1.4 练习1　空间中点、直线和平面的向量表示 课时练 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 聚焦空间向量表示，分层设计基础巩固（6题）、中档综合（6题）、拓展应用（4题），梯度衔接概念理解到几何体综合，适配新授课知识内化与思维进阶，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|法向量定义、平面方程直接应用|如第1、11题，直接考查法向量与平面内点的坐标关系| |中档|几何体中向量表示（长方体、正方体）|如第4、9题，结合正方体求方向向量与法向量| |综合|综合证明与探究（四棱锥、四面体）|如第14题，探究四棱锥中平面法向量的位置关系|

1.4 练习1　空间中点、直线和平面的向量表示 1. 在空间直角坐标系中，若平面α经过点A(2，－3，2)，且u＝(4，1，6)是平面α的一个法向量.若点P(a，b，－5)为平面α内的一点，且a＋b＝23，则点P的坐标为( 　) A. (9，14，－5) B. (8，15，－5) C. (7，16，－5) D. (6，17，－5) 2. (2025·江苏南通高二检测)已知平面α经过点A(0，1，2)，且法向量为(－2，1，－1)，P(x，y，z)是平面α内任意一点，则( 　) A. x＋y－z＝0 B. x＋y－z＝－1 C. 2x－y＋z＝0 D. 2x－y＋z＝1 3. 已知向量a＝(－2，2，0)，b＝(－2，0，2)，若向量n满足n⊥a，且n⊥b，则向量n可取为( 　) A. (1，1，0) B. (0，1，1) C. (1，0，1) D. (1，1，1) 4. (2025·广东茂名高二期中)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，CC1＝2，M在AB上.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.若平面MCA1的一个法向量为n＝(1，2，1)，则等于( 　) A. B. C. D. 1 5. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，O是BD1和B1D的交点，以{a，b，c}为空间的一个基底，则直线OA的一个方向向量为( 　) A. abc B. a＋b＋c C. a＋b－c D. abc 6. 已知直线l过点P(1，0，－1)且平行于向量a＝(2，1，1)，直线l与点M(1，2，3)在平面α内，则平面α的法向量不可能是( 　) A. (1，－4，2) B. C. D. (0，－1，1) 7. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点A(－3，4)的直线l的一个法向量为(1，－2)，则直线l的点法式方程为1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点M(1，2，3)的平面的一个法向量为m＝(1，－4，2)，则该平面的方程为( 　) A. x－4y＋2z＋1＝0 B. x－4y－2z＋1＝0 C. x＋4y－2z＋1＝0 D. x＋4y－2z－1＝0 8. (多选)(2024·杭州六县九校联盟高二联考)已知平面ABC内的两个向量＝(，1，－4)，＝(0，2，－2)，则平面ABC的一个法向量可以是 ( 　) A. (，1，－1) B. (，1，1) C. (－3，) D. (1，1，) 9. (多选)如图所示，在空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列说法中，正确的是( 　) A. 直线BD1的一个方向向量为(－2，2，2) B. 直线BD1的一个方向向量为(2，2，2) C. 平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1) D. 平面B1CD的一个法向量为(1，－1，－1) 10. 已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，若点P(a，1，1)在平面ABC内，则a＝ .  11. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1，2)，且平面α过点A(0，3，1).若P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则点P的坐标满足的方程是 .  12. 在空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1＝(2，1，1)与n2＝(0，2，1)为其法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为 (写出一个方向向量的坐标).  13. 如图所示，在四面体O－ABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间的一个基底，求直线OG和GH的一个方向向量. 14. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，点F在PB上，问当点F在何位置时，为平面DEF的一个法向量？ 15. (2025·广东佛山高二检测)已知n＝(1，0，1)为平面α的一个法向量，点P(3，2，1)位于平面α内，写出平面α内异于点P的另一个点的坐标： .  16. (2024·南京中学检测)在空间直角坐标系中，已知向量u＝(a，b，c)(abc≠0)，点P0(x0，y0，z0)，点P(x，y，z). (1)若直线l经过点P0，且以u为方向向量，P是直线l上的任意一点，证明：； (2)若平面α经过点P0，且以u为法向量，P是平面α内的任意一点，证明：a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 练习1　空间中点、直线和平面的向量表示 1. 在空间直角坐标系中，若平面α经过点A(2，－3，2)，且u＝(4，1，6)是平面α的一个法向量.若点P(a，b，－5)为平面α内的一点，且a＋b＝23，则点P的坐标为(　B　) A. (9，14，－5) B. (8，15，－5) C. (7，16，－5) D. (6，17，－5) 【解析】 易知＝(a－2，b＋3，－7)，依题意·u＝4a＋b－47＝0，即4a＋b＝47，联立a＋b＝23，解得a＝8，b＝15，∴点P(8，15，－5). 2. (2025·江苏南通高二检测)已知平面α经过点A(0，1，2)，且法向量为(－2，1，－1)，P(x，y，z)是平面α内任意一点，则(　D　) A. x＋y－z＝0 B. x＋y－z＝－1 C. 2x－y＋z＝0 D. 2x－y＋z＝1 【解析】 依题意，＝(x，y－1，z－2)，而平面α的法向量为(－2，1，－1)，∴(x，y－1，z－2)·(－2，1，－1)＝－2x＋y－1－(z－2)＝－2x＋y－z＋1＝0，即2x－y＋z＝1. 3. 已知向量a＝(－2，2，0)，b＝(－2，0，2)，若向量n满足n⊥a，且n⊥b，则向量n可取为(　D　) A. (1，1，0) B. (0，1，1) C. (1，0，1) D. (1，1，1) 【解析】 由题意，设向量n＝(x，y，z)，∵n⊥a，且n⊥b，则即令z＝1，可得x＝1，y＝1，∴其中一个向量n＝(1，1，1). 4. (2025·广东茂名高二期中)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，CC1＝2，M在AB上.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.若平面MCA1的一个法向量为n＝(1，2，1)，则等于(　B　) A. B. C. D. 1 【解析】 设AM＝x，则A1(4，0，2)，M(4，x，0)，＝(0，x，－2)，因平面MCA1的一个法向量为n＝(1，2，1)，则n·＝0，即2x－2＝0，解得x＝1，故AM＝1，MB＝3－1＝2，故. 5. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，O是BD1和B1D的交点，以{a，b，c}为空间的一个基底，则直线OA的一个方向向量为(　B　) A. abc B. a＋b＋c C. a＋b－c D. abc 【解析】 由题意可得()()()()＝(a＋b＋c)，故直线OA的一个方向向量可以为a＋b＋c. 6. 已知直线l过点P(1，0，－1)且平行于向量a＝(2，1，1)，直线l与点M(1，2，3)在平面α内，则平面α的法向量不可能是(　D　) A. (1，－4，2) B. C. D. (0，－1，1) 【解析】 连接PM，由题意得＝(0，2，4)，平面α的法向量必然与a，垂直.对于A，1×2＋(－4)×1＋2×1＝0，1×0＋(－4)×2＋2×4＝0，A中向量可能是平面α的法向量；对于B，×2＋(－1)×1×1＝0，×0＋(－1)×2×4＝0，B中向量可能是平面α的法向量；对于C，×2＋1×1×1＝0，×0＋1×2×4＝0，C中向量可能是平面α的法向量；对于D，0×2－1×1＋1×1＝0，0×0－1×2＋1×4＝2≠0，D中向量不可能是平面α的法向量. 7. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点A(－3，4)的直线l的一个法向量为(1，－2)，则直线l的点法式方程为1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点M(1，2，3)的平面的一个法向量为m＝(1，－4，2)，则该平面的方程为(　A　) A. x－4y＋2z＋1＝0 B. x－4y－2z＋1＝0 C. x＋4y－2z＋1＝0 D. x＋4y－2z－1＝0 【解析】 根据题意进行类比，在空间任取一点P(x，y，z)，则＝(x－1，y－2，z－3)，∵平面法向量为m＝(1，－4，2)，∴1×(x－1)－4×(y－2)＋2×(z－3)＝0，∴x－4y＋2z＋1＝0. 8. (多选)(2024·杭州六县九校联盟高二联考)已知平面ABC内的两个向量＝(，1，－4)，＝(0，2，－2)，则平面ABC的一个法向量可以是 (　BC　) A. (，1，－1) B. (，1，1) C. (－3，) D. (1，1，) 【解析】 设平面ABC的法向量是n＝(x，y，z)，则取y＝1，得x＝，z＝1，则n＝(，1，1)是平面ABC的一个法向量，所求向量与n＝(，1，1)共线，B，C符合题意. 9. (多选)如图所示，在空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列说法中，正确的是(　AC　) A. 直线BD1的一个方向向量为(－2，2，2) B. 直线BD1的一个方向向量为(2，2，2) C. 平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1) D. 平面B1CD的一个法向量为(1，－1，－1) 【解析】 由题意，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1).对于A，B，可知＝(－1，1，1)，∴向量(－2，2，2)为直线BD1的一个方向向量，A正确，B错误；对于C，设平面B1CD1的法向量为n＝(x，y，z)，则又＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1)，∴有令x＝1，可得n＝(1，1，1)，C正确；对于D，设平面B1CD的法向量为m＝(a，b，c)，则又＝(0，－1，1)，＝(－1，0，0)，∴有令b＝1，得m＝(0，1，1)，D错误. 10. 已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，若点P(a，1，1)在平面ABC内，则a＝　－1　.  【解析】 设平面ABC的一个法向量是n＝(x，y，z)，又＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，∴取x＝1，得n＝(1，1，1)，∵P(a，1，1)在平面ABC内，则n·＝a－1＋1＋1＝0，解得a＝－1. 11. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1，2)，且平面α过点A(0，3，1).若P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则点P的坐标满足的方程是　x－y＋2z＋1＝0　.  【解析】 连接AP，由题意可知＝(x，y－3，z－1)，∵平面α的一个法向量是n＝(1，－1，2)，∴·n＝(x，y－3，z－1)·(1，－1，2)＝0，即x－y＋3＋2z－2＝0，即x－y＋2z＋1＝0，故所求点P的坐标满足的方程是x－y＋2z＋1＝0. 12. 在空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1＝(2，1，1)与n2＝(0，2，1)为其法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为 (答案不唯一)　(写出一个方向向量的坐标).  【解析】 设直线l的一个方向向量为a＝(x，y，z)，由两平面α与β分别以n1＝(2，1，1)与n2＝(0，2，1)为其法向量，可得a·n1＝2x＋y＋z＝0，a·n2＝2y＋z＝0，可得z＝－2y，x＝y，令y＝1，则x＝，z＝－2，可得a＝. 13. 如图所示，在四面体O－ABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间的一个基底，求直线OG和GH的一个方向向量. 解： 取BC的中点D，连接AD，OD，∵()＝()()＝(a＋b＋c)， ∴直线OG的一个方向向量为(a＋b＋c). ∵()(b＋c)(a＋b＋c)＝a，∴直线GH的一个方向向量为a. 14. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，点F在PB上，问当点F在何位置时，为平面DEF的一个法向量？ 解： 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设DA＝2，则D(0，0，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，B(2，2，0)，∴＝(2，2，－2)，＝(0，1，1)，∵·＝2×0＋2×1＋(－2)×1＝0，∴⊥，∴PB⊥DE.设F(x，y，z)，＝λ(0≤λ≤1)，则(x，y，z－2)＝λ(2，2，－2)， ∴∴F(2λ，2λ，2－2λ)，∴＝(2λ，2λ，2－2λ).由题意可知，要使为平面DEF的一个法向量，则需·＝0，即4λ＋4λ－2(2－2λ)＝0，解得λ＝， 故当F为线段PB上靠近点P的一个三等分点时，为平面DEF的一个法向量. 15. (2025·广东佛山高二检测)已知n＝(1，0，1)为平面α的一个法向量，点P(3，2，1)位于平面α内，写出平面α内异于点P的另一个点的坐标：　(2，0，2)(答案不唯一)　.  【解析】 令平面α内异于点P的另一个点的坐标A(x，y，z)，则＝(x－3，y－2，z－1)，由n＝(1，0，1)为平面α的一个法向量，得n·＝x－3＋0＋z－1＝0，∴x＋z＝4，A(2，0，2)满足要求. 16. (2024·南京中学检测)在空间直角坐标系中，已知向量u＝(a，b，c)(abc≠0)，点P0(x0，y0，z0)，点P(x，y，z). (1)若直线l经过点P0，且以u为方向向量，P是直线l上的任意一点，证明：； (2)若平面α经过点P0，且以u为法向量，P是平面α内的任意一点，证明：a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0. 证明： (1)∵直线l经过点P0，且以u为方向向量，P是直线l上的任意一点，则∥u(u≠0)，则存在实数λ，使得＝λu，即(x－x0，y－y0，z－z0)＝λ(a，b，c)，故. (2)∵平面α经过点P0，且以u为法向量，P是平面α内的任意一点，则⊥u，故(x－x0，y－y0，z－z0)·(a，b，c)＝0，即a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $