1.4 空间向量在立体几何中的应用 课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量在立体几何中的应用，通过基础运算、综合应用、探究拓展三层设计，实现从单一知识点到复杂情境的递进巩固，培养数学思维与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|空间向量坐标运算、距离与夹角计算|如选择1-2、解答7，直接应用向量公式解决简单几何问题| |中档|线面垂直证明、存在性问题探究|如选择3-4、解答8，结合正方体、长方体模型综合应用法向量| |拔高|翻折/旋转体中的二面角、体积最值|如解答9-11，复杂情境下的多知识点融合，发展创新意识|

课时作业7 空间向量在立体几何中的应用 一、选择题 1．已知A(1，－1,2)，B(2,3，－1)，C(－1,0,0)，则△ABC的面积是(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 2.如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD­A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　　) A. B. C. D．1 3．(多选题)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则正确的选项为(　　) A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1平行 4.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C­BF­D的正切值为(　　) A. B. C. D. 二、填空题 5.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF之和为________． 6．正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角的正切值为________． 三、解答题 7.如图所示，在长方体OABC­O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点． (1)求异面直线AO1与B1E所成角的余弦值； (2)作O1D⊥AC于点D，求O1D的长． 8.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点． (1)求证B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由． 9.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=BC=2,∠ABC=60°,将△ACD沿边AC翻折,使点D翻折到P点,且PB=2. (1)证明:BC⊥平面PAC; (2)若E为线段PC的中点,求平面AEB与平面ABC夹角的余弦值. 10.如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB =90°,AP=BP=AB,PC⊥AC,点D为BC中点. (1)求二面角A-PD-B的余弦值. (2)在直线AB上是否存在点M,使得PM与平面PAD所成角的正弦值为?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由. 11.如图,在Rt△PAB中,PA⊥AB,且PA=4,AB=2,将△PAB绕直角边PA旋转到△PAC处,得到圆锥的一部分,点D是底面圆弧BC(不含端点)上的一个动点. (1)是否存在点D,使得BC⊥PD?若存在,求出∠CAD的大小;若不存在,请说明理由. (2)当四棱锥P-ABDC体积最大时,求平面PCD与平面PBD夹角的余弦值. 课时作业7 空间向量在立体几何中的应用 （答案） 一、选择题 1．已知A(1，－1,2)，B(2,3，－1)，C(－1,0,0)，则△ABC的面积是(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C　易知＝(1,4，－3)，＝(－2,1，－2)，∴||＝，||＝3，cos〈，〉＝＝，∴sin〈，〉＝＝，∴S△ABC＝||·||sin〈，〉＝. 2.如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD­A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　　) A. B. C. D．1 解析：选B　∵AB＝1，BC＝2，AA1＝3， ∴A1(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)， ∴直线A1C的方向向量＝(1,2，－3)． 又∵＝(0,2,0)， ∴在上的投影长为＝＝. ∴点B到直线A1C的距离d＝＝ ＝. 3．(多选题)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则正确的选项为(　　) A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1平行 解析：选BD　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为3，则E(1，0,1)，F(2,1,0)，A1(3,0,3)，A(3,0,0)，C(0,3,0)，D(0,0,0)，B(3,3,0)，D1(0,0,3)， ∴＝(1,1，－1)，＝(－3,3,0)，＝(－3,0，－3)， ∵·＝0，·＝0，∴EF⊥AC，EF⊥A1D，B正确，A错误．由＝(－3，－3,3)，＝－，故选项D正确，C错误． 4.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C­BF­D的正切值为(　　) A. B. C. D. 解析：选D　如图，连接BD交AC于点O，连接OF，∵四边形ABCD为菱形，∴O为AC的中点，AC⊥BD.∵F为PC的中点，∴OF∥PA.∵PA⊥平面ABCD，∴OF⊥平面ABCD.以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O­xyz，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，∴B，F，C，D，结合图形可知，＝，且为平面BDF的一个法向量．由＝，＝，可求得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)．∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，∴tan〈n，〉＝. 二、填空题 5.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF之和为________． 解析：以D1为坐标原点，分别以D1A1，D1C1，D1D为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，F(0,0,1－y)，B(1，1,1)，∴＝(x－1,0,1)，＝(1,1，y)，由于B1E⊥平面ABF，所以·＝(1,1，y)·(x－1,0,1)＝0，则x＋y＝1. 答案：1 6．正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角的正切值为________． 解析：设棱长为2，建立以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，则平面A1ECF的一个法向量为n＝(－2,1,1)，A1B1的方向向量为(2,0,0)，设A1B1与截面A1ECF的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，cos θ＝，∴tan θ＝. 答案： 三、解答题 7.如图所示，在长方体OABC­O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点． (1)求异面直线AO1与B1E所成角的余弦值； (2)作O1D⊥AC于点D，求O1D的长． 解：(1)如图，建立空间直角坐标系． 由题设，知A(2,0,0)，O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)， 所以＝(－2,0,2)，＝(－1,0，－2)， 因此cos〈，〉＝＝＝－. 故异面直线AO1与B1E所成角的余弦值为. (2)由题意得⊥，∥， 设D(x，y,0)，因为C(0,3,0)， 所以＝(x，y，－2)，＝(x－2，y,0)，＝(－2,3,0)， 于是解得 所以＝. 故||＝ ＝. 8.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点． (1)求证B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由． 解：(1)证明：以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0，1,1)，E，B1(a,0,1)．故·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1. (2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)．设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．∵n⊥平面B1AE，∴n⊥，n⊥，得取x＝1，得平面B1AE的一个法向量为n＝.要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.又DP⊄平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝. 9.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=BC=2,∠ABC=60°,将△ACD沿边AC翻折,使点D翻折到P点,且PB=2. (1)证明:BC⊥平面PAC; (2)若E为线段PC的中点,求平面AEB与平面ABC夹角的余弦值. 证明：（1） 在等腰梯形ABCD中,AD=BC=CD,AB∥CD,∠ABC=60°, 则∠CAB=∠ACD=∠DAC=30°, 则∠ACB=90°,∴AC⊥BC. 又由BC2+PC2=PB2,可知BC⊥PC,又PC∩AC=C,AC⊂平面PAC,PC⊂平面PAC,故BC⊥平面PAC. (2)解 过点C作CN⊥平面ABC,以C为原点,分别以CA,CB,CN所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(0,2,0),A(2,0,0),E(,0,), 则=(-2,2,0),=(,0,-),设平面EAB的法向量为m=(x,y,z), 则 令x=1,则y=,z=3,则m=(1,,3),又平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1),所以|cos<m,n>|=, 故平面AEB与平面ABC夹角的余弦值为 10.如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB =90°,AP=BP=AB,PC⊥AC,点D为BC中点. (1)求二面角A-PD-B的余弦值. (2)在直线AB上是否存在点M,使得PM与平面PAD所成角的正弦值为?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由. 解 (1)∵PC⊥AC,∴∠PCA=90°. ∵AC=BC,PA=PB,PC=PC, ∴△PCA≌△PCB,∴∠PCA=∠PCB=90°,即PC⊥BC. 又AC∩BC=C,AC,BC⊂平面ACB,∴PC⊥平面ACB,∴PC,CA,CB两两垂直,故以点C为坐标原点,分别以CB,CA,CP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图, 则C(0,0,0),A(0,2,0),D(1,0,0),P(0,0,2),=(1,-2,0),=(1,0,-2), 设平面PAD的一个法向量n=(x,y,z),则取x=2,得n=(2,1,1),易知平面PDB的一个法向量为=(0,2,0),∴cos<n,>=,设二面角A-PD-B的平面角为θ, ∵θ是钝角,∴cos θ=- (2)存在,M是AB的中点或A是MB的中点. 由(1)知,设=,则M(2λ,2-2λ,0),=(2λ,2-2λ,-2),n=(2,1,1). ∵|cos<,n>|=,解得λ=或λ=-1,∴M是AB的中点或A是MB的中点. 11.如图,在Rt△PAB中,PA⊥AB,且PA=4,AB=2,将△PAB绕直角边PA旋转到△PAC处,得到圆锥的一部分,点D是底面圆弧BC(不含端点)上的一个动点. (1)是否存在点D,使得BC⊥PD?若存在,求出∠CAD的大小;若不存在,请说明理由. (2)当四棱锥P-ABDC体积最大时,求平面PCD与平面PBD夹角的余弦值. 解 (1)当D为圆弧BC的中点,即∠CAD=时,BC⊥PD, 证明如下,∵D为圆弧BC的中点, ∴∠CAD=∠BAD=,即AD为∠CAB的平分线. ∵AC=AB,∴AD为等腰△CAB的高线,即AD⊥BC. ∵PA⊥AB,PA⊥AC,AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABDC, ∴PA⊥平面ABDC,∴PA⊥BC, ∵PA∩AD=A,∴BC⊥平面PAD, ∴BC⊥PD. (2)由(1)得,PA为四棱锥P-ABDC的高,∵PA=4,∴当底面积SABDC取最大值时,四棱锥P-ABDC体积最大. 设∠CAD=α,则∠BAD=-α,α∈(0,),SABDC=S△CAD+S△BAD=2×2×sin α+2×2×sin(-α)=2[sin α+sin(-α)]=2sin(α+). ∵α∈(0,),α+(), ∴α=时,sin(α+)=1,SABDC取最大值2,∴当四棱锥P-ABDC体积最大时,∠CAD=∠BAD=,过A在平面ABDC内作直线AE⊥AB,交圆弧BC于点E,由题知AE,AB,AP两两垂直,则以A为原点,分别以AE,AB,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系, 则A(0,0,0),P(0,0,4),B(0,2,0),D(,1,0),C(,-1,0), 则=(,1,-4),=(0,2,0),=(-,1,0),设平面PCD的法向量为n=(x1,y1,z1),则 即 令z1=,得n=(4,0,).设平面PBD的法向量为m=(x2,y2,z2),则 令z2=,得m=(2,2). 设平面PCD与平面PBD的夹角为θ,则cos θ=, ∴平面PCD与平面PBD夹角的余弦值为 学科网（北京）股份有限公司 $