Brix，数值越大越甜）． 【数据收集】 甲组（智能水肥）：11，13，13，12，14，13，12，，14（部分数据被污染） 乙组（传统土壤）：10，16，12，14，11，13，13，16，13，12 【数据整理】同学们对数据进行了初步整理，并绘制了统计表和箱线图． 甲、乙两组草莓甜度统计分析表 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 13 13 a 1.2 乙 13 b 13 3.4 【问题解答】 (1)直接写出表格中a和b的值：_________，_________； (2)由乙组数据求出乙组草莓甜度的第一四分位数_________，第三四分位数_________； (3)如果高端超市收购草莓的标准是“甜度稳定且品质均匀”，你会向农户推荐哪种种植方式．请说明理由． 【答案】(1)13，13 (2)12，14 (3)推荐采用“智能水肥一体化”技术（甲组）． 理由： 甲乙两组数据平均数、众数、中位数都相同，但甲组的方差小于乙组的方差，方差越小说明数据波动越小，甜度更稳定、品质更均匀，符合高端超市的收购标准． 【分析】（1）根据题意可得甲组数据中被污染的两个数据和为28，由箱线图可得，甲组数据最大值为15，可得两个数据为13，15，将数据从小到大排列后，即可求得中位数，根据乙组数据中出现次数最多的是13，即可得众数； （2）根据四分位数的定义即可求解； （3）根据对甲乙两组数据的平均数、众数、中位数、方差进行比较，即可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，甲组数据中被污染的两个数据和为， 由箱线图可得，甲组数据最大值为15， ∴被污染的两个数据中有一个为15， ∴这两个数据为13，15， ∴将数据从小到大排列后，第5个和第6个数据均为13， ∴中位数， ∵乙组数据中出现次数最多的是13， ∴众数． （2）解法一：∵乙组数据从小到大排列为10,11,12,12,13,13,13,14,16,16， 第一四分位数为前5个数据的中位数， ∴第一四分位数为， 第三四分位数为后5个数据的中位数， ∴第三四分位数为； 解法二∵乙组数据从小到大排列为， ∵， ∴第一四分位数为第3个数：， ∵， ∴第一四分位数为第8个数：． （3）略 【典例3-3】修订过的《治安管理处罚法》自2026年1月1日起施行．新法与未成年人息息相关．学校在七八年级学生中开展了相关法律的学习活动，并在每个年级抽取了20名学生进行测试．最后将测试成绩按照等级绘制成了统计表， 分组 七年级 3 8 4 3 2 八年级 3 12 3 1 1 其中：七年级得分为81，86，82，82，82，82，85，82， 八年级得分为81，82，82，83，84，85，86，86，86，86，88，89． (1)七年级学生测试成绩的中位数是______，众数是______． (2)结合统计量，对七八年级的学习水平作出比较． 【答案】(1)，82 (2)见解析 【分析】（1）利用中位数和众数的定义求解即可； （2）先求出八年级的中位数和众数，再与七年级相比较进行解答即可． 【详解】（1）解：七年级一共有20个成绩，中位数是从小到大排序后第10个和第11个成绩的平均数，由统计表可知，第10个和第11个成绩位于组内， 七年级得分从小到大排列为：81，82，82，82，82，82，85，86 则七年级第10个成绩为81，第11个成绩为82， 中位数为， 由于七年级测试成绩82分出现5次， 则众数为82； （2）解：由统计表可知，八年级第10个和第11个成绩位于组内， 八年级得分从小到大排列为：81，82，82，83，84，85，86，86，86，86，88，89 则八年级第10个成绩为84，第11个成绩为85， 故八年级的中位数是分， 由统计表可知，八年级的众数是86，均高于七年级， 因此，八年级的在此次活动中的学习水平高于七年级学生． 一、选择题 1．甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）如图，下列判断正确的是（     ）． A．甲的成绩的中位数比乙的大 B．甲的最好成绩比乙的高 C．甲的成绩的平均数比乙的大 D．甲的成绩比乙稳定 【答案】D 【分析】分别计算出两人成绩的平均数、中位数、方差可得出答案． 【详解】解：甲同学的成绩依次为：8、9、8、7、8，从小到大依次排列为：7、8、8、8、9， 乙同学的成绩依次为：6、7、10、8、9，从小到大依次排列为：6、7、8、9、10， 选项A、甲同学的成绩的中位数为，乙同学的成绩的中位数为，则甲、乙成绩的中位数相等，A错误； 选项B、甲同学的最好成绩为，乙同学的最好成绩为，则甲的最好成绩比乙低，B错误； 选项C、甲同学的成绩的平均数为，乙同学的成绩的平均数为，则甲、乙成绩的平均数相等，C错误； 选项D、甲同学的成绩的方差为，乙同学的成绩的方差为，又，则甲的成绩比乙稳定，D正确． 2．信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度（字/），数据整理如下：16，18，24，16，18，18，20，22，22，19，对于这组数据，下列说法正确的是（     ） A．众数是18 B．平均数是16 C．中位数是18 D．中位数是19 【答案】A 【分析】分别计算众数，中位数，平均数三个统计量，判断选项即可． 【详解】解：根据给出数据，数出各数出现次数，16出现2次，18出现3次，22出现2次，其余数各出现1次，18出现次数最多， ∴众数是18，A选项正确； 计算平均数，可得， ∴平均数是，B选项错误； 将数据从小到大排序为：16，16，18，18，18，19，20，22，22，24，共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均数， 即中位数为， ∴C，D选项错误． 故选：A． 3．信息技术课上，在老师的指导下，卓玛同学训练打字速度(字，数据整理如下：，，，，，，，，，对于这组数据，下列说法正确的是(   ) A．平均数是17 B．中位数是17 C．众数是17 D．方差是17 【答案】C 【分析】根据平均数，方差，中位数，众数的概念求解可得． 【详解】解：以上数据重新排列为：，，，，，，，，， ∴平均数是， 方差是， 众数为17，中位数为16． 4．如图是某班甲、乙两名射击选手最近10次射击训练成绩的折线统计图，下面四个推断中合理的是（     ） ①甲、乙的射击成绩的平均数都是8；②甲、乙的射击成绩的众数都是8；③甲成绩的方差比乙成绩的方差小；④甲、乙成绩的中位数都是8． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据平均数、中位数、众数及方差的意义分别对每一项进行分析即可得出答案． 【详解】解：（环）， （环）， 故①正确； 根据众数的定义可知甲、乙的射击成绩的众数都是8，故②正确； 根据方差的定义可知甲成绩的方差为： ， 乙成绩的方差为： ， 故③错误； 把甲的射击成绩从小到大排列为， 则中位数是， 把乙的射击成绩从小到大排列为， 则中位数是， 故④正确. 5．如图，是根据重庆今年3月1日至5日每天的最高气温（单位：摄氏度）绘制成的折线统计图．下列结论错误的是（     ） A．平均数是16 B．中位数是15 C．众数是15 D．方差是16 【答案】D 【分析】根据折线统计图读出5天的数据，分别计算平均数、中位数、众数和方差，即可判断各选项正误． 【详解】解：由折线统计图可知，这5天的最高气温分别为： 14，15，17，15，19， ∴平均数为，故A选项结论正确； 将这组数据从小到大排列为：14，15，15，17，19， 中位数为 ，故B选项结论正确； ∵ 15 出现了2次，出现的次数最多， ∴众数为 15，故C选项结论正确； 方差 为： ， 故D选项结论错误． 6．某餐厅共有7名员工，所有员工的工资如表所示： 人员 经理 厨师 会计 服务员 人数 1 2 1 3 工资数 16000 6000 5200 3400 则餐厅所有员工工资的众数，中位数分别是（     ） A．3400，5200 B．5200，3400 C．340，5600 D．5600，3400 【答案】A 【分析】众数是数据中出现次数最多的数，中位数是将数据排序后位置居中的数，据此求解即可 【详解】解：∵工资为的员工有3人，出现次数最多， ∴众数为， 将所有员工工资从小到大排列为：， ∵共有7个数据，个数为奇数，中位数为排序后的第4个数据， ∴中位数为 7．如图为某地区2026年2月和3月的空气质量指数箱线图．值越小，空气质量越好；值在之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（    ） A．该地区3月有重度污染天气 B．该地区3月的值比2月集中 C．该地区3月的值中位数大于2月值的中位数 D．整体看，该地区2月的空气质量好于3月 【答案】B 【分析】通过观察箱线图的特征，结合的定义，对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：选项，从箱线图中可见月有值在之间， ∵值在之间说明重度污染， ∴该地区年月有重度污染天气，故选项说法正确． 选项，观察箱线图，月的箱形更窄，数据更集中，月的箱形更宽，数据更分散， ∴该地区年月的值不如月集中，故选项说法错误． 选项，从箱线图中可看出月值的中位数对应的位置高于月， ∴该地区年月的值中位数大于月值的中位数，故C选项说法正确． 选项，∵值越小，空气质量越好，月的值整体小于月， ∴整体看，该地区月的空气质量好于月，故选项说法正确． 8．下图是八年级某位同学最近次米跑步测试成绩的箱线图（其中每一次测试成绩均不相同），下列说法错误的是（   ）． A．最好成绩是秒 B．平均数是秒 C．中位数是秒 D．有次成绩小于秒 【答案】B 【分析】箱线图结构包括最小值、下四分位数（）、中位数（）、上四分位数（）、最大值，平均数和中位数没有必然相等的关系． 【详解】解：选项A：箱线图最下端代表最小值（跑步用时越少成绩越好），最小值为秒，即最好成绩是秒，A正确． 选项B：中位数是，但平均数受每一个数据的大小影响，箱线图只能给出五个关键值，无法推出平均数等于，平均数不一定是，故B错误． 选项C：一共个数据，中位数是第个数据，箱线图中间的横线对应的值为秒，因此中位数是秒，C正确． 选项D：箱线图中，，故下四分位数（秒）为第个数据，因此有次成绩小于秒，D正确． 9．某班举办了“激情世界杯·热血足球梦”知识竞赛．若甲组和乙组人数相等，两组竞赛成绩的箱线图如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．甲组成绩的波动明显比乙组的小 B．甲、乙两组成绩的第二四分位数相同 C．甲组约有的成绩高于乙组的最高成绩 D．甲组约有的成绩低于乙组的最低成绩 【答案】A 【分析】根据箱线图数据，逐项进行判断即可． 【详解】由箱线图可知：甲组数据：最小值，下四分位数，中位数，上四分位数，最大值； 乙组数据：最小值，下四分位数，中位数，上四分位数，最大值， 对于A，甲组极差为，乙组极差为，且甲组箱体更长，说明甲组成绩波动比乙组大，故A说法错误； 对于B，甲、乙两组的中位数均为，即第二四分位数相同，故B说法正确； 对于C，乙组最高成绩为，甲组上四分位数为，根据定义甲组约有的成绩高于分，故C说法正确； 对于D，乙组最低成绩为，甲组下四分位数为，根据定义甲组约有的成绩低于分，故D说法正确． 10．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法：①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高．其中错误的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【详解】解：对于①：∵箱体越窄，数据越集中，方差越小， ∴三个班级中，甲班分数的方差最小，故①正确； 对于②：∵乙的须线最长， ∴乙班的分数分布最广，波动最大，故②正确； 对于③：由图可知，丙班分数的中位数高于分， ∴丙班得分有一半以上的学生高于分， ∴丙班得分低于的学生人数少于得分高于的学生人数，故③错误； 对于④：个学生中的第名对应上四分位数， 由图可知，丙班分数的上四分位数最大， ∴三个班级的第名中，丙班的分数最高，故④正确·． 二、填空题 11．数据3，12，15，17，19，20，21，22，23，24，25，35中位数是_______，下四分位数是_________，上四分位数是 _________． 【答案】 16 【分析】数据已按从小到大排序，先根据中位数的定义计算中位数，再将数据分为前半组和后半组，根据四分位数的定义分别计算下四分位数和上四分位数即可． 【详解】解：由题意，可知数据共个，且已从小到大排序，位于第位和第位的数据为，． 中位数为． 方法一：取前个数据组成前半组，前半组为，，，，，． 下四分位数为． 取后个数据组成后半组，后半组为，，，，，． 上四分位数为． 方法二：∵， ∴下四分位数为第3，4个数据的平均数，即； ∵， ∴上四分位数为第9，10个数据的平均数，即． 12．已知一组数据，，，的平均数为7，则另一组数据，，7，，的平均数是_______． 【答案】7 【分析】先根据平均数的定义求出原数据的总和，再整理得到新数据的总和，最后根据平均数定义计算新数据的平均数． 【详解】解：由题意，根据平均数的定义，原数据满足 新数据的总和为 新数据共有个，因此新数据的平均数为． 13．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则三个班级的第一四分位数________班的分数最高．（填“甲”“乙”或“丙”） 【答案】甲 【分析】根据箱线图的信息解答即可． 【详解】观察箱线图的下边缘，即线图中间的箱体（长方形）最下方的那条水平线，即第一四分位数，甲班的第一四分位数的分数最高. 14．为庆祝七一建党105周年，学校举办党史知识竞赛，某小组3名同学初赛得分分别为6、7、8，则这组成绩数据的离差平方和为__________． 【答案】2 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方和，即可得到结果． 【详解】解： ， 离差平方和为：． 15．已知一组数据按从小到大排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26．经计算，该组数据的中位数是16，上四分位数是20，则________． 【答案】33 【分析】根据中位数和上四分位数的定义列方程求出和，再计算即可． 【详解】解：该组数据共个数，中位数为16， 中位数是第个和第个数据的平均数，即， 解得， 解法一：上四分位数应为17，y，22，26这四个数的中位数，即， 解法二：∵上四分位数为分位数，， ∴上四分位数是第个和第个数据的平均数，即， 解得， ． 三、解答题 16．某中学为落实劳动教育，组织九年级学生进行了劳动技能竞赛，现随机抽取了部分同学的成绩（单位：分），得到如下相关信息． 信息一： 某校九年级部分学生劳动技能成绩人数扇形统计图    某校九年级部分学生劳动技能成绩人数统计表 成绩分组 人数 1 2 a 8 4 信息二：抽取的这部分同学的劳动技能成绩的平均数是79.7分． 信息三： “”这一组的具体成绩为：88、87、81、80、82、88、84、86． 根据以上信息，回答下列问题： (1) ，该校九年级部分学生劳动技能成绩的中位数是 分； (2)“”对应扇形的圆心角度数为 °； (3)若将某同学的成绩由80分修改为89分，则抽取的这部分同学的成绩的方差变 （填“大”或“小”） (4)已知该校九年级共有900人，若将竞赛成绩不少于80分的学生评为“劳动达人”，请你估计该校九年级学生被评为“劳动达人”的学生人数． 【答案】(1)5； (2) (3)大 (4)540 【分析】（1）根据这一组的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出a的值． 根据中位数的定义可求得中位数； （2）用360度乘以成绩在人数的占比即可； （3）根据方差的概念即可得到答案； （4）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：（人）， 则， 中位数位于第10位和第11位的平均数，， 这一组的数据按照从小到大排列是：80，81，82，84，86，87，88，88， 则中位数为． （2）解：这一组的扇形圆心角度数为： ． （3）解：方差衡量数据与平均数的离散程度，单个数据离平均数越远，方差越大， 抽取的这部分同学的劳动技能成绩的平均数是79.7分，将某同学的成绩由80分修改为89分，则方差变大． （4）解：（名）， 即估计该校九年级学生被评为“劳动达人”的学生人数有540名． 17．某校七年级举行一分钟投篮比赛，要求每班选出10名学生参赛，在规定时间内每人进球数不低于8个为优秀，冠、亚军在甲、乙两班中产生，图1、图2分别是甲、乙两个班的10名学生比赛的数据统计图（单位：个） 根据以上信息，解答下列问题： (1)将下面的《1分钟投篮测试成绩统计表》补充完整： 统计量 班级 平均数 中位数 方差 优秀率 甲班 6.5 _____ 3.45 30% 乙班 ______ 6 4.65 ______ (2)你认为冠军奖应发给哪个班？简要说明理由． 【答案】(1) 统计量 班级 平均数 中位数 方差 优秀率 甲班 6.5 3.45 乙班 6 4.65 (2)冠军应发给甲班， 理由：由表格可知，甲乙两班的平均数一样，优秀率一样，从方差看，甲班方差小，波动小，学生发挥稳定，故选甲班为冠军． 【分析】（1）根据表格中的数据，可以分别求得甲班的中位数和乙班的平均数、优秀率； （2）先说明把冠军奖发给哪个班，再根据表格中的数据说明理由即可，本题是一道开放性题目，说的只要合理即可． 【详解】（1）解：由图可得， 甲班的中位数是， 乙班的平均数是：， 优秀率是：， 填表如下： 统计量 班级 平均数 中位数 方差 优秀率 甲班 6.5 3.45 乙班 6 4.65 （2）略 18．某校九年级进行了体育模拟测试，现从中随机抽取了部分学生的体育成绩进行分段（A：50分；B：分；C：分；D：分；E：分），已知C等级人数占，其他结果在统计图中显示． 回答下列问题： (1)抽取的样本中，A等级的人数有______人，并补齐条形统计图； (2)抽取的样本中，考试成绩的中位数所在分数段是______； (3)请估算该校1000名九年级学生的体育模考成绩平均分是多少？ 【答案】(1)， (2)B (3)分 【分析】（1）根据C等级人数以及所占百分比求出抽查总人数，进一步根据题意求出A等级人数即可； （2）根据中位数的定义即可得出； （3）根据这250人的平均成绩估计全校1000名的平均成绩，取各段的中点值进行计算即可． 【详解】（1）解：抽取的总人数为：（人）， A等级的人数有：（人）； 统计图略； （2）解：由统计图可知，中位数在B等级； （3）解：因为是随机抽取的250人进行考查，所以可以用这250人的平均成绩估计全校1000名的平均成绩， 取各段的中点值进行计算： ． ∴估计全校1000名九年级学生的体育模考的平均成绩是分． 19．在一次捐款活动中，学校团支书想了解本校学生的捐款情况，随机抽取了部分学生的捐款进行了统计，并绘制成如图所示的统计图． (1)本次抽取到的学生人数是______人； (2)求这部分学生捐款的平均数，众数和中位数； (3)如果捐款的学生有人，估计这次捐款元的学生有多少人． 【答案】(1)50 (2)平均数是13元，众数是15元，中位数是15元 (3)84人 【分析】（1）把不同款数的捐款人数加起来即可； （2）利用加权平均数计算平均数，根据定义计算众数和中位数； （3）根据样本估计总体，由计算即可． 【详解】（1）解：由统计图知，捐款人数为：（人）， （2）解：由统计图，得平均数为：（元）， ∵捐15元钱的人数最多， ∴众数为15元， 将捐款钱数从小到大排列，第25和26个数据都是15， ∴中位数为（元）； （3）解：根据题意，得（人）， 答：估计这次捐款元的学生有84人． 20．某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，，80，，95．（，且，为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求，，． (2)观察图中乙组比赛成绩的箱线图求，． 【答案】(1)，，； (2)或93、； 【分析】（1）根据四分位数的定义进行解答即可； （2）根据题意进行分析讨论即可求出答案． 【详解】（1）解：将甲组成绩从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100         第一四分位数： 法一：，向上取整为第3个数据， ∴第一四分位数，         法二：∵甲组共有10个数据，第一四分位数为前5个数据的中位数， ∴第一四分位数， 第二四分位数： 法一：，为第5个数据， ∴第二四分位数，         法二：∵甲组共有10个数据，第二四分位数为第5个和第6个数据的平均数， ∴第二四分位数， 第三四分位数： 法一：，向上取整为第8个数据， 则第三四分位数； 法一：甲组共有10个数据，第三四分位数为后5个数据的中位数， ∴第三四分位数， （2）解：乙组共10个数据，由箱线图可得：乙组成绩最小值为70，最大值为96， 由表格知，乙组第一四分位数为80，第三四分位数为93， 则将乙组成绩从小到大排列后，第3个数据为80，第8个成绩为93， 第二四分位数（中位数）为90，即排序后第5、6个数的平均数为90， 将乙组成绩（除外）从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，95，96         若在第4个位置，则中位数为，不符合题意；         若在第5个位置，则中位数为，即，由于， 不符合题意         若在第6个位置，则中位数为，即，         若在第7个位置，则中位数为，此时，         当时，乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，92，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 当时，乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 因此，或93、； 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第六章 数据的分析 知识归纳与题型总结 题型01 平均数与方差 一、算术平均数 1. 一般地，对于n个数，，，，我们把叫作这n个数的算术平均数，简称平均数，记为，即． 2. 算术平均数的意义 反映一组数据的集中趋势，是度量一组数据波动大小的基准． 3. 算术平均数的特征 （1）一组数据的平均数是唯一的，与数据的排列顺序无关； （2）平均数的大小与一组数据中的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动，且容易受极端值的影响． 4. 若，，，的平均数为，则有如下结论： （1），，，的平均数为； （2），，，的平均数为； （3），，，的平均数为． 二、加权平均数 1. 实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同．因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”．“权”是一组数据中各数据所占的比重，反映了某个数据的重要程度． 2. 若n个数中，出现次，出现次，，出现次（其中），则由平均数的定义可得其平均数为，该平均数称为该组数据的加权平均数．其中的权为，的权为，，的权为． 3. 算术平均数与加权平均数的区别与联系 用法的区别 ①在实际问题中，当各数据的权相等时，计算平均数要采用算术平均数；②在实际问题中，当各数据的权不相等时，计算平均数就要采用加权平均数 影响因素的区别 ①算术平均数易受极端值的影响；②加权平均数受总体中各数据所占权重的大小和各数据出现的次数（频数）的影响 联系 算术平均数是各数据的权相等时的加权平均数，即算术平均数是加权平均数的特殊情况，但加权平均数不一定是算术平均数 3、 众数 1. 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数． 2. 众数是描述一组数据集中趋势的量，一组数据可以不止一个众数，也可以没有众数，但如果一组数据存在众数，那么众数必然是这组数据中的数． （1）若一组数据中有两个或两个以上数据出现的次数并列最多，那么这两个或两个以上的数据都为众数； （2）若一组数据中所有数据出现的次数都相同，我们就说这组数据没有众数． 4、 方差与标准差 1. 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数．用表示，即．其中是数据，，，的平均数． 2. 标准差：方差的算术平方根．用字母s表示，即． 3. 方差和标准差的计算 （1）计算这组数据的平均数； （2）计算各数据与平均数之差的平方，得到一组新数据； （3）求这组数据的平均数，这个平均数就是原数据的方差； （4）方差的算术平方根就是这组数据的标准差． 4. 方差和标准差的意义 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，一般来说，一组数据的方差、标准差越小，说明这组数据波动越小，这组数据就越稳定． 5. 适当变形后新数据的平均数和方差 样本数据 平均数 方差 ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 6.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”，多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和． 【典例1-1】某班级学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面按2：3：2：2：1确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为_____分． 【典例1-2】现有一组数据：，则这组数据的离差平方和为______，方差是______． 【典例1-3】有一组数据：1，2，2，4，4，5，这组数据的方差是________． 题型02 中位数与箱线图 一、中位数 1. 一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． 2. 一组数据的中位数有且只有一个，代表这组数据的“中等水平”．其单位与数据的单位相同． 3. 中位数的求法 （1）把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列； （2）确定这组数据的个数； （3）当数据的个数是奇数时，取最中间的一个数作为中位数；当数据的个数是偶数时，取最中间两个数的平均数作为中位数． 二、四分位数与箱线图 在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 箱线图 【典例2-1】教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要试行》指出，学生要承担一定的家庭劳动．某学校为了解全校学生每月参与家庭劳动的次数，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为_____，图①中的值为_____，被调查学生每月参与家庭劳动的次数的统计中，众数和中位数分别为_____和_____； (2)求被调查学生参加家庭劳动次数的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参与家庭劳动的次数是7次的人数为多少？ 【典例2-2】若一组数据，，，的众数和中位数相等，则的值为________． 【典例2-3】下面是某地区监测的近两年7月的空气质量指数． 前年7月  71  42  45  58  67  48  51  63  51  73  55  79  52  52  77  54 87  54  62  55  56  58  60  61  62  65  69  42  72  69  73 去年7月  38  50  19  37  22  47  31  38  22  26  28  19  30  31  32  34 35  33  18  49  47  37  22  38  38  18  39  25  22  42  44 (1)分别计算两组监测数据的平均数、方差和四分位数（结果保留小数点后一位）： (2)画出两组数据的箱线图； (3)通过上面的结果，比较说明这个地区的空气质量情况． 题型03 哪个团队收益大 1、 从统计图数据的集中趋势 条形统计图 扇形统计图 众数 最高的直条所对的横轴的数 占比例最大的部分所对应的数 中位数 确定中间位置是第n个数，按从左到右的顺序依次计算纵轴对应的个数和，和为n时对应的横轴上的数就是中位数（若处于中间位置的数有两个，则求这两个数的平均数） 按从小到大的顺序计算所占百分比之和，处于最中间位置的数（或最中间位置两个数的平均数）就是中位数 平均数 按平均数的计算公式计算 2、 合理使用平均数，中位数和众数分析问题 1. 平均数、中位数和众数各自的特征 （1）平均数：计算时所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息，因此在现实中较为常用，但它易受极端值的影响． （2）中位数：计算简单，受极端值影响较小，但不能充分利用所有数据的信息，而且当数据个数为偶数时，中位数不一定是数据中的数． （3）众数：是一组数据中多次重复出现的那个数，往往是人们尤为关心的一个量，但各个数据的重复次数大致相等时，众数就没有特别的意义，但众数一定是数据中的数． 2. 数据分析时的选用依据 平均数 众数 中位数 当要解决的问题需要一组数据中的每个数据都参加运算时，应当选用平均数 当一组数据中 出现极端值时， 应选用中位数 当一组数据中有的数据重 复出现，以至于其他数据 的作用显得相对较小时，应选用众数 【典例3-1】某地区一年内月的月降水量数据分别为：53，48，51，45，53，56，56，71，58，64，66，56． (1)该地区一年之内降水量最高和最低的月份分别是几月？ (2)求该地区的月降水量数据的四分位数，和． 【典例3-2】在学校举办的“劳动与科技”实践周中，八年级（1）班的同学负责照料两块草莓试验田．其中甲组地块采用“智能水肥一体化”技术种植，乙组地块采用“传统土壤”方式种植．为了评估两种种植方式的效果，成熟期时，同学们从甲、乙两地块中各随机采摘了10颗草莓进行甜度检测（单位：Brix，数值越大越甜）． 【数据收集】 甲组（智能水肥）：11，13，13，12，14，13，12，，14（部分数据被污染） 乙组（传统土壤）：10，16，12，14，11，13，13，16，13，12 【数据整理】同学们对数据进行了初步整理，并绘制了统计表和箱线图． 甲、乙两组草莓甜度统计分析表 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 13 13 a 1.2 乙 13 b 13 3.4 【问题解答】 (1)直接写出表格中a和b的值：_________，_________； (2)由乙组数据求出乙组草莓甜度的第一四分位数_________，第三四分位数_________； (3)如果高端超市收购草莓的标准是“甜度稳定且品质均匀”，你会向农户推荐哪种种植方式．请说明理由． 【典例3-3】修订过的《治安管理处罚法》自2026年1月1日起施行．新法与未成年人息息相关．学校在七八年级学生中开展了相关法律的学习活动，并在每个年级抽取了20名学生进行测试．最后将测试成绩按照等级绘制成了统计表， 分组 七年级 3 8 4 3 2 八年级 3 12 3 1 1 其中：七年级得分为81，86，82，82，82，82，85，82， 八年级得分为81，82，82，83，84，85，86，86，86，86，88，89． (1)七年级学生测试成绩的中位数是______，众数是______． (2)结合统计量，对七八年级的学习水平作出比较． 一、选择题 1．甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）如图，下列判断正确的是（     ）． A．甲的成绩的中位数比乙的大 B．甲的最好成绩比乙的高 C．甲的成绩的平均数比乙的大 D．甲的成绩比乙稳定 2．信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度（字/），数据整理如下：16，18，24，16，18，18，20，22，22，19，对于这组数据，下列说法正确的是（     ） A．众数是18 B．平均数是16 C．中位数是18 D．中位数是19 3．信息技术课上，在老师的指导下，卓玛同学训练打字速度(字，数据整理如下：，，，，，，，，，对于这组数据，下列说法正确的是(   ) A．平均数是17 B．中位数是17 C．众数是17 D．方差是17 4．如图是某班甲、乙两名射击选手最近10次射击训练成绩的折线统计图，下面四个推断中合理的是（     ） ①甲、乙的射击成绩的平均数都是8；②甲、乙的射击成绩的众数都是8；③甲成绩的方差比乙成绩的方差小；④甲、乙成绩的中位数都是8． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 5．如图，是根据重庆今年3月1日至5日每天的最高气温（单位：摄氏度）绘制成的折线统计图．下列结论错误的是（     ） A．平均数是16 B．中位数是15 C．众数是15 D．方差是16 6．某餐厅共有7名员工，所有员工的工资如表所示： 人员 经理 厨师 会计 服务员 人数 1 2 1 3 工资数 16000 6000 5200 3400 则餐厅所有员工工资的众数，中位数分别是（     ） A．3400，5200 B．5200，3400 C．340，5600 D．5600，3400 7．如图为某地区2026年2月和3月的空气质量指数箱线图．值越小，空气质量越好；值在之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（    ） A．该地区3月有重度污染天气 B．该地区3月的值比2月集中 C．该地区3月的值中位数大于2月值的中位数 D．整体看，该地区2月的空气质量好于3月 8．下图是八年级某位同学最近次米跑步测试成绩的箱线图（其中每一次测试成绩均不相同），下列说法错误的是（   ）． A．最好成绩是秒 B．平均数是秒 C．中位数是秒 D．有次成绩小于秒 9．某班举办了“激情世界杯·热血足球梦”知识竞赛．若甲组和乙组人数相等，两组竞赛成绩的箱线图如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．甲组成绩的波动明显比乙组的小 B．甲、乙两组成绩的第二四分位数相同 C．甲组约有的成绩高于乙组的最高成绩 D．甲组约有的成绩低于乙组的最低成绩 10．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法：①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高．其中错误的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 11．数据3，12，15，17，19，20，21，22，23，24，25，35中位数是_______，下四分位数是_________，上四分位数是 _________． 12．已知一组数据，，，的平均数为7，则另一组数据，，7，，的平均数是_______． 13．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则三个班级的第一四分位数________班的分数最高．（填“甲”“乙”或“丙”） 14．为庆祝七一建党105周年，学校举办党史知识竞赛，某小组3名同学初赛得分分别为6、7、8，则这组成绩数据的离差平方和为__________． 15．已知一组数据按从小到大排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26．经计算，该组数据的中位数是16，上四分位数是20，则________． 三、解答题 16．某中学为落实劳动教育，组织九年级学生进行了劳动技能竞赛，现随机抽取了部分同学的成绩（单位：分），得到如下相关信息． 信息一： 某校九年级部分学生劳动技能成绩人数扇形统计图    某校九年级部分学生劳动技能成绩人数统计表 成绩分组 人数 1 2 a 8 4 信息二：抽取的这部分同学的劳动技能成绩的平均数是79.7分． 信息三： “”这一组的具体成绩为：88、87、81、80、82、88、84、86． 根据以上信息，回答下列问题： (1) ，该校九年级部分学生劳动技能成绩的中位数是 分； (2)“”对应扇形的圆心角度数为 °； (3)若将某同学的成绩由80分修改为89分，则抽取的这部分同学的成绩的方差变 （填“大”或“小”） (4)已知该校九年级共有900人，若将竞赛成绩不少于80分的学生评为“劳动达人”，请你估计该校九年级学生被评为“劳动达人”的学生人数． 17．某校七年级举行一分钟投篮比赛，要求每班选出10名学生参赛，在规定时间内每人进球数不低于8个为优秀，冠、亚军在甲、乙两班中产生，图1、图2分别是甲、乙两个班的10名学生比赛的数据统计图（单位：个） 根据以上信息，解答下列问题： (1)将下面的《1分钟投篮测试成绩统计表》补充完整： 统计量 班级 平均数 中位数 方差 优秀率 甲班 6.5 _____ 3.45 30% 乙班 ______ 6 4.65 ______ (2)你认为冠军奖应发给哪个班？简要说明理由． 18．某校九年级进行了体育模拟测试，现从中随机抽取了部分学生的体育成绩进行分段（A：50分；B：分；C：分；D：分；E：分），已知C等级人数占，其他结果在统计图中显示． 回答下列问题： (1)抽取的样本中，A等级的人数有______人，并补齐条形统计图； (2)抽取的样本中，考试成绩的中位数所在分数段是______； (3)请估算该校1000名九年级学生的体育模考成绩平均分是多少？ 19．在一次捐款活动中，学校团支书想了解本校学生的捐款情况，随机抽取了部分学生的捐款进行了统计，并绘制成如图所示的统计图． (1)本次抽取到的学生人数是______人； (2)求这部分学生捐款的平均数，众数和中位数； (3)如果捐款的学生有人，估计这次捐款元的学生有多少人． 20．某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，，80，，95．（，且，为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求，，． (2)观察图中乙组比赛成绩的箱线图求，． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $