第七章 证明重难点训练2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦“证明”核心素养，构建从命题基础到代数几何推理的完整逻辑链，强化观察归纳与逻辑论证能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |观察与实验|3题|结合生活情境考查规律探究|从具体现象抽象数学关系，培养数学眼光| |归纳与类比|4题|杨辉三角等规律归纳|通过特例推导一般结论，发展推理意识| |命题基础（题型4-8）|15题|命题判断、结构分析、真假辨析|构建命题认知体系，夯实证明理论基础| |证明应用（题型9-14）|20题|代数证明、几何推理、逻辑分析|从理论到实践，形成完整证明能力链|

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第七章 证明 题型1 观察与实验 题型2 归纳与类比 题型3 猜想与证明 题型4 判断是否是命题 题型5 写出命题的题设与结论 题型6 判断命题真假 题型7 举反例 题型8 定理与证明 题型9 代数问题证明 题型10 写出一个命题的已知，求证及证明过程 题型11 以几何为背景的推理与论证 题型12 以代数为背景的推理与论证 题型13 逻辑推理与论证 题型14 平行线的证明 【观察与实验】 1．生活中人们经常利用手机设置闹钟，下图是设置界面，采用24小时制，左边的数表示小时，右边的数表示分钟，数字每跳动一次会发出“嘀”的一声，划动屏幕中对应数字所在列，数可以增大也可以减小．若想把图中的闹钟时间设置成06：05，最少会响________次“嘀”声． 【答案】35 【分析】先判断滑动的方向，再进一步求解即可． 【详解】解：把左边的数往下滑动到，划动下，把右边的数往上滑动到，滑动下， ∴想把图中的闹钟时间设置成，最少会响次“嘀”声． 2．用试验寻找规律时，下列说法中，正确的是（    ） A．试验次数多与试验次数少所得的规律相同 B．试验次数越多，所得数据越接近真实值 C．试验次数越少，所得数据越接近真实值 D．抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会相同 【答案】B 【分析】本题主要考查了模拟实验，正确理解模拟实验的意义是解题关键．根据模拟实验的意义以及模拟实验的方法分别判断，即可解题． 【详解】解：A、试验次数多与试验次数少所得的规律不一定相同，故此选项错误； B、试验次数越多，所得数据越接近真实值，此选项正确； C、试验次数越少，所得数据不可能越接近真实值，故此选项错误； D、抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会不相同，故此选项错误； 故选：B． 3．观察下列各数排列规律：，则第100个位置上是______． 【答案】 【分析】分别根据分子、分母的排列规律找出第100个数的分子、分母即可得解解答．　 【详解】解：经过观察，分母的排列规律如下： 1个2、2个3、3个4、4个5、...，其中每个数的个数比这个数本身小1，并且都是按顺序排列， ∵1+2+3+...+14=105， ∴第100个数在第14组，分母为15， 又1+2+3+...+13=91， ∴第100个数为第14组的第9个数， ∵每一组的分子排列规律都是从1开始，并且每次多1， ∴第100个数的分子即为9， ∴所求数为， 故答案为 ． 【归纳与类比】 4．八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘． 【核心概念】 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了，如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2： (1)【任务规划】 任务：请根据素材1和素材2直接写出： ①展开式中的系数是_____； ②展开式中所有项的系数和为_____． (2)【项目成效】成果展示：①设，在等式中当时，的值是多少? ②若，求的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）①根据杨辉三角，依次写出各项系数即可． ②令，代入，结果即为所有系数和，此时． （2）①常数项是式子中不含的项，只需将代入等式左边，计算结果即为． ②先令，可求出全部系数总和；再令,求出常数项；用全部系数总和减去常数项，即可得到． 【详解】（1）解：①由杨辉三角递推，各项系数依次为，对应项：系数、系数、系数、系数、系数． 故中的系数是． ②令，代入： 系数和． （2）解：①把代入等式： 左边， 右边， 左右相等，得． ②令，代入等式： ， ， 得等式①：． 令，代入等式： ， ， 得． 将代入等式①： ， 移项计算：． 5．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…． …． (1)请写出第5个等式：____________； (2)写出第n个等式：____________；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知，两个连续的正整数 ， 的倒数的相反数加上 的倒数，等于 的倒数的相反数乘以 的倒数，据此求解即可； （2）根据（1）所求可得答案； （3）根据（2）的规律把原式变形为 ，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， ……， 以此类推，可知，第个等式为 ， 第5个等式为 ； （2）由（1）可得第个等式为 ； （3）原式． ． 6．图是著名的“杨辉三角”，它给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，图列举了的展开式规律．由此的展开式中项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查杨辉三角的递推规律，能根据项的指数确定其位置是解题关键． 先确定对应杨辉三角第行，为从左向右第项，再根据递推规律，用第行第个数的系数与第个数的系数相加求出项的系数． 【详解】解：根据图可知，“杨辉三角”的规律为： 每行首尾都是，中间每个数等于它上方左右两个数的和， 第六行的数，从左到右的系数分别为： 根据图可知，第行第个数的系数为，第个数的系数为， 对应“杨辉三角”第行，展开式中对应第行的第项， 的系数等于第行第个数的系数与第个数的系数之和：． 故选：． 【猜想与证明】 7．在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑． 若我们把一个正整数a除以3所得的余数记作“a模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模”． (1)直接写出结果：36模 ；360模 ． (2)①命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．这个命题是真命题，证明过程如下： 证明：若a模，其中a为正整数，则a能被3整除，可以设； 则； 所以能被3整除， 即模． ②命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明； (3)证明：如果a模，b模，其中a、b为正整数，那么模． 【答案】(1)0；0 (2)②正确，证明见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据新定义解答即可求解； （2）根据命题①的证明方法解答，即可求解； （3）根据题意设，可得，即可解答． 【详解】（1）解：， ∴36模；360模； （2）解：②正确， 证明：若a模，其中a为正整数，则a除以3余1，可以设， 则， 因为能被3整除，10除以3余1， 所以模， 即模； （3）证明：因为a模，b模， 所以设， ， 所以模， 所以能被整除， 所以模． 8．我们把按一定规律排列的一列数叫做数列，一般地，把数列中的第1个数记为，第2个数记为，第个数记为．1202年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》中记录了一个数列：，．从开始，每个数都等于它前面的两个数之和，即．小明在一次课外活动中，作了如下探究：小明发现，这样的求和结果与该数列中的某个数有着某种特殊关系，他为了证实自己的猜想，准备再举一些例子…… (1)请你帮小明再举一个例子，并写出猜想（即写出与数列中的哪个数，有怎样的数量关系？注：为正整数，下同）． (2)小明认为只要多举一些具体例子，就能证实他的猜想一定成立．你赞同小明的想法吗？如果赞同，请说明理由；如果不赞同，请给出你认为更好的证明方法． (3)①请你借鉴小明的探究思路，直接写出与该数列中某个数的数量关系（不用证明）． ②查得该数列中，求的值． 【答案】(1)，猜想 (2) 不赞同小明的想法（多举例子就能证实猜想成立）．理由：数学猜想需要通过严密的逻辑推理来证明，枚举法只能验证有限个例，不能保证对所有正整数成立．更好的证明方法如下： ∵， ， ， ， ∴， ∴， ∴． (3)①；② 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）先求出，，再举一个例子为，然后猜想即可得； （2）数学猜想需要通过严密的逻辑推理来证明，枚举法只能验证有限个例，不能保证对所有正整数成立，则不赞同小明的想法．更好的证明方法：先求出，，，，再将这些式子的左右两边相加，化简即可得证； （3）①先求出，，，，再将这些式子的左右两边相加，化简即可得； ②参考上面的结论，可求出和的值，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 所以再举一个例子为， 观察可知：， ， ， ， 所以猜想． （2）略 （3）解：①，证明如下： ∵， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ②∵， ∴， ， ∴． 9．观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第5个等式：___________ (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) ； (2) 解：猜想的第个等式为， 证明： ， ， ∴． 【分析】本题考查数字类规律探索，完全平方公式，多项式乘法． （1）由前四个等式得出规律，即可得出结果； （2）根据已知等式找规律，进行猜想，根据完全平方公式和多项式乘法证明即可． 【详解】（1）解：通过观察可得，第5个等式为， 故答案为：． （2）略 【判断是否是命题】 10．下列说法错误的是（   ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是基本事实 【答案】C 【分析】根据命题、定理的定义、基本事实的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．命题包含真命题和假命题，因此命题不一定是定理，定理是经过证明的真命题，因此定理一定是命题，故A选项说法正确； B．定理是被证明为正确的命题，即定理不可能是假命题，故B选项说法正确； C．只有经过推理证明、可作为推理依据的真命题才是定理，并不是所有真命题都是定理，故C选项说法错误； D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是初中几何公认的基本事实，故D选项说法正确． 11．下列正确的选项是（   ） A．命题同旁内角互补是真命题 B．作线段这句话是命题 C．对顶角相等是定义 D．边长为1，，的三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题的定义与真假判断、几何定义与性质的区别以及勾股定理的逆定理，熟练掌握命题的判定方法和勾股定理逆定理的应用是解题的关键． 本题需要逐一判断四个选项的正误，先明确命题的定义、真假命题的判断标准、几何定义与性质的区别，再用勾股定理的逆定理验证三角形形状． 【详解】解：∵同旁内角互补的前提是两直线平行，缺少该条件则不成立， ∴A项错误； ∵作线段是作图指令，不是陈述句，无法判断真假， ∴B项错误； ∵对顶角相等是对顶角的性质，而非定义， ∴C项错误， ∵边长为，，的三角形满足，由勾股定理逆定理可知该三角形是直角三角形； ∴D项正确 故选：D． 12．下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ (1)两点之间，线段最短． (2)如果，那么是线段的中点． (3)一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？ 【答案】(1)是命题 (2)是命题 (3)不是命题 【分析】本题考查了命题的定义，即能判断真假的陈述句；解题的关键是准确判断语句是否能判断真假；易错点是对条件和结论不明确的命题判断失误，例如错误地将疑问句或无法确定真假的语句误判为命题；依据命题是能判断真假的陈述句这一定义，逐一分析各语句是否符合定义，若语句是陈述句且可判断真假（真或假），则是命题；否则不是命题． 【详解】（1）语句“两点之间，线段最短”是一个陈述句，在几何中这是一个公理，可判断为真，因此是真命题． （2）语句“如果，那么是线段的中点”是一个陈述句，但该结论不一定成立，例如当点不共线时，但不是线段的中点，因此可判断为假，是假命题． （3）语句“一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？”是一个疑问句，无法判断真假，因此不是命题． 【写出命题的题设与结论】 13．如果是整数，那么是偶数，其中题设是____________，结论是____________，这是____________命题（填真或假） 【答案】 是整数 是偶数 真 【分析】命题为“如果…那么…”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论，结合偶数定义即可判断命题真假． 【详解】解：对于“如果…那么…”形式的命题， “如果”引出的部分是题设，因此本题题设是是整数； “那么”引出的部分是结论，因此本题结论是是偶数； 是整数时，一定能被整除，符合偶数的定义， 该命题是真命题． 14．把命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果...那么...”的形式是_________． 【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 【分析】将原命题拆分为题设和结论两部分，将题设放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改写． 【详解】解：原命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”中， 题设为：两条直线垂直于同一条直线，结论为：这两条直线互相平行， 因此改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 15．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【详解】原命题“对顶角相等”中，条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【判断命题真假】 16．下列命题中，是真命题的是______________．（填序号） ①相等的角是对顶角． ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． ③用根号表示的数都是无理数． 【答案】 ② 【详解】解：① 相等的角不一定是对顶角，例如两平行线被第三条直线所截得到的同位角相等，但同位角不是对顶角，因此①是假命题； ② 由垂线的基本性质可知，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此②是真命题； ③ 用根号表示的数不都是无理数，例如，是有理数，因此③是假命题． 17．下列命题中，是真命题的是（     ） A．若，， 则 B．相等的角是对顶角 C．若， 则 D．两个锐角的和是钝角 【答案】A 【分析】通过举反例的方法来判断命题的真假即可． 【详解】解： A、根据平行线的基本性质，平行于同一条直线的两条直线互相平行， ，，，本命题是真命题； B、举反例：两个位置不相对的直角，角度相等但不是对顶角，因此本命题是假命题； C、举反例：，，满足，但，，因此本命题是假命题； D、举反例：和都是锐角，和为仍是锐角，不是钝角，因此本命题是假命题． 18．下列说法：①所有实数都能用数轴上的点表示；②调查观众对《给阿嬷的情书》的满意度最适合采用全面调查的方式；③的平方根是；④“对顶角相等”的逆命题是假命题；⑤抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确，其中正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据实数与数轴的关系，调查方式的选择，平方根的概念，逆命题真假判断，抽样调查样本容量的性质，逐一判断每个说法即可得到正确个数． 【详解】解：① 由实数与数轴的对应关系可知，所有实数都能用数轴上的点表示，故①正确； ② 调查观众满意度，调查对象数量较大，适合采用抽样调查，不适合全面调查，故②错误； ③ ，的平方根是， 的平方根是，不是，故③错误； ④ “对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，因此逆命题是假命题，故④正确； ⑤ 抽样调查中，样本容量越大，对总体的估计越准确，样本容量越小估计误差越大，故⑤错误； 综上，正确的说法共个． 【举反例】 19．下列选项中，能说明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反例需满足是偶数且不是的整数倍，是奇数，不满足偶数条件， 排除B， ，均为偶数，且，，都是的整数倍， 排除A，D， 是偶数，且，不是的整数倍， 符合反例要求， 故选：C． 20．举一个证明命题“如果，那么，”为假命题的反例是________________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】要证明一个命题是假命题，只需举出满足命题条件，但不满足命题结论的实例即可，本题只需找到满足，且不全为的一组值即可． 【详解】解：当，时，满足，但此时不满足，， 故反例可以是，． 21．用一组，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是________，________． 【答案】 【分析】要说明该命题是假命题，只需举出满足条件，但不满足结论的反例即可. 【详解】解：当，时，满足， 计算得，， ∵， ∴， 不满足，因此可以说明命题“如果，那么”是假命题． 故，时，命题“如果，那么”是假命题．（答案不唯一） 【定理与证明】 22．有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】B 【分析】通过真命题（公理或其他已被证明的定理）出发,经过受逻辑限制的演绎推导,证明为正确的结论的命题或公式叫做定理. 【详解】①是题目条件或者要求,不是定理; ②是三角形中位线定义,不是定理; ③是定理; ④是假命题,应该是垂直于同一直线的两条直线互相平行. 故选B. 23．下列说法正确的是（    ） A．命题是定理，定理是命题 B．命题不一定是定理，定理不一定是命题 C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理 D．定理可能是真命题，也可能是假命题 【答案】C 【分析】根据命题和定理的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、命题不一定是定理，所以本选项错误； B、命题不一定是定理，但定理一定是命题，所以本选项错误； C、真命题有可能是定理，假命题不可能是定理，所以本选项正确； D、定理不可能是假命题，所以本选项错误． 故选：C． 24．下列命题是定理的是（    ） A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】根据定理的定义和平行线的性质与判定、余角的定义和垂线的性质逐项判断即得答案． 【详解】解：A、内错角相等，需要有前提条件“两直线平行”，是假命题，本选项不符合题意； B、同位角相等，两直线平行，是真命题，也是定理，本选项符合题意； C、一个角的余角可以等于它本身，如45°，是假命题，本选项不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题，本选项不符合题意． 故选B． 【代数问题证明】 25．证明：两个奇数之和是偶数． 【答案】 证明：设两个奇数分别为，，其中，为整数，则 ． 因为，，都为整数， 所以为整数． 所以是偶数． 所以两个奇数之和是偶数． 【分析】本题考查证明，设两个奇数分别为，，其中，为整数，进而得到，即可得证． 【详解】略 26．证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 【答案】见解析 【分析】根据逆否命题以及完全平方公式进行判断即可． 【详解】证明：设整数个位数为5，可表示为， ∴， 因此，这个整数平方的个位数为5， ∴如果一个数的个位数是5，那么这个数的平方的个位数是5为真命题， ∴一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 27．证明命题 (1)求证：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等． (2)说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 【答案】(1) 已知，如图，在和中，，，， 求证：． 证明：∵，，，， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 解：该命题是真命题，理由如下： 设三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则这个三位数为， 由题意知，为整数， ∴，也为整数， ∴这个三位数能被3整除，故该命题是真命题． 【分析】本题考查了命题的证明，全等三角形的判定等知识，解题的关键是： （1）先画出图形，写出已知、求证，然后根据全等三角形的判定方法证明即可； （2）设三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则这个三位数为，根据，进行判断作答即可． 【详解】（1）略 （2）略 【写出一个命题的已知，求证及证明过程】 28．“证明”是一种推理过程．( ) 【答案】√ 【分析】本题考查对“证明”概念的理解，在初中数学中，证明是通过逻辑推理验证命题真实性的过程，属于推理的一种形式． 【详解】解：在数学中，“证明”是指基于已知的公理、定义、定理等，通过一系列逻辑推理步骤，得出某个命题或结论的真实性的过程．例如，在初中几何中，证明三角形全等需根据边角关系逐步推导结论．因此，“证明”的本质是推理过程．根据教材定义，证明是数学推理的核心方法，故该说法正确， 故答案为：√． 29．要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 【答案】 已知：如图，直线与相交于点， 求证：． 证明：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了证明几何命题，对顶角相等．根据证明几何命题的步骤画图，写出已知求值，再推理证明即可． 【详解】略 30．要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 根据以上步骤，用勾股定理，求证命题：“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等”．（不能使用“”判定全等） 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，先理解题意，明确命题中的已知和求证，根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证，作图，结合勾股定理得出，再运用的判定方法证明，即可作答． 【详解】证明：已知：如图，和中，， 求证： ∵， ∴和都是直角三角形 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ． 【以几何为背景的推理与论证】 31．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 【答案】 【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 【详解】解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． 32．如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【答案】一样大，理由如下： 设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r， 则． 10个小圆周长，2个小圆周长． 所以它们的周长一样大． 【分析】本题考查猜想和验证，求圆的周长，设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r，根据圆的周长公式进行计算，判断即可． 【详解】略 33．《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】D 【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想 故选：D． 【以代数为背景的推理与论证】 34．小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，图表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为______． 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 8 6 6 5 4 高强度 12 13 14 12 8 休息 0 0 0 0 0 【答案】 35 【分析】根据题意，按照“选择高强度要求前一天必须休息”的规则，枚举所有符合要求的徒步方案，计算每种方案的总徒步距离，比较后得到最远距离. 【详解】解：枚举所有符合规则的方案，计算总距离如下： 当安排2次高强度，第1天高强度、第3天高强度时，总距离为： 当安排2次高强度，第1天高强度、第4天高强度时，总距离为： 当安排2次高强度，第1天高强度、第5天高强度时，总距离为： 当安排2次高强度，第2天高强度、第4天高强度时，总距离为： 其余方案的总距离均小于， 比较得最远距离为. 35．某科技运维公司调配6台新一代智能巡检机器人，分配给甲、乙、丙、丁四个运维站，每个运维站最多可投放3台机器人，各运维站产生的单日运维增效利润（单位：元）与投放台数（单位：台）的对应关系如下表： 运维站 增效利润 投放台数 甲 乙 丙 丁 1 50 36 23 24 2 74 67 42 46 3 96 91 60 71 （1）若规定每个运维站至少投放1台机器人，剩余机器人追加投放到同一运维站，则应优先追加投放给_____运维站，才能使单日总增效利润最大； （2）若将6台机器人自由分配投放，则当日可获得的最大总增效利润为______元． 【答案】 乙 【分析】（1）根据题意，每个运维站至少1台，先确定已分配4台，剩余2台需全部投放到同一运维站，分别计算不同投放的总利润，比较得到最大值对应的运维站即可； （2）根据题意，自由分配6台机器人，每个运维站最多3台，列举所有可能使总利润较大的分配方案，计算总利润后比较得到最大值即可. 【详解】解：（1）由题意，每个运维站至少投放1台，共分配台，剩余台追加到同一运维站，因此该运维站共投放台，其余运维站各投放台，分别计算总利润： 若追加给甲：总利润为； 若追加给乙：总利润为； 若追加给丙：总利润为； 若追加给丁：总利润为； 因为，因此应优先追加投放给乙； （2）由题意，6台机器人自由分配，考虑到甲、乙两个运维站的增效利润较高，我们优先测试将机器人集中分配给这两个站的组合，每个运维站最多投放3台，列举所有总利润较大的情况： ①投放甲台，乙台，总利润； ②投放甲台，乙台，丁台，总利润； ③投放甲台，乙台，丁台，总利润； ④投放甲台，乙台，丁台，总利润； ⑤投放甲台，乙台，丙台，丁台，总利润； 故最大总利润为元. 36．甲、乙、丙、丁、戊五名同学的各科考试成绩如下表所示，已知： ①每门功课五个人的分数各不相同，恰好分别为1，2，3，4，5； ②五个人的总分互不相同，按从高到低的顺序排列是：甲、乙、丙、丁、戊； ③丙有四门功课的分数相同． 姓名 语文 数学 英语 物理 政治 总分 甲 24 乙 丙 丁 4 戊 5 3 （1）这五人的总分之和是_____________； （2）乙的语、数、英、物、政五门功课的分数依次是：_____________． 【答案】 75 【分析】（1）根据每门功课的分数计算五人总分之和， （2）结合已知条件，逐步推理出各人的总分，再根据分数限制推出乙的各科分数. 【详解】解：（1）每门功课五个人分数为，每门功课分数和为，共有门功课，因此五人总分之和为； （2）∵甲总分为，五门满分， ∴甲的分数为个分和个分， ∵戊语文得分， ∴语文分在戊，甲的个分分布在数学，英语，物理，政治，甲语文得分； 根据条件③，丙有四门分数相同， ∵所有分已经用完（甲个，戊个）， ∴相同分数不可能为； ∵共有个分，已经用了甲语文分，丁英语分，仅剩个分，不够丙拿四门， ∴相同分数不可能为； 若相同分数为，则丙总分最多为，戊已有分，剩余三门最少加分，总分最少，此时丁需要小于，戊小于丁，矛盾， ∴相同分数不可能为； ∴丙四门相同分数只能为， 又∵戊数学已经得分，因此丙的数学不为，其余四门（语文，英语，物理，政治）均为，丙总分为，为丙数学分数，只能为； ∵总分排序甲>乙>丙>丁>戊，五人总分为， ∴乙+丙+丁+戊， 若丙总分或，总和超出， ∴丙总分只能为，得，即丙数学为，丙总分， ∴乙>>丁>戊，戊总分最少， ∴只能是乙，丙，丁，戊，满足， ∵戊已有语文，数学，剩余三门分数和为， ∴三门均为分，即戊英语，物理，政治都是， ∴英语剩下分给乙，乙英语得分； ∵丁总分，英语已经得分，因此剩下四门分数和为，物理，政治已经没有分， ∴丁物理+政治最少分， ∴丁语文+丁数学，可得丁语文，丁数学，丁物理，丁政治，满足和为； ∴乙各科分数： 语文：剩余分数为，得分； 数学：剩余分数为，得分； 英语：得分； 物理：剩余分数为，得分； 政治：剩余分数为，得分； ∴乙的五门分数依次为. 【逻辑推理与论证】 37．由中的自然数组成的四位密码（没有重复数字），对这个密码有A、B、C、D四个同学分别进行了猜测，密码提供者作出了相应评判． A：，评判：号码都错误； B：，评判：两个号码正确，但位置都错误； C：，评判：三个号码正确，位置都错误； D：，评判：两个号码正确，位置都正确． 据此你推断正确的密码应为____________． 【答案】0148 【分析】先根据A的猜测结果排除错误数字，再结合C的评判确定密码包含的三个数字，接着结合B的评判排除剩余错误数字得到密码的全部四个数字，最后根据各猜测的位置要求推理得到正确位置，得到密码. 【详解】第一步，确定排除的数字： 因为A猜测，所有号码都错误，因此密码中不含； 第二步，确定密码中的三个数字： C猜测，三个号码正确，位置都错误，因为已排除，因此密码包含； 第三步，确定密码的第四个数字： B猜测，两个号码正确，位置都错误，因为已排除，因此正确号码只能在中选两个，已知密码已经包含，因此正确号码为，因此密码不含； D猜测，两个号码正确，位置都正确，已知已排除，已经在密码中，因此另一个正确号码为，即密码含； 因此密码的四个数字为； 第四步，推理各数字位置： D中正确号码为和，位置都正确，D中在第三位，在第四位，因此密码第三位为，第四位为，剩余第一位和第二位分配和； B中正确号码为和，位置都错误，B中在第二位，因此不能在第二位，故在第一位，剩余在第二位； 因此密码为. 38．某次素养竞赛中有道选择题，答对记分，答错不计分，每道题在A，B，C三个选项中，只有一个是正确的．如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题选择的答案和这道题的得分情况：     题号同学 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 得分 甲 C A B C B 乙 C B B C C 丙 C C B B B 丁 C C B B A 则乙同学的得分是：（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】甲得分，说明仅错道题，通过分情况讨论甲错的题号，结合丙、丁的得分验证，推出道题的正确选项，再计算乙的得分即可． 【详解】解：∵甲得分， ∴甲仅错道题，分情况讨论： ①若甲错第题，则其余道正确，正确答案为第题A，第题B，第题C，第题B，此时丁仅对第题，得分，与丁得分矛盾，不符合题意； ②若甲错第题，则其余道正确，正确答案为第1题C，第题B，第题C，第题B，此时丙对第、、题，得分，与丙得分矛盾，不符合题意； ③若甲错第题，则其余道正确，正确答案为第1题C，第题A，第题C，第题B，此时丁仅对第题，得分，与丁得分矛盾，不符合题意； ④若甲错第题，则其余道正确，正确答案为第题C，第题A，第题B，第题B，此时丙对第、、题，得分，与丙得分矛盾，不符合题意； ⑤若甲错第题，则其余道正确，即第题C，第题A，第题B，第题C正确，且第题不是B。此时丙答案为C、C、B、B、B，对第题、第题，得分，符合丙得分， ∵丁得分，丁答案为C、C、B、B、A，已对第题、第题得分， ∴第题A正确，刚好得分，符合条件． ∴道题的正确答案依次为C、A、B、C、A，对照乙的答案C、B、B、C、C，乙答对第题、第题、第题，共得分． 39．桌上有6张正面向上的扑克牌，每次翻动其中任意4张（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上，至少翻动______次后，能使6张扑克牌都反面向上；若桌上有（）张正面向上的扑克牌，按同样的翻动方式，每次翻动其中任意张，则至少翻动______次后，能使所有的牌都反面向上． 【答案】 【分析】每张牌从正面向上变为反面向上需要翻动奇数次，总翻动次数需和牌的数量同奇偶，分析得翻动1次和2次都无法满足所有牌翻奇数次的要求，构造翻动3次可满足条件，因此最少翻动次数为3. 【详解】解：每张扑克牌变为反面向上，需要翻动奇数次； 当共6张牌，每次翻动4张时： 若翻动1次，仅4张被翻动，剩余2张未翻动，次数为偶数，不满足要求； 若翻动2次，最多仅能使4张牌翻动次数为奇数，无法满足所有牌均需翻动奇数次的要求，故不满足要求； 构造3次翻动：第一次不翻第1、2张，翻其余4张；第二次不翻第1、3张，翻其余4张；第三次不翻第2、3张，翻其余4张；各牌翻动次数为1次或3次，均为奇数，可使所有牌反面向上， 故至少翻动3次； 当共张牌，，每次翻动张时： 若翻动1次，仅张被翻动，剩余2张未翻动，次数为偶数，不满足要求； 若翻动2次，最多仅能使4张牌翻动次数为奇数，无法满足所有牌均需翻动奇数次的要求，不满足要求； 构造3次翻动：第一次不翻第1、2张，翻其余张；第二次不翻第1、3张，翻其余张；第三次不翻第2、3张，翻其余张； 各牌翻动次数：第1、2、3张各翻动1次，其余牌各翻动3次，所有次数都是奇数，满足所有牌反面向上，因此至少翻动3次. 【平行线的证明】 40．下列命题中真命题是（   ） A．同位角相等 B．是无理数 C．北纬，东经能定位甘肃省博物馆 D．若点的坐标为，则点在第四象限 【答案】C 【详解】解：∵两直线不平行时同位角不相等，∴A是假命题． ∵是有理数，∴B是假命题． ∵经纬度可确定地球表面内唯一位置，∴北纬，东经能定位甘肃省博物馆，C是真命题． ∵点横坐标为负且纵坐标为正，位于第二象限，∴D是假命题． 41．如图，，且，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． 【分析】首先得到，，然后证明，即可得到． 【详解】略 42．如图，直线被直线所截，点A、D分别在直线上，，点E在直线的右侧，连接平分交于点G，过点E作射线，若，，，则的度数为______°． 【答案】70 【分析】先证得出，即可求出的度数，于是得出的度数，根据角平分线的定义得出，即可得出的度数，再证，得出，然后根据平行线的性质即可得解． 【详解】解：， ∴， ， ， ， ， ， 平分交于点， ， ， ，， ， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第七章 证明 题型1 观察与实验 题型2 归纳与类比 题型3 猜想与证明 题型4 判断是否是命题 题型5 写出命题的题设与结论 题型6 判断命题真假 题型7 举反例 题型8 定理与证明 题型9 代数问题证明 题型10 写出一个命题的已知，求证及证明过程 题型11 以几何为背景的推理与论证 题型12 以代数为背景的推理与论证 题型13 逻辑推理与论证 题型14 平行线的证明 【观察与实验】 1．生活中人们经常利用手机设置闹钟，下图是设置界面，采用24小时制，左边的数表示小时，右边的数表示分钟，数字每跳动一次会发出“嘀”的一声，划动屏幕中对应数字所在列，数可以增大也可以减小．若想把图中的闹钟时间设置成06：05，最少会响________次“嘀”声． 2．用试验寻找规律时，下列说法中，正确的是（    ） A．试验次数多与试验次数少所得的规律相同 B．试验次数越多，所得数据越接近真实值 C．试验次数越少，所得数据越接近真实值 D．抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会相同 3．观察下列各数排列规律：，则第100个位置上是______． 【归纳与类比】 4．八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘． 【核心概念】 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了，如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2： (1)【任务规划】 任务：请根据素材1和素材2直接写出： ①展开式中的系数是_____； ②展开式中所有项的系数和为_____． (2)【项目成效】成果展示：①设，在等式中当时，的值是多少? ②若，求的值． 5．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…． …． (1)请写出第5个等式：____________； (2)写出第n个等式：____________；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 6．图是著名的“杨辉三角”，它给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，图列举了的展开式规律．由此的展开式中项的系数是（    ） A． B． C． D． 【猜想与证明】 7．在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑． 若我们把一个正整数a除以3所得的余数记作“a模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模”． (1)直接写出结果：36模 ；360模 ． (2)①命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．这个命题是真命题，证明过程如下： 证明：若a模，其中a为正整数，则a能被3整除，可以设； 则； 所以能被3整除， 即模． ②命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明； (3)证明：如果a模，b模，其中a、b为正整数，那么模． 8．我们把按一定规律排列的一列数叫做数列，一般地，把数列中的第1个数记为，第2个数记为，第个数记为．1202年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》中记录了一个数列：，．从开始，每个数都等于它前面的两个数之和，即．小明在一次课外活动中，作了如下探究：小明发现，这样的求和结果与该数列中的某个数有着某种特殊关系，他为了证实自己的猜想，准备再举一些例子…… (1)请你帮小明再举一个例子，并写出猜想（即写出与数列中的哪个数，有怎样的数量关系？注：为正整数，下同）． (2)小明认为只要多举一些具体例子，就能证实他的猜想一定成立．你赞同小明的想法吗？如果赞同，请说明理由；如果不赞同，请给出你认为更好的证明方法． (3)①请你借鉴小明的探究思路，直接写出与该数列中某个数的数量关系（不用证明）． ②查得该数列中，求的值． 9．观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第5个等式：___________ (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【判断是否是命题】 10．下列说法错误的是（   ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是基本事实 11．下列正确的选项是（   ） A．命题同旁内角互补是真命题 B．作线段这句话是命题 C．对顶角相等是定义 D．边长为1，，的三角形是直角三角形 12．下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ (1)两点之间，线段最短． (2)如果，那么是线段的中点． (3)一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？ 【写出命题的题设与结论】 13．如果是整数，那么是偶数，其中题设是____________，结论是____________，这是____________命题（填真或假） 14．把命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果...那么...”的形式是_________． 15．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________． 【判断命题真假】 16．下列命题中，是真命题的是______________．（填序号） ①相等的角是对顶角． ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． ③用根号表示的数都是无理数． 17．下列命题中，是真命题的是（     ） A．若，， 则 B．相等的角是对顶角 C．若， 则 D．两个锐角的和是钝角 18．下列说法：①所有实数都能用数轴上的点表示；②调查观众对《给阿嬷的情书》的满意度最适合采用全面调查的方式；③的平方根是；④“对顶角相等”的逆命题是假命题；⑤抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确，其中正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举反例】 19．下列选项中，能说明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 20．举一个证明命题“如果，那么，”为假命题的反例是________________． 21．用一组，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是________，________． 【定理与证明】 22．有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 23．下列说法正确的是（    ） A．命题是定理，定理是命题 B．命题不一定是定理，定理不一定是命题 C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理 D．定理可能是真命题，也可能是假命题 24．下列命题是定理的是（    ） A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 【代数问题证明】 25．证明：两个奇数之和是偶数． 26．证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 27．证明命题 (1)求证：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等． (2)说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 【写出一个命题的已知，求证及证明过程】 28．“证明”是一种推理过程．( ) 29．要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 30．要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 根据以上步骤，用勾股定理，求证命题：“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等”．（不能使用“”判定全等） 【以几何为背景的推理与论证】 31．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 32．如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 33．《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【以代数为背景的推理与论证】 34．小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，图表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为______． 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 8 6 6 5 4 高强度 12 13 14 12 8 休息 0 0 0 0 0 35．某科技运维公司调配6台新一代智能巡检机器人，分配给甲、乙、丙、丁四个运维站，每个运维站最多可投放3台机器人，各运维站产生的单日运维增效利润（单位：元）与投放台数（单位：台）的对应关系如下表： 运维站 增效利润 投放台数 甲 乙 丙 丁 1 50 36 23 24 2 74 67 42 46 3 96 91 60 71 （1）若规定每个运维站至少投放1台机器人，剩余机器人追加投放到同一运维站，则应优先追加投放给_____运维站，才能使单日总增效利润最大； （2）若将6台机器人自由分配投放，则当日可获得的最大总增效利润为______元． 36．甲、乙、丙、丁、戊五名同学的各科考试成绩如下表所示，已知： ①每门功课五个人的分数各不相同，恰好分别为1，2，3，4，5； ②五个人的总分互不相同，按从高到低的顺序排列是：甲、乙、丙、丁、戊； ③丙有四门功课的分数相同． 姓名 语文 数学 英语 物理 政治 总分 甲 24 乙 丙 丁 4 戊 5 3 （1）这五人的总分之和是_____________； （2）乙的语、数、英、物、政五门功课的分数依次是：_____________． 【逻辑推理与论证】 37．由中的自然数组成的四位密码（没有重复数字），对这个密码有A、B、C、D四个同学分别进行了猜测，密码提供者作出了相应评判． A：，评判：号码都错误； B：，评判：两个号码正确，但位置都错误； C：，评判：三个号码正确，位置都错误； D：，评判：两个号码正确，位置都正确． 据此你推断正确的密码应为____________． 38．某次素养竞赛中有道选择题，答对记分，答错不计分，每道题在A，B，C三个选项中，只有一个是正确的．如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题选择的答案和这道题的得分情况：     题号同学 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 得分 甲 C A B C B 乙 C B B C C 丙 C C B B B 丁 C C B B A 则乙同学的得分是：（     ） A． B． C． D． 39．桌上有6张正面向上的扑克牌，每次翻动其中任意4张（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上，至少翻动______次后，能使6张扑克牌都反面向上；若桌上有（）张正面向上的扑克牌，按同样的翻动方式，每次翻动其中任意张，则至少翻动______次后，能使所有的牌都反面向上． 【平行线的证明】 40．下列命题中真命题是（   ） A．同位角相等 B．是无理数 C．北纬，东经能定位甘肃省博物馆 D．若点的坐标为，则点在第四象限 41．如图，，且，，求证：． 42．如图，直线被直线所截，点A、D分别在直线上，，点E在直线的右侧，连接平分交于点G，过点E作射线，若，，，则的度数为______°． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $