第1章 第2讲 常用逻辑用语(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 以命题真假为逻辑起点，通过定义-集合双重判定方法构建充分必要条件体系，结合量词命题否定规律实现逻辑用语的系统性突破，培养推理意识与逻辑思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |充分条件、必要条件的判定与应用|8典例|定义法（p⇒q判断）、集合法（A⊆B关系）|从命题真假推出关系到条件关系，结合集合包含关系深化理解，形成“命题-集合”双向转化逻辑| |全称量词与存在量词命题|6典例|否定规律“改量词，否结论”，真假判定“特值验证法”|从量词概念到命题结构，再到否定规则，构建“概念-结构-否定”完整认知链，强化逻辑表达|

第2讲　常用逻辑用语 课标要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．　2.理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定． 1．充分条件、必要条件与充要条件 命题 真假 “若p，则q” 为真命题 “若p，则q” 为假命题 “若p，则q”和“若q，则p”都是真命题 推出 关系 p⇒q pq p⇔q 条件 关系 p是q的 充分条件 q是p的必要条件 p不是q的 充分条件 q不是p的必要条件 p是q的 充要条件 2.全称量词与存在量词 全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题的否定 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 提醒　含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，即两变一不变，量词与结论变，条件不变． 常用结论　 1．若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则： (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 2．p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件． 3．命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难，可判断此命题否定的真假． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)全称量词命题一定含有全称量词．(　　) (2)“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题．(　　) (3)当q是p的必要条件时，则p是q的充分条件.(　　) (4)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．命题p：∀x∈{x|0≤x≤2}，x2＋1≥1，则p的否定是(　　) A．∀x∉{x|0≤x≤2}，x2＋1＜1 B．∀x∈{x|0≤x≤2}，x2＋1＜1 C．∃x∉{x|0≤x≤2}，x2＋1＜1 D．∃x∈{x|0≤x≤2}，x2＋1＜1 解析：选D．全称量词命题的否定是存在量词命题，则命题∀x∈{x|0≤x≤2}，x2＋1≥1的否定是∃x∈{x|0≤x≤2}，x2＋1＜1. 3．(2025·天津卷)设x∈R，“x＝0”是“sin 2x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．充分性：当x＝0时，sin 2x＝sin 0＝0，故充分性成立；必要性：当sin 2x＝0时，2x＝kπ(k∈Z)，解得x＝(k∈Z)，x的可能取值为0，±，±π，…，故必要性不成立． 4．(多选)(必修第一册P34T5改编)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是(　　) A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件 C．“a＜5”是“a＜3”的必要条件 D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件 解析：选ABD．对于A，由a＝b有ac＝bc，由ac＝bc不一定有a＝b成立，必要性不成立，所以A为假命题； 对于B，当a＝1＞b＝－2时，a2＜b2，充分性不成立，所以B为假命题； 对于C，a＜3时必有a＜5，故“a＜5”是“a＜3”的必要条件，所以C为真命题； 对于D，若a＋5是无理数，则a是无理数；若a是无理数，则a＋5是无理数，故为充要条件，所以D为假命题． 5．(用结论)若“∀x∈R，x2－ax－2a>0”是假命题，则实数a的取值范围是_________________________________________． 解析：由题意得∃x∈R，x2－ax－2a≤0为真命题，所以Δ＝a2＋8a≥0， 解得a∈(－∞，－8]∪[0，＋∞). 答案：(－∞，－8]∪[0，＋∞) 考点一　充分条件、必要条件的判定 　(1)(2025·豫西北教研联盟质检)下列选项中，p是q的充要条件的是(　　) A．已知非零向量a，b，c，p：a·c＝b·c，q：a＝b B．已知x∈R，p：x2＋2x－3＜0，q：0＜x＜1 C．在△ABC中，p：A＞B，q：sin A＞sin B D．直线l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋(a－1)y＋3＝0，p：l1∥l2，q：a＝2 (2)(2026·西安期中)已知符号函数sgn (x)＝若a，b∈R，则“ab≤0”是“sgn (a)＋sgn (b)＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】　(1)若a·c＝b·c，则(a－b)·c＝0，当(a－b)⊥c时满足上式，不一定有a＝b；若a＝b，则a·c＝b·c，所以p是q的必要不充分条件，A错误；p：x2＋2x－3＜0，即－3＜x＜1，q：0＜x＜1，所以p是q的必要不充分条件，B错误；根据大角对大边，大边对大角，得A＞B⇔a＞b，由正弦定理得，a＞b⇔sin A＞sin B，所以A＞B⇔sin A＞sin B，所以p是q的充要条件，C正确；若l1∥l2，则解得a＝－1，所以p是q的既不充分也不必要条件，D错误． (2)若ab≤0，取a＝0，b＝1，此时sgn (a)＋sgn (b)≠0，故充分性不成立；若sgn (a)＋sgn (b)＝0，则a＝b＝0或a与b异号，所以ab≤0，必要性成立．故“ab≤0”是“sgn (a)＋sgn (b)＝0”的必要不充分条件． 【答案】　(1)C　(2)B 【感悟进阶】　充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． (2)集合法：根据p，q成立时对应集合之间的包含关系进行判断． 注意　(1)分清条件与结论；(2)从充分性、必要性两个方面进行判断；(3)直接判断比较困难时，可举反例说明． 　1.(2026·泰安模拟)已知a，b为空间中两条直线，α为平面，a⊄α，b⊂α，则a⊥b是a⊥α的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B．由线面垂直的判定定理可得，直线a要垂直于平面α内的两条相交直线才能得到a⊥α，所以a⊥b是a⊥α的必要不充分条件． 2．(2026·菏泽模拟)已知数列{an}，则“∀m，n∈N*，am＋n＝am＋an”是“数列{an}为等差数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．充分性：若对∀m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an，则a2＝a1＋a1＝2a1，a3＝a1＋a2＝3a1，a4＝a1＋a3＝4a1，…，an＝na1，即an＋1－an＝a1，因为a1为常数，所以数列{an}为等差数列； 必要性：等差数列不一定满足∀m，n∈N*，am＋n＝am＋an， 例如：当等差数列{an}的通项公式为an＝n＋1时，am＋n＝m＋n＋1，am＋an＝m＋n＋2， 此时am＋n≠am＋an，所以“∀m，n∈N*，am＋n＝am＋an”是“数列{an}为等差数列”的充分不必要条件． 考点二　充分条件、必要条件的探究与应用 　已知命题p：实数x满足a<x<4a，a>0，命题q：实数x满足2<x<4. (1)若a＝1，则p是q的什么条件？ (2)若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． 【解】　(1)若a＝1，则p：1<x<4，q：2<x<4，记集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|2<x<4}．因为BA，所以p是q的必要不充分条件． (2)由题意，p：a<x<4a，a>0，q：2<x<4，记集合A＝{x|a<x<4a，a>0}，集合B＝{x|2<x<4}，因为p是q的必要条件，所以B⊆A，即所以1≤a≤2. 所以实数a的取值范围为[1，2]. 【感悟进阶】　(1)探求充分条件、必要条件的两种方法 ①直接根据充分条件、必要条件的定义判断选项． ②先求出结论成立的充要条件，再将充要条件对应的范围缩小即得该结论成立的一个充分不必要条件；将充要条件对应的范围扩大即得该结论成立的一个必要不充分条件． (2)由充分条件、必要条件求参数 ①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系，再根据集合间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． ②要注意对区间端点值的检验． 　1.若x∈R，下列选项中，使“x2＜1”成立的一个必要不充分条件为(　　) A．－2＜x＜1 B．－1＜x＜1 C．0＜x＜2 D．－1＜x＜0 解析：选A．不等式x2＜1等价于－1＜x＜1，设使“x2＜1”成立的一个必要不充分条件对应的集合为A，则(－1，1)是A的真子集，由此对照各项，可知只有A项符合题意． 2．已知p：x＞1或x＜－3，q：x＞a(a为实数).若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意得，¬p：－3≤x≤1，¬q：x≤a.因为¬q的一个充分不必要条件是¬p，所以{x|－3≤x≤1}{x|x≤a}，所以a≥1. 答案：[1，＋∞) 考点三　全称量词命题与存在量词命题 角度1　含量词命题的真假判定与否定 　(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A．若p：∃x∈R，x2＋1＞2x，则¬p：∀x∈R，x2＋1＜2x B．若p：∀x，y∈R，x2＋y2≥0，则¬p：∃x，y∈R，x2＋y2＜0 C．∃x∈R，＜x＋1为真命题 D．∀x∈R，x3＞0为真命题 (2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x.则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 【解析】　(1)对于A，命题p：∃x∈R，x2＋1＞2x的否定是¬p：∀x∈R，x2＋1≤2x，故A错误； 对于B，命题p：∀x，y∈R，x2＋y2≥0的否定是¬p：∃x，y∈R，x2＋y2＜0，故B正确； 对于C，∃x∈R，＜x＋1，例如当x＝1时，1＜1＋1成立，故C正确； 对于D，当x≤0时，x3≤0，因此∀x∈R，x3＞0为假命题，故D错误． (2)通解：因为∀x∈R，|x＋1|≥0，所以命题p为假命题，所以¬p为真命题．令x3＝x，所以x3－x＝0，所以x(x2－1)＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题． 优解(特殊值法)：在命题p中，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以命题p为假命题，¬p为真命题．在命题q中，因为立方根等于本身的实数有－1，0，1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题． 【答案】　(1)BC　(2)B 【感悟进阶】　(1)判定全称量词命题是真命题，需证明对任意的元素结论都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个元素使结论成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． (2)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论． 角度2　含量词命题的应用 　已知命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0，命题q：∀x＞0，x＋＞a.若p假q真，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，2] C．(1，2) D．(－1，2] 【解析】　因为命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0为假命题，所以∀x∈R，x2＋2x＋a＞0为真命题，则满足Δ＝22－4a＜0，解得a＞1.因为命题q：∀x＞0，x＋＞a为真命题，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，所以a＜2.综上，实数a的取值范围为(1，2). 【答案】　C 【感悟进阶】　由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即根据p与¬p的关系，转化成¬p的真假求参数的范围． 　1.(2025·安阳名校联考)已知命题p：∃a，b∈R，使得a2＜b2成立，则下列说法正确的是(　　) A．¬p：∀a，b∈R，a2＞b2，为假命题 B．¬p：∀a，b∈R，a2≥b2，为假命题 C．¬p：∀a，b∈R，a2＞b2，为真命题 D．¬p：∀a，b∈R，a2≥b2，为真命题 解析：选B．已知命题p是真命题，则¬p：∀a，b∈R，a2≥b2，且是假命题． 2．若命题“∃x∈(－1，3)，x2－2x－a≤0”为真命题，则实数a的最小整数值是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．3 解析：选A．由题意，∃x∈(－1，3)，a≥x2－2x，令h(x)＝x2－2x，x∈(－1，3)，因为函数h(x)＝x2－2x在(－1，1)上单调递减，在(1，3)上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝1－2＝－1，所以a≥－1.所以实数a的最小整数值是－1. 学科网（北京）股份有限公司 $