6.1 平均数与方差（暑假预科讲义）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 6.1平均数与方差 知识归纳与题型总结 考点01 算术平均数 1. 一般地，对于n个数，，，，我们把叫作这n个数的算术平均数，简称平均数，记为，即． 2. 算术平均数的意义 反映一组数据的集中趋势，是度量一组数据波动大小的基准． 3. 算术平均数的特征 （1）一组数据的平均数是唯一的，与数据的排列顺序无关； （2）平均数的大小与一组数据中的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动，且容易受极端值的影响． 4. 若，，，的平均数为，则有如下结论： （1），，，的平均数为； （2），，，的平均数为； （3），，，的平均数为． 考向01 已知平均数求未知数据的值 【例1】泉州闽超联赛赛前体能测试，对、两名本土前锋进行1分钟折返冲刺跑动距离测试（单位：米），相同场地与热身条件下，每人测试5次，数据统计如下表： 前锋 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 众数 95 90 95 85 100 95 90 90 95 95 93 (1)表格中___________，___________，___________； (2)求球员1分钟跑动距离的方差； (3)已知B球员该项数据方差为6，结合平均数、方差，判断哪位球员的冲刺发挥更稳定，说明理由． 考向02 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【例2】有40个数，小明同学第一次统计这些数的平均成绩为82分，在复查时发现漏记了其中的一个数86，那么这40个数的实际平均数为（     ） A．85.2 B．84.15 C．83.6 D．82.1 考向03 利用平均数做决策 【例3】从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加朗诵比赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是92.6分，方差分别是，，，，你认为派谁去参赛更合适（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【对点1】一组数据3，2，3，4，x的平均数是4，则是___________． 【对点2】已知一组数据，，，，的平均数是，方差为，那么另一组数据，，，，的平均数是__________，方差是__________． 【对点3】某校篮球队对名队员进行定点投篮测试，每人投篮次，统计如下表：若教练希望选出“命中数高且发挥稳定”的队员，应选择________． 队员 甲 乙 丙 丁 平均命中数 15 16 16 14 方差 考点02 加权平均数 1. 实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同．因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”．“权”是一组数据中各数据所占的比重，反映了某个数据的重要程度． 2. 若n个数中，出现次，出现次，，出现次（其中），则由平均数的定义可得其平均数为，该平均数称为该组数据的加权平均数．其中的权为，的权为，，的权为． 3. 算术平均数与加权平均数的区别与联系 用法的区别 ①在实际问题中，当各数据的权相等时，计算平均数要采用算术平均数；②在实际问题中，当各数据的权不相等时，计算平均数就要采用加权平均数 影响因素的区别 ①算术平均数易受极端值的影响；②加权平均数受总体中各数据所占权重的大小和各数据出现的次数（频数）的影响 联系 算术平均数是各数据的权相等时的加权平均数，即算术平均数是加权平均数的特殊情况，但加权平均数不一定是算术平均数 考向01 求加权平均数 【例1】李昊参加校园美术比赛，素描得90分，色彩得96分，综合知识得95分，学校将素描、色彩、综合知识按的比例计算总评成绩，那么李昊的总评成绩是______________． 考向02 利用加权平均数求未知数据的值 【例2】一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 考向03 运用加权平均数做决策 【例3】某公司招聘职员，对甲、乙两名应聘者进行了笔试和面试，笔试成绩分别为85分、90分，面试成绩分别为92分、88分．若按笔试成绩占、面试成绩占计算综合成绩，则（     ） A．甲的综合成绩更高 B．乙的综合成绩更高 C．甲、乙综合成绩相同 D．无法确定 【对点1】某同学参加英语演讲比赛，其内容选择、表达能力、综合表现三项得分分别为8分、9分、7分（满分均为10分）．若将三项得分依次按的比例计算平均成绩，则该同学的平均成绩为________分． 【对点2】某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如上表：由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A______B．（填“”“”或“”） 员工 听 说 读 写 最终成绩 甲 A 70 80 90 82 乙 B 90 80 70 82 【对点3】学校广播站要新招1名广播员，小敏、小花两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表： 项目应试者 口语表达 写作能力 小敏 80 90 小花 90 80 学校规定口语表达按，写作能力按计入总成绩，根据总成绩择优录取．你认为_________将被录取． 考点03 众数 1. 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数． 2. 众数是描述一组数据集中趋势的量，一组数据可以不止一个众数，也可以没有众数，但如果一组数据存在众数，那么众数必然是这组数据中的数． （1）若一组数据中有两个或两个以上数据出现的次数并列最多，那么这两个或两个以上的数据都为众数； （2）若一组数据中所有数据出现的次数都相同，我们就说这组数据没有众数． 考向01 求众数 【例1】数据3，4，5，1，3，6，3，3的众数是_____． 考向02 利用众数求未知数据的值 【例2】已知一组样本数据，，，，，的众数为8，则数的值为________． 考向03 运用众数做决策 【例3】一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对学生的鞋号进行了抽样调查．经销商最感兴趣的是这组数据中的（     ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 【对点1】一组数据，，，的众数是（   ） A． B． C． D． 【对点2】若一组数据“4，4，4，3，5，5，x，6”有唯一的众数，则x的值不可能为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【对点3】某商场销售四种品牌的运动鞋，为了解哪种品牌销量最高，经理最应关注的统计量是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 考点04 方差与标准差 1. 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数．用表示，即．其中是数据，，，的平均数． 2. 标准差：方差的算术平方根．用字母s表示，即． 3. 方差和标准差的计算 （1）计算这组数据的平均数； （2）计算各数据与平均数之差的平方，得到一组新数据； （3）求这组数据的平均数，这个平均数就是原数据的方差； （4）方差的算术平方根就是这组数据的标准差． 4. 方差和标准差的意义 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，一般来说，一组数据的方差、标准差越小，说明这组数据波动越小，这组数据就越稳定． 5. 适当变形后新数据的平均数和方差 样本数据 平均数 方差 ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 6.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”，多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和． 考向01 求方差 【例1】某地区今年4月1日至4月6日连续六天的最高气温分别为，，，，，，则这六天最高气温数据的方差为_______． 考向02 利用方差求未知数据的值 【例2】已知一组样本数据的平均数为，利用方差公式计算：，由公式提供的信息，可知样本容量是（     ） A． B． C． D．无法确定 考向03 根据方差判断稳定性 【例3】随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为： ， ， ， ，则小麦长势比较整齐的试验田是___________________ ． 考向04 运用方差做决策 【例4】某射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选拔一人参加市运会，他们10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差如下表所示．根据表中的数据，要选择一名成绩好且发挥稳定的队员参赛，应选择（     ） 队员 甲 乙 丙 丁 平均数 9.2 9.2 9.3 9.3 方差 0.035 0.015 0.035 0.015 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 考向05 标准差 【例5】某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示： 每天出次品的个数 0 2 3 4 天数 3 2 4 1 那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是_____． 考向06 求离差平方和 【例6】一组数据：8，6，7，7，7的平均数是7，这组数据的离差平方和是____________． 考向07 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【例7】某校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生各自平均每天的课外阅读时间，并绘制成条形图（如图），据此可以估计出该校所有学生平均每人每天的课外阅读时间为（     ）小时 A．2 B．1 C．3 D．4 【对点1】若一组数据的方差是3，则数据的方差是（    ） A．3 B．5 C．6 D．11 【对点2】为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出5株小麦苗，测得苗高如下表，若甲块田地小麦苗高的方差大于乙块田地小麦苗高的方差，则表中的值可能是（    ） 甲 10 11 12 13 乙 8 9 10 11 12 A．12 B．13 C．14 D．15 【对点3】甲、乙、丙、丁四位射击运动员各射击10次，平均成绩均为8环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【对点4】从甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛，在相同的测试条件下，对两人进行了五次模拟，并对成绩（单位：分）进行了整理，计算出，．绘制成如下尚不完整的统计图表． 甲、乙两人模拟成绩统计表 ① ② ③ ④ ⑤ 甲成绩/分 79 86 82 a 83 乙成绩/分 88 79 90 81 72 根据以上信息，解答下列问题： (1)________； (2)请完成图中表示甲成绩变化情况的折线； (3)已知．计算甲的成绩的方差，综合分析，你认为选拔谁参加比赛更合适，说明理由． 【对点5】如图，下列结论中，不正确的是（    ） A．a组数据的标准差较大 B．a组数据的方差较大 C．b组数据比较稳定 D．b组数据的标准差较大 【对点6】若一组数据，，与平均数的差分别为，，，则这组数据的离差平方和是_____． 【对点7】有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取个数据，统计如下： 数据 个数 平均数 78.1 85 91.9 请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为______． 一、选择题 1．一个数据分组方案，如果其组内离差平方和很大，说明（     ） A．分组非常成功 B．组间差异很明显 C．同一组内的数据差异很大 D．分组数目太多了 2．某校为了解九年级学生对国防知识的掌握情况，组织了一次“心系国防”知识竞赛．赛后，从某个班中随机抽取了12名学生的成绩（单位：分），数据如下：88，85，85，90，88，88，92，85，88，87，95，85．若去掉这组数据中小蓝的分数后，这组数据中的众数会发生改变，则小蓝的分数可能是（     ） A．97分 B．90分 C．88分 D．87分 3．已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 4．现有一组数据2，8，5，12，若将其分为两组，根据组内离差平方和最小的原则，正确的分组方式是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击次，成绩（单位：环）统计如表，如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（     ）． 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．若一组数据的平均数为10，方差为4，那么数据的平均数和方差分别是（     ） A． B． C． D． 7．一组包含5个从小到大排列的数据，将这组数据分成两组，四种分法的组内离差平方和如下表所示，其中分法三划分出的两组数据的离差平方和分别为26和12.5，根据组内离差平方和最小的原则，应该选用的分法是（     ） 分组方法 分法一 分法二 分法三 分法四 组内离差平方和 86.75 62.5 x 74 A．分法一 B．分法二 C．分法三 D．分法四 8．一家外贸公司打算招聘一名英文笔译员，设置了听、说、读、写共四项英语水平测试及相应的权重比，每项测试的原始分均为100分，如果你是这家公司的人力资源主管，你认为最适合作为选人依据的权重比是（     ） A． B． C． D． 9．下列哪种情况适合离差平方和最小的原理（   ） A．比较两种药物的疗效 B．将学生按成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气变化 10．编号为到的个小球分放在两个盒子和中，号小球在盒子中，把这个小球从盒子中移至盒子中，这时盒子中小球号码数的平均数增加了，中小球号码数的平均数也增加了，则原来在盒子中的小球个数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．八（1）班若干名学生1分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则这若干名学生平均1分钟跳绳的次数是________． 12．已知某体能训练小组成员每周锻炼身体的时长（单位：）分别为3，5，8，10，老师按照锻炼身体的时长将该训练小组的成员分成和两组，则这样分组的组内离差平方和为________． 13．小亮根据组内离差平方和最小原则，将一组数据分成了和两组，则这两组数据的组内离差平方和为_____________． 14．2022年温州市初中毕业升学考试各学科及满分值情况如下表： 科目 语文 数学 英语 科学 社会 体育 满分值 150 150 120 180 80 40 若以去年三校录取分600分为参考，以此算出平均得分率，则数学这门学科能上三校的平均得分至少是______分． 15．将一组数据8，10，10，12，19，21按第4个间隔分为两组时，组内离差平方和为__________． 三、解答题 16．某校举办了创意编程挑战赛，只有甲、乙两位同学进入最终决赛．决赛对创意设计、代码实现、答辩展示三项进行评分（每项满分均为10分），甲、乙两位同学的各项得分如下： 同学 创意设计/分 代码实现/分 答辩展示/分 甲 8 8 9 乙 8 9 8 如果将创意设计、代码实现、答辩展示三项成绩按照的比例计算个人最终决赛成绩，请通过计算说明哪位同学会获得第一名． 17．小明同学对“跳绳”和“立定跳远”各进行5次测试，成绩分别如图所示． (1)分别求出“跳绳”和“立定跳远”的测试成绩的平均得分及“立定跳远”的方差． (2)根据最新体育项目选择方案，小明必须从这两项中选择一项进行报名，试从适当的角度进行分析，你认为小明选择什么项目更加合理？ 18．某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成绩占，平时成绩占． (1)李华测试成绩为90分，平时成绩为80分，他的综合评价得分是多少？ (2)孔明的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？ 19．已知一组数据，，，的平均数是6，求另一组数据，，，的平均数． 20．甲、乙两个生物兴趣小组在探究“光照对绿豆种子发芽影响”的活动中，分别安排相同组数的实验，每组放置10粒种子，在相同的条件下，经过一段时间后，记录每组种子发芽的粒数，并把结果制成尚不完整的扇形统计图（图1）和完整的条形统计图（图2）． (1)求甲兴趣小组种子发芽为“8粒”的有几组； (2)甲兴趣小组种子发芽粒数的平均数，方差，求乙兴趣小组种子发芽粒数的平均数和方差，并判断哪个小组种子发芽情况较好些； (3)甲兴趣小组发现把一组种子发芽粒数记错了，若把正确的甲兴趣小组种子发芽粒数与乙兴趣小组种子发芽粒数合并得到一组新数据，这组数据的众数有3个，求甲兴趣小组的正确样本数据． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 6.1平均数与方差 知识归纳与题型总结 考点01 算术平均数 1. 一般地，对于n个数，，，，我们把叫作这n个数的算术平均数，简称平均数，记为，即． 2. 算术平均数的意义 反映一组数据的集中趋势，是度量一组数据波动大小的基准． 3. 算术平均数的特征 （1）一组数据的平均数是唯一的，与数据的排列顺序无关； （2）平均数的大小与一组数据中的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动，且容易受极端值的影响． 4. 若，，，的平均数为，则有如下结论： （1），，，的平均数为； （2），，，的平均数为； （3），，，的平均数为． 考向01 已知平均数求未知数据的值 【例1】泉州闽超联赛赛前体能测试，对、两名本土前锋进行1分钟折返冲刺跑动距离测试（单位：米），相同场地与热身条件下，每人测试5次，数据统计如下表： 前锋 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 众数 95 90 95 85 100 95 90 90 95 95 93 (1)表格中___________，___________，___________； (2)求球员1分钟跑动距离的方差； (3)已知B球员该项数据方差为6，结合平均数、方差，判断哪位球员的冲刺发挥更稳定，说明理由． 【答案】(1)，， (2)26 (3)因为，，，， 所以，， 所以B球员的冲刺发挥更稳定． 【分析】（1）根据平均数、众数和方差的定义进行解答即可； （2）根据方差的定义进行解答即可； （3）结合平均数、方差进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ∵的平均数为93， ∴， 解得． ∴B的数据中出现次数最多的是，共出现3次，故众数； （2）解：球员1分钟跑动距离的方差； （3）略 考向02 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【例2】有40个数，小明同学第一次统计这些数的平均成绩为82分，在复查时发现漏记了其中的一个数86，那么这40个数的实际平均数为（     ） A．85.2 B．84.15 C．83.6 D．82.1 【答案】B 【分析】根据小明计算的平均数和漏记的数求出这40个数的实际总和，再除以40即可得到答案． 【详解】解：， , ∴这40个数的实际平均数为． 考向03 利用平均数做决策 【例3】从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加朗诵比赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是92.6分，方差分别是，，，，你认为派谁去参赛更合适（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】四人平均成绩相同，无需比较平均水平，仅需比较方差大小确定人选． 【详解】解：∵四人平均成绩均为92.6分，，，，． ∴． ∴乙的成绩最稳定，适合参赛． 【对点1】一组数据3，2，3，4，x的平均数是4，则是___________． 【答案】8 【分析】根据平均数的计算公式，列出关于的一元一次方程，解方程即可得到的值． 【详解】数据的平均数是，数据总个数为， ， 解得． 【对点2】已知一组数据，，，，的平均数是，方差为，那么另一组数据，，，，的平均数是__________，方差是__________． 【答案】 【分析】根据平均数和方差的变化性质进行求解． 【详解】解：设原数据的平均数为，方差为， 由题意得：，， 新数据，，，，的平均数为：， 新数据的方差为：． 【对点3】某校篮球队对名队员进行定点投篮测试，每人投篮次，统计如下表：若教练希望选出“命中数高且发挥稳定”的队员，应选择________． 队员 甲 乙 丙 丁 平均命中数 15 16 16 14 方差 【答案】丙 【分析】需要选出同时满足命中数高和发挥稳定的队员，先筛选平均命中数较高的队员，再比较对应队员的方差，方差越小发挥越稳定，据此得到结果． 【详解】解：从表格可知，四名队员的平均命中数分别为，，，，可得乙和丙的平均命中数高于甲和丁，满足命中数高的要求， 比较乙和丙的方差，乙的方差为，丙的方差为，可得，根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定， 丙满足发挥稳定的要求， 综上，“命中数高且发挥稳定”的队员应选择丙． 考点02 加权平均数 1. 实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同．因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”．“权”是一组数据中各数据所占的比重，反映了某个数据的重要程度． 2. 若n个数中，出现次，出现次，，出现次（其中），则由平均数的定义可得其平均数为，该平均数称为该组数据的加权平均数．其中的权为，的权为，，的权为． 3. 算术平均数与加权平均数的区别与联系 用法的区别 ①在实际问题中，当各数据的权相等时，计算平均数要采用算术平均数；②在实际问题中，当各数据的权不相等时，计算平均数就要采用加权平均数 影响因素的区别 ①算术平均数易受极端值的影响；②加权平均数受总体中各数据所占权重的大小和各数据出现的次数（频数）的影响 联系 算术平均数是各数据的权相等时的加权平均数，即算术平均数是加权平均数的特殊情况，但加权平均数不一定是算术平均数 考向01 求加权平均数 【例1】李昊参加校园美术比赛，素描得90分，色彩得96分，综合知识得95分，学校将素描、色彩、综合知识按的比例计算总评成绩，那么李昊的总评成绩是______________． 【答案】94分 【分析】已知三项成绩和对应权重比，利用加权平均数的计算方法即可求出总评成绩． 【详解】解： ， 因此总评成绩为94分． 考向02 利用加权平均数求未知数据的值 【例2】一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 【答案】7 【分析】先根据加权平均数计算公式求出甲组的加权平均成绩，再根据两组平均成绩相等建立关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：权重总和：． 甲组的加权平均成绩：， 乙组的加权平均成绩：， 由题意得， 即， 解得． 考向03 运用加权平均数做决策 【例3】某公司招聘职员，对甲、乙两名应聘者进行了笔试和面试，笔试成绩分别为85分、90分，面试成绩分别为92分、88分．若按笔试成绩占、面试成绩占计算综合成绩，则（     ） A．甲的综合成绩更高 B．乙的综合成绩更高 C．甲、乙综合成绩相同 D．无法确定 【答案】A 【分析】分别求出两人的综合成绩，再比较大小即可． 【详解】解：甲的综合成绩为分， 乙的综合成绩为分， ∵， ∴甲的综合成绩更高． 【对点1】某同学参加英语演讲比赛，其内容选择、表达能力、综合表现三项得分分别为8分、9分、7分（满分均为10分）．若将三项得分依次按的比例计算平均成绩，则该同学的平均成绩为________分． 【答案】 【分析】根据加权平均数的计算方法，即可求解． 【详解】解：（分）， 则该同学的平均成绩为分． 【对点2】某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如上表：由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A______B．（填“”“”或“”） 员工 听 说 读 写 最终成绩 甲 A 70 80 90 82 乙 B 90 80 70 82 【答案】 【详解】解：由题意得：，， 解得，， 则． 【对点3】学校广播站要新招1名广播员，小敏、小花两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表： 项目应试者 口语表达 写作能力 小敏 80 90 小花 90 80 学校规定口语表达按，写作能力按计入总成绩，根据总成绩择优录取．你认为_________将被录取． 【答案】小花 【分析】根据加权平均数的定义分别计算两名同学的总成绩，比较总成绩大小后择优录取． 【详解】解：小敏的总成绩为， 小花的总成绩为， ， 小花将被录取． 考点03 众数 1. 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数． 2. 众数是描述一组数据集中趋势的量，一组数据可以不止一个众数，也可以没有众数，但如果一组数据存在众数，那么众数必然是这组数据中的数． （1）若一组数据中有两个或两个以上数据出现的次数并列最多，那么这两个或两个以上的数据都为众数； （2）若一组数据中所有数据出现的次数都相同，我们就说这组数据没有众数． 考向01 求众数 【例1】数据3，4，5，1，3，6，3，3的众数是_____． 【答案】3 【详解】解：数据3，4，5，1，3，6，3，3的众数是3， 故答案为：3． 考向02 利用众数求未知数据的值 【例2】已知一组样本数据，，，，，的众数为8，则数的值为________． 【答案】 【分析】根据众数的定义，确定众数为后，结合数据中各数的出现次数，即可求出的值． 【详解】众数是一组数据中出现次数最多的数， 在原数据，，，，，中，出现次，出现次，出现次， 因为该组数据的众数为， 所以出现的次数需大于其他数出现的次数， 因此． 考向03 运用众数做决策 【例3】一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对学生的鞋号进行了抽样调查．经销商最感兴趣的是这组数据中的（     ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【详解】解：经销商需知晓销量最高的鞋号以安排进货，对应这组数据中出现次数最多的数，即众数， ∴经销商最感兴趣的是这组数据中的众数． 【对点1】一组数据，，，的众数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在数据，，，中，出现次，其余数据各出现次， ∵出现的次数最多， ∴这组数据的众数是． 【对点2】若一组数据“4，4，4，3，5，5，x，6”有唯一的众数，则x的值不可能为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，根据定义分析x取不同值时众数的个数即可求解． 【详解】解：原数据各数的出现次数：4出现3次，3出现1次，5出现2次，6出现1次， 对于A选项：若，则3出现2次，4仍是出现次数最多的数，有唯一众数，不符合题意； 对于B选项：若，4出现4次，4仍为唯一众数，不符合题意； 对于C选项：若，5也出现3次，此时4和5都是众数，不满足“唯一众数”的要求，符合题意； 对于D选项：若，6出现2次，4仍为唯一众数，不符合题意． 【对点3】某商场销售四种品牌的运动鞋，为了解哪种品牌销量最高，经理最应关注的统计量是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查不同统计量的实际意义，根据题意经理需要找出销量最高的运动鞋品牌，结合各统计量的定义即可判断． 【详解】解：∵经理要了解哪种品牌的运动鞋销量最高，即需要找出销量数据中出现次数最多的品牌，众数是一组数据中出现次数最多的数据，能反映数据的多数水平，平均数反映平均水平，中位数反映中间水平，方差反映数据的波动程度， ∴经理最应关注的统计量是众数． 考点04 方差与标准差 1. 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数．用表示，即．其中是数据，，，的平均数． 2. 标准差：方差的算术平方根．用字母s表示，即． 3. 方差和标准差的计算 （1）计算这组数据的平均数； （2）计算各数据与平均数之差的平方，得到一组新数据； （3）求这组数据的平均数，这个平均数就是原数据的方差； （4）方差的算术平方根就是这组数据的标准差． 4. 方差和标准差的意义 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，一般来说，一组数据的方差、标准差越小，说明这组数据波动越小，这组数据就越稳定． 5. 适当变形后新数据的平均数和方差 样本数据 平均数 方差 ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 6.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”，多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和． 考向01 求方差 【例1】某地区今年4月1日至4月6日连续六天的最高气温分别为，，，，，，则这六天最高气温数据的方差为_______． 【答案】 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差的定义计算结果． 【详解】解：首先整理六天的最高气温数据：，，，，，，共个数据， 计算这组数据的平均数：， 根据方差的定义，方差是每个数据与平均数差的平方的平均数，代入计算得： ． 考向02 利用方差求未知数据的值 【例2】已知一组样本数据的平均数为，利用方差公式计算：，由公式提供的信息，可知样本容量是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用方差公式中分子各数据与的差的平方项的系数为对应数据的频数求解即可． 【详解】解：方差公式中，分子各数据与的差的平方项的系数为对应数据的频数， 样本容量等于所有频数之和， 又本题中各平方项的系数分别为，，3， ． 考向03 根据方差判断稳定性 【例3】随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为： ， ， ， ，则小麦长势比较整齐的试验田是___________________ ． 【答案】甲 【分析】甲乙两块试验田麦苗平均高度相同，方差越小，数据波动越小，小麦长势越整齐，比较甲乙的方差大小即可得出结论. 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∵方差越小，数据波动越小，小麦长势越整齐， ∴甲试验田小麦长势比较整齐. 考向04 运用方差做决策 【例4】某射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选拔一人参加市运会，他们10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差如下表所示．根据表中的数据，要选择一名成绩好且发挥稳定的队员参赛，应选择（     ） 队员 甲 乙 丙 丁 平均数 9.2 9.2 9.3 9.3 方差 0.035 0.015 0.035 0.015 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】根据平均数越大，方差越小，成绩越好越稳定求解即可． 【详解】解：∵丙、丁的平均数为，大于甲、乙的， ∴丙、丁成绩较好， ∵丁的方差为，小于丙的， ∴丁发挥更稳定，应选丁． 考向05 标准差 【例5】某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示： 每天出次品的个数 0 2 3 4 天数 3 2 4 1 那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是_____． 【答案】 【分析】根据所给出的数据求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出这组数据的方差，最后根据标准差的定义解答即可． 【详解】解：这组数据的平均数是：， 这组数据的方差是：， 则这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是． 考向06 求离差平方和 【例6】一组数据：8，6，7，7，7的平均数是7，这组数据的离差平方和是____________． 【答案】 【分析】离差平方和是所有数据与平均数的差的平方的和，分别计算每个差的平方再求和即可． 【详解】解：∵这组数据为，，，，，平均数为7， ∴离差平方和为． 考向07 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【例7】某校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生各自平均每天的课外阅读时间，并绘制成条形图（如图），据此可以估计出该校所有学生平均每人每天的课外阅读时间为（     ）小时 A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：（小时）， 则估计出该校所有学生平均每人每天的课外阅读时间为1小时． 【对点1】若一组数据的方差是3，则数据的方差是（    ） A．3 B．5 C．6 D．11 【答案】A 【详解】解：设原数据的平均数为． ∵原数据方差为3， ∴． 新数据的平均数为， 新数据的方差为 ． 【对点2】为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出5株小麦苗，测得苗高如下表，若甲块田地小麦苗高的方差大于乙块田地小麦苗高的方差，则表中的值可能是（    ） 甲 10 11 12 13 乙 8 9 10 11 12 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【分析】根据题意先求出乙的方差，再结合选项逐一验证甲的方差，即可得到满足条件的值． 【详解】解：∵乙的苗高为， ∴乙的平均数， ∴乙的方差． 当时，甲的平均数，得，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，不满足，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，满足条件． 【对点3】甲、乙、丙、丁四位射击运动员各射击10次，平均成绩均为8环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】平均成绩相同时，比较方差大小即可判断成绩稳定性． 【详解】解：∵四人平均成绩均为8环， 又∵， ∴成绩最稳定的是丁． 【对点4】从甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛，在相同的测试条件下，对两人进行了五次模拟，并对成绩（单位：分）进行了整理，计算出，．绘制成如下尚不完整的统计图表． 甲、乙两人模拟成绩统计表 ① ② ③ ④ ⑤ 甲成绩/分 79 86 82 a 83 乙成绩/分 88 79 90 81 72 根据以上信息，解答下列问题： (1)________； (2)请完成图中表示甲成绩变化情况的折线； (3)已知．计算甲的成绩的方差，综合分析，你认为选拔谁参加比赛更合适，说明理由． 【答案】(1)80 (2)表示甲成绩变化情况的折线如图所示： (3)，选拔甲参加比赛更合适， 理由：∵，，，．， ∴，， ∴甲的成绩比较稳定，故选拔甲参加比赛更合适． 【分析】（1）用总分减去已知分数可得a； （2）根据表格数据画折线统计图即可； （3）根据方差公式求解甲的方差，再从平均数和方差进行分析即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）略 （3）解：． 【对点5】如图，下列结论中，不正确的是（    ） A．a组数据的标准差较大 B．a组数据的方差较大 C．b组数据比较稳定 D．b组数据的标准差较大 【答案】D 【分析】观察折线统计图，比较两组数据的波动程度．波动越大，方差和标准差越大，稳定性越差；波动越小，方差和标准差越小，稳定性越好． 【详解】解：由图象可知，组数据的波动幅度明显大于组数据的波动幅度， 方差和标准差是衡量数据波动大小的量，波动越大，方差和标准差越大， 组数据的方差和标准差较大，组数据的方差和标准差较小， 数据波动越小越稳定， 组数据比较稳定， 结论A、B、C正确，D错误． 【对点6】若一组数据，，与平均数的差分别为，，，则这组数据的离差平方和是_____． 【答案】6 【分析】已知每个数据与平均数的差，根据离差平方和的定义直接计算即可． 【详解】解：设这组数据的平均数为，由题意可得，，． 离差平方和是所有数据离差的平方之和， 这组数据的离差平方和为：． 【对点7】有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取个数据，统计如下： 数据 个数 平均数 78.1 85 91.9 请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为______． 【答案】 【分析】本题利用样本平均数估计总体平均数，先计算抽取的样本数据的加权平均数，即可得到总体平均数的估计值． 【详解】解：抽取的个数据的平均数为： 用样本平均数估计总体平均数，可知这4万个数据的平均数约为． 一、选择题 1．一个数据分组方案，如果其组内离差平方和很大，说明（     ） A．分组非常成功 B．组间差异很明显 C．同一组内的数据差异很大 D．分组数目太多了 【答案】C 【分析】组内离差平方和是同一组内各数据与该组平均数的差的平方和，反映同一组内数据的离散程度． 【详解】解：组内离差平方和越大，说明同一组内的数据差异越大． 2．某校为了解九年级学生对国防知识的掌握情况，组织了一次“心系国防”知识竞赛．赛后，从某个班中随机抽取了12名学生的成绩（单位：分），数据如下：88，85，85，90，88，88，92，85，88，87，95，85．若去掉这组数据中小蓝的分数后，这组数据中的众数会发生改变，则小蓝的分数可能是（     ） A．97分 B．90分 C．88分 D．87分 【答案】C 【分析】先统计原数据各分数的出现次数，确定原众数，再判断去掉各选项分数后众数是否改变． 【详解】解：原个数据中各分数的出现次数为：分出现次，分出现次，分出现次，分出现次，分出现次，分出现次， ∴原数据的众数为分和分， ∵分不在原数据中， ∴小蓝的分数不可能是分，故A选项不符合题意； ∵去掉分或分后，分和分的出现次数仍均为次，众数不变，故B、D选项不符合题意， ∵去掉个分后，分出现次，分仍出现次，众数变为分，发生改变，故C选项符合题意． 3．已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 【答案】C 【详解】解：设原数据的平均数为，方差为，新数据的平均数为，方差为， 由题意得，． 新数据的平均数为 ， ∵， ∴， 同理，……，， ∴新数据的方差为 ． 4．现有一组数据2，8，5，12，若将其分为两组，根据组内离差平方和最小的原则，正确的分组方式是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据组内离差平方和的定义，计算各选项两组的离差平方和之和，总和最小的分组即为正确选项. 【详解】解：A.的平均数为，离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为； B.的平均数为，离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为； C.的平均数为，离差平方和为；的离差平方和为，总离差平方和为； D.的离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小. 5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击次，成绩（单位：环）统计如表，如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（     ）． 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】成绩较好对应平均数较大，状态稳定对应方差较小，结合两个指标筛选即可． 【详解】解：∵甲、丁的平均数为，乙、丙的平均数为，， ∴甲、丁的成绩较好， ∵甲的方差为，丁的方差为，， ∴甲的状态更稳定，应选甲． 6．若一组数据的平均数为10，方差为4，那么数据的平均数和方差分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当数据中每个数变为原数的倍再加时，新平均数为乘原平均数加，新方差为乘原方差，利用规律直接计算即可. 【详解】解：∵原数据的平均数为，方差为， ∴新数据的平均数为； 新数据的方差为. 7．一组包含5个从小到大排列的数据，将这组数据分成两组，四种分法的组内离差平方和如下表所示，其中分法三划分出的两组数据的离差平方和分别为26和12.5，根据组内离差平方和最小的原则，应该选用的分法是（     ） 分组方法 分法一 分法二 分法三 分法四 组内离差平方和 86.75 62.5 x 74 A．分法一 B．分法二 C．分法三 D．分法四 【答案】C 【分析】先计算分法三的组内离差平方和，再比较四种分法的组内离差平方和大小，选取最小的对应分法． 【详解】解：分法三的组内离差平方和为， ∵ ， ∴ 分法三的组内离差平方和最小． 8．一家外贸公司打算招聘一名英文笔译员，设置了听、说、读、写共四项英语水平测试及相应的权重比，每项测试的原始分均为100分，如果你是这家公司的人力资源主管，你认为最适合作为选人依据的权重比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从英文笔译员的岗位能力需求入手，确定读写测试的权重应更高，说的权重应最低，以此筛选选项． 【详解】解：英文笔译员的核心工作为书面翻译，读写能力的重要性高于听说，且说的权重应最低 选项A权重为，写的权重最高，读次之，说的权重最低，符合题意； 选项B权重为，未体现岗位侧重，不符合题意； 选项C权重为，听的权重与读写相同，未突出读写的核心地位，不符合题意； 选项D权重为，说的权重最高，不符合题意． 9．下列哪种情况适合离差平方和最小的原理（   ） A．比较两种药物的疗效 B．将学生按成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气变化 【答案】D 【分析】离差平方和最小是最小二乘法的核心原理，用于拟合数据模型，进而对未知情况进行预测． 【详解】解：A．比较两种药物疗效，属于效果对比，不适用该原理； B．将学生按成绩分组，属于分类分组问题，不适用该原理； C．分析股票价格波动，仅需通过离差平方和衡量波动程度，不需要使用离差平方和最小化的原理； D．预测天气变化，需要根据已有气象数据拟合变化规律，需要通过离差平方和最小得到最优拟合模型，再完成预测，故符合要求． 10．编号为到的个小球分放在两个盒子和中，号小球在盒子中，把这个小球从盒子中移至盒子中，这时盒子中小球号码数的平均数增加了，中小球号码数的平均数也增加了，则原来在盒子中的小球个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设原来盒子中有个小球，小球号码的平均数为，则盒子中有个小球，小球号码的平均数为，根据小球上号码的数值，盒子、中平均数的变化列方程组求解． 【详解】解：设原来盒子中有个小球，小球数码的平均数为，则盒子中有个小球，小球数码的平均数为， 根据题意可得：， 由②得：， 由③得：， ， 整理得：， 解得：． 二、填空题 11．八（1）班若干名学生1分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则这若干名学生平均1分钟跳绳的次数是________． 【答案】 【分析】从频数分布直方图中读出各组的频数，取各组的组中值作为该组数据的代表值，利用加权平均数公式进行计算． 【详解】解：由图可知，各组的组中值分别为：，，，， 对应的频数分别为，，，， ∴这若干名学生平均分钟跳绳的次数是：． 12．已知某体能训练小组成员每周锻炼身体的时长（单位：）分别为3，5，8，10，老师按照锻炼身体的时长将该训练小组的成员分成和两组，则这样分组的组内离差平方和为________． 【答案】4 【分析】先分别求出两组的平均数，再计算两组的离差平方和，然后把两组的离差平方和相加． 【详解】解：的组内平均数为，组内离差平方和为； 的组内平均数为，组内离差平方和为； 所以这种分组情况的组内离差平方和为． 13．小亮根据组内离差平方和最小原则，将一组数据分成了和两组，则这两组数据的组内离差平方和为_____________． 【答案】2 【分析】计算每组数据的均值，再求每组数据与均值的离差平方和，最后将两组的离差平方和相加即可． 【详解】解：第一组数据的均值为， 离差平方和为； 第二组数据的均值为， 离差平方和为； ∴这两组数据的组内离差平方和为． 14．2022年温州市初中毕业升学考试各学科及满分值情况如下表： 科目 语文 数学 英语 科学 社会 体育 满分值 150 150 120 180 80 40 若以去年三校录取分600分为参考，以此算出平均得分率，则数学这门学科能上三校的平均得分至少是______分． 【答案】 【分析】先计算所有科目的总满分，再根据参考录取总分算出平均得分率，最后用数学满分乘平均得分率得到结果； 【详解】解：先计算所有科目的总满分：， 平均得分率为参考录取总分除以总满分：， 数学满分是， 因此数学能上三校的平均得分至少为：． 15．将一组数据8，10，10，12，19，21按第4个间隔分为两组时，组内离差平方和为__________． 【答案】10 【分析】原数据已排序，6个数据共5个间隔，第4个间隔位于第4个和第5个数据之间，据此分成两组，分别计算两组的离差平方和再求和即可． 【详解】解：原数据已从小到大排序，共6个数据，相邻数据间有个间隔，第4个间隔在第4个数据和第5个数据之间，因此分组为： 第一组：，第二组： 计算第一组的平均值： ， 第一组的离差平方和为： ， 计算第二组的平均值： ， 第二组的离差平方和为： ， 总的组内离差平方和为． 三、解答题 16．某校举办了创意编程挑战赛，只有甲、乙两位同学进入最终决赛．决赛对创意设计、代码实现、答辩展示三项进行评分（每项满分均为10分），甲、乙两位同学的各项得分如下： 同学 创意设计/分 代码实现/分 答辩展示/分 甲 8 8 9 乙 8 9 8 如果将创意设计、代码实现、答辩展示三项成绩按照的比例计算个人最终决赛成绩，请通过计算说明哪位同学会获得第一名． 【答案】解：甲同学的最终决赛成绩为（分）， 乙同学的最终决赛成绩为（分）． ， 甲同学会获得第一名． 【分析】用对应项目的得分乘以其对应权重得到各项目加权得分，求和后再除以权重总和得到两人的综合成绩，比较综合成绩即可得到结论． 【详解】略 17．小明同学对“跳绳”和“立定跳远”各进行5次测试，成绩分别如图所示． (1)分别求出“跳绳”和“立定跳远”的测试成绩的平均得分及“立定跳远”的方差． (2)根据最新体育项目选择方案，小明必须从这两项中选择一项进行报名，试从适当的角度进行分析，你认为小明选择什么项目更加合理？ 【答案】(1)“跳绳”和“立定跳远”的测试成绩的平均得分都为8分；“立定跳远”的测试成绩的方差为0.4平方分 (2)两个项目平均分一样，但跳绳的成绩呈上升趋势，选择跳绳更加合理 【分析】（1）由平均数公式及方差公式分别计算即可； （2）根据平均数再结合跳绳的成绩呈上升趋势，选择跳绳． 【详解】（1）解：（分）， （分）， （平方分）． （2）解：两个项目平均分一样，但跳绳的成绩呈上升趋势，所以选择跳绳更好． 18．某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成绩占，平时成绩占． (1)李华测试成绩为90分，平时成绩为80分，他的综合评价得分是多少？ (2)孔明的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？ 【答案】(1)他的综合评价得分是88分 (2)孔明同学测试成绩是90分，平时成绩是95分 【分析】（1）利用加权平均数的公式计算即可； （2）设孔明同学测试成绩是分，平时成绩是分，根据题意建立方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：（分）， 答：他的综合评价得分是88分． （2）解：设孔明同学测试成绩是分，平时成绩是分， 由题意得：， 解得， 答：孔明同学测试成绩是90分，平时成绩是95分． 19．已知一组数据，，，的平均数是6，求另一组数据，，，的平均数． 【答案】 【分析】根据平均数的定义求出，再利用平均数的定义列式求解即可． 【详解】解：∵一组数据，，，的平均数是6， ∴， ∴， ∴ 即另一组数据，，，的平均数为． 20．甲、乙两个生物兴趣小组在探究“光照对绿豆种子发芽影响”的活动中，分别安排相同组数的实验，每组放置10粒种子，在相同的条件下，经过一段时间后，记录每组种子发芽的粒数，并把结果制成尚不完整的扇形统计图（图1）和完整的条形统计图（图2）． (1)求甲兴趣小组种子发芽为“8粒”的有几组； (2)甲兴趣小组种子发芽粒数的平均数，方差，求乙兴趣小组种子发芽粒数的平均数和方差，并判断哪个小组种子发芽情况较好些； (3)甲兴趣小组发现把一组种子发芽粒数记错了，若把正确的甲兴趣小组种子发芽粒数与乙兴趣小组种子发芽粒数合并得到一组新数据，这组数据的众数有3个，求甲兴趣小组的正确样本数据． 【答案】(1)2组 (2)，；甲组种子发芽情况较好些 (3) 【分析】（1）根据图2可得组数为，进而结合扇形统计，即可求解； （2）根据平均数与方差的定义，进行计算即可求解； （3）根据众数的定义分析，即可求解． 【详解】（1）解：∵甲、乙安排相同组数的实验，根据图2可得组数为 ∴甲兴趣小组种子发芽为“8粒”的有组 （2）解： ∵甲组的平均数大于乙组的平均数，且甲组的方差小于乙组的方差， ∴甲组种子发芽情况较好些 （3）解：甲组原数据为：，乙组的原数据为： 合并到一起为， ∵这组数据的众数有3个，且乙数据不变，则众数为，， ∴甲兴趣小组的正确样本数据为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $