第1章 第2讲 常用逻辑用语(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

第2讲　常用逻辑用语

课标要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．　2.理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定．

1．充分条件、必要条件与充要条件

2.全称量词与存在量词

全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．

存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．

3．全称量词命题和存在量词命题的否定

提醒　含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，即两变一不变，量词与结论变，条件不变．

常用结论　

1．若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则：

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；

(3)若A＝B，则p是q的充要条件．

2．p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件．

3．命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难，可判断此命题否定的真假．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)全称量词命题一定含有全称量词．(　　)

(2)“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题．(　　)

(3)当q是p的必要条件时，则p是q的充分条件.(　　)

(4)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

2．命题p：∀x∈{x|0≤x≤2}，x2＋1≥1，则p的否定是(　　)

A．∀x∉{x|0≤x≤2}，x2＋1＜1

B．∀x∈{x|0≤x≤2}，x2＋1＜1

C．∃x∉{x|0≤x≤2}，x2＋1＜1

D．∃x∈{x|0≤x≤2}，x2＋1＜1

解析：选D．全称量词命题的否定是存在量词命题，则命题∀x∈{x|0≤x≤2}，x2＋1≥1的否定是∃x∈{x|0≤x≤2}，x2＋1＜1.

3．(2025·天津卷)设x∈R，“x＝0”是“sin 2x＝0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A．充分性：当x＝0时，sin 2x＝sin 0＝0，故充分性成立；必要性：

当sin 2x＝0时，2x＝kπ(k∈Z)，解得x＝(k∈Z)，x的可能取值为0，±，±π，…，故必要性不成立．

4．(多选)(必修第一册P34T5改编)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是(　　)

A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件

B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件

C．“a＜5”是“a＜3”的必要条件

D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件

解析：选ABD．对于A，由a＝b有ac＝bc，由ac＝bc不一定有a＝b成立，必要性不成立，所以A为假命题；

对于B，当a＝1＞b＝－2时，a2＜b2，充分性不成立，所以B为假命题；

对于C，a＜3时必有a＜5，故“a＜5”是“a＜3”的必要条件，所以C为真命题；

对于D，若a＋5是无理数，则a是无理数；若a是无理数，则a＋5是无理数，故为充要条件，所以D为假命题．

5．(用结论)若“∀x∈R，x2－ax－2a>0”是假命题，则实数a的取值范围是_________________________________________．

解析：由题意得∃x∈R，x2－ax－2a≤0为真命题，所以Δ＝a2＋8a≥0，

解得a∈(－∞，－8]∪[0，＋∞).

答案：(－∞，－8]∪[0，＋∞)

考点一　充分条件、必要条件的判定

　(1)(2025·豫西北教研联盟质检)下列选项中，p是q的充要条件的是(　　)

A．已知非零向量a，b，c，p：a·c＝b·c，q：a＝b

B．已知x∈R，p：x2＋2x－3＜0，q：0＜x＜1

C．在△ABC中，p：A＞B，q：sin A＞sin B

D．直线l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋(a－1)y＋3＝0，p：l1∥l2，q：a＝2