13.2.2三角形的中线、角平分线、高 专项讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦三角形的高、中线、角平分线核心知识点，系统梳理高（顶点向对边作垂线的线段，垂心位置随三角形形状变化）、中线（顶点与对边中点的线段，等分面积及重心性质）、角平分线（内角平分线与对边交点的线段，平分内角及内心性质）的定义与性质，通过三类线段对比总结构建知识支架，为后续全等三角形、勾股定理学习奠基。 资料特色在于考情分析精准定位期末及中考高频考点，典型例题结合面积计算、周长差等问题培养几何直观与应用意识，高频易错点总结针对性规避画图错误、概念混淆等陷阱，分层训练（基础、能力、拓展）标注年份地区适配不同学生。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺强化知识。

22026-2027学年第一学期初一数学（人教版新课标）第13章 三角形 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 学案 资料目录 1． 学习目标与考情分析 （1） 学习目标 （二）考情分析 二．核心知识点全面梳理 知识点1：三角形的高（高线） 知识点2：三角形的中线 知识点3：三角形的角平分线 知识点4：三类线段对比总结 3、 典型例题精讲与详细分析 例1.三角形重心内心垂心的辨析 例2.利用三角形的高解决面积问题 例3.利用三角形的中线解决面积问题 例4.利用三角形的角平分线解决面积问题 例5.三角形的中线、高，以及解决面积问题 四、本节高频易错点总结 易错点1. 画钝角三角形短边上的高，忘记延长对边，把高画在线段上； 易错点2. 混淆“线段、射线、直线”，把三角形的高说成直线； 易错点3. 多次中线等分面积时，没有逐次除以2，出现面积计算错误； 易错点4. 计算中线分割后的周长差，多余计算公共边与底边； 易错点5. 角平分线只记住分角相等，不会结合高线做角度差运算 五、分层课时训练（每题标注年份+地区） 第一部分 基础过关练（1—6题） 第二部分 能力培优练（7—10题） 第三部分 拓展拔高练（11-14题） 一、学习目标与考情分析 （1）学习目标 1. 理解三角形的高、中线、角平分线的定义，能准确区分三条线段，规范画出锐角、直角、钝角三角形的三条高、中线、角平分线。 2. 掌握三条线段的核心性质： 中线等分三角形面积； 高与面积计算结合； 角平分线平分三角形内角； 牢记重心、垂心、内心的位置特点。 3. 能利用线段性质解决面积计算、周长差值、角度计算类题型，规避高频易错陷阱。 4. 培养几何直观，为后续全等三角形、勾股定理学习打好基础。 （2）考情分析 1. 分值占比：八年级上册期末必考；中考多融合在几何填空、选择小问，偶尔结合面积综合题考查。 2. 核心考点 （1）辨析高、中线、角平分线，判断钝角三角形外部高线（高频易错点）； （2）中线等分面积，多次取中点求小三角形面积（近三年期末最热题型）； （3）利用中线求两个小三角形的周长之差； （4）高+角平分线结合，进行角度计算。 二、核心知识点全面梳理 知识点1：三角形的高（高线） 1. 定义：从三角形的一个顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫作三角形这条边上的高。 2. 关键结论（必考） ①三角形都有3条高；三条高所在直线交于一点，叫垂心； ②锐角三角形：三条高全部在三角形内部； ③直角三角形：两条直角边互为高，斜边上的高在内部，垂心在直角顶点； ④钝角三角形：钝角对边上的高在内部，另外两条高必须延长对边才能画出，高落在三角形外部（最容易画错）。 3. 易错提醒：高是线段，不是直线、射线。 知识点2：三角形的中线 1. 定义：连接三角形顶点和对边中点的线段，叫作三角形的中线。 2. 核心性质 ①任意三角形都有3条中线，全部落在三角形内部；三条中线交于一点，叫作重心； ②一条中线把原三角形分成面积相等的两个小三角形（面积二等分，考试核心结论）； ③重心分中线长度之比为2∶1（顶点到重心长度∶重心到中点长度=2∶1）； ④中线带来的周长结论：中线分割得到的两个小三角形，周长之差等于两条邻边的长度之差。 知识点3：三角形的角平分线 1. 定义：三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段，叫作三角形的角平分线。 2. 性质 ①3条角平分线都在三角形内部，交于一点（内心）； ②角平分线平分内角，得到两个相等的角。 知识点4：三类线段对比总结 线段 位置共性 交点名称 核心作用 中线 始终在三角形内部 重心 等分面积 角平分线 始终在三角形内部 内心 平分内角 高 随三角形形状变化 垂心 垂直，用于求面积 三、典型例题精讲与详细分析 例1.（三角形重心内心垂心的辨析） 三角形的重心是三角形(     ) A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三条高线的交点 例2.（利用三角形的高解决面积问题） 如图所示，，，分别是的三条高线，则下列的面积表示正确的是     ． A. B. C. D. 例3.（利用三角形的中线解决面积问题） 3.如图，，，分别为，，的中点，若的面积为，则的面积等于     ． A. B. C. D. 例4.（利用三角形的角平分线解决面积问题） 如图，在中，，，，，是，的平分线的交点，则点到的距离为(    ) A. B. C. D. 例5.（三角形的中线、高，以及解决面积问题） 如图，已知． 画边上的中线； 画的高； 若，，求的面积． 四、本节高频易错点总结 易错点1. 画钝角三角形短边上的高，忘记延长对边，把高画在线段上； 易错点2. 混淆“线段、射线、直线”，把三角形的高说成直线； 易错点3. 多次中线等分面积时，没有逐次除以2，出现面积计算错误； 易错点4. 计算中线分割后的周长差，多余计算公共边与底边； 易错点5. 角平分线只记住分角相等，不会结合高线做角度差运算 五、分层课时训练（每题标注年份+地区） 第一部分 基础过关练（1—6题） 1.如图，在中，是高，是的平分线，是边上的中线，则下列线段中，最短的是(     ) A. B. C. D. 2.画一边上的高，下列画法正确的是  (     ) A. B. C. D. 3.如图，若的三边，，长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于    ． A. B. C. D. 4.如图，是的角平分线，点在上，且于点，，，则的度数为  (     ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，为的中点，延长交于点，且满足，为上一点，且于点有下列判断： 线段是的角平分线与的面积相等 线段是的边上的高线段是的边上的中线． 其中正确的个数是(     ) A. B. C. D. 6.如图，在中，点在边上，连接，点在上，连接若，，则下列结论中错误的是(     ) A. 是的角平分线 B. 是的角平分线 C. D. 是的角平分线 第二部分 能力培优练（6—10题） 7.如图，在中，，作的平分线交于点若，，则的长为           ． 8.如图所示，是的中线，，，的周长为，则的周长为           ． 9.如图，这是一块面积为的三角形纸板，，，分别是线段，，的中点，则阴影部分的面积为           ． 10.如图，是的中线． 若，，则与的周长之差为           若的面积为，则的面积为          ． 第三部分 拓展拔高练（第11-14题） 11.如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，的对应点，连接，，． 写出点，的坐标并求出四边形的面积 在轴上是否存在一点，使得三角形的面积是三角形面积的倍若存在，请求出点的坐标若不存在，请说明理由． 12.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，的坐标分别为，，，的延长线交轴于点． 求点的坐标； 求三角形的面积． 13.如图，在中，，是角平分线，且，相交于点求证： ； ． 14.如图，已知． 画出边上的中线 画出的角平分线 画出的边上的高 若，，求的面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 22026-2027学年第一学期初一数学（人教版新课标）第13章 三角形 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 学案 资料目录 1． 学习目标与考情分析 （1） 学习目标 （二）考情分析 二．核心知识点全面梳理 知识点1：三角形的高（高线） 知识点2：三角形的中线 知识点3：三角形的角平分线 知识点4：三类线段对比总结 3、 典型例题精讲与详细分析 例1.三角形重心内心垂心的辨析 例2.利用三角形的高解决面积问题 例3.利用三角形的中线解决面积问题 例4.利用三角形的角平分线解决面积问题 例5.三角形的中线、高，以及解决面积问题 四、本节高频易错点总结 易错点1. 画钝角三角形短边上的高，忘记延长对边，把高画在线段上； 易错点2. 混淆“线段、射线、直线”，把三角形的高说成直线； 易错点3. 多次中线等分面积时，没有逐次除以2，出现面积计算错误； 易错点4. 计算中线分割后的周长差，多余计算公共边与底边； 易错点5. 角平分线只记住分角相等，不会结合高线做角度差运算 五、分层课时训练（每题标注年份+地区） 第一部分 基础过关练（1—6题） 第二部分 能力培优练（7—10题） 第三部分 拓展拔高练（11-14题） 一、学习目标与考情分析 （1）学习目标 1. 理解三角形的高、中线、角平分线的定义，能准确区分三条线段，规范画出锐角、直角、钝角三角形的三条高、中线、角平分线。 2. 掌握三条线段的核心性质： 中线等分三角形面积； 高与面积计算结合； 角平分线平分三角形内角； 牢记重心、垂心、内心的位置特点。 3. 能利用线段性质解决面积计算、周长差值、角度计算类题型，规避高频易错陷阱。 4. 培养几何直观，为后续全等三角形、勾股定理学习打好基础。 （2）考情分析 1. 分值占比：八年级上册期末必考；中考多融合在几何填空、选择小问，偶尔结合面积综合题考查。 2. 核心考点 （1）辨析高、中线、角平分线，判断钝角三角形外部高线（高频易错点）； （2）中线等分面积，多次取中点求小三角形面积（近三年期末最热题型）； （3）利用中线求两个小三角形的周长之差； （4）高+角平分线结合，进行角度计算。 二、核心知识点全面梳理 知识点1：三角形的高（高线） 1. 定义：从三角形的一个顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫作三角形这条边上的高。 2. 关键结论（必考） ①三角形都有3条高；三条高所在直线交于一点，叫垂心； ②锐角三角形：三条高全部在三角形内部； ③直角三角形：两条直角边互为高，斜边上的高在内部，垂心在直角顶点； ④钝角三角形：钝角对边上的高在内部，另外两条高必须延长对边才能画出，高落在三角形外部（最容易画错）。 3. 易错提醒：高是线段，不是直线、射线。 知识点2：三角形的中线 1. 定义：连接三角形顶点和对边中点的线段，叫作三角形的中线。 2. 核心性质 ①任意三角形都有3条中线，全部落在三角形内部；三条中线交于一点，叫作重心； ②一条中线把原三角形分成面积相等的两个小三角形（面积二等分，考试核心结论）； ③重心分中线长度之比为2∶1（顶点到重心长度∶重心到中点长度=2∶1）； ④中线带来的周长结论：中线分割得到的两个小三角形，周长之差等于两条邻边的长度之差。 知识点3：三角形的角平分线 1. 定义：三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段，叫作三角形的角平分线。 2. 性质 ①3条角平分线都在三角形内部，交于一点（内心）； ②角平分线平分内角，得到两个相等的角。 知识点4：三类线段对比总结 线段 位置共性 交点名称 核心作用 中线 始终在三角形内部 重心 等分面积 角平分线 始终在三角形内部 内心 平分内角 高 随三角形形状变化 垂心 垂直，用于求面积 三、典型例题精讲与详细分析 例1.（三角形重心内心垂心的辨析） 三角形的重心是三角形(     ) A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三条高线的交点 例2.（利用三角形的高解决面积问题） 如图所示，，，分别是的三条高线，则下列的面积表示正确的是     ． A. B. C. D. 例3.（利用三角形的中线解决面积问题） 3.如图，，，分别为，，的中点，若的面积为，则的面积等于     ． A. B. C. D. 例4.（利用三角形的角平分线解决面积问题） 如图，在中，，，，，是，的平分线的交点，则点到的距离为(    ) A. B. C. D. 例5.（三角形的中线、高，以及解决面积问题） 如图，已知． 画边上的中线； 画的高； 若，，求的面积． 四、本节高频易错点总结 易错点1. 画钝角三角形短边上的高，忘记延长对边，把高画在线段上； 易错点2. 混淆“线段、射线、直线”，把三角形的高说成直线； 易错点3. 多次中线等分面积时，没有逐次除以2，出现面积计算错误； 易错点4. 计算中线分割后的周长差，多余计算公共边与底边； 易错点5. 角平分线只记住分角相等，不会结合高线做角度差运算 五、分层课时训练（每题标注年份+地区） 第一部分 基础过关练（1—6题） 1.如图，在中，是高，是的平分线，是边上的中线，则下列线段中，最短的是(     ) A. B. C. D. 2.画一边上的高，下列画法正确的是  (     ) A. B. C. D. 3.如图，若的三边，，长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于    ． A. B. C. D. 4.如图，是的角平分线，点在上，且于点，，，则的度数为  (     ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，为的中点，延长交于点，且满足，为上一点，且于点有下列判断： 线段是的角平分线与的面积相等 线段是的边上的高线段是的边上的中线． 其中正确的个数是(     ) A. B. C. D. 6.如图，在中，点在边上，连接，点在上，连接若，，则下列结论中错误的是(     ) A. 是的角平分线 B. 是的角平分线 C. D. 是的角平分线 第二部分 能力培优练（6—10题） 7.如图，在中，，作的平分线交于点若，，则的长为           ． 8.如图所示，是的中线，，，的周长为，则的周长为           ． 9.如图，这是一块面积为的三角形纸板，，，分别是线段，，的中点，则阴影部分的面积为           ． 10.如图，是的中线． 若，，则与的周长之差为           若的面积为，则的面积为          ． 第三部分 拓展拔高练（第11-14题） 11.如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，的对应点，连接，，． 写出点，的坐标并求出四边形的面积 在轴上是否存在一点，使得三角形的面积是三角形面积的倍若存在，请求出点的坐标若不存在，请说明理由． 12.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，的坐标分别为，，，的延长线交轴于点． 求点的坐标； 求三角形的面积． 13.如图，在中，，是角平分线，且，相交于点求证： ； ． 14.如图，已知． 画出边上的中线 画出的角平分线 画出的边上的高 若，，求的面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 22026-2027学年第一学期初一数学（人教版新课标）第13章 三角形 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 学案 资料目录 1． 学习目标与考情分析 （1） 学习目标 （二）考情分析 二．核心知识点全面梳理 知识点1：三角形的高（高线） 知识点2：三角形的中线 知识点3：三角形的角平分线 知识点4：三类线段对比总结 3、 典型例题精讲与详细分析 例1.三角形重心内心垂心的辨析 例2.利用三角形的高解决面积问题 例3.利用三角形的中线解决面积问题 例4.利用三角形的角平分线解决面积问题 例5.三角形的中线、高，以及解决面积问题 四、本节高频易错点总结 易错点1. 画钝角三角形短边上的高，忘记延长对边，把高画在线段上； 易错点2. 混淆“线段、射线、直线”，把三角形的高说成直线； 易错点3. 多次中线等分面积时，没有逐次除以2，出现面积计算错误； 易错点4. 计算中线分割后的周长差，多余计算公共边与底边； 易错点5. 角平分线只记住分角相等，不会结合高线做角度差运算 五、分层课时训练（每题标注年份+地区） 第一部分 基础过关练（1—6题） 第二部分 能力培优练（7—10题） 第三部分 拓展拔高练（11-14题） 一、学习目标与考情分析 （1）学习目标 1. 理解三角形的高、中线、角平分线的定义，能准确区分三条线段，规范画出锐角、直角、钝角三角形的三条高、中线、角平分线。 2. 掌握三条线段的核心性质： 中线等分三角形面积； 高与面积计算结合； 角平分线平分三角形内角； 牢记重心、垂心、内心的位置特点。 3. 能利用线段性质解决面积计算、周长差值、角度计算类题型，规避高频易错陷阱。 4. 培养几何直观，为后续全等三角形、勾股定理学习打好基础。 （2）考情分析 1. 分值占比：八年级上册期末必考；中考多融合在几何填空、选择小问，偶尔结合面积综合题考查。 2. 核心考点 （1）辨析高、中线、角平分线，判断钝角三角形外部高线（高频易错点）； （2）中线等分面积，多次取中点求小三角形面积（近三年期末最热题型）； （3）利用中线求两个小三角形的周长之差； （4）高+角平分线结合，进行角度计算。 二、核心知识点全面梳理 知识点1：三角形的高（高线） 1. 定义：从三角形的一个顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫作三角形这条边上的高。 2. 关键结论（必考） ①三角形都有3条高；三条高所在直线交于一点，叫垂心； ②锐角三角形：三条高全部在三角形内部； ③直角三角形：两条直角边互为高，斜边上的高在内部，垂心在直角顶点； ④钝角三角形：钝角对边上的高在内部，另外两条高必须延长对边才能画出，高落在三角形外部（最容易画错）。 3. 易错提醒：高是线段，不是直线、射线。 知识点2：三角形的中线 1. 定义：连接三角形顶点和对边中点的线段，叫作三角形的中线。 2. 核心性质 ①任意三角形都有3条中线，全部落在三角形内部；三条中线交于一点，叫作重心； ②一条中线把原三角形分成面积相等的两个小三角形（面积二等分，考试核心结论）； ③重心分中线长度之比为2∶1（顶点到重心长度∶重心到中点长度=2∶1）； ④中线带来的周长结论：中线分割得到的两个小三角形，周长之差等于两条邻边的长度之差。 知识点3：三角形的角平分线 1. 定义：三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段，叫作三角形的角平分线。 2. 性质 ①3条角平分线都在三角形内部，交于一点（内心）； ②角平分线平分内角，得到两个相等的角。 知识点4：三类线段对比总结 线段 位置共性 交点名称 核心作用 中线 始终在三角形内部 重心 等分面积 角平分线 始终在三角形内部 内心 平分内角 高 随三角形形状变化 垂心 垂直，用于求面积 三、典型例题精讲与详细分析 例1.（三角形重心内心垂心的辨析） 三角形的重心是三角形(     ) A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三条高线的交点 【答案】A  【解析】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点． 故选：． 例2.（利用三角形的高解决面积问题） 如图所示，，，分别是的三条高线，则下列的面积表示正确的是     ． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】，，分别是的三条高线， ． 故选B． 例3.（利用三角形的中线解决面积问题） 3.如图，，，分别为，，的中点，若的面积为，则的面积等于     ． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】，，分别为，，的中点， ，，． 故选C． 例4.（利用三角形的角平分线解决面积问题） 如图，在中，，，，，是，的平分线的交点，则点到的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】如图，过点分别作，，，垂足分别为，，，连接 与的平分线交于点， ． ， ． ， 解得 点到的距离为． 例5.（三角形的中线、高，以及解决面积问题） 如图，已知． 画边上的中线； 画的高； 若，，求的面积． 【答案】(1)解：如图，线段AM即为所求．  (2)如图，线段CH即为所求．  (3)∵AM是△ABC的中线， ∴． ∴S△ABC＝2S△AMC． ∵， ∴S△ABC＝2S△AMC ＝2×30 =60 四、本节高频易错点总结 易错点1. 画钝角三角形短边上的高，忘记延长对边，把高画在线段上； 易错点2. 混淆“线段、射线、直线”，把三角形的高说成直线； 易错点3. 多次中线等分面积时，没有逐次除以2，出现面积计算错误； 易错点4. 计算中线分割后的周长差，多余计算公共边与底边； 易错点5. 角平分线只记住分角相等，不会结合高线做角度差运算 五、分层课时训练（每题标注年份+地区） 第一部分 基础过关练（1—6题） 1.如图，在中，是高，是的平分线，是边上的中线，则下列线段中，最短的是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  2.画一边上的高，下列画法正确的是  (     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：、、不垂直，所以不是边上的高，故A错误； B、、不垂直，所以不是边上的高，故B错误； C、，所以是边上的高，故C正确； D、、不垂直，所以不是边上的高，故D错误． 故选：． 3.如图，若的三边，，长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于    ． A. B. C. D. 【答案】D  4.如图，是的角平分线，点在上，且于点，，，则的度数为  (     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义．首先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的定义求得，再根据三角形外角的性质求得，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【解答】 解：，， ． 又是的角平分线， ， ， 又， ． 故选A． 5.如图，在中，，为的中点，延长交于点，且满足，为上一点，且于点有下列判断： 线段是的角平分线 与的面积相等 线段是的边上的高 线段是的边上的中线． 其中正确的个数是(     ) A. B. C. D. 【答案】B  6.如图，在中，点在边上，连接，点在上，连接若，，则下列结论中错误的是(     ) A. 是的角平分线 B. 是的角平分线 C. D. 是的角平分线 【答案】B  第二部分 能力培优练（6—10题） 7.如图，在中，，作的平分线交于点若，，则的长为           ． 【答案】  8.如图所示，是的中线，，，的周长为，则的周长为           ． 【答案】  9.如图，这是一块面积为的三角形纸板，，，分别是线段，，的中点，则阴影部分的面积为           ． 【答案】  10.如图，是的中线． 若，，则与的周长之差为           若的面积为，则的面积为          ． 【答案】(1)3cm  (2)12  第三部分 拓展拔高练（第11-14题） 11.如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，的对应点，连接，，． 写出点，的坐标并求出四边形的面积 在轴上是否存在一点，使得三角形的面积是三角形面积的倍若存在，请求出点的坐标若不存在，请说明理由． 【答案】(1)解:点C的坐标为(0,2),点D的坐标为(6,2). 四边形ABDC的面积=2(4+2)=. (2)存在,设点E的坐标为(x,0), 因为三角形DEC的面积是三角形DEB面积的2倍, 所以62=2|4-x|2,解得x=1或x=. 所以点E的坐标为(1,0)和(7,0). 12.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，的坐标分别为，，，的延长线交轴于点． 求点的坐标； 求三角形的面积． 【答案】(1)解：；  (2)设，过点C作轴于点N， ∴, ∴，解得， ∴，∴. 13.如图，在中，，是角平分线，且，相交于点求证： ； ． 【答案】(1)证明：∵BE，CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线， ∴，． ∵∠BGC＋∠EBC＋∠FCB＝180°， ∴∠BGC＝180°-（∠EBC＋∠FCB） ． (2)∵∠ABC＋∠ACB＝180°-∠A， ∴由（1）得． 14.如图，已知． 画出边上的中线 画出的角平分线 画出的边上的高 若，，求的面积． 【答案】(1)解：如图，AD即为所求.  (2)解：如图，AE即为所求.  (3)解：如图，CF即为所求.   (4)15  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $