第25章 一元二次方程 章末综合试题 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 梯度化分层设计，覆盖一元二次方程全章知识点，从概念理解到综合应用，培养数学抽象、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|概念理解与基本运算|直接考查根的判别式、配方步骤等，如选择1-6、解答16，夯实抽象能力| |提升层|知识应用与问题解决|结合矩形面积、增长率等情境，如选择7-9、解答18-21，体现模型意识| |拓展层|综合探究与创新思维|概念辨析、新定义“倍根方程”，如选择10、解答23，发展推理能力与创新意识|

第25章 一元二次方程 章末综合试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、单项选择题 1． 若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 2．若α，β是方程x2+2x-2025=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A．2023 B．2027 C．-2023 D．4050 3． 用配方法解方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 4．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，1，5 B．2，1，－5 C．2，0，－5 D．2，0，5 5．下列各数是一元二次方程的根的是（　　） A．1 B．5 C．2 D．3 6．关于x的一元二次方程（m-3）x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　） A．0 B．±3 C．3 D．-3 7．如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600 B．（30﹣x）（40﹣x）＝600 C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600 D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600 8．某居民为了减少外出，常使用手机软件在线上买菜，某买菜手机软件2026年1月的新注册用户人数为200万，3月的新注册用户人数为338万，则2、3两个月新注册用户人数每月的平均增长率是 (　　) A．10% B．15% C．23% D．30% 9．如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（　　） A．或 B．或 C． D． 10．对于一元二次方程（a≠0），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 11．一元二次方程3x（x-1）=x-1的解是　 　. 12．已知，是方程的两个根，则　 　． 13．如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为　 　m. 14．若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是　 　． 15．关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为　 　． 三、解答题 16．请选择适当的方法解下列一元二次方程： （1） ； （2） . 17．把方程（3x+2）（x﹣3）=2x﹣6，化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 18．某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2.扩充区域的扩建费用为每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用为每平方米100元，如果计划总费用为642000那么扩充后广场的长和宽应分别是多少米? 19．已知关于x的一元二次方程 . （1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由； （2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求m的取值范围. 20．小明在解方程x2-5x=1时出现了错误，解答过程如下： ∵a=1，b=-5，c=1，（第一步） ∴b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21（第二步） ∴x= ∴x1= ，x2= (第四步) （1）小明解答过程是从第　 　步开始出错的，其错误原因是　 　。 （2）写出此题正确的解答过程。 21．今年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%、今年该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等，求该商店今年8、9月份营业额的月增长率． 22．已知关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0， （1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根； （2）若该方程的两实数根x1、x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x2+2x1+2x2＝36，求k值及该菱形的面积. 23．如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程 的两个根是 和 ，则方程 就是“倍根方程”． （1）若一元二次方程 是“倍根方程”，则c＝　 　． （2）若关于x的一元二次方程 是“倍根方程”，则 ， ， 之间的关系为　 　． （3）若 是“倍根方程”，求代数式 的值． 答案 1．D 2．A 3．D 4．B 5．D 6．D 7．D 8．D 9．C 10．B 11．x1=1，x2= 12． 13．2 14．11 15．或． 16．（1）解： a=2，b=6，c=3 ∴ 解得： （2）解： 解得： 17．解：（3x+2）（x﹣3）=2x﹣6， 3x2﹣9x=0， 所以它的二次项系数是3，一次项系数是﹣9，常数项是0 18．解：设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm. 依题意得3x·2x·100+30(3x·2x-50×40)=642000. 解得x1=30，x2=-30(舍去). 所以3x=90(m)，2x=60(m) 答：扩充后广场的长为90m，宽为60m 19．（1）解：依题意得： ， ∴方程 有两个实数根. （2）解：依题意得： ∴ ，即 ， . ∵方程的一个实根大于1，另一个实根小于0， ∴ ， ∴ . 20．（1）第一步；原方程没有化成一般形式 （2）解：∵a=1，b=-5，c=-1， ∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29 ∴x= x1= ，x2= 21．解：设该商店今年8、9月份营业额的月增长率为x， 依题意，得：350（1+x）2＝450×（1+12%）， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该商店今年8、9月份营业额的月增长率为20% 22．（1）证明：根据题意得：△＝[﹣（3k+3）]2﹣4（2k2+4k+2）＝（k+1）2. ∵无论k为何值，总有（k+1）2≥0， ∴无论k为何值，原方程都有实数根； （2）解：∵关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0的两实数根是x1、x2， ∴x1+x2＝3k+3，x1x2＝2k2+4k+2， ∴由x1x2+2x1+2x2＝36，得2k2+4k+2+2（3k+3）＝36， 整理，得（k+7）（k﹣2）＝0. 解得k1＝﹣7（舍去），k2＝2. ∴ x1x2＝ ×2（k+1）2＝（2+1）2＝9. 即菱形的面积是9. 23．（1）2 （2） （3）解：∵ 是“倍根方程” ∴方程的两个根分别为x=2和x= ， ∴ =4或 =1，即n=4m或n=m 当n=4m时，原式为（m-n）（4m-n）=0， 当n=m时，原式为（m-n）（4m-n）=0， ∴代数式 =0 学科网（北京）股份有限公司 $