第六章 数据的分析 重难点训练--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦描述统计核心知识点，以13类题型构建从基础统计量到离散程度分析再到统计图表的递进式训练体系，强化数据意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础统计量|题型1-5、11（6类）|含众数、平均数（普通/加权/纠错）、中位数计算与应用|从单一数据特征到综合情境分析，构建统计量概念网络| |离散程度分析|题型6-10（5类）|覆盖方差、标准差、离差平方和的计算与稳定性判断|基于平均数延伸至数据波动描述，体现统计量关联性| |统计图表|题型12-13（2类）|涉及四分位数计算与箱线图绘制|从数据特征到可视化表达，完成统计分析闭环|

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第六章 数据的分析 题型1 求众数 题型2 求一组数据的平均数 题型3 利用已知的平均数求相关数据的平均数 题型4 求加权平均数 题型5 出错情况下的平均数问题 题型6 求方差 题型7 根据方差判断稳定性 题型8 标准差 题型9 求离差平方和 题型10 离差平方和的应用 题型11 求中位数 题型12 求四分位数 题型13 画箱线图 【求众数】 1．老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（     ） A． B．平均数为8 C．众数是6 D．添加一个数8后方差不变 【答案】D 【分析】本题根据方差公式还原原数据，再结合相关定义逐一判断选项，找出错误结论． 【详解】根据方差公式，可得原数据为11，9，8，6，6，据此判断： ∵方差算式中共有5个平方项， ∴，A选项正确，不符合题意； ∵所有平方项中减去的数都是8， ∴这组数据的平均数为8，B选项正确，不符合题意； ∵原数据中6出现次数最多， ∴众数是6，C选项正确，不符合题意； 添加一个数8后，新数据共6个，平均数仍为8， 新方差为： ， 原方差，可得， ∴添加一个数8后方差改变，D选项错误，符合题意． 2．已知一组数据方差的算式为：，由算式提供的信息，下列说法错误的是（     ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．若该组数据加入两个数，，则这组新数据的方差变小 D．该组数据的众数是 【答案】D 【分析】本题考查方差、平均数、众数的概念，根据方差算式得到原数据，再结合相关概念逐一判断选项正误即可． 【详解】∵方差算式中共有5个平方项， ∴原数据共5个，即， ∴选项A正确． 计算原数据的平均数：， ∴选项B正确． 原方差，加入两个后，新方差，数据更集中，方差变小， ∴选项C正确． 原数据中，出现次，也出现次，二者出现次数均最多， ∴众数为和， ∴选项D错误． 3．践行生态文明理念，助力城市绿色发展．某校组织八年级学生开展公益植树志愿服务活动．活动结束后，为了解八年级学生植树棵数的情况，随机抽取若干名八年级参加植树的学生，统计每人的植树棵数，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 抽取的八年级学生植树棵数的人数统计表 棵数/棵 1 2 3 4 5 人数/人 4 10 6    请根据以上信息，解答下列问题： (1)求m，n的值； (2)求被抽取的八年级学生植树棵数的众数： (3)本次植树活动中，植树不少于4棵的学生将被学校评为“生态守护先锋”，该学校八年级有320名学生参加了此次植树活动，请你估计这些学生中被评为“生态守护先锋”的人数． 【答案】(1)， (2)3 (3)估计这些学生中被评为“生态守护先锋”的人数为96人 【分析】（1）首先根据植2棵的人数和其对应占比，用部分量除以对应占比求出抽取的总人数；再根据植3棵的人数占比，用总人数乘该占比求出的值，最后用总人数减去已知的其他棵数的人数得到的值． （2）观察统计表格中各棵数对应的人数，找到出现次数最多的棵数即为众数． （3）先计算抽取的学生中植树不少于4棵的人数占抽取总人数的比例，再用八年级总人数乘该比例，估计得到“生态守护先锋”的总人数． 【详解】（1）解：植2棵的人数为10人，占总人数的， 抽取的总人数：（人）， ∴，． （2）解：对比各组人数： 植3棵的人数最多（14人），因此众数是棵； （3）解：植树不少于4棵，即植4棵+植5棵， 样本中这部分人数为（人）， 因此估计八年级320名学生中，被评为“生态守护先锋”的人数为： （人） 答：估计这些学生中被评为“生态守护先锋”的人数为96人． 【求一组数据的平均数】 4．按照“组内离差平方和最小”的方法将个数据分成了两组，第一组是，第二组是，则该分组情况下的组内离差平方和是________． 【答案】8 【分析】分别计算两组数据的平均数，再分别计算每组的组内离差平方和，将两组结果相加得到最终答案． 【详解】解：第一组数据为，平均数为，离差平方和为， 第二组数据为，平均数为，离差平方和为， ∴组内离差平方和为． 5．一道满分3分的数学测验题，网络阅卷时老师评分只能给整数，即得分可能为0分、1分、2分、3分．为了解学生知识点掌握情况及试题的难易程度，对初三（1）班所有学生的这道试题得分情况进行分析整理后，绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示． 小知识：试题按其难度系数L值分为容易题、中等难度题和难题三类．L在以上的题为容易题；在之间的题为中等难度题；L在以下的题为难题（L的计算公式为：，其中X为样本平均数，W为试题满分值）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)______________，得分为“2分”对应的扇形圆心角为______________度，请补全条形统计图； (2)由“小知识”提供的信息，请依据计算得到的L的值（精确到0.01），判断这道题属于哪一类难度的试题，并说明理由． 【答案】(1)25；162； (2)中等难度题 【分析】（1）根据“0分”的人数和占比求出班级总人数，进而得出得分为“1分”的人数，即可求出的值；用得分为“2分”的人数除以总人数乘可以求出对应圆心角度数，再补全条形统计图即可；、 （2）分别求出样本平均数X和试题满分值W，进而求出的值，即可得解． 【详解】（1）解：初三1班人数为（人）， 则得分为“1分”的人数为（人）， ， ； 得分为“2分”对应的扇形圆心角为； 补全条形统计图如答图； （2）解：平均数，， 则，在之间为中等难度题． 6．夏良是一位有心的同学，他把自己八年级第一学期的数学质量检测成绩（单位：分）作了统计（如表）： 质量检测类型 平时 期中 期末 检测 检测 检测 检测 成绩 (1)计算夏良该学期数学平时质量检测的平均成绩； (2)如果学期总评成绩是按照图所示的权重计算，请计算出夏良该学期的数学总评成绩． 【答案】(1)分 (2)分 【分析】（1）利用平均数的定义求解即可； （2）利用加权平均数的定义求解即可． 【详解】（1）解：夏良平时四次检测成绩为， 则（分）， 答：夏良该学期数学平时质量检测的平均成绩为分； （2）解：（分）． 答：夏良该学期的数学总评成绩为分． 【利用已知的平均数求相关数据的平均数】 7．已知一组数据，，的平均数是8，方差是3，则另一组数据，，的平均数和方差分别是（     ） A．17，12 B．17，11 C．16，12 D．16，11 【答案】A 【详解】解：∵一组数据，，的平均数是8，方差是3， ∴，， ∴，， ∴新三个数据的平均数为； 新三个数据的方差为 ． 8．若一组数据，，，…，的平均数为5，离差平方和为20，则数据，，，…，的平均数和离差平方和分别是（     ） A．5，20 B．5，22 C．7，20 D．7，22 【答案】C 【分析】各数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，据此可求出平均数；各数据都加上一个数（或减去一个数）时，离差平方和不变，即可求出数据的离差平方和． 【详解】解：∵一组数据，，，…，的平均数为5，离差平方和为20， ∴数据，，，…，的平均数是，离差平方和是20. 9．若样本，，，…，的平均数为2023，方差为5，则对于样本，，，…，的方差为__________． 【答案】 【分析】根据平均数与方差的定义和性质，先得出，再得出，结合方差公式进行计算即可． 【详解】解∵一组数据，，，…，的平均数为4，方差为2， ∴， ∴， 则，，，…，的平均数为 ， 则，，，…，的方差为 ． 【求加权平均数】 10．锦凌中学准备优化师生的配餐菜品，现在对A、B、C三个套餐进行评估，各项得分如下表：（单位：分） 套餐 营养均衡度 口味接受度 价格合理度 A 8 9 8 B 9 8 8 C 7 9 9 若规定营养均衡度、口味接受度、价格合理度在总分中所占的比例分别为、、，则三项得分的加权平均数最高的是___________．（填“A”“B”或“C”） 【答案】B 【分析】根据加权平均数的计算方法，分别求出三个套餐的加权得分，比较大小即可得到结果． 【详解】解：分别计算三个套餐的加权平均数： 套餐A的得分：（分）； 套餐B的得分：（分）； 套餐C的得分：（分）； ∵， ∴加权平均数最高的是B． 11．某公司招聘职员，对甲、乙两名应聘者进行了笔试和面试，成绩(单位：分)如表： 应聘者成绩 应聘者 笔试 面试 甲 85 90 乙 92 83 (1)如果公司认为笔试和面试同等重要，谁将被录用？ (2)如果公司认为笔试成绩比面试成绩更重要，笔试和面试按的比例计算总成绩，谁将被录用？ 【答案】(1)两人平均分相同，均可被录用 (2)乙将被录用 【分析】（1）求出甲乙两人的分数的算术平均数，再比较即可； （2）求出甲乙两人的分数的加权平均数，再比较即可． 【详解】（1）解：∵笔试和面试同等重要， ∴甲平均分为：，乙平均分为：， ∴两人平均分相同，均可被录用； （2）解：∵笔试和面试按的比例计算总成绩， ∴甲总成绩为：，乙总成绩为：， ∵ ∴乙将被录用． 12．某校八年级学生开展数学竞赛活动，教研人员随机抽取名参赛学生的竞赛成绩（单位：分）做抽样统计，分数区间与对应频数如下表（竞赛卷面满分分，分组区间左闭右开）： 分数区间 分 分 分 分 频数 4 8 15 13 (1)求抽取的这名学生竞赛成绩的平均数； (2)竞赛划定评判标准：分数不低于分判定为成绩优秀，依据本次抽样结果，估算本校八年级全体名参赛学生里，成绩达到优秀等次的大约有多少人？ 【答案】(1)抽取的这名学生竞赛成绩的平均数为分 (2)八年级名学生中成绩优秀的预估为人 【分析】（1）先确定每组对应的组中值，再依据加权平均数公式求解即可； （2）先得到样本中成绩达到优秀等次的频率，再乘以八年级总人数即可求解． 【详解】（1）解：每组对应的组中值分别为：组中值，组中值，组中值，组中值 ， 则， ， ， （分）； 答：抽取的这名学生竞赛成绩的平均数为分； （2）解：抽样里优秀样本频数为，样本优秀频率：， ∴总体预估优秀人数：（人）． 答：八年级名学生中成绩优秀的预估为人． 【出错情况下的平均数问题】 13．某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 【答案】C 【分析】本题主要是平均数的运用问题，根据题意可以得到错误的数据总和与实际的数据总和的差；再除以总个数30即可得出求出的平均数与实际平均数的差. 【详解】解：求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入成15，即少加了90， 则由此求出的平均数与实际平均数的差是：， 故选：C． 14．为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题． (1)求本次调查获取的样本数据的平均数； (2)如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？ (3)若小明统计该表中，将得8分的居民统计为14人，其余均未出错，那么平均数会 ．（填“不变”、“变大”、“变小”） 【答案】(1)分 (2)160份 (3)变大 【分析】本题考查条形统计图、加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义和计算方法是正确解答的关键． （1）将条形统计图中各个分数段的人数相加，即可得出总人数，再根据加权平均数的计算方法计算即可； （2）求出10分占调查人数的百分比，即可预测出一等奖的人数即可． （3）计算平均数解答即可． 【详解】（1）解：依题意， （分）， 答：本次调查获取的样本数据的平均数为8.26分； （2）解：依题意，（份）， 答：估计需准备160份一等奖奖品． （3）解：将得8分的居民统计为14人， （分）， ∵ ∴平均数会变大． 15．小颖使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据15输入为105，另一个数据65输入56，由此求得的平均数为61，求实际平均数． 【答案】 【分析】先通过输入的数据得到总数比正确的总数多加了81，然后得到平均数多加了，进而可得到实际平均数． 【详解】解：由题意知，错将其中一个数据15输入为105，则多加了， 错将另一个数据65输入56，则少加了9， 故总的多加了， ∴平均数多了， 此时求得的平均数为61， ∴实际平均数为． 【求方差】 16．有甲、乙、丙三组数据，每组数据中有6个正整数，各组中数的排列分布折线图如上图所示，乙组中6个数的平均数为_________，各组数据方差从小到大依次为_________．（填写“甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”中的一个） 【答案】 6 乙丙甲 【分析】根据折线图得出每组的数据，然后计算出每组的平均数，再根据平均数计算出每组的方差，最后比较大小即可． 【详解】解：∵每组数据中有6个正整数， ∴结合折线图可知，甲组数据为：，，，，，； 乙组数据为：，，，，，； 丙组数据为：，，，，，； ∴甲组数据的平均数为：； 乙组数据的平均数为：； 丙组数据的平均数为：； ∴甲组数据的方差为：； 乙组数据的方差为：； 丙组数据的方差为：； ∵， ∴各组数据方差从小到大依次为乙丙甲． 17．若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差的值为（     ） A．5 B．6 C．5.5 D．10 【答案】B 【分析】根据方差的计算公式，用已知的离差平方和除以数据个数即可得到方差结果． 【详解】解：根据方差的定义，方差计算公式为 ， ∵本题中数据个数 ，题目给出离差平方和 ∴． 18．小田在整理一组数据时，列式如下：，则下列结论不正确的是（     ） A．众数是5 B．方差是1.5 C． D．离差平方和是6 【答案】C 【分析】方差公式： 【详解】解： 这组共4个数据，为，方差是1.5， 众数是5，， 离差平方和是， 只有C选项结论错误． 【根据方差判断稳定性】 19．甲、乙两地月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这天中日平均气温的方差与的大小关系是_____．（填“”或“”） 【答案】 【分析】由折线统计图可以看出，甲的气温波动较大，乙的气温波动较小，所以甲的方差大于乙的方差． 【详解】解：由折线统计图可知，甲的气温波动较大，乙的气温波动较小， ． 20．某校举行以“弘扬传统文化，传承优良家风”为主题的中学生知识竞赛．根据规则，均分高的同学获胜，若均分相同，则发挥较稳定的同学获胜．五轮次比赛中他们的得分如下表，下列说法正确的是（     ） 同学 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 甲 8 7 9 8 8 乙 7 9 6 9 9 A．甲同学获胜 B．乙同学获胜 C．甲乙同学并列获胜 D．无法判断 【答案】A 【分析】按照比赛规则，先计算甲乙两人的平均分，平均分相同再计算方差比较稳定性，最终判断获胜者. 【详解】解：， ， ∵两人平均分相同，需比较发挥稳定性，方差越小发挥越稳定，，， ∵ ， ∴甲同学发挥更稳定，根据规则甲同学获胜． 21．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在5天中，两台机床每天出次品的数量（单位：件）如下表所示，则出次品波动较小的是（     ） 甲 1 2 1 4 2 乙 2 1 3 1 3 A．甲机床 B．乙机床 C．两台机床一样 D．无法判断 【答案】B 【分析】数据波动大小由方差判断，方差越小，数据波动越小．本题分别计算甲、乙两台机床出次品数的方差，比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ 乙机床出次品波动更小． 【标准差】 22．用科学计算器求得271，315，263，289，300，277，286，293，297，280的平均数为____，标准差为__．（精确到 【答案】 287.1 14.4 【分析】本题考查了平均数，标准差的概念．掌握平均数，标准差的计算方法是解题的关键． 本题考查平均数和标准差的计算，平均数是一组数据的和除以数据的个数；标准差是方差的算术平方根，方差是每个数据与平均数的差的平方的平均数． 【详解】解：平均数为：， 方差为：， 标准差为：． 故答案为：，． 23．已知是方程组的解，求出数据1，2，5，a，b的标准差． 【答案】数据1，2，5，4，3的标准差为 【分析】根据是方程组的解建立关于，的方程组，求出，的值，再根据标准差的公式计算出标准差即可． 【详解】解：因为是方程组的解， 所以解得 因为数据1，2，5，4，3的平均数为， 所以方差为， 所以数据1，2，5，4，3的标准差为． 【点睛】本题考查了方差与标准差，解题的关键是根据题意建立方程组求出，的值以及熟练掌握标准差的求法公式． 24．已知一组数据，其平均数为1，方差为，则另一组数据的平均数为________，标准差为________． 【答案】 3 【分析】本题主要考查平均数，标准差，方差；根据数据的倍数影响平均数，方差，标准差，后面的常数项影响平均数，不影响方差，标准差，进行整体计算即可． 【详解】解：∵一组数据，其平均数为1， ∴另一组数据的平均数为：， ∵一组数据，方差为， ∴另一组数据的标准差为：； 故答案为：3，． 【离差平方和】 25．某年，，，，个城市的人均生活用电量如下表所示： 城市 人均生活用电量（） 根据四种分法分别计算组内离差平方和的数据，如下表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 根据组内离差平方和越小分组越合理的原则，最合理的分组是（     ） A．{，}和{，，} B．{，}和{，，} C．{，，}和{，} D．{，，，}和{} 【答案】C 【分析】先将个城市的人均生活用电量排序，明确各间隔对应的分组，再选取组内离差平方和最小的分组匹配选项． 【详解】解：将个城市的人均生活用电量从小到大排序，得， 四个间隔对应的组内离差平方和分别为，，，， 为最小值，对应第个间隔的分组. 第个间隔位于与之间，即分组为和，与选项C一致． 26．有五名学生某次英语口语测试的成绩（单位：分）分别为：，，，，，将他们按本次测试的成绩分成一个两人组和一个三人组展开小组学习，按照组内离差平方和最小的原则，初步筛选了两种分法．分法一：和，分法二：和．已知分法二的组内离差平方和为，请计算并说明应该选用哪种分法． 【答案】应该选用分法一． 【分析】先求出分法一中组内离差平方和，然后比较大小即可． 【详解】解：分法一中，这一组的平均数为（分）， ∴这一组的离差平方和为， 这一组的平均数为（分）， ∴这一组的离差平方和为， ∴分法一的组内离差平方和为， ∵， ∴应该选用分法一． 27．某水果店现有5个精品水蜜桃，其质量（单位：g）从小到大分别为240，250，260，280，300，水果店打算将这5个水蜜桃按质量分为两组包装成水果礼盒，一组2个，另一组3个．按照组内离差平方和最小的原则初步筛选了两种分组方式如下表，则哪种方式更好？ 分组方式 分组情况 组内离差平方和 方式一 甲组，乙组 400 方式二 A组，B组 m 【答案】方式一更好 【分析】求方式二的组内离差平方和，与方式一的组内离差平方和比较后即可得到结论． 【详解】解：方式二中，A组的平均数为， 组的离差平方和为； B组的平均数为， 组的离差平方和为； 方式二的组内离差平方和， ， 方式一更好． 【离差平方和的应用】 28．已知甲组：，，，；乙组：，，，，，，为了刻画这两组数据的离散程度，则最合适的统计量是（    ） A．方差 B．方差或离差平方和 C．离差平方和 D．离差的和 【答案】A 【详解】解：∵离差的和会出现正负离差相互抵消，无法反映数据离散程度，∴排除D选项． ∵离差平方和的大小受数据个数影响，本题甲组有4个数据，乙组有6个数据，两组数据个数不同，离差平方和无法准确比较离散程度，∴排除B、C选项． ∵方差消除了数据个数的影响，是衡量数据离散程度的合适统计量，∴最合适的统计量是方差． 29．利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组．已知一组不全相等的数据共5个数，对这组数据进行分组，设两组的离差平方和分别为和，且满足，请你写出一组符合题意的数据____________． 【答案】1，1，2，2，2（答案不唯一） 【分析】根据平方的非负性，可得两个分组数据的离差平方和都为，即每组内数据相等，原数据共个且不全相等，只需构造两组分别相等、整体不相等的五个数即可． 【详解】解：∵， ，， ∴，，即，. 离差平方和为，说明每组内所有数据都相等． 将个数据分为两组，可分为个一组和个一组，由题意可知原数据不全相等，因此两组数据不相等． 写出一组符合题意的数据为（答案不唯一）． 30．某商店7款产品的月销售量分别为：8，10，14，36，40，42，46．为制定营销策略，该商店将产品分成2组（畅销组和滞销组），使同一类别产品的销售量波动最小． 分组方式 组1（滞销款） 组2（畅销款） 方式1 8，10 14，36，40，42，46 795.2 方式2 8，10，14 36，40，42，46 62.75 方式3 8，10，14，36，40 42，46 941.6 上述分组方式中，较为合理的是方式________________． 【答案】 【详解】解：离差平方和越小，同一组内销量波动越小，只需比较三种分组的离差平方和大小，即可得到合理分组． ∵方式2的离差平方和最小， ∴较为合理的是方式2． 【求中位数】 31．对5名女生“一分钟仰卧起坐”个数（每名女生的个数均不相同）进行登记时，误将最高成绩45个写成了48个，则下列统计量中不受影响的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 【答案】B 【分析】根据平均数，中位数，方差，标准差的概念，逐一判断即可解答． 【详解】解：将个不同成绩按从小到大排列，中位数为第个数据， ∵最高成绩为最大数据，将其从改为后仍为最大数据，排序后第个数据不变， ∴中位数不受影响． 32．某年级组织数学单元检测，随机抽取60名学生的成绩进行统计分析，如图所示．关于这60名学生的成绩，下列说法正确的是（     ） A．中位数是12 B．中位数是75 C．众数是21 D．众数是85 【答案】D 【分析】本题考查了众数与中位数，一组数据中出现次数最多的数叫做众数；把一组数据按大小排列，最中间一个（奇数个数据）或两个（偶数个数据）数据的平均数是中位数，按照这两个概念进行求解即可． 【详解】解：从统计图知，85分出现的次数最多，故众数是85；把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数，而，故中位数是；故只有选项D正确． 33．为增强学生垃圾分类意识，某校从七、八年级各随机抽取了名学生进行相关测试，将测试成绩分（为整数）分为五个等级：A：，B：，C：，D：，E：，并绘制成如图的统计图． (1)八年级被抽取学生测试成绩中位数为，则一定落在_____等级中，C等级的共有_____名学生； (2)比较两个年级成绩在分以下（不含分）的百分比的大小，并根据比较结果给出一条合理的建议； (3)请说明七年级被抽取学生的测试成绩中会有众数吗？ 【答案】(1)D， (2)七年级分以下的学生占比较多，应加强垃圾分类知识的学习 (3)七年级抽取的测试成绩中会有众数，理由如下： ∵C：，为整数， ∴C等级中的数据有、、、、共种可能， ∵七年级成绩在C等级的有人， ∴C等级中必有重复的数据， ∴七年级抽取学生的测试成绩中会有众数． 【分析】（1）先求出八年级D、E两个等级的人数，再根据中位数的定义判断即可； （2）分别求出两个年级成绩在分以下的百分比，比较后，给出建议即可； （3）根据C等级中的数据有、、、、共种可能，C等级中有人，可得C等级中必有重复的数据，即可得出答案． 【详解】（1）解：由扇形统计图可知， 八年级D、E两个等级的人数分别为（人），（人）， ∴八年级被抽取学生测试成绩从高到低排列，第个数据在D等级中， ∴中位数一定落在D等级中， ∵C等级在扇形统计图中所占百分比为， ∴C等级的共有名学生． （2）解：由扇形统计图可知，八年级成绩在分以下的百分比为， 由条形统计图可知，七年级成绩在分以下的百分比为， ∵， ∴七年级分以下的学生占比较多，应加强垃圾分类知识的学习． （3）解：略 【求四分位数】 34．一组数据是：33，36，38，40，41，42，42，50，75，下列各数中，不是这组数据的四分位数的是（     ） A．37 B．38 C．41 D．46 【答案】B 【分析】根据中位数和四分位数的定义进行解答即可． 【详解】解：将数据从小到大排列为，共9个. ∵ 数据个数为奇数， ∴ 第二四分位数（中位数）为第5个数. 求下四分位数： 方法一：个数为奇数时中位数不计入上下半部分， ∴下半部分为前4个数据，上半部分为后4个数据. ∴下四分位数为下半部分的中位数，即 方法二：， ∴下四分位数为第2个数和第3个数的平均数，即为； 求上四分位数： 方法一：上四分位数为上半部分的中位数，即. 方法二：， ∴上四分位数为第6个数第7个数的平均数，即为； 综上可知，不是这组数据四分位数的是． 35．某班40名同学每分钟跳绳个数的箱线图如图所示，这40个数据的下四分位数是（     ） A．125 B．138 C．151 D．163 【答案】B 【分析】本题考查了箱线图，下四分位数，根据下四分位数的定义即可求解． 【详解】解：A、125是最小值，不属于下四分位数； B、138是第一四分位数，属于下四分位数； C、151是第二四分位数，也是中位数，不属于下四分位数； D、163是第三四分位数，不属于下四分位数． 36．小明统计了西安和济南近两年7～8月每天的最高温度，将统计结果绘制成箱线图如图所示，则关于此时段内两地的最高温度情况，下列说法正确的是（    ） A．济南每天的最高温度的下四分位数为 B．济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数 C．西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度 D．西安有超过一半的天数最高温度不低于 【答案】B 【分析】根据箱线图的特征，分别读取西安和济南的最高温度的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值，结合统计量的意义逐一判断选项即可． 【详解】解：由箱线图可知，济南箱体的左边缘对应数值为，即下四分位数为，故A错误； 由箱线图可知，济南箱体内的竖线对应数值为，即中位数为；西安箱体内的竖线对应数值为，即中位数为； ， 济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数，故B正确； 由箱线图可知，西安的最低温约为，济南的最高温为， 存在济南气温高于西安气温的情况，故C错误； 由箱线图可知，西安的中位数为，上四分位数为， 西安约有的天数最高温度不低于，未超过一半，故D错误． 【画箱线图】 37．拟派一名射击运动员参加一项比赛，对甲、乙两名射击运动员进行了次选拔比赛，他们成绩的箱线图如图所示．经预测，射击成绩为环及以上就能入围决赛，在这项比赛中为了取得较好的名次，应派________运动员参加比赛． 【答案】乙 【分析】根据箱线图中，箱体代表数据中间的成绩，箱体位置越高，高分成绩占比越多判断即可． 【详解】解：甲：中位数约为6.2，大量成绩低于7环，最低仅3环，高分段少； 乙：中位数约为7.2，箱体整体高于甲，7环及以上的成绩数量更多，下限 5 环、上限 9 环，高分表现更稳定， ∴应派乙运动员参赛． 故答案为：乙． 38．甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组成绩的四分位数． (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． 【答案】(1)第一四分位数是70，第二四分位数（中位数）是90，第三四分位数是96 (2)如图，即为甲组的箱线图． 【分析】（1）先将甲组数据从小到大排序，再计算出四分位数即可； （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图即可． 【详解】（1）解：将甲组的成绩从小到大排列为 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 共10个数，，，， ，，， 即第一四分位数是70，第二四分位数（中位数）是90，第三四分位数是96； （2）略 39．某游泳培训中心进行毕业考试，如图是考试学员米蛙泳成绩的箱线图，则这组成绩的第三四分位数是________秒． 【答案】 【详解】解：由箱线图可知，这组成绩的第三四分位数是秒． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第六章 数据的分析 题型1 求众数 题型2 求一组数据的平均数 题型3 利用已知的平均数求相关数据的平均数 题型4 求加权平均数 题型5 出错情况下的平均数问题 题型6 求方差 题型7 根据方差判断稳定性 题型8 标准差 题型9 求离差平方和 题型10 离差平方和的应用 题型11 求中位数 题型12 求四分位数 题型13 画箱线图 【求众数】 1．老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（     ） A． B．平均数为8 C．众数是6 D．添加一个数8后方差不变 2．已知一组数据方差的算式为：，由算式提供的信息，下列说法错误的是（     ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．若该组数据加入两个数，，则这组新数据的方差变小 D．该组数据的众数是 3．践行生态文明理念，助力城市绿色发展．某校组织八年级学生开展公益植树志愿服务活动．活动结束后，为了解八年级学生植树棵数的情况，随机抽取若干名八年级参加植树的学生，统计每人的植树棵数，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 抽取的八年级学生植树棵数的人数统计表 棵数/棵 1 2 3 4 5 人数/人 4 10 6    请根据以上信息，解答下列问题： (1)求m，n的值； (2)求被抽取的八年级学生植树棵数的众数： (3)本次植树活动中，植树不少于4棵的学生将被学校评为“生态守护先锋”，该学校八年级有320名学生参加了此次植树活动，请你估计这些学生中被评为“生态守护先锋”的人数． 【求一组数据的平均数】 4．按照“组内离差平方和最小”的方法将个数据分成了两组，第一组是，第二组是，则该分组情况下的组内离差平方和是________． 5．一道满分3分的数学测验题，网络阅卷时老师评分只能给整数，即得分可能为0分、1分、2分、3分．为了解学生知识点掌握情况及试题的难易程度，对初三（1）班所有学生的这道试题得分情况进行分析整理后，绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示． 小知识：试题按其难度系数L值分为容易题、中等难度题和难题三类．L在以上的题为容易题；在之间的题为中等难度题；L在以下的题为难题（L的计算公式为：，其中X为样本平均数，W为试题满分值）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)______________，得分为“2分”对应的扇形圆心角为______________度，请补全条形统计图； (2)由“小知识”提供的信息，请依据计算得到的L的值（精确到0.01），判断这道题属于哪一类难度的试题，并说明理由． 6．夏良是一位有心的同学，他把自己八年级第一学期的数学质量检测成绩（单位：分）作了统计（如表）： 质量检测类型 平时 期中 期末 检测 检测 检测 检测 成绩 (1)计算夏良该学期数学平时质量检测的平均成绩； (2)如果学期总评成绩是按照图所示的权重计算，请计算出夏良该学期的数学总评成绩． 【利用已知的平均数求相关数据的平均数】 7．已知一组数据，，的平均数是8，方差是3，则另一组数据，，的平均数和方差分别是（     ） A．17，12 B．17，11 C．16，12 D．16，11 8．若一组数据，，，…，的平均数为5，离差平方和为20，则数据，，，…，的平均数和离差平方和分别是（     ） A．5，20 B．5，22 C．7，20 D．7，22 9．若样本，，，…，的平均数为2023，方差为5，则对于样本，，，…，的方差为__________． 【求加权平均数】 10．锦凌中学准备优化师生的配餐菜品，现在对A、B、C三个套餐进行评估，各项得分如下表：（单位：分） 套餐 营养均衡度 口味接受度 价格合理度 A 8 9 8 B 9 8 8 C 7 9 9 若规定营养均衡度、口味接受度、价格合理度在总分中所占的比例分别为、、，则三项得分的加权平均数最高的是___________．（填“A”“B”或“C”） 11．某公司招聘职员，对甲、乙两名应聘者进行了笔试和面试，成绩(单位：分)如表： 应聘者成绩 应聘者 笔试 面试 甲 85 90 乙 92 83 (1)如果公司认为笔试和面试同等重要，谁将被录用？ (2)如果公司认为笔试成绩比面试成绩更重要，笔试和面试按的比例计算总成绩，谁将被录用？ 12．某校八年级学生开展数学竞赛活动，教研人员随机抽取名参赛学生的竞赛成绩（单位：分）做抽样统计，分数区间与对应频数如下表（竞赛卷面满分分，分组区间左闭右开）： 分数区间 分 分 分 分 频数 4 8 15 13 (1)求抽取的这名学生竞赛成绩的平均数； (2)竞赛划定评判标准：分数不低于分判定为成绩优秀，依据本次抽样结果，估算本校八年级全体名参赛学生里，成绩达到优秀等次的大约有多少人？ 【出错情况下的平均数问题】 13．某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 14．为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题． (1)求本次调查获取的样本数据的平均数； (2)如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？ (3)若小明统计该表中，将得8分的居民统计为14人，其余均未出错，那么平均数会 ．（填“不变”、“变大”、“变小”） 15．小颖使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据15输入为105，另一个数据65输入56，由此求得的平均数为61，求实际平均数． 【求方差】 16．有甲、乙、丙三组数据，每组数据中有6个正整数，各组中数的排列分布折线图如上图所示，乙组中6个数的平均数为_________，各组数据方差从小到大依次为_________．（填写“甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”中的一个） 17．若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差的值为（     ） A．5 B．6 C．5.5 D．10 18．小田在整理一组数据时，列式如下：，则下列结论不正确的是（     ） A．众数是5 B．方差是1.5 C． D．离差平方和是6 【根据方差判断稳定性】 19．甲、乙两地月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这天中日平均气温的方差与的大小关系是_____．（填“”或“”） 20．某校举行以“弘扬传统文化，传承优良家风”为主题的中学生知识竞赛．根据规则，均分高的同学获胜，若均分相同，则发挥较稳定的同学获胜．五轮次比赛中他们的得分如下表，下列说法正确的是（     ） 同学 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 甲 8 7 9 8 8 乙 7 9 6 9 9 A．甲同学获胜 B．乙同学获胜 C．甲乙同学并列获胜 D．无法判断 21．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在5天中，两台机床每天出次品的数量（单位：件）如下表所示，则出次品波动较小的是（     ） 甲 1 2 1 4 2 乙 2 1 3 1 3 A．甲机床 B．乙机床 C．两台机床一样 D．无法判断 【标准差】 22．用科学计算器求得271，315，263，289，300，277，286，293，297，280的平均数为____，标准差为__．（精确到 23．已知是方程组的解，求出数据1，2，5，a，b的标准差． 24．已知一组数据，其平均数为1，方差为，则另一组数据的平均数为________，标准差为________． 【离差平方和】 25．某年，，，，个城市的人均生活用电量如下表所示： 城市 人均生活用电量（） 根据四种分法分别计算组内离差平方和的数据，如下表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 根据组内离差平方和越小分组越合理的原则，最合理的分组是（     ） A．{，}和{，，} B．{，}和{，，} C．{，，}和{，} D．{，，，}和{} 26．有五名学生某次英语口语测试的成绩（单位：分）分别为：，，，，，将他们按本次测试的成绩分成一个两人组和一个三人组展开小组学习，按照组内离差平方和最小的原则，初步筛选了两种分法．分法一：和，分法二：和．已知分法二的组内离差平方和为，请计算并说明应该选用哪种分法． 27．某水果店现有5个精品水蜜桃，其质量（单位：g）从小到大分别为240，250，260，280，300，水果店打算将这5个水蜜桃按质量分为两组包装成水果礼盒，一组2个，另一组3个．按照组内离差平方和最小的原则初步筛选了两种分组方式如下表，则哪种方式更好？ 分组方式 分组情况 组内离差平方和 方式一 甲组，乙组 400 方式二 A组，B组 m 【离差平方和的应用】 28．已知甲组：，，，；乙组：，，，，，，为了刻画这两组数据的离散程度，则最合适的统计量是（    ） A．方差 B．方差或离差平方和 C．离差平方和 D．离差的和 29．利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组．已知一组不全相等的数据共5个数，对这组数据进行分组，设两组的离差平方和分别为和，且满足，请你写出一组符合题意的数据____________． 30．某商店7款产品的月销售量分别为：8，10，14，36，40，42，46．为制定营销策略，该商店将产品分成2组（畅销组和滞销组），使同一类别产品的销售量波动最小． 分组方式 组1（滞销款） 组2（畅销款） 方式1 8，10 14，36，40，42，46 795.2 方式2 8，10，14 36，40，42，46 62.75 方式3 8，10，14，36，40 42，46 941.6 上述分组方式中，较为合理的是方式________________． 【求中位数】 31．对5名女生“一分钟仰卧起坐”个数（每名女生的个数均不相同）进行登记时，误将最高成绩45个写成了48个，则下列统计量中不受影响的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 32．某年级组织数学单元检测，随机抽取60名学生的成绩进行统计分析，如图所示．关于这60名学生的成绩，下列说法正确的是（     ） A．中位数是12 B．中位数是75 C．众数是21 D．众数是85 33．为增强学生垃圾分类意识，某校从七、八年级各随机抽取了名学生进行相关测试，将测试成绩分（为整数）分为五个等级：A：，B：，C：，D：，E：，并绘制成如图的统计图． (1)八年级被抽取学生测试成绩中位数为，则一定落在_____等级中，C等级的共有_____名学生； (2)比较两个年级成绩在分以下（不含分）的百分比的大小，并根据比较结果给出一条合理的建议； (3)请说明七年级被抽取学生的测试成绩中会有众数吗？ 【求四分位数】 34．一组数据是：33，36，38，40，41，42，42，50，75，下列各数中，不是这组数据的四分位数的是（     ） A．37 B．38 C．41 D．46 35．某班40名同学每分钟跳绳个数的箱线图如图所示，这40个数据的下四分位数是（     ） A．125 B．138 C．151 D．163 36．小明统计了西安和济南近两年7～8月每天的最高温度，将统计结果绘制成箱线图如图所示，则关于此时段内两地的最高温度情况，下列说法正确的是（    ） A．济南每天的最高温度的下四分位数为 B．济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数 C．西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度 D．西安有超过一半的天数最高温度不低于 【画箱线图】 37．拟派一名射击运动员参加一项比赛，对甲、乙两名射击运动员进行了次选拔比赛，他们成绩的箱线图如图所示．经预测，射击成绩为环及以上就能入围决赛，在这项比赛中为了取得较好的名次，应派________运动员参加比赛． 38．甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组成绩的四分位数． (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． 39．某游泳培训中心进行毕业考试，如图是考试学员米蛙泳成绩的箱线图，则这组成绩的第三四分位数是________秒． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $