第四章 一次函数 重难点训练--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦一次函数核心概念与性质，以14类题型构建从基础到应用的完整训练体系，通过情境化问题培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|4题型|自变量范围、表示方法、动点图象、函数值计算|从概念定义到三种表示方法，建立函数关系认知| |图象性质|9题型|解析式、象限判断、交点、平移、对称、增减性|以图象为核心，串联参数与性质的逻辑推导| |综合应用|1题型|实际问题建模|结合生活情境，体现模型思想与应用意识|

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第四章 一次函数 题型1 求自变量的取值范围 题型2 函数的三种表示方法 题型3 动点问题的函数图象 题型4 求一次函数自变量或函数值 题型5 列一次函数解析式并求值 题型6 判断一次函数的图象 题型7 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型8 已知函数经过的象限求参数范围 题型9 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型10 一次函数图象平移问题 题型11 一次函数图象与对称问题 题型12 根据一次函数增减性求参数 题型13 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况 题型14 一次函数的应用 【求自变量的取值范围】 1．一个蓄水池蓄水600立方米，现打开排水口排水，每分钟排水20立方米． (1)写出蓄水池剩余水量（立方米）与排水时间（分钟）之间的关系式； (2)求自变量的取值范围； (3)排水15分钟后，蓄水池剩余水量是多少？ 2．用长的铁丝围成一个等腰三角形，写出底边长关于腰长的函数解析式，以及自变量的取值范围． 3．某网店销售一款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为60元时，每星期卖出100个，如果调整销售单价，每降价1元，每星期就可多卖出2个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个． (1)求关于的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (2)当销售单价为52元时，求每星期的销售总额． 【函数的三种表示方法】 4．骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者东东骑自行车离家的距离与骑行时间之间的关系． 骑行时间 … 0.5 3 4 … 离家的距离 … … (1)东东_________小时到达离家最远的地方，此时离家_________； (2)根据图象，完成表格； (3)求出第时东东骑自行车的路程与时间的关系式； (4)骑行多长时间时，东东与家相距？ 5．下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 6．在一次实验中，小华把一根弹簧上端固定，在其下端悬挂物体，弹簧挂上物体后的长度y（）与所挂物体的质量x（）之间的关系如下表： 所挂物体的质量x（） 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度y（） 15 18 21 24 27 30 观察表中的数据，回答下列问题： (1)用关系式表示出弹簧的长度y（）与所挂物体的质量x（）之间的关系． (2)当所挂物体质量为3千克时弹簧的长度为多少？没挂物体时呢？ (3)如果在允许范围内，弹簧的长度为36时，所挂物体的质量应为多少？ 【动点问题的函数图象】 7．七（1）班同学去兴平茂陵博物馆研学．研学队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶35分钟后抵达博物馆，参观博物馆历时50分钟．参观结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了20分钟．设师生队伍离学校的距离为y米，离校的时间为x分钟，则下列图象能大致反映y与x关系的是（     ） A．B．C．D． 8．如图，在矩形中，，点P从点B出发，沿方向运动，经过D，C两点到点B停止，点P的速度为，时点P改变速度，速度变为．点P运动过程中的面积S（单位：）与运动时间t（单位：s）的关系图像如图②所示． __________，__________，__________． 9．如图1，在中，D是边上的定点．点P从点A出发，依次沿，两边匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，的长为y，y关于x的变化图象如图2所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点．结合图形与图象解答： (1)________，D到的距离为________； (2)求的长； (3)直接写出y的最小值． 【求一次函数自变量或函数值】 10．根据如图所示的程序计算函数 的值，若输出 的值是 ，则输入的值为__________． 11．已知一次函数，若函数图象恒过定点M，则M的坐标是_______． 12．已知函数． (1)当为何值时，函数是一次函数？ (2)如果函数是一次函数，计算当的函数值． 【列一次函数解析式并求值】 13．如图是一种运算装置，输入两个实数，运算结果为实数．已知：当输入为0时，；当为确定值时，记为，结果为的正比例函数．则当均为5时，（   ） A．12 B．16 C．20 D．25 14．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)画出关于轴对称的图形（点、分别对应、） (2)请在轴上找出一点，满足线段的值最小，并直接写出点坐标． 15．如图，在长方形中，．点为线段的中点．动点按照的路径，以每秒的速度运动；动点按照从点到点的路径，以每秒的速度运动；两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当时，___________；当时，___________． (2)用含代数式表示线段． (3)以为边向上作正方形，正方形与长方形重叠部分的面积为，用含代数式表示． (4)在（3）问的条件下，当重叠部分的面积等于3时，___________． 【判断一次函数的图象】 16．已知函数的图象如图，则的图象可能是（     ） A． B． C． D． 17．在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 18．已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【根据一次函数解析式判断其经过的象限】 19．已知点，在直线的图象上，当时，，且，则在平面直角坐标系中，它的图象大致是（   ） A． B． C． D． 20．关于一次函数，下列说法正确的是（     ） A．随的增大而增大 B．图象经过点 C．图象与直线平行 D．图象经过第一、二、四象限 21．如图所示是一次函数的图象，则一次函数的图象可能是（     ） A．B．C．D． 【已知函数经过的象限求参数范围】 22．当直线不经过第一象限，则的取值范围是____________． 23．如图，在平面直角坐标系中，当时，一次函数的图象可能经过的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 24．直线和直线在同一平面直角坐标系内，其图象的位置可能是（） A． B． C． D． 【图象与坐标轴的交点问题】 25．函数的图象与函数的图象交于x轴上一点，那么的值是（     ） A． B． C． D． 26．已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，则______． 27．函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．当时， B．图象与轴的交点坐标为 C．当时，随的增大而增大 D．函数的最小值为0 【一次函数图象平移问题】 28．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移个单位长度后与线段有交点，则的取值范围是______． 29．在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数，且）的图象向左平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则下列各点在一次函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 30．将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第三象限，则的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【一次函数图象与对称问题】 31．问题：探究函数的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究： (1)在函数中，自变量x可以是任意实数，如表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 4 … y … 0 1 2 3 4 3 2 1 a … ①表格中a的值为________； ②若为该函数图象上的点，则________； (2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象； (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为________； ②写出该函数的一条性质： (4) 32．一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 33．一次函数（为常数，且）的图象关于轴对称后的图象经过点，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【根据一次函数增减性求参数】 34．已知一次函数的图象如图所示，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 35．已知是直线上的三个点，当时，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 36．已知一次函数的图象经过点，若，则下列一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【根据一次函数增减性判断自变量的变化情况】 37．已知一次函数的图象不经过第三象限，且m为正整数． (1)求m的值； (2)画出该一次函数的图象； (3)当时，根据函数图象，求x的取值范围， 38．已知关于的一次函数和的图象如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点，是直线上不重合的两点，则 39．已知关于的函数， (1)为何值时，函数的图象经过坐标原点； (2)若函数图象经过第一、二、三象限，求的取值范围； (3)若，当时，请直接写出的取值范围． 【一次函数的应用】 40．某容器配备进水管和出水管各一根．初始阶段，先只开进水管注水，第6分钟时，开启出水管，进出水管同时工作，第10分钟时，关停进水管，直到容器中的水排空．整个过程中，出水管的出水速度为，容器中的水量与时间之间的函数关系如图所示． (1)求进水速度及的值； (2)求段的函数表达式； (3)全过程有两个时刻水量同为，且两个时刻相隔，直接写出的值． 41．某校八年级学生外出参加实践活动，家长志愿者乘坐小巴士，学生乘坐大巴士沿着相同的路线同时匀速前往目的地．小巴士送完家长后立即匀速返回学校（家长下车时间忽略不计），大巴士因交通管制，在中途停留了一会后继续保持原速前往．如图是两辆巴士距学校的距离与行驶时间之间的图象．结合图象信息解答下列问题： (1)大巴士遇到交通管制时已经行驶了_____，因交通管制，在中途停留了_____； (2)求大巴士交通管制停留后，再前往目的地的过程中，与之间的函数解析式（无需写出自变量的取值范围）： (3)直接写出在大巴士到达目的地前，两车出发多长时间，两车相距． 42．某市为了加强公民节水意识，制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费．现有某户居民5月份用水x吨（），应缴水费y元，请回答下列问题： (1)请直接写出应缴水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系式； (2)若小明家本月用水15吨，请问小明家应缴水费多少元？ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第四章 一次函数 题型1 求自变量的取值范围 题型2 函数的三种表示方法 题型3 动点问题的函数图象 题型4 求一次函数自变量或函数值 题型5 列一次函数解析式并求值 题型6 判断一次函数的图象 题型7 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型8 已知函数经过的象限求参数范围 题型9 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型10 一次函数图象平移问题 题型11 一次函数图象与对称问题 题型12 根据一次函数增减性求参数 题型13 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况 题型14 一次函数的应用 【求自变量的取值范围】 1．一个蓄水池蓄水600立方米，现打开排水口排水，每分钟排水20立方米． (1)写出蓄水池剩余水量（立方米）与排水时间（分钟）之间的关系式； (2)求自变量的取值范围； (3)排水15分钟后，蓄水池剩余水量是多少？ 【答案】(1) (2) (3)300立方米 【分析】（1）根据题意直接写出表达式即可； （2）根据蓄水池剩余水量与排水时间都不小于零，可得不等式组，解不等式组即可； （3）把代入函数表达式中，求出y的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：，， ∴， 解得； （3）解：当时，， 答：剩余水量300立方米． 2．用长的铁丝围成一个等腰三角形，写出底边长关于腰长的函数解析式，以及自变量的取值范围． 【答案】， 【分析】根据三角形的周长公式可得：，根据三角形三边之间的关系求出自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意可得：， 可得：， 解得：， 自变量取值范围是． 3．某网店销售一款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为60元时，每星期卖出100个，如果调整销售单价，每降价1元，每星期就可多卖出2个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个． (1)求关于的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (2)当销售单价为52元时，求每星期的销售总额． 【答案】(1) ，自变量的取值范围是 (2) 每星期的销售总额为元 【分析】（1）根据销售量等于60加上每星期多买的个数可得关系式，再根据得出自变量的取值范围； （2）先令求出y，再根据销售总额等于销售单价乘以销售量可得答案． 【详解】（1）解：， ∵，且， 解得； （2）解：当时，， 则， 所以每星期销售总额是6032元． 【函数的三种表示方法】 4．骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者东东骑自行车离家的距离与骑行时间之间的关系． 骑行时间 … 0.5 3 4 … 离家的距离 … … (1)东东_________小时到达离家最远的地方，此时离家_________； (2)根据图象，完成表格； (3)求出第时东东骑自行车的路程与时间的关系式； (4)骑行多长时间时，东东与家相距？ 【答案】(1)2；30 (2) 骑行时间 … 0.5 3 4 … 离家的距离 … 5 25 20 … (3) (4)骑行或时，东东与家相距 【分析】（1）由图象信息，即可求解； （2）由图象信息，即可求解； （3）由图象信息，可求出第小时这一段共走的路程及时间，再求速度即可，求第小时的速度，方法类似； （4）根据图象可以得到有两个时间点，再分别确定时间即可． 【详解】（1）解：从图象知：东东出发后到达离家最远的地方，此时离家； （2）略 （3）解：第小时的速度： （km/h）， 所以，． （4）解：去时：当时，代入得：，． 出发至返回途中：由图可知骑行4h时，东东与家相距也为20km， 所以当骑行或时，东东与家相距． 5．下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】解：表达式中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意； 等边三角形的周长，故等边三角形的周长是边长的函数，符合题意； 由表格信息可得：对应的每一个值，都有唯一的值与之对应，故是的函数，符合题意； 如图中，对于的每一个取值，不是都有唯一的值与之对应，故不是的函数，不符合题意． 综上，正确的是． 6．在一次实验中，小华把一根弹簧上端固定，在其下端悬挂物体，弹簧挂上物体后的长度y（）与所挂物体的质量x（）之间的关系如下表： 所挂物体的质量x（） 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度y（） 15 18 21 24 27 30 观察表中的数据，回答下列问题： (1)用关系式表示出弹簧的长度y（）与所挂物体的质量x（）之间的关系． (2)当所挂物体质量为3千克时弹簧的长度为多少？没挂物体时呢？ (3)如果在允许范围内，弹簧的长度为36时，所挂物体的质量应为多少？ 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据图表，得到弹簧原来的长度为，每挂1千克质量的物体，弹簧就伸长，弹簧的长度y（）等于弹簧原来的长度加上伸长的长度，得到关系式即可． （2）根据图表的信息直接求解即可； （3）根据，计算当时，对应的x值即可； 【详解】（1）解：根据图表，得到弹簧原来的长度为，每挂1千克质量的物体，弹簧就伸长， 根据弹簧的长度y（）等于弹簧原来的长度加上伸长的长度，得到关系式为：． （2）解：根据图表，得到当所挂物体质量为3千克时弹簧的长度为； 没挂物体时，弹簧的长度为； （3）解：由， 当时，， 解得； 【动点问题的函数图象】 7．七（1）班同学去兴平茂陵博物馆研学．研学队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶35分钟后抵达博物馆，参观博物馆历时50分钟．参观结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了20分钟．设师生队伍离学校的距离为y米，离校的时间为x分钟，则下列图象能大致反映y与x关系的是（     ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据题意将行程分为去程、参观、返程三个阶段，分别分析离学校的距离y随时间x的变化情况即可得到答案． 【详解】解：第一阶段：从学校出发匀速行驶，离学校的距离y随时间x的增大而增大，图象为从原点出发的上升线段； 第二阶段：参观博物馆，离学校的距离y保持不变，图象为平行于x轴的水平线段； 第三阶段：按原路匀速返程，离学校的距离y随时间x的增大而减小，直至回到学校，图象为下降线段； ∴符合题意的图象是先上升，再水平，最后下降， ∴只有B选项中的函数图象符合题意． 8．如图，在矩形中，，点P从点B出发，沿方向运动，经过D，C两点到点B停止，点P的速度为，时点P改变速度，速度变为．点P运动过程中的面积S（单位：）与运动时间t（单位：s）的关系图像如图②所示． __________，__________，__________． 【答案】 5 4 【分析】根据a秒时的面积可求a的值，由秒时，点P与点D重合，利用路程速度时间，即可求出k的值，由时间路程速度即可求出b的值； 【详解】解：根据图像可得：a秒时的面积为12，即， ， 解得：， ， 秒时，点P与点D重合，秒， ； 点P从点D运动到点B的速度为每秒， ， 长方形中，， ， 则，， 9．如图1，在中，D是边上的定点．点P从点A出发，依次沿，两边匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，的长为y，y关于x的变化图象如图2所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点．结合图形与图象解答： (1)________，D到的距离为________； (2)求的长； (3)直接写出y的最小值． 【答案】(1)，12 (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合函数图象判断即可； （2）根据勾股定理求出，，即可求出的长； （3）作交于点，连接，根据函数图象可知当时，最小，此时恰好是的最小值，当点C与点P重合时，，根据勾股定理逆定理证明，可知，根据等面积法求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，； 根据垂线段最短可知，D到的距离为点M的纵坐标，即12； （2）解：根据图象，得当点B与点P重合时，， 根据勾股定理，得，， ； （3）解：作交于点，连接， 根据图象，得当时，最小，此时恰好是的最小值，当点C与点P重合时，， 作图如下， ， ， ， ， 根据三角形的面积不变性质，得， 故， 故点的纵坐标是， 即y的最小值是． 【求一次函数自变量或函数值】 10．根据如图所示的程序计算函数 的值，若输出 的值是 ，则输入的值为__________． 【答案】0或28 【分析】观察程序计算图，分情况讨论，根据输入的值，列出方程，即可求出答案． 【详解】解：当时，， 由题意得， 解得； 当时，， 由题意得， 解得； 综上，输入的值为0或28． 11．已知一次函数，若函数图象恒过定点M，则M的坐标是_______． 【答案】 【分析】将已知函数解析式整理为关于的式子，根据函数图象恒过定点与的取值无关，令含项的系数为，先求得定点横坐标，再代入计算纵坐标即可得到定点坐标 【详解】解：整理函数解析式得： 函数图象恒过定点，即对于任意，等式恒成立， ， 解得， 将代入得， 定点的坐标为 12．已知函数． (1)当为何值时，函数是一次函数？ (2)如果函数是一次函数，计算当的函数值． 【答案】(1)当时，函数是一次函数 (2) 【分析】（1）根据一次函数的定义得到，且，求出即可； （2）求出一次函数解析式，再把代入求解函数值． 【详解】（1）解：根据题意，得，且， 解得， 当时，函数是一次函数； （2）将代入函数， 得， 当时，得， 当的函数值为． 【列一次函数解析式并求值】 13．如图是一种运算装置，输入两个实数，运算结果为实数．已知：当输入为0时，；当为确定值时，记为，结果为的正比例函数．则当均为5时，（   ） A．12 B．16 C．20 D．25 【答案】B 【分析】设正比例函数为，根据条件可得，再结合均为5代入计算即可． 【详解】解：设正比例函数为， 当输入为0时，， ，解得， ，解得， 当均为5时， ，解得， ． 14．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)画出关于轴对称的图形（点、分别对应、） (2)请在轴上找出一点，满足线段的值最小，并直接写出点坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，先求出的坐标，再顺次连接三点得到． （2）利用轴对称的性质，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求点，再通过求直线的解析式得到点坐标． 【详解】（1）解：，关于轴对称的点的坐标特征为横坐标不变，纵坐标互为相反数， ． ， ． ， ． 顺次连接，得到． （2）解：作点关于轴的对称点，设直线的解析式为， 将，代入解析式： , 解得，， 直线的解析式为． 当时，， ． 15．如图，在长方形中，．点为线段的中点．动点按照的路径，以每秒的速度运动；动点按照从点到点的路径，以每秒的速度运动；两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当时，___________；当时，___________． (2)用含代数式表示线段． (3)以为边向上作正方形，正方形与长方形重叠部分的面积为，用含代数式表示． (4)在（3）问的条件下，当重叠部分的面积等于3时，___________． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，列一次函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握长方形的面积公式． （1）根据点P、Q的运动速度，求出结果即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可； （3）分三种情况：当时，当时，当，根据的长度求出重叠部分的面积即可； （4）根据重叠部分的面积等于3列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点为线段的中点， ∴， 当时，，， ∴， ∴； 当时，，， ∴， ∴； （2）解：当时，，， ∴； 当时，，， ∴； 综上分析可知：． （3）解：当时，， ∵此时， ∴， ∴重叠部分面积：； 当时，， 令， 解得：， 当时，重叠部分面积为：； 当时，重叠部分面积为：； 综上分析可知：． （4）解：当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去） 综上分析可知：当重叠部分的面积等于3时，． 【判断一次函数的图象】 16．已知函数的图象如图，则的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一次函数的图象和性质判断即可． 【详解】由函数的图象，可得，， 对于一次函数， 一次项系数， 图象经过第一、三象限 ， 常数项， 图象与轴交于负半轴 一次函数的图象经过一、三、四象限， 只有选项C图象符合题意． 17．在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正比例函数图象过原点得到各选项中的正比例函数图象，进而由图象性质得出的符号，再由的符号验证一次函数图象是否正确即可． 【详解】解：A、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是上升的、且与轴交于正半轴上，则选项中函数的图象符合要求； B、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是下降的、且与轴交于负半轴上，则选项中函数的图象不符合要求； C、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是下降的、且与轴交于负半轴上，则选项中函数的图象不符合要求； D、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是上升的、且与轴交于正半轴上，则选项中函数的图象不符合要求． 18．已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察已知一次函数的图象，判断和的正负，由的正负推导的正负，结合的正负，确定目标函数的图象即可． 【详解】解： 对于原函数，直线从左到右是下降的， ∴， ∵直线与轴交于正半轴， ∴， 目标函数， ∵， ∴， ∴直线是下降的， ∵， ∴直线与轴交于负半轴， ∴函数的图象为选项D． 【根据一次函数解析式判断其经过的象限】 19．已知点，在直线的图象上，当时，，且，则在平面直角坐标系中，它的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据随的变化情况判断的符号，再结合判断的符号，从而确定直线经过的象限． 【详解】解：点，在直线上，当时，， ∴随的增大而增大， ， ， ， 直线经过第一、二、三象限，观察选项，只有A选项符合． 20．关于一次函数，下列说法正确的是（     ） A．随的增大而增大 B．图象经过点 C．图象与直线平行 D．图象经过第一、二、四象限 【答案】C 【详解】解：已知一次函数为，可得，； 对A选项：∵，∴随的增大而减小，A错误； 对B选项：将代入解析式，得，∴图象不经过点，B错误； 对C选项：∵一次函数与的一次项系数相等，常数项不相等，∴两直线平行，C正确； 对D选项：∵，，∴图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，D错误. 21．如图所示是一次函数的图象，则一次函数的图象可能是（     ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象得到，，进而可判断一次函数的图象． 【详解】解：由图象可得，一次函数的图象过第一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴一次函数的图象过第二、三、四象限，故D选项符合题意． 【已知函数经过的象限求参数范围】 22．当直线不经过第一象限，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】直线不经过第一象限，说明一次项系数小于等于0，常数项小于等于0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵直线不经过第一象限， ∴， 解得． 23．如图，在平面直角坐标系中，当时，一次函数的图象可能经过的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据一次函数中、的符号确定图象经过的象限及增减性，结合图象上各点的位置进行判断． 【详解】解：一次函数中，， 图象与轴交于点， ， 随的增大而减小，图象经过第二、三、四象限， 当时，；当时，， 由图象得，点在第一象限，故A选项不符合题意； 点在第四象限，且纵坐标大于，故D选项不符合题意； 点在第三象限，且纵坐标小于，故C选项不符合题意； 点在第二象限，且纵坐标大于，故B选项符合题意． 24．直线和直线在同一平面直角坐标系内，其图象的位置可能是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数经过的象限，判断出的取值范围，再进行判断即可． 【详解】选项A，如图 在中，，在中，，前后矛盾，故A不符合题意； 选项B，如图 在中，，在中，，前后矛盾，故B不符合题意； 选项C，如图 在中，，在中，，前后矛盾，故C不符合题意； 选项D，如图 在中，，在中，，故D符合题意． 【图象与坐标轴的交点问题】 25．函数的图象与函数的图象交于x轴上一点，那么的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用轴上点的纵坐标为0的性质，先分别求出两个函数与轴交点的横坐标，再根据交点为同一点得到横坐标相等，整理即可求出的值． 【详解】解：当时，解得， 当时，解得 ∵两个函数图象交于轴上同一点， ∴， ∴． 26．已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，则______． 【答案】 【分析】先求出一次函数与坐标轴交点坐标，再利用三角形面积公式列出方程求解． 【详解】解：当时，，得到与轴交点； 当时，，解得，即与轴交点． 坐标轴围成直角三角形，两条直角边长分别为和． ， ， ， ， 解得：． 27．函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．当时， B．图象与轴的交点坐标为 C．当时，随的增大而增大 D．函数的最小值为0 【答案】C 【分析】将绝对值函数拆分为分段函数分析增减区间，代入自变量求值，结合图象最低点判断函数最值，令求解与轴交点． 【详解】解：A、将代入， ，此选项说法正确，不符合题意； B、令，则，解得，图象与轴交点为，此选项说法正确，不符合题意； C、，当时，随增大而减小，并非时随增大而增大，此选项说法错误，符合题意； D、由绝对值非负可知，函数最小值为，此选项说法正确，不符合题意． 【一次函数图象平移问题】 28．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移个单位长度后与线段有交点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】直线向上平移个单位后的解析式为，线段上所有点纵坐标都是2，把、两点分别代入平移后的直线解析式，求出对应的，即可得到的取值范围． 【详解】解：直线向上平移个单位长度后的解析式为：， 由题意：，，线段上点的纵坐标恒为． 将代入：，； 将代入：，， 直线和线段有交点，则的取值范围是：． 29．在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数，且）的图象向左平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则下列各点在一次函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后的解析式，结合正比例函数的特征求出k的值，再代入各点判断是否在函数图象上． 【详解】解：将的图象向左平移2个单位长度，得到的函数解析式为，即， ∵平移后得到一个正比例函数的图象， ∴， 解得， ∴原一次函数解析式为； 当时，，A选项不符合题意； 当时，，B选项符合题意； 当时，，C选项不符合题意； 当时，，D选项不符合题意． 30．将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第三象限，则的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象平移规则得到平移后直线的解析式，再根据直线经过第一、二、三象限的条件得到的取值范围，最后选出符合范围的选项即可． 【详解】解：根据一次函数图象平移规则，向上平移个单位长度后，直线的解析式为， ∵平移后的直线经过第一、二、三象限，且， ∴， 解得， 四个选项中只有，符合要求． 【一次函数图象与对称问题】 31．问题：探究函数的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究： (1)在函数中，自变量x可以是任意实数，如表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 4 … y … 0 1 2 3 4 3 2 1 a … ①表格中a的值为________； ②若为该函数图象上的点，则________； (2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象； (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为________； ②写出该函数的一条性质： (4) 【答案】(1)①0；②或12 (2)如图所示： (3)①4；②函数的图象关于y轴对称 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上的点的坐标特点，利用数形结合思想，正确画出函数图象是解题的关键． （1）①代入x的值即可求出a；②把代入求值，即可得出答案； （2）描点，连线即可； （3）①根据函数图象可知最大值；②根据图象得出函数性质即可． 【详解】（1）解：①把代入，得， 故答案为：0； ②把代入，得， 解得或12， （2）解：略； （3）解：根据函数图象可知： ①函数最大值为4； 故答案为：4； ②由图象可知该函数的一条性质：函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）； 32．一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据对称关系求出和的值，再用待定系数法求解正比例函数解析式即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数， 可得，， 即， ∴点的坐标为， 设正比例函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴这个正比例函数的表达式为． 33．一次函数（为常数，且）的图象关于轴对称后的图象经过点，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】利用关于y轴对称的点的坐标变化规律，找到原函数图象上对应的点，代入解析式即可求解k的值． 【详解】解：∵点关于轴对称的点为，对称后的图象经过点， ∴原函数图象上对应点的坐标为， 将代入，得， 解得． 【根据一次函数增减性求参数】 34．已知一次函数的图象如图所示，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象看出：随的增大而减小，由此可以确定，然后即可法求出的取值范围． 【详解】解：观察图象可得，随的增大而减小， 则有，即． 35．已知是直线上的三个点，当时，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据已知条件判断的正负，再根据横坐标的大小比较纵坐标的大小． 【详解】解：三个点横坐标分别为，满足，且已知， 对于直线，随的增大而减小， 可得． 又三个点横坐标大小关系为，且时随增大而减小， ． 36．已知一次函数的图象经过点，若，则下列一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据给定不等式判断一次函数的增减性，得到斜率的符号，再结合一次函数的性质，判断与的大小关系，排除错误选项得到结果． 【详解】解：∵， ∴与异号， ∴，说明一次函数中，随的增大而减小， ∵题目未给出和的大小关系， ∴ 无法确定与的大小，所以A、B都不一定正确； ∵， ∴， ∵一次函数，当时，，且随增大而减小， ∴当时，， ∵点的横坐标为， ∴． 【根据一次函数增减性判断自变量的变化情况】 37．已知一次函数的图象不经过第三象限，且m为正整数． (1)求m的值； (2)画出该一次函数的图象； (3)当时，根据函数图象，求x的取值范围， 【答案】(1) (2)一次函数图象，如图所示： (3) 【分析】（1）根据一次函数不经过第三象限，列出关于的不等式组，再结合m为正整数即可求解； （2）根据一次函数解析式，描点和连线即可； （3）由函数图象，随增大而减小，令时，，令时，，即可求得x的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的图象不经过第三象限， ，解得， m为正整数， ； （2）解：由（1）得一次函数， 令，则；令，则， 一次函数过点和， 在直角坐标系中描出点和，过这两点作直线即可． （3）解：一次函数， 由（2）一次函数图象可知，随着增大而减少， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴当时，x的取值范围为． 38．已知关于的一次函数和的图象如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点，是直线上不重合的两点，则 【答案】D 【详解】的图象从左到右上升，则；与轴交点在正半轴，则． 的图象从左到右下降，则；与轴交点在负半轴，则． 对于A，，，，选项A正确，不符合题意； 对于B，当时，，，此时的图象在的上方，即， ，选项B正确，不符合题意； 对于C，已知两条直线的交点横坐标是， 当时，，即， ， ，选项C正确，不符合题意； 对于D，， 随的增大而减小， 若，则，此时，，则， 若，则，此时，，则， ，选项D错误，符合题意． 39．已知关于的函数， (1)为何值时，函数的图象经过坐标原点； (2)若函数图象经过第一、二、三象限，求的取值范围； (3)若，当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数的图象经过坐标原点，可得，解方程求出的值； （2）根据函数的图象经过第一、二、三象限，可得关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围； （3）当时，函数解析式为，根据的取值范围求出的取值范围． 【详解】（1）解：函数的图象经过坐标原点， ， 解得：； （2）解：函数的图象经过第一、二、三象限， ， 解得：； （3）解：当时，函数解析式为， 当时， 可得：， 即． 【一次函数的应用】 40．某容器配备进水管和出水管各一根．初始阶段，先只开进水管注水，第6分钟时，开启出水管，进出水管同时工作，第10分钟时，关停进水管，直到容器中的水排空．整个过程中，出水管的出水速度为，容器中的水量与时间之间的函数关系如图所示． (1)求进水速度及的值； (2)求段的函数表达式； (3)全过程有两个时刻水量同为，且两个时刻相隔，直接写出的值． 【答案】(1)进水速度为， (2)段的函数表达式为 (3)n的值为10 【分析】（1）根据函数图象列式求解即可； （2）设段的函数表达式为，把，代入，进一步求解即可； （）设段的函数表达式为，设这两个时刻分别为和，根据这两个时刻的差为分钟，列方程求解． 【详解】（1）解：由题意可得：进水速度为， ． （2）解：设段的函数表达式为， 把，代入可得： ， 解得：， ∴段的函数表达式为； （3）解：设段的函数表达式为， 将点代入得， 解得，即， 设这两个时刻分别为和，且在段，在段， 则，得；，得， ∵这两个时刻的差为分钟，即， ∴， 解得． 41．某校八年级学生外出参加实践活动，家长志愿者乘坐小巴士，学生乘坐大巴士沿着相同的路线同时匀速前往目的地．小巴士送完家长后立即匀速返回学校（家长下车时间忽略不计），大巴士因交通管制，在中途停留了一会后继续保持原速前往．如图是两辆巴士距学校的距离与行驶时间之间的图象．结合图象信息解答下列问题： (1)大巴士遇到交通管制时已经行驶了_____，因交通管制，在中途停留了_____； (2)求大巴士交通管制停留后，再前往目的地的过程中，与之间的函数解析式（无需写出自变量的取值范围）： (3)直接写出在大巴士到达目的地前，两车出发多长时间，两车相距． 【答案】(1)120； (2) (3)或或 【分析】（1）根据函数图象所给的信息可得答案； （2）求出大巴士交通管制停留后的速度，再用120加上大巴士交通管制停留后行驶的距离即可得到对应的函数解析式； （3）求出小巴士去目的地的速度和返回学校的速度，以及大巴士行驶过程中的速度，再分三种情况：大巴士交通管制停留前，两车相距、大巴士停留过程中，两车相距和大巴士交通管制停留后，两车相距，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，大巴士遇到交通管制时已经行驶了，因交通管制，在中途停留了； （2）解：大巴士交通管制停留后的速度为， ∴； （3）解：大巴士行驶过程中的速度为， ∴， 小巴士去目的地的速度为，返回学校的速度为， 小巴士去时的解析式：，小巴士返回解析式：， 当大巴士交通管制停留前，两车相距时，则，解得； 当大巴士停留过程中，两车相距时，则，解得； 当大巴士交通管制停留后，两车相距时，则， 解得； 或， 解得（舍去）； 综上所述，在大巴士到达目的地前，两车出发或或时，两车相距． 42．某市为了加强公民节水意识，制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费．现有某户居民5月份用水x吨（），应缴水费y元，请回答下列问题： (1)请直接写出应缴水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系式； (2)若小明家本月用水15吨，请问小明家应缴水费多少元？ 【答案】(1) (2) 21元 【分析】（1）根据等量关系列式化简即可得到关系式； （2）将用水量代入关系式计算即可得到结果； 【详解】（1）解：由题意得，，10吨以内水费为元，超过10吨部分水量为吨，对应水费为元， ∴，化简得， 即应缴水费与用水量的关系式为； （2）解：由题意得，小明家本月用水量吨，，符合的条件， 将代入得， 答： 小明家应缴水费21元． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $