1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时同步练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过A级基础巩固、B级能力提升、C级素养创新三级分层，构建从空间距离公式直接应用到动态综合问题解决的知识巩固路径，培养数学空间观念与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|点到直线/平面距离、平面间距离|直接应用向量法公式，如第1-5题基础计算，夯实空间向量工具性| |B级|动态距离、体积计算、线面平行证明|结合动点（第10题Q点）、折叠问题（第13题），提升空间想象与建模能力| |C级|向量长度最小化优化|转化为点到平面距离问题（第14题），体现数学抽象与创新意识|

1.4.2　用空间向量研究距离问题 A级　必备知识基础练 1.已知直线l过点A(1,-1,-1),且方向向量为m=(1,0,-1),则点P(1,1,1)到l的距离为(　　) A.2 B. C. D. 2.(2026广东高二期末)已知△ABC的顶点坐标分别为A(-1,0,0),B(0,1,-1),C(-2,-1,2),则AB边上的高为(　　) A. B. C. D. 3.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1=2,则点C到直线AB1的距离为(　　) A. B. C. D. 4.(2026河北邢台高二期末)在四棱锥P-ABCD中,=(-1,1,0),=(-1,0,1),=(0,0,1),则这个四棱锥的高为(　　) A. B. C. D. 5.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(1,2,3),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是(　　) A. B. C. D.3 6.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,分别取棱AA1,A1D1的中点E,F,点G为线段EF上一个动点,则点G到平面ACD1的距离为(　　) A. B. C.1 D. 7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,BC=1,E,F,H分别是AB,CD,A1B1的中点,则直线EC到平面AFH的距离为　　　　　.  8.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为　　　　　.  9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长都为2,且∠A1AC=60°,平面A1ACC1⊥平面ABC,点P为AB的中点,点Q为A1C1的中点.求: (1)点B1到直线PQ的距离; (2)点B1到平面PQC的距离. B级　关键能力提升练 10.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,则点Q到平面PEF的距离(　　) A.等于a B.和EF的长度有关 C.等于a D.和点Q的位置有关 11.(2026江苏镇江高三月考)在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(2,-1,0),C(3,6,-5), O(0,0,0),则三棱锥O-ABC的体积为(　　) A. B. C. D. 12.(2026天津高二模拟)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,直线B1D与平面ACD1交于点P,设=λ,0<λ<1,则λ=　　　　　;点P到直线BC的距离为　　　　　.  13.如图,矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直,AB∥CD,∠ABC=∠ADB=90°, CD=1,BC=2,DF=1. (1)求证:BE∥平面DCF; (2)求点B到平面DCF的距离. C级　学科素养创新练 14.(北师大版教材例题)已知向量=(1,0,0),=(0,2,0),=(4,3,3),对任意的实数a,b,当向量n=-(a+b)的长度最小时,求a,b的值. 答案 1.B　∵点A(1,-1,-1),点P(1,1,1),∴=(0,2,2),∴||==2, 又直线l的方向向量为m=(1,0,-1), ∴点P(1,1,1)到l的距离d=,故选B. 2.A　由题可得=(1,1,-1),则||=, 故与同方向的单位向量为u0=(,-). 又=(-1,-1,2),则||=, 则AB边上的高即点C到直线AB的距离d=.故选A. 3.D　由题意知,AC=AB=2,BB1=,取AC的中点O,A1C1的中点O1,连接OB,OO1,则BO⊥AC,OO1⊥AC,BO=. 易知OB,OC,OO1两两垂直,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,-1,0),B1(,0,),C(0,1,0),所以=(,1,),=(0,-2,0), 则u=,1,)=(), 故点C到直线AB1的距离为d=.故选D. 4.B　设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z), 则令x=1,可得y=1,z=1, 即n=(1,1,1),|n|=,则·n=1, 故点P到平面ABCD的距离为.故选B. 5.A　∵两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(1,2,3),则=(1,2,3),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1), ∴两平面间的距离d=.故选A. 6.D　如图,∵E,F分别是AA1,A1D1的中点,∴EF∥AD1. ∵AD1⊂平面ACD1,EF⊄平面ACD1, ∴EF∥平面ACD1,故点G到平面ACD1的距离即为点E或F到平面ACD1的距离. (方法1　等体积法) ∵该正方体的棱长为2,∴AD1=AC=CD1=2,即△ACD1为等边三角形, ∴×2×2=2×1×2=1. 设点F到平面ACD1的距离为d, ∵,∴d=×2,解得d=. 故点G到平面ACD1的距离为. (方法2　向量法) 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),E(2,0,1),=(-2,2,0),=(-2,0,2), 设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,则y=1,z=1, 得平面ACD1的法向量为n=(1,1,1). 又=(0,0,1),∴点G到平面ACD1的距离为.故选D. 7.　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(1,0,0),C(0,2,0), 因为E,F,H分别是AB,CD,A1B1的中点,所以E(1,1,0),F(0,1,0),H(1,1,2), 则=(-1,1,0),所以EC∥AF. 因为AF⊂平面AFH,EC⊄平面AFH,所以EC∥平面AFH,所以点E到平面AFH的距离即为直线EC到平面AFH的距离. 设平面AFH的法向量为n=(x,y,z), 因为=(0,1,2),则取x=2,则y=2,z=-1, 所以n=(2,2,-1)是平面AFH的一个法向量. 又向量=(0,1,0),所以点E到平面AFH的距离为, 即直线EC到平面AFH的距离为. 8.　如图,建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,),B1(0,1,),C1(0,0,), ∴=(-1,1,-),=(-1,0,-),=(-1,1,0). 设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),则 令z=1得x=-,y=0,∴n=(-,0,1). ∴点B1到平面A1BC的距离d=. 9.解 (1)由三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长都为2,则四边形ACC1A1为菱形. 又△ABC,△A1B1C1都为等边三角形,连接CA1,所以△ACA1为等边三角形.取AC中点O,连接OA1,OB,则OA1⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,OA1⊂平面A1ACC1, 所以OA1⊥平面ABC,则OA1⊥OC,OA1⊥OB. 又因为OB⊥AC,所以OB,OC,OA1两两垂直. 以O为原点,OB,OC,OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则O(0,0,0),A(0,-1,0),A1(0,0,),B(,0,0),C(0,1,0),C1(0,2,),=(,0,0),=(0,1,), 由=(,0,0)+(0,1,)=(,1,),则B1(,1,). 又P(,-,0),Q(0,1,),所以=(,0,0),=(-),则||=,故, 所以点B1到直线PQ的距离为. (2)由(1)知=(0,0,),设n=(a,b,c)是平面PQC的一个法向量, 则取b=1,则a=,c=0,得n=(,1,0). 又=(,0,0), 所以点B1到平面PQC的距离为. 10.A　取B1C1的中点G,连接PG,CG,DP,则PG∥CD,∴点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离,与EF的长度无关,故B错误. 又A1B1∥平面PGCD,∴点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离,即点Q到平面PEF的距离,与点Q的位置无关,故D错误.如图,以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系, 则C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),P(,0,a),∴=(0,a,0),=(a,0,a),=(,0,a). 设n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量,则由 令z=1,则x=-2,y=0,所以n=(-2,0,1)是平面PGCD的一个法向量.设点Q到平面PEF的距离为d,则d=,故A正确,C错误.故选A. 11.B　由题可得,=(1,2,3),=(2,-1,0),=(3,6,-5).因为=1×2+2×(-1)+3×0=0,所以OA⊥OB,即△OAB为直角三角形.又||=,||=,所以△OAB的面积S=.设平面OAB的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,则y=2,z=-,得n=(1,2,-),所以点C到平面OAB的距离d=,则三棱锥O-ABC的体积是.故选B. 12.　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),B1(2,4,2),D1(0,0,2), =(2,0,0),=(-2,0,2),=(-2,4,0),=(2,4,2),=(2,0,0), 由B1D∩平面ACD1=P,设=k+μ=k(-2,0,2)+μ(-2,4,0)=(-2k-2μ,4μ,2k), 所以=(-2k-2μ+2,4μ,2k). 设=λ=(2λ,4λ,2λ), 所以(-2k-2μ+2,4μ,2k)=(2λ,4λ,2λ),即解得λ=μ=k=, 所以P(),则=(,-),=(-2,0,0), 所以u==(-1,0,0),所以点P到直线BC的距离为d=. 13.(1)证明 ∵AB∥CD,AB⊄平面DCF,CD⊂平面DCF,∴AB∥平面DCF. ∵AE∥DF,AE⊄平面DCF,DF⊂平面DCF,∴AE∥平面DCF. ∵AE∩AB=A,AE⊂平面ABE,AB⊂平面ABE, ∴平面ABE∥平面DCF. ∵BE⊂平面ABE,∴BE∥平面DCF. (2)解 由题可知,DA,DB,DF两两垂直.以D为原点,DA,DB,DF所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. ∵AB∥CD,∠ABC=∠ADB=90°,则△ADB∽△BCD,故. ∵CD=1,BC=2,∴BD=,∴AD=2,则AB==5,∴F(0,0,1),D(0,0,0),A(2,0,0),B(0,,0),C(-,0), =(0,-,1),=(,-,1),=(-,0). 设平面DCF的法向量为n=(x,y,z),则 取x=1,则y=2,z=0,得n=(1,2,0).∴d==2,∴点B到平面DCF的距离为2. 14.解 如图,=a+b,n=-(a+b),要使向量n=-(a+b)的长度最小,也就是线段MY的长度最短. 由点到平面距离的定义,当且仅当n⊥平面Oxy时,线段MY的长度最短.这时 由n=-(a+b)=(4-a,3-2b,3),=(1,0,0),=(0,2,0),得 即解得 所以当n=-(a+b)的长度最小时,a=4,b=. 10 学科网（北京）股份有限公司 $