1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量应用，通过基础辨析、综合计算、证明应用三阶分层，构建从概念理解到空间论证的巩固路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|方向向量与法向量的基本运算、线面位置关系判定|选择题1-5、填空题8-9，直接应用定义与数量积公式，强化概念辨析| |中档|共线/垂直向量的综合应用、法向量性质|选择题6（多选）、填空题10-11，结合几何情境考查多维度判定，提升空间想象| |拔高|线面垂直、面面平行的证明|解答题12-15，以柱体、锥体为载体，通过坐标系构建实现向量法论证，培养逻辑推理与数学表达|

课时作业5 用空间向量研究直线、平面的位置关系 一、选择题 1．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于(　　) A．3　　　　　　　　　 B．6 C．－9 D．9 2.已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（ ） A． B． C．与相交但不垂直 D． 3．四棱锥中，底面是平行四边形，，，，则直线与底面的关系是( ) A．平行 B．垂直 C．在平面内 D．成60°角 4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．(1，－1,1) B. C. D. 5．已知a为直线l的方向向量，，为平面α内两共点向量，则下列说法正确的是(　　) A．若a＝，则l∥α B．若a＝k (k∈R)，则l∥α C．若a＝p＋λ (p，λ∈R)，则l∥α D．以上均不一定推出l∥α 6.（多选题）在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论： ①平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)； ②平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)； ③平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)； ④平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)． 其中正确的结论为(　　) A．① B．② C．③ D．④ 7．已知平面α的一个法向量为(1，－2,2)，平面β的一个法向量为(－2,4，k)，若α∥β，则实数k的值为(　　) A．5　　　　　　　　　 B．4 C．－4 D．－5 二、填空题 8．设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝________. 9．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是_______(填序号)． 10．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则＝________. 11.已知平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系为_______. 三、解答题 12.如图，已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面(经过圆柱的轴的截面)，BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为CC1的中点，A是底面圆周上异于B，C的一点，A1是上底面圆周上异于B1，C1的一点，且AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝AA1＝4，求证：B1O⊥平面AEO. 13.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证： (1)PA∥平面EDB； (2)PB⊥平面EFD. 14.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点． （1） 求证：PB∥平面EFG. （2）证明平面EFG∥平面PBC 15.如图，平面，四边形是矩形， ，点是的中点，点在边上移动. （1）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由； （2）证明：无论点E在边BC的何处，都有. 课时作业5 用空间向量研究直线、平面的位置关系 （答案） 一、选择题 1．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于(　　) A．3　　　　　　　　　 B．6 C．－9 D．9 解析：选C　∵l⊥α，v与平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，∴1×3＋(－3)×(－2)＋z×1＝0，∴z＝－9. 2.已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（ ） A． B． C．与相交但不垂直 D． 解析：. 故选A. 3．四棱锥中，底面是平行四边形，，，，则直线与底面的关系是( ) A．平行 B．垂直 C．在平面内 D．成60°角 解析：依题意，而，所以，而，所以平面.故选：B 4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．(1，－1,1) B. C. D. 解析：选B　若点P在平面α内，则PA⊥α，即·n＝0.对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0，故B正确；同理可排除C、D. 5．已知a为直线l的方向向量，，为平面α内两共点向量，则下列说法正确的是(　　) A．若a＝，则l∥α B．若a＝k (k∈R)，则l∥α C．若a＝p＋λ (p，λ∈R)，则l∥α D．以上均不一定推出l∥α 解析：选D　选项A、B、C都能推出l∥α或l⊂α，但不能确定一定是l∥α. 6.（多选题）在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论： ①平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)； ②平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)； ③平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)； ④平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)． 其中正确的结论为(　　) A．① B．② C．③ D．④ 解析：选AC　∵＝(0,1,0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴①正确； ∵＝(－1,0,0)，而(1,1,1)·＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，∴②不正确； ∵＝(0,1，－1)，＝(－1,0,1)，(1,1,1)·＝0，(1,1,1)·＝0，B1C∩CD1＝C，∴(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量，∴③正确； ∵＝(0,1,1)，而·(0,1,1)＝2≠0，∴(0,1,1)不是平面ABC1D1的法向量，即④不正确．故选AC. 7．已知平面α的一个法向量为(1，－2,2)，平面β的一个法向量为(－2,4，k)，若α∥β，则实数k的值为(　　) A．5　　　　　　　　　 B．4 C．－4 D．－5 解析：选C　若α∥β，则向量(1，－2,2)与向量(－2,4，k)共线，∴存在实数λ使(－2,4，k)＝λ(1，－2,2)，∴∴λ＝－2，k＝－4，故选C. 二、填空题 8．设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝________. 解析：∵l1⊥l2，∴a⊥b， ∴a·b＝－2＋6－2m＝0，得m＝2. 答案：2 9．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是_______(填序号)． 解析：由于·＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0， 所以①②③正确，＝－＝(2,3,4)，·＝0，故④错误． 答案：①②③ 10．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则＝________. 解析：∵，∴＝0，∴3＋5－2z＝0， ∴z＝4.∵＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC， ∴即 解得故＝. 答案： 11.已知平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系为_______. 解析：由，所以.又向量为平面的一个法向量. 所以直线在平面上或直线与平面平行. 答案：直线在平面上或直线与平面平行. 三、解答题 12.如图，已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面(经过圆柱的轴的截面)，BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为CC1的中点，A是底面圆周上异于B，C的一点，A1是上底面圆周上异于B1，C1的一点，且AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝AA1＝4，求证：B1O⊥平面AEO. 证明：由题意可知AB，AC，AA1两两互相垂直，以A为原点，AB，AC，AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(4,0,0)，E(0,4,2)，O(2,2,0)，B1(4,0,4)，∴＝(－2,2，－4)，＝(2，－2，－2)，＝(2,2,0)． 设平面AEO的法向量为n＝(x，y，z)， 则 即 令x＝1，得平面AEO的一个法向量为n＝(1，－1,2)． ∵＝(－2,2，－4)＝－2n， ∴∥n， ∴B1O⊥平面AEO. 13.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证： (1)PA∥平面EDB； (2)PB⊥平面EFD. 证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D­xyz，如图，设DC＝PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E. ∴＝(1,1，－1)，＝，＝，设F(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)， ＝. ∵⊥， ∴x＋－＝0，即x＋y－z＝0.① 又∵∥，可设＝λ， ∴x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.② 由①②可知，x＝，y＝，z＝， ∴＝. (1)设n1＝(x1，y1，z1)为平面EDB的一个法向量，则有 即 ∴ 取z1＝－1，则n1＝(－1,1，－1)． ∵＝(1,0，－1)，∴·n1＝0. 又∵PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB. (2)设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的一个法向量，则有 即 ∴ 取z2＝1，则n2＝(－1，－1,1)． ∴∥n2，∴PB⊥平面EFD. 14.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点． （2） 求证：PB∥平面EFG. （2）证明平面EFG∥平面PBC 解析： 证明　∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD， ∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)， D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)． ∴＝(2，0，－2)，＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1)，设＝s＋t， 即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)， ∴解得s＝t＝2，∴＝2＋2， 又∵与不共线，∴，与共面．∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG. （2）证明　∵＝(0，1，0)，＝(0，2，0)，∴＝2，∴BC∥EF. 又∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC， 同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC.又EF∩GF＝F，EF，GF⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PBC. 15.如图，平面，四边形是矩形， ，点是的中点，点在边上移动. （1）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由； （2）证明：无论点E在边BC的何处，都有. 解析：（1）是的中点，是的中点， .又平面.平面， 平面. （2）以为原点，所在的直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系， 则，，， 设，则 在上， 设， ，， ，. 无论点在边的何处，都有. 学科网（北京）股份有限公司 $