第20讲 数据的分析（6类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新八年级数学新教材北师大版

第20讲 数据的分析 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 与算术平均数有关的计算 题型2 与加权平均数有关的计算 题型3 与方差有关的计算 题型4 与中位数、众数有关的计算 题型5 平均数、中位数、众数的综合问题 题型6 求四分位数与箱线图 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 平均数、中位数、众数、方差、四分位数、箱线图、集中趋势、离散程度、异常值。 1. 掌握算术平均数、加权平均数、中位数、众数的概念与求法，理解三者描述数据集中趋势的差别与适用场景。 2. 理解方差的意义，掌握方差的计算方法，能用方差描述数据的离散程度（波动大小）。 3. 理解四分位数（下四分位数、上四分位数）的概念与计算方法，理解箱线图的构成（五数概括：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值），能正确绘制并解读箱线图，初步识别异常值。 4. 能根据实际问题背景，综合运用上述统计量分析数据分布特征，做出合理决策，体会用样本估计总体的统计思想。 学习重点：各统计量的概念与计算（平均数、中位数、众数、方差、四分位数），箱线图的绘制与解读，以及根据问题背景选择合适的统计量进行数据分析。 学习难点：理解方差衡量波动性的意义（而非数值本身）；四分位数在数据个数为奇数/偶数时的计算处理；通过箱线图判断数据分布特征（如偏态、异常值），以及综合运用多个统计量从不同维度分析数据。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 算术平均数 1）算术平均数：一般地，有n个数x1，x2，…，xn，那么=.简称平均数. 算术平均数反映了这一组数据的集中趋势，表示了这组数据的平均水平. 注：当任一数据变化时，都会影响算术平均数. 2）结论：若=；=. 则：①x1±y1，x2±y2，…，xn±yn的平均数为±；②x1，y1，x2，y2…，xn，yn的平均数为（+）. ③ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b. ∵ax1，ax2，…，axn的平均数为a； ∴x1+b，x2+b，…，xn+b的平均数为+b. 【易错提醒】 算术平均数易错警示：公式=。注意：计算时数据个数不能遗漏，单位要统一。分组数据用组中值计算时，需乘以对应频数再除以总数。勿与加权平均数混淆。 即时即练1．某校组织了以“我爱我的国”为主题的演讲比赛，下表是小智同学的得分情况，则他的得分的平均数是（    ） 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 9.8 9.7 9.6 9.5 9.4 A．9.7 B．9.6 C．9.5 D．9.65 【答案】B 【分析】根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数计算即可． 【详解】解：小智同学的平均分为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了算术平均数，算术平均数：对于n个数，，…，，则，就叫做这n个数的算术平均数． 2．据物业公司统计，某小区一月份1日至5日每天用水量情况如图所示．那么这5天的平均用水量是（    ）    A．5吨 B．4吨 C．3.5吨 D．3吨 【答案】B 【分析】由折线统计图可以看出：1日的用水量为3吨，2日的用水量为4吨，3日的用水量为6吨，4日的用水量为2吨，5日的用水量为5吨，进而即可求出这5天的平均用水量． 【详解】解：这5天的平均用水量是（吨）． 故选：B． 3．已知一组数据，，，的平均数是3，则数据，，，的平均数是 ． 【答案】3 【分析】利用平均数的定义直接计算即可得到答案． 【详解】解：，，，的平均数是3， ，，，的和是12， ， ，，，的平均数是， 故答案为：3． 知识点02 加权平均数 加权平均数：一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是ω1，ω2，…，ωn，则叫做这n个数的加权平均数．前面求算术平均数，是将每个数据认为同等重要，即每个数据的权重都是1. 注意：计算平均数时注意分辨是算术平均数还是加权平均数，两者计算方法有差异，不能混淆. 【易错提醒】 加权平均数易错警示：公式=，其中wi是权重（权）。注意：权可以是次数、比例或百分比，权相加不一定为1，计算时勿忘除以权的总和。勿与算术平均数混淆。 即时即练1.某公司需招聘一名员工，对应聘者、、从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核．、、各项得分如表： 笔试 面试 体能 (1)根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序； (2)该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于分、分、分，并按，，的比例计入总分，总分最高者将被录用．根据规定，请你说明谁将被录用． 【答案】(1)、、 (2) 【分析】（1）利用平均数的公式即可直接求解，即可判断； （2）利用加权平均数公式求解，即可判断． 【详解】（1）解： 、、三人的平均分分别是， ，，， 所以三人的平均分从高到低是：、、； （2）因为的面试分不合格，所以甲首先被淘汰． 的加权平均分是：； 的加权平均分是：； 因为丙的加权平均分最高，因此，将被录用． 【点睛】此题考查的是加权平均数的求法，理解平均数公式是关键． 2．某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示： 候选人 通识知识 专业知识 实践能力 甲 乙 (1)如果学校认为这三项素质测试成绩同等重要，从他们的成绩看，______将被录取；填“甲”或“乙” (2)如果学校根据实际需要，将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按的比例确定最终成绩，请计算甲、乙两人各自的最终成绩，确定谁将被录取． 【答案】(1)乙 (2)甲将被录用，理由见解析 【分析】（1）根据平均数的计算公式分别求出甲、乙的成绩，再进行比较，即可得出答案； （2）将两人的总成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果． 【详解】（1）解：甲的平均成绩为：（分）， 乙的平均成绩为：（分）， ∴乙的平均成绩最好，乙将被录用， 故答案为：乙； （2）甲的测试成绩为：（分）， 乙的测试成绩为：（分）， ∴甲的综合成绩最好，甲将被录用． 知识点03 众数 众数：一组数据中出现次数最多的数据. 注：①众数不一定唯一；②众数反应了一组数据中的趋势量，即数据出现频次最高的量.、 【易错提醒】 众数易错警示：一组数据中出现次数**最多**的数据（可能不止一个或多个）。注意：不能把“次数”当作众数，如数据1,2,2,3中众数是2（数值），不是2次。当所有数出现次数相同时，没有众数，勿误认为所有数都是。 即时即练1．数据的众数为 ． 【答案】5 【知识点】求众数 【分析】本题主要考查众数的定义，在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此可得答案． 【详解】解：5的次数出现3次，次数最多，据此可判断众数为5， 故答案为：5． 2．初三（1）班统一购买夏季校服，统计出各种尺码的校服的数量如表所示： 校服的尺码（单位：厘米） 160 165 170 175 180 185 195 数量（单位：件） 2 4 10 22 14 6 1 由表可以看出，在校服的尺码组成的一组数据中，众数是 ． 【答案】175 【知识点】求众数 【分析】本题考查了众数的定义，熟记“众数是一组数据中出现次数最多的数据”是解题关键． 【详解】解：由表格可知，尺码175数量为22件，出现的次数最多， 即众数是175， 故答案为：175． 知识点04 极差、方差、标准差 1）极差：一组数据中最大值与最小值的差 极差反映了一组数据中极端值的变化.当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大. 2）方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.通常用“”表示，即 结论：若数据a1，a2，……an的方差是s2，则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s2，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s2. 方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定. 3）标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 4）极差、方差、标准差反映了数据的波动情况，一般用方差或标准差表示数据的稳定性. 【易错提醒】 极差、方差、标准差易错警示：极差=最大-最小；方差，标准差是方差算术平方根。注意：方差单位是原数据单位的平方，标准差单位一致。计算时勿漏平方或除n，避免正负号错误。 即时即练1．甲、乙两台机床同时加工直径为的同种规格零件，为了检查两台机床加工零件的稳定性，质检员从两台机床的产品中各抽取5件进行检测，结果如下（单位：） 甲 10 10 10 乙 10 10 10 (1)分别求出这两台机床所加工零件直径的平均数、极差和方差； (2)哪一台机床生产零件的稳定性更好一些？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)乙机床的稳定性好，理由见解析 【知识点】求极差、求一组数据的平均数、根据方差判断稳定性、求方差 【分析】本题主要考查了求平均数，方差和极差，方差与稳定性之间的关系： （1）根据所给的两组数据，分别求出两组数据的极差和平均数，再利用方差公式求两组数据的方差即可； （2）根据甲的方差大于乙的方差，即可得出乙机床生产的零件稳定性更好一些． 【详解】（1）解：甲机床所加工零件直径的极差为， 乙机床所加工零件直径的极差为， 甲机床所加工零件直径的平均数是：， 乙机床所加工零件直径的平均数是：， ∴甲机床所加工零件直径的方差， 乙机床所加工零件直径的方差， （2）解：乙机床的稳定性好，理由如下： ∵， ∴甲机床所加工零件直径的方差大于乙机床所加工零件直径的方差， ∴乙机床的稳定性好。 2．某校组织七、八年级全体学生进行“心理健康知识问答”（满分分）．现分别在七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计、整理如下： ．七年级：，，，，，，，，，． 八年级：，，，，，，，，，． ．七、八年级成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)__________，__________． (2)七年级测试成绩的方差为，八年级测试成绩的方差为，则__________（填“”，“”或“”）； (3)规定分数不低于分记为“优秀”，若本校七年级学生为人，八年级学生为人，请估计这两个年级成绩达到“优秀”的学生共多少人？ 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】求方差、求众数、求中位数、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题主要考查了用样本估计总体、平均数、中位数、众数、方差等知识点，理解相关概念和计算方法是解答本题的关键． （1）根据中位数、众数的定义进行求解即可； （2）根据方差计算公式计算即可； （3）应用用样本估计总体的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题目中的数据分析可得，七年级数据中相同数据出现最多的是， 故众数； 将八年级数据从小到大排列如下：，，，，，，，，， 排在中间的数据是和， 故中位数为： （2）七年级测试成绩的方差为，八年级测试成绩的方差为 即 （3）七年级名学生的成绩中不低于分的所占比例为：， 八年级名学生的成绩中不低于分的所占比例为：， ∴七年级测试成绩达到“优秀”的学生人数为：（名）， ∴八年级测试成绩达到“优秀”的学生人数为：（名）， 答：这两个年级成绩达到“优秀”的学生共人 知识点05 中位数 中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）排列，如果数据是奇数个，则处于中间的数为中位数；若数据是偶数个，则中间两个数据的平均数为中位数. 注：①所有数据需排列（从大到小或从小到大）；②中位数有可能不是这组数据中的数；③中位数反映了中间水平. 【易错提醒】 中位数易错警示：将数据按大小顺序排列后，奇数个取中间数，偶数个取中间两数平均数。注意：必须先排序，不能直接用原始顺序。当数据有重复时，排序后仍按位置取中位数，勿与平均数或众数混淆。 即时即练1．已知数据1，2，4，6，8，8，这组数据的中位数是 ． 【答案】5 【知识点】求中位数 【分析】本题考查中位数，根据中位数的求解方法求解即可． 【详解】解：将所给6个数据从小到大排列，第3个和第4个数据为4和6， ∴这组数据的中位数是， 故答案为：5． 2．已知一组数据：a、3、4、5、6的平均数为5，则这组数据的中位数是 ． 【答案】5 【知识点】已知 平均数求未知数据的值、求中位数 【分析】本题考查了平均数和中位数的意义．根据平均数的定义先算出的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 【详解】解：∵这组数据的平均数为5， 则， 解得：， 将这组数据从小到大重新排列为：3，4，5，6，7， 观察数据可知最中间的数是5， 则中位数是5． 故答案为：5． 3．如图所示为根据某市某天六个整点时刻的温度绘制成的折线统计图，则这六个整点时刻温度的中位数是 ℃． 【答案】 【知识点】求中位数 【分析】本题考查折线统计图、中位数的知识，解题的关键是熟练掌握中位数的基本概念． 【详解】解：这六个数据从小到大排列为：， 居于中间的两个数为 ∴中位数为， 故答案为：． 4．眼睛是心灵的窗户．为保护学生视力，某中学每学期给学生检查视力，下表是该校9年级班名学生右眼视力的检查结果，这组视力数据中，中位数是 ． 视力 人数 【答案】 【知识点】求中位数 【分析】本题主要考查了中位数，解题关键是掌握中位数的定义．数据按从小到大排列，若数据是偶数个，中位数是最中间两数的平均数，若数据是奇数个，中位数是正中间的数． 【详解】解：该样本中共有个数据，按照右眼视力从小到大的顺序排列，第、个数据是， 学生右眼视力的中位数为， 故答案为：． 知识点06 四分位数、箱线图 1.在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，记为m25，m50，m75，统称四分位数。它们把一组数据分为个数相等的四部分。 2.用一组数据中的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值来反映数据分布的中心位置和散布范围的统计图。画法为先找出这5个值，用横线对应，连接下四分位数和上四分位数画出“箱体”，再将最小值和最大值与“箱体”相连，中位数在“箱体”中间。箱线图可粗略观察数据是否对称，不受异常值影响。 【易错提醒】 四分位数与箱线图易错警示：先排序，下四分位数（Q1）为第25%位置，上（Q3）为第75%。箱线图五数（最小、Q1、中位、Q3、最大）。注意：若数据个数为偶数，中位数取平均；Q1/Q3按位置法或插值法，可能不同，需明确规则。 即时即练1．有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11 ，其箱线图如下： 下列说法错误的是（   ） A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是15 D．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 【答案】B 【分析】本题主要考查了箱线图，根据箱线图的定义一一分析判断即可． 【详解】解：．这组数据的下四分位数是4，说法正确； ．这组数据的下四分位数是4，上四分位数是15，中位数为，故该选项错误； ．这组数据的上四分位数是15，说法正确； ．箱线图下边缘是3，上边缘是18，∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18，说法正确； 故选：B 2．某市近几天气温（单位：）如下：5，3，2，3，1，，，，则这组数据的上四分位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查四分位数，将样本数据由小到大排列，结合上四分位数的定义可求得这组数据的上四分位数． 【详解】解：将样本数据由小到大排列依次为：、、、1、2、3、3、5， ∵，第6个数是3，第7个数是3， ∴这组数据的上四分位数为． 故答案为：． 3．小明抽样调查了两个不同年龄段的人群晚上休息的时间，制作了如下统计图： (1)这两个年龄段的人群晚上休息的时间有什么特点？ (2)如果一组是青年组，另一组是老年组，那么你认为哪组有可能是青年组？ 【答案】(1)A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群(答案合理即可) (2)A组有可能是青年组 【分析】本题考查了箱线图，能从箱线图获取信息是解题的关键． （1）观察箱线图，A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群； （2）根据箱线图并结合实际情况即可得出结论． 【详解】（1）解：由图可知，A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群(答案合理即可)； （2）解：由图可知，A年龄段的人群晚上休息时间比于B年龄段人群晚，而表青年人晚上休息时间普遍晚于老年人， 所以A组有可能是青年组． 题型1 与算术平均数有关的计算 【例1】某工厂第一车间有工人15人，每人日均加工螺杆数统计如图．该车间平均每人每日加工螺杆数为 个． 【答案】20 【知识点】求一组数据的平均数 【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数，根据平均数的计算公式进行解答即可 【详解】解：该车间工人日均生产螺杆数的平均数为： （个）， 故答案为：20． 【例2】小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，小亮该周平均每天校外锻炼时间是 分钟． 【答案】70 【知识点】求一组数据的平均数 【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数，把这七天的锻炼时间相加再除以7即可得到答案． 【详解】解：分钟， ∴小亮该周平均每天校外锻炼时间是70分钟， 故答案为：70． 【技巧归纳】 算术平均数=总和÷数据个数。计算时注意数据个数（包括0）。若已知平均数，可反推总和。用于比较稳定性：平均数相同看方差。加权平均数：各数×权重之和÷权重和。避免漏项、错加。常用公式：平均数 = (x₁+...+xₙ)/n，变形式求总和。 【变式1-1】若一组数据6、7、、8的平均数是7，则的值为 ． 【答案】7 【知识点】已知 平均数求未知数据的值 【分析】本题考查了已知平均数求未知数据的值，根据一组数据6、7、、8的平均数是7，得出，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一组数据6、7、、8的平均数是7， ∴， ∴， 故答案为：7． 【变式1-2】若a、b、c的平均数为15，则、、的平均数为 ． 【答案】 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】本题考查了求一组数的平均数，先根据a、b、c的平均数为15，得出，再结合、、的平均数，据此即可作答． 【详解】解：∵a、b、c的平均数为15， ∴ ∴ 则 ∴则、、的平均数为， 故答案为：． 题型2 与加权平均数有关的计算 【例3】小明本学期数学综合实践活动、期中考试及期末考试的成绩分别是88分、90分和90分，各项占学期成绩的百分比分别为 ，则小明的数学学期成绩是 分． 【答案】 【知识点】求加权平均数 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：小明的数学成绩是（分）， 故答案为：． 【例4】夏天来临，某超市销售三种不同型号的手持小风扇，它们的单价分别为元，元，元，某天该超市的小风扇销售数量情况如图所示，那么这天该超市销售的小风扇每个平均价格是 元． 【答案】 【知识点】求加权平均数 【分析】本题主要考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式计算可得结果． 【详解】解：这天该超市销售的小风扇每个平均价格为：， 故答案为：24． 【技巧归纳】 加权平均数=各数据×权重之和÷总权重。权重可为百分比、频数或重要性系数。计算时先乘后加，再除以总权重。注意权重和为1时，直接乘。如成绩=平时×0.3+期末×0.7。若权重为频数，公式=(f₁x₁+...+fₙxₙ)/(f₁+...+fₙ)。避免权重乘错。 【变式2-1】某校学生会要在甲、乙两名候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分100分）如下表： 候选人 文化水平/分 艺术水平/分 组织能力/分 甲 78 89 82 乙 84 92 76 (1)如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？ (2)如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩按照确定每个人的综合成绩，应该录取谁？ 【答案】(1)以平均分作为综合成绩应该录取乙候选人 (2)应该录取甲候选人，理由见解析 【知识点】求一组数据的平均数、利用平均数做决策、求加权平均数、运用加权平均数做决策 【分析】本题主要考查了算术平均数、加权平均数等知识点，掌握算术平均数和加权平均数的区别是解答本题的关键． （1）分别求出甲、乙的算术平均数，然后比较即可解答； （2）分别求出甲、乙的加权平均数，然后比较即可解答． 【详解】（1）解：甲平均分为（分）， 乙平均分为（分）， ∵， ∴以平均分作为综合成绩应该录取乙候选人； （2）解：甲综合成绩为（分）， 乙综合成绩为（分）， ∵， ∴应该录取甲候选人． 【变式2-2】某校为了招聘一名优秀教师，对入选的三名候选人进行教学技能与专业知识两种考核，现将甲、乙、丙三人的考核成绩统计如下： 候选人 百分制 教学技能考核成绩 专业知识考核成绩 甲 85 92 乙 91 85 丙 80 90 (1)如果校方认为教师的教学技能水平与专业知识水平同等重要，则哪位候选人将被录取？为什么？ (2)如果校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要，因此分别赋予它们6：4的权计算他们赋权后各自的平均成绩，那么谁将被录取？ 【答案】(1)；；；甲 (2)；；；乙 【知识点】求一组数据的平均数、利用平均数做决策、求加权平均数、运用加权平均数做决策 【分析】此题考查了平均数，关键是掌握加权平均数和算术平均数的计算公式． （1）根据平均数的计算公式分别计算出甲、乙、丙的平均数，再进行比较，即可得出答案； （2）根据题意先算出甲、乙、丙的加权平均数，再进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：甲的平均数是：（分）， 乙的平均数是：（分）， 丙的平均数是：（分）， ∵甲的平均成绩最高， ∴候选人甲将被录取． （2）解：根据题意得： 甲的平均成绩为：（分）， 乙的平均成绩为：（分）， 丙的平均成绩为：（分）， ∵乙的平均分数最高， ∴乙将被录取． 题型3 与方差有关的计算 【例5】某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下： 甲 7 9 7 9 10 6 乙 5 8 9 10 10 6 (1)根据表格中的数据填空： 甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环； 甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环； (2)求甲、乙测试成绩的方差； (3)你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由． 【答案】(1)8，8，8，10 (2)2， (3)推荐甲参加全省比赛更合适，理由见解析 【知识点】求中位数、求众数、求方差、运用方差做决策 【分析】本题主要考查了算术平均数、中位数、众数、方差等知识点，掌握方差的定义是解答本题的关键． （1）分别根据算术平均数、中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差的公式计算即可； （3）根据平均数和方差的意义即可解答． 【详解】（1）解：甲的平均成绩是（环）， 乙的平均成绩是（环）， 甲成绩的中位数是（环）， 乙成绩的众数是10环． 故答案为：8，8，8，10． （2）解：； ． （3）解：推荐甲参加全省比赛更合适，理由如下： 因为两人的平均数相同，但甲的方差比乙小，即甲比乙更稳定，所以推荐甲参加全省比赛更合适． 【例6】甲、乙两位同学5次数学选拔赛的成绩统计如表，他们5次考试的总成绩相同，请同学们完成下列问题： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 80 40 70 50 60 乙成绩 70 50 70 a 70 (1)统计表中，_________，；甲同学成绩的中位数是_________乙同学成绩的众数是_________ (2)小颖计算了甲同学的成绩平均数为60，方差是，请你求出乙同学成绩的平均数和方差． (3)从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定． 【答案】(1)40，60，70 (2)乙同学成绩的平均数是60，方差是160 (3)乙同学的成绩更稳定 【知识点】利用平均数做决策、求中位数、求众数、根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了中位数和和众数、平均数和方差，熟练掌握各定义和计算公式是解题关键． （1）根据甲、乙同学5次考试的总成绩相同可求出的值，再根据中位数和和众数的定义求解即可得； （2）根据平均数和方差的计算公式求解即可得； （3）根据平均数和方差的意义求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 将甲同学成绩从小到大进行排序为， 则甲同学成绩的中位数是60， 乙同学成绩中，70出现的次数最多， 所以乙同学成绩的众数是70， 故答案为：40，60，70． （2）解：乙同学成绩的平均数是， 乙同学成绩的方差是． （3）解：因为甲、乙同学成绩的平均数相同，乙同学成绩的方差小于甲同学成绩的方差， 所以乙同学的成绩更稳定． 【技巧归纳】 方差：各数据与平均数的差的平方的平均数。公式s²=[(x₁-x̄)²+...]/n。先求平均数，再算离差平方和，除以个数。方差越大数据越分散。简化公式：s²=(Σx²)/n - x̄²。注意单位平方。标准差=√方差。计算时用小数或分数，避免四舍五入误差。 【变式3-1】某校九年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名同学参加，按团体总分多少排列名次，在规定时间内每人踢个以上（含）为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个）． 1号 2号 3号 4号 5号 总分 甲班 乙班 统计两班总分相等，此时有同学建议，可以通过考查数据中的其他信息作为参考，请你解答下列问题： (1)甲班比赛数据的中位数为 ，乙班比赛数据的极差为 ； (2)分别计算出甲乙两班比赛数据的方差； (3)根椐以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班？简述理由． 【答案】(1)， (2)， (3)甲班，甲、乙两班平均数相同，甲班方差小，成绩稳定 【知识点】求极差、运用方差做决策、求方差、求中位数 【分析】此题主要考查了方差、中位数、极差等知识． （1）根据中位数和极差的含义和求法，分别求出答案即可． （2）根据方差的含义和求法，求出两个比赛数据的方差各是多少即可． （3）根据以上信息，判断出哪个班的成绩稳定，就应该把冠军奖状发给哪一个班级． 【详解】（1）解：甲班比赛数据从小到大排列为：，，，，， ∴中位数为， 乙班比赛数据的最大值为，最小值为， ∴乙班比赛数据的极差为， 故答案为：， （2）甲班5名学生踢毽子的个数的平均数是：（个）； 乙班5名学生踢毽子的个数的平均数是：（个）； ； （3）甲班，理由：∵甲、乙两班平均数相同，甲班方差小，成绩稳定， ∴把冠军奖状发给甲班． 【变式3-2】某学校八年级班和班进行了一次数学测试，各班前名的成绩（满分：分）分别是：八班：，，，，；    八班：，，，，． 两班前5名成绩的有关统计数据见表： 平均分 中位数 众数 八 八 请解决下面问题： (1)填空：__________，__________，__________； (2)计算八年级班前名成绩的方差； (3)已知八年级班前名成绩的方差为，根据以上信息，说明哪个班前5名的整体成绩比较好． 【答案】(1)，，； (2)； (3)八年级班较好． 【知识点】根据方差判断稳定性、求方差、求众数、求一组数据的平均数 【分析】根据平均数的定义列算式计算即可求出，根据中位数定义把八班的成绩从高到低依次排列，最中间的数就是这组数据的中位数是，根据众数的定义可知：这组数据中出现次数最多的数是，所以这组数据的众数是； 根据方差的定义列式，计算求出结果即可； 通过比较两个班级成绩的平均分、中位数、众数、方差判断两个班成绩的好坏． 【详解】（1）解：八班的成绩从高到低依次是：，，，，； 五个数中处在中间的是，， 出现次数最多的是，， 八班的成绩是：，，，，， ， ； （2）八班的方差是: ； （3）八年级班和八年级班的前五名同学的成绩的中位数与众数相同；八年级班的平均分比八年级的平均分高；八年级班的方差比八年级的方差小，说明八年级班前五名的成绩比较移稳定，所以八年级班前五名的整体成绩较好． 题型4 与中位数、众数有关的计算 【例7】我市5月某一周每天的最高气温统计如下： 最高气温（） 28 29 30 31 天数 1 2 3 1 则这组数据（最高气温）的众数是 ，中位数是 ． 【答案】 30 30 【知识点】求众数、求中位数 【分析】本题考查了中位数，众数的求解，根据中位数和众数的定义求解． 【详解】解：从小到大排列此数据，数据30出现了三次最多，所以众数是30；30处在第4位，则中位数为30． 故答案为：30，30． 【例8】如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数记为a，众数记为b，则的值是 ．      【答案】 【知识点】求中位数、求众数 【分析】根据中位数、众数和极差的概念分别求得这组数据的中位数、众数，由图可知锻炼时间超过8小时的有人．考查了中位数、众数和极差的概念．本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数． 【详解】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即； 而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是． ∴ 故答案为： 【技巧归纳】 中位数：排序后，奇数个取中间数，偶数个取中间两数平均。众数：出现次数最多的数（可多个）。注意数据排序是关键。若数据为分组数据，中位数用公式估算。众数不受极端值影响。先排序再确定。如1,2,2,3中位数为(2+2)/2=2，众数2。 【变式4-1】一组数据19，15，10，x，4，它的中位数是13，则这组数据的平均数是 ． 【答案】12.2 【知识点】求一组数据的平均数、 利用中位数求未知数据的值 【分析】本题考查中位数，求平均数，掌握中位数的定义和求平均数公式是解答本题的关键． 由中位数的定义“将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据”即可判断出x的值，再利用求平均数的公式求出结果即可． 【详解】解：∵这组数据由5个数组成，为奇数个，且中位数为13， ∴， ∴这组数据为4，19，10，13，15， ∴这组数据的平均数．　 故答案为：． 【变式4-2】在一次引体向上测试中，某小组8名男生的成绩分别为：13，9，a，11，7，11，8，9，若这组数据的唯一众数为11，则这组数据的中位数为 ． 【答案】10 【知识点】求中位数、 利用众数求未知数据的值 【分析】本题主要考查众数和中位数，先根据众数的定义得出，再根据中位数的定义求解即可．解题的关键是掌握众数和中位数的定义． 【详解】解：∵数据13，9，，11，7，11，8，9的唯一众数为11， ∴， 则这组数据为：7，8，9，9，11，11，11，13， 所以这组数据的中位数为， 故答案为：10． 题型5 平均数、中位数、众数的综合问题 【例9】2023年9月23日至10月8日第十九届亚运会在中国杭州举办，某校组织全校七、八年级学生举行了“亚运知识”竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95 八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82 【整理数据】两组数据各分数段如下表所示： 成绩 七年级 1 5 2 a 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 72 八年级 80 80 c 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________，__________，__________． (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由． 【答案】(1)2，78.5，80 (2)八年级年级学生知识竞赛成绩更好，理由见解析 【知识点】运用众数做决策、求众数、运用中位数做决策、求中位数 【分析】本题考查统计综合，涉及统计数据分析、求中位数、众数及结合统计量做决策，读懂题意，看懂统计表按要求求解即可得到答案，熟记中位数、众数的定义及求法是解决问题的关键． （1）由七年级成绩统计数据得到，结合中位数的定义及求法即可得到，再结合众数的定义及求法即可得到； （2）两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）． 【详解】（1）解：将七年级抽样成绩重新排列为：69，72，72，75，78，79，84，85，91，95，其中在范围内的数据有2个，故； 中位数； 将八年级抽样成绩重新排列为：72，74，75，76，80，80，82，84，85，92， 其众数； 故答案为：2，78.5，80； （2）解：可以推断出八年级年级学生知识竞赛成绩更好， 理由如下： 两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）． 【例10】某校初一、初二年级各有600名学生，某一次月考后，教务处张老师为了了解本校学生数学成绩的大致情况，随机抽取了初一、初二各40名考生的数学成绩并将数据进行整理分析，给出了下面信息：数据分为A，B，C，D四个等级，A：，B：，C；，D；． 40名初一学生和40名初二学生数学成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 初一 134 a 131 初二 134 134 132.5 初一学生成绩在B组的考生的分数为125，125，128，128，129，129，131，131，131，131，131，132，134，134，134； 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，初二学生数学成绩为B等级对应的扇形的圆心角为______，并补全条形统计图； (2)根据以上数据，你认为在此次测试中，初一学生数学成绩好还是初二学生数学成绩好？请说明理由； (3)请估计该初一、初二年级所有参加考试的学生中，成绩为A等级的考生人数． 【答案】(1)131.5，，图见解析 (2)初二的成绩较好，理由：初二的中位数、众数都比初一好 (3)成绩为A等级的考生人数为480人 【知识点】用样本的某种“率”估计总体相应的“率”、条形统计图和扇形统计图信息关联、求中位数、运用众数做决策 【分析】本题考查了中位数的意义和求法，条形统计图和扇形统计图的意义和制作方法，掌握各个统计量的意义是解决问题的前提，理清扇形统计图中各个数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法． （1）初一体考成绩从小到大排列后处在第20、21位两个数的平均数，即为初一的成绩的中位数，确定a的值；根据扇形统计图计算出初二B类所占的百分比，可得圆心角；计算出初一A类的人数，即可补全条形图； （2）从平均数、众数上的分析得出结论． （3）先计算出初一A等占总人数的百分比，再结合已知条件即可求解． 【详解】（1）解：初一成绩处在第20、21位的两个数的平均数为， ， 初一A组有（人）， 补全条形统计图如图： 故答案为：131.5，； （2）解：初二的成绩较好，理由：初二的中位数、众数都比初一好； （3）解： （人）， 答：成绩为A等级的考生人数为480人． 【技巧归纳】 三个量从不同角度描述数据集中趋势：平均数受极端值影响，中位数和众数更稳健。比较时，若平均数>中位数，则分布右偏；反之左偏。选择代表值需根据数据特征和问题背景。如工资问题用中位数更合理。可结合方差分析稳定性。综合应用时分别计算再比较。 【变式5-1】为增强中小学生对国防知识的了解，激发青少年的崇军爱国之志，某中学组织八年级和九年级学生参加国防知识竞赛，从中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是，，，，下面给出了部分信息，其中： 八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96． 九年级等级C的学生成绩为：86，88，83，81，87，82，89． 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：　　　，　　　； (2)若八、九年级共有1200名学生参加国防知识竞赛，请估计两个年级参赛学生中成绩良好（大于或等于分）以上的学生共有　　　人． (3)根据以上数据，你认为在此次国防知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． 【答案】(1)87.5；88 (2)900 (3)见解析 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求众数、运用众数做决策 【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键． （1）分别根据中位数和众数的定义可得a和b的值； （2）用样本估计总体即可； （3）依据表格中平均数、中位数、众数做出判断即可． 【详解】（1）解：八年级20名同学的成绩出现次数最多的是88，故众数； 九年级20名同学的成绩从小到大排列， A组有人，B组有人， 等级C的学生成绩按从小到大顺序排列为：81，82，83，86，87，88，89， 因此20个数按大小排列后排在第10名和第11名的两个数分别为87，88， 故中位数； 故答案为：87.5；88；40； （2）解：根据题意得： （人）， ∴估计两个年级参赛学生中成绩良好（大于或等于80分）的学生共有900人， 故答案为：900． （3）解：两个年级成绩平均数相同，九年级成绩的中位数和众数都比八年级高， 故九年级的成绩更好（答案不唯一）． 【变式5-2】某校对八年级甲、乙两班各60名学生进行知识测试，测试完成后分别抽取了12份成绩，整理分析过程如下． 【收集数据】 甲班12名学生测试成绩（单位：分）统计如下：45，59，60，38，57，53，52，58，60，50，43，49； 乙班12名学生测试成绩（单位；分）统计如下：35，55，46，39，54，47，43，57，42，59，60，47． 【整理数据】 按如下分数段整理，描述这两组样本数据： 组别/频数 甲 1 1 2 3 5 乙 2 2 3 1 4 两组样本数据的平均数、众数、中位数如表所示： 班级 平均数 众数 中位数 甲 52 a 52.5 乙 48.7 47 b 根据以上信息回答下列问题： (1)________，________； (2)若规定成绩在45分及以上为合格，请估计乙班60名学生中知识测试成绩合格的学生有多少人； (3)你认为哪个班的学生知识测试成绩的整体水平较好，请说出一条理由． 【答案】(1)60，47； (2)40人； (3)甲班的成绩较好，理由见解析． 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求众数、运用众数做决策 【分析】本题考查了求众数和中位数，用样本估计总体以及用平均数和众数，中位数做决策，熟练掌握常见统计量的求法和意义是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）用乙班学生人数乘以样本中成绩在45分及以上的所占的比例即可； （3）根据平均数和众数，以及中位数作出判断即可． 【详解】（1）解：甲班中成绩出现次数最多的是60． 故60， 乙班成绩从小到大排序如下： 35，39，42，43，46，47，47，54，55，57，59，60， ∴ （2）（人）， 答：乙班60名学生中知识测试成绩合格的学生有40人 （3）甲班的成绩较好，理由：甲班的平均数、中位数、众数均比乙班的高，所以甲班的成绩较好． 题型6 求四分位数与箱线图 【例11】一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的分位数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查百分位数，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分位数的定义，计算其位置，再求对应数值． 【详解】解：数据已排序：1，1，3，4，5，5，6，7，共8个数据． 25%分位数的位置计算公式为：，其中n为数据个数， 代入，得位置， 由于位置不是整数，取第2个和第3个数据的平均值， 即． 故答案为：2． 【例12】已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示． (1)甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________． (2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ (3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 【答案】(1)128；128 (2)甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学 (3)甲班平均分较高 【分析】本题考查箱线图的相关知识，涉及平均数，中位数，上四分位数，能够从箱线图中获取有用信息是解题的关键．四分位数应用于统计学的箱线图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱线图中“箱体”的下底边对应数据为下四分位数，上底边对应数据为上四分位数，中间的线对应中位数． （1）根据箱线图得到学生分数的大致分布情况，即可得出答案； （2）根据箱线图的定义解答即可； （3）根据箱线图得到学生分数在128分以上的大致情况，即可作出判断． 【详解】（1）解：由图可知，甲班成绩的中位数为128，乙班成绩的上四分位数为128， 故答案为：128；128； （2）解：甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学； （3）解：由两班成绩箱线图可以看出，甲班成绩的中位数为128，而乙班的上四分位数是128，同时，甲班的下四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高． 【技巧归纳】 箱线图：五数概括：最小值、Q1（下四分位）、中位数、Q3（上四分位）、最大值。Q1是前半部分中位数，Q3是后半部分中位数。IQR=Q3-Q1，异常值<Q1-1.5IQR或>Q3+1.5IQR。按顺序排序后找分位。箱宽表示数据离散程度。常用于初步判断异常值。 【变式6-1】已知一组数据按从小到大排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26．经计算，该组数据的中位数是16，分位数是20，则 ， ． 【答案】 15 18 【分析】本题考查了四分位数的概念，理解四分位数的概念是解题的关键； 根据四分位数的概念求解． 【详解】该组数据的中位数是16， ，解得， 该组数据的分位数是20， ，解得， 故答案为15；18． 【变式6-2】甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征． （1）先将甲组数据从小到大排序，再计算出四分位数即可； （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图即可； （3）根据箱线图和四分位数比较两组数据即可． 【详解】（1）解：将甲组的成绩从小到大排列为 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，所以，，； （2）如答图所示： （3）根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相同，但甲组成绩明显比乙组的波动大． 一、单选题 1．近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为进一步普及环保和健康知识，我市某校举行了“建设宜居成都，关注环境保护”的知识竞赛，某班学生的成绩统计如下： 成绩（分） 60 70 80 90 100 人数 4 4 12 15 5 则该班学生成绩的众数和中位数分别是（     ） A．85分，90分 B．80分，80分 C．90分，85分 D．90分，80分 【答案】C 【分析】本题根据众数和中位数的定义求解，先找出出现次数最多的成绩得到众数，再确定总个数后找到中间位置的两个数，计算平均数得到中位数． 【详解】解：∵本班成绩90分的人数最多，为15人， ∴该班学生成绩的众数为90分， 该班学生总人数为， ∵总共有40个数据，中位数是从小到大排列后，第20个和第21个数据的平均数 累计人数可得：前两组累计，前三组累计，即第20个数据为80分，第21个数据为90分 ∴中位数为分． 2．某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（      ） A．最高成绩是9.4环 B．平均成绩是9环 C．这组成绩的众数是9环 D．这组成绩的方差是8.7 【答案】D 【详解】解：A、由统计图得，最高成绩是9.4环，选项说法正确，不符合题意； B、平均成绩为，选项说法正确，符合题意； C、由统计图得，9出现了3次，出现的次数最多，故众数是9环，选项说法正确，不符合题意； D、这组成绩的方差是，选项说法错误，符合题意． 3．求一组数据方差的算式为：对于这组数据，下列说法错误的是（   ） A．n的值为5 B．平均数是7 C．离差平方和是5 D．方差是 【答案】C 【分析】先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法． 【详解】解：∵方差算式中共有5个平方项， ∴， ∴A选项说法正确，不符合题意； 原数据为6，8，8，6，7计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 将平均数代入： ； ∴离差平方和为4，不是5 ∴C选项说法错误，符合题意． ， ∴D选项说法正确，不符合题意； 4．已知一组数据，，，…，的平均数为3，方差是2，则另一组数据 ， ， ，…， 的平均数和方差分别为（     ） A．3和9 B．12和9 C．12和12 D．12和18 【答案】D 【分析】根据平均数和方差的定义推导变换规律，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵原数据的平均数， 原方差， ∴新数据的平均数为： ， 新数据的方差为： ， ∴新数据的平均数和方差分别为12和18． 5．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是分 C．一班有同学的成绩超过分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【分析】将一组数据按照从小到大的顺序排列，中位数把这组数据分成数量相等的两部分，前一半数据的中位数称为第一四分位数，后一半数据的中位数称为第三四分位数，它们与中位数一起叫作整组数据的四分位数，在箱线图中，上、下两条短横线分别表示整组数据的最大值和最小值，箱体的下边缘、中间横线和上边缘分别表示整组数据的第一四分位数、中位数和第三四分位数，箱体的高度越小，说明数据越集中，箱体的高度越大，说明数据越分散． 【详解】解：A、一班与二班的箱体高度相同，所以一班与二班的数据集中程度相同，该选项说法错误； B、一班成绩的上四分位数是分，该选项说法错误； C、一班存在一个异常值点在分刻度上方，说明一班有同学成绩超过分，该选项说法正确； D、一班的平均分低于二班的平均分，该选项说法错误． 二、填空题 6．某校田径运动队共有名男运动员，小杰收集了这些运动员的鞋号信息（见表）， 鞋号 号 号 号 号 号 人数 那么这名男运动员鞋号的中位数是___________．众数是___________ 【答案】 【分析】本题考查中位数与众数的概念，根据中位数和众数的定义求解即可，解题关键是掌握中位数和众数的计算方法．对于总个数为偶数的一组数据，中位数为排序后中间两个数据的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数据． 【详解】解：由题意可知，这组数据总个数为，是偶数． 将数据从小到大排列后，累计人数可得，第个和第个数据都是，因此中位数为． 观察表格可知，出现的次数最多，为次，因此众数为． 7．给出如下一组数据：，，，，，，，若这组数据的平均数是，则众数为______． 【答案】 【分析】根据平均数的定义先求出的值，再根据众数的定义确定这组数据的众数即可． 【详解】解：根据平均数的定义，可得， 整理得， 解得， 将代入原数据，得这组数据为：，，，，，，， 其中出现的次数最多，因此这组数据的众数为． 8．数据，，，，，，，，，，，中位数是________，下四分位数是________，上四分位数是________． 【答案】 【分析】先根据中位数的定义计算中位数，再将数据分为前半组和后半组，根据下四分位数和上四分位数的定义分别计算下四分位数与上四分位数即可． 【详解】由题意，可知数据共个，且已从小到大排序，位于第位和第位的数据为，， 中位数为； 取前个数据组成前半组，前半组为，，，，，， 下四分位数为； 取后个数据组成后半组，后半组为，，，，，， 上四分位数为． 9．农技员为对比甲、乙两个品种水稻的长势，从两块试验田中各随机选取株水稻，测量其株高数据．已知两组数据的平均数相同，方差分别为，，则这两种水稻长势更整齐的是_________（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】根据方差的意义判断，方差越小数据波动越小，长势越整齐，比较两个方差的大小即可得到结果． 【详解】解：方差的意义是反映数据波动的大小，在平均数相同的情况下，方差越小，数据波动越小，长势越整齐， 已知，， 可得，即， 因此甲品种水稻的波动更小，长势更整齐． 10．某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面考核打分，各项满分均为100，所占比例如下表： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 八（1）班这四项得分依次为80，90，80，70，则该班四项综合得分（满分100）为_______分． 【答案】 【分析】将各项得分乘以对应的权重，求和后即可得到综合得分． 【详解】解：根据题意计算该班的四项综合得分： （分） 三、解答题 11．某企业进行了一次人事变动，面向本企业全体职工招聘副厂长一名，对竞聘的A、B、C三人进行了三项测试．他们的各项测试成绩如表： 测试项目 测试成绩 A B C 笔试 67 85 72 面试 70 74 50 职工评议 67 45 88 (1)根据三项测试的平均成绩择优录用，谁将被录用？ (2)若将笔试、面试、职工评议三项测试得分按3：2：5的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？ 【答案】(1)C将被录用； (2)C将被录用． 【分析】（1）根据平均数的定义分别计算A、B、C的平均数，然后比较大小即可； （2）根据加权平均数的计算方法分别计算A、B、C的加权平均数，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵A的平均成绩， B的平均成绩， C的平均成绩， ∴C的平均数最大， ∴根据三项测试的平均成绩择优录用，那么C将被录用； （2）∵A的测试成绩， B的测试成绩， C的测试成绩， ∴C的测试成绩最高， ∴若将笔试、面试、职工评议三项测试得分按的比例确定各人的测试成绩，此时C将被录用． 12．某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动，在最近的10次选拔赛中，他们的测试成绩（单位：分）如下： 甲：89，70，96，100，68，78，96，60，91，92； 乙：88，65，90，80，93，65，93，90，96，80． (1)小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：（分），__________；方差：，，可以看出，__________（填甲或乙）的测试更稳定； (2)小颖利用四分位数、箱线图（如图）进行分析： ①写出甲数据的四分位数：__________；__________；__________； ②根据四分位数可绘制如上的箱线图，观察图中乙的箱线图，绘制甲的箱线图． 【答案】(1)84；乙 (2)①70；90；96；② 【分析】（1）根据平均数公式求出平均数，根据方差的意义判断稳定性即可； （2）①根据四分位数定义求解即可；②根据四分位数画出甲的箱线图即可． 【详解】（1）解：由题意得，（分）； ∵，， ∴， ∴乙的测试更稳定； （2）解：①把甲的数据按照从低到高的顺序排列：60，68，70，78，89，91，92，96，96，100， ∴，，； ②略 13．“寓教于劳，育才于勤”，劳动教育是德智体美教育实践的基本途径．某校为了增强学生对劳动教育的认识开展劳动实践知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息． 七年级10名学生的成绩是：92，80，76，93，80，74，80，68，83，94． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：82，83，84． 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 七年级、八年级抽取的学生比赛成绩统计表 组别 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 80 m 众数 b 78 (1)上述图表中　，　　，　　； (2)根据以上数据，你认为哪个年级的成绩较好些？请说明理由（一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有1200名学生参加的竞赛，请估计七八年级中成绩等级为D的共有多少人？ 【答案】(1)40；80；83.5 (2)七年级的成绩较好，理由见解析 (3)420人 【分析】（1）先计算八年级成绩在C组的占比，进而可得的值，根据众数、中位数的概念求； （2）根据平均数、中位数、众数判断即可； （3）利用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：八年级10名学生的成绩在C组中的数据有3个， 占，故成绩在D组的数据占， ； 七年级10名学生的成绩中，出现次数最多的是80，则； 八年级10名学生成绩的中位数为从小到大第5、6位的平均值，则； （2）解：七年级的成绩较好，理由如下： 七年级的众数80大于八年级的众数78， 七年级学生对劳动知识的掌握情况更好； （3）解：人， 答：估计七八年级中成绩等级为D的共有420人． 14．为迎接校园文化艺术节，学生会计划组建一支礼仪队.指导教师将通过初选的16位同学按照报名顺序分成两组，并对他们的身高进行统计． 数据收集： A组同学的身高（）： B组同学的身高（）： 数据整理： 组别 平均数 中位数 众数 方差 A组 166 165 B组 166 165 13 根据上述信息，回答下列问题： (1)填空： ， ， ，两组同学中身高更整齐的是 组（填“A”或“B”）； (2)在给A，B两组安排艺术节开幕式迎宾任务时，指导教师发现A组人手不够．于是从其余报名同学中又选了两人补充到A组，他们的身高分别是，．你认为人数增加后A组所有同学身高的平均数、方差与原来相比是否有变化？若有变化，请指出是变大还是变小． 【答案】(1)165.5；164；3.25；A (2)有变化，变小 【分析】（1）将A组身高数据从小到大排序，取第4和第5个数的平均数得到中位数a，再找出B组中出现次数最多的数得到众数b，然后根据方差公式计算A组的方差m，最后比较两组方差大小，方差越小身高越整齐； （2）先计算新增两人身高的平均数，发现与原A组平均数相同，因此人数增加后A组身高的平均数不变，再计算新增数据与平均数的差的平方和，结合原方差的计算结果，得出新方差比原方差小． 【详解】（1）解：把A组身高数据从小到大排序为：163，165，165，165，166，167，168，169， ∵A组有8个数据，中位数是第4和第5个数的平均数， ∴； ∵B组数据中164出现了3次，出现次数最多， ∴B组众数； ∵A组平均数是166， ∴； ∴； 比较两组方差，A组方差小于B组的13，方差越小数据越整齐，所以身高更整齐的是A组； （2）解：新增两人身高的平均数为，和原A组的平均数相同， ∴人数增加后A组身高的平均数不变， ∵原A组数据与平均数差的平方和是26， 新增的两个数与平均数差的平方分别是和， 新的平方和是，新的数据个数是，新方差为， 比原来的小， ∴方差变小． 15．4月23日是世界阅读日．某校举办“阅读知识竞赛”，现随机抽取部分参赛学生的得分，分析其阅读素养与知识掌握情况，满分为100分，成绩为90分及以上为优秀．参赛人员的得分均为整数．将七、八年级（每个年级抽取10人的参赛得分）参赛选手的得分进行整理、描述、分析，部分信息如下： 得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解决下列问题： (1)填空：______，______． (2)小东认为八年级成绩的中位数比七年级成绩的中位数大，因此八年级成绩比七年级成绩好．小亮认为小东的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小亮说明理由． (3)若七年级有人参赛，八年级有人参赛，请估计七、八年级中成绩为优秀的学生人数． 【答案】(1)； (2)理由见解析 (3)人 【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行计算即可； （2）从众数、优秀率等角度评价两个年级的成绩即可； （3）根据样本中的优秀率，分别估算两个年级的优秀人数，再求和即可． 【详解】（1）解：七年级学生的得分中，分出现次，出现的次数最多， ∴七年级的众数为，即， 八年级学生的得分从小到大排列为：，，，，，，，，，， 其中第5个数为，第6个数为， ∴八年级的中位数为，即； （2）解：理由：从优秀率的角度看，七年级成绩的优秀人数多于八年级成绩的优秀人数，即七年级成绩比八年级好，所以小东的观点比较片面（理由不唯一）． （3）解：（人）． 答：七、八年级中成绩为优秀的学生约为人． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 数据的分析 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 与算术平均数有关的计算 题型2 与加权平均数有关的计算 题型3 与方差有关的计算 题型4 与中位数、众数有关的计算 题型5 平均数、中位数、众数的综合问题 题型6 求四分位数与箱线图 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 平均数、中位数、众数、方差、四分位数、箱线图、集中趋势、离散程度、异常值。 1. 掌握算术平均数、加权平均数、中位数、众数的概念与求法，理解三者描述数据集中趋势的差别与适用场景。 2. 理解方差的意义，掌握方差的计算方法，能用方差描述数据的离散程度（波动大小）。 3. 理解四分位数（下四分位数、上四分位数）的概念与计算方法，理解箱线图的构成（五数概括：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值），能正确绘制并解读箱线图，初步识别异常值。 4. 能根据实际问题背景，综合运用上述统计量分析数据分布特征，做出合理决策，体会用样本估计总体的统计思想。 学习重点：各统计量的概念与计算（平均数、中位数、众数、方差、四分位数），箱线图的绘制与解读，以及根据问题背景选择合适的统计量进行数据分析。 学习难点：理解方差衡量波动性的意义（而非数值本身）；四分位数在数据个数为奇数/偶数时的计算处理；通过箱线图判断数据分布特征（如偏态、异常值），以及综合运用多个统计量从不同维度分析数据。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 算术平均数 1）算术平均数：一般地，有n个数x1，x2，…，xn，那么=.简称平均数. 算术平均数反映了这一组数据的集中趋势，表示了这组数据的平均水平. 注：当任一数据变化时，都会影响算术平均数. 2）结论：若=；=. 则：①x1±y1，x2±y2，…，xn±yn的平均数为±；②x1，y1，x2，y2…，xn，yn的平均数为（+）. ③ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b. ∵ax1，ax2，…，axn的平均数为a； ∴x1+b，x2+b，…，xn+b的平均数为+b. 【易错提醒】 算术平均数易错警示：公式=。注意：计算时数据个数不能遗漏，单位要统一。分组数据用组中值计算时，需乘以对应频数再除以总数。勿与加权平均数混淆。 即时即练1．某校组织了以“我爱我的国”为主题的演讲比赛，下表是小智同学的得分情况，则他的得分的平均数是（    ） 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 9.8 9.7 9.6 9.5 9.4 A．9.7 B．9.6 C．9.5 D．9.65 2．据物业公司统计，某小区一月份1日至5日每天用水量情况如图所示．那么这5天的平均用水量是（    ）    A．5吨 B．4吨 C．3.5吨 D．3吨 3．已知一组数据，，，的平均数是3，则数据，，，的平均数是 ． 知识点02 加权平均数 加权平均数：一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是ω1，ω2，…，ωn，则叫做这n个数的加权平均数．前面求算术平均数，是将每个数据认为同等重要，即每个数据的权重都是1. 注意：计算平均数时注意分辨是算术平均数还是加权平均数，两者计算方法有差异，不能混淆. 【易错提醒】 加权平均数易错警示：公式=，其中wi是权重（权）。注意：权可以是次数、比例或百分比，权相加不一定为1，计算时勿忘除以权的总和。勿与算术平均数混淆。 即时即练1.某公司需招聘一名员工，对应聘者、、从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核．、、各项得分如表： 笔试 面试 体能 (1)根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序； (2)该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于分、分、分，并按，，的比例计入总分，总分最高者将被录用．根据规定，请你说明谁将被录用． 2．某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示： 候选人 通识知识 专业知识 实践能力 甲 乙 (1)如果学校认为这三项素质测试成绩同等重要，从他们的成绩看，______将被录取；填“甲”或“乙” (2)如果学校根据实际需要，将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按的比例确定最终成绩，请计算甲、乙两人各自的最终成绩，确定谁将被录取． 知识点03 众数 众数：一组数据中出现次数最多的数据. 注：①众数不一定唯一；②众数反应了一组数据中的趋势量，即数据出现频次最高的量.、 【易错提醒】 众数易错警示：一组数据中出现次数**最多**的数据（可能不止一个或多个）。注意：不能把“次数”当作众数，如数据1,2,2,3中众数是2（数值），不是2次。当所有数出现次数相同时，没有众数，勿误认为所有数都是。 即时即练1．数据的众数为 ． 2．初三（1）班统一购买夏季校服，统计出各种尺码的校服的数量如表所示： 校服的尺码（单位：厘米） 160 165 170 175 180 185 195 数量（单位：件） 2 4 10 22 14 6 1 由表可以看出，在校服的尺码组成的一组数据中，众数是 ． 知识点04 极差、方差、标准差 1）极差：一组数据中最大值与最小值的差 极差反映了一组数据中极端值的变化.当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大. 2）方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.通常用“”表示，即 结论：若数据a1，a2，……an的方差是s2，则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s2，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s2. 方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定. 3）标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 4）极差、方差、标准差反映了数据的波动情况，一般用方差或标准差表示数据的稳定性. 【易错提醒】 极差、方差、标准差易错警示：极差=最大-最小；方差，标准差是方差算术平方根。注意：方差单位是原数据单位的平方，标准差单位一致。计算时勿漏平方或除n，避免正负号错误。 即时即练1．甲、乙两台机床同时加工直径为的同种规格零件，为了检查两台机床加工零件的稳定性，质检员从两台机床的产品中各抽取5件进行检测，结果如下（单位：） 甲 10 10 10 乙 10 10 10 (1)分别求出这两台机床所加工零件直径的平均数、极差和方差； (2)哪一台机床生产零件的稳定性更好一些？为什么？ 2．某校组织七、八年级全体学生进行“心理健康知识问答”（满分分）．现分别在七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计、整理如下： ．七年级：，，，，，，，，，． 八年级：，，，，，，，，，． ．七、八年级成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)__________，__________． (2)七年级测试成绩的方差为，八年级测试成绩的方差为，则__________（填“”，“”或“”）； (3)规定分数不低于分记为“优秀”，若本校七年级学生为人，八年级学生为人，请估计这两个年级成绩达到“优秀”的学生共多少人？ 知识点05 中位数 中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）排列，如果数据是奇数个，则处于中间的数为中位数；若数据是偶数个，则中间两个数据的平均数为中位数. 注：①所有数据需排列（从大到小或从小到大）；②中位数有可能不是这组数据中的数；③中位数反映了中间水平. 【易错提醒】 中位数易错警示：将数据按大小顺序排列后，奇数个取中间数，偶数个取中间两数平均数。注意：必须先排序，不能直接用原始顺序。当数据有重复时，排序后仍按位置取中位数，勿与平均数或众数混淆。 即时即练1．已知数据1，2，4，6，8，8，这组数据的中位数是 ． 2．已知一组数据：a、3、4、5、6的平均数为5，则这组数据的中位数是 ． 3．如图所示为根据某市某天六个整点时刻的温度绘制成的折线统计图，则这六个整点时刻温度的中位数是 ℃． 4．眼睛是心灵的窗户．为保护学生视力，某中学每学期给学生检查视力，下表是该校9年级班名学生右眼视力的检查结果，这组视力数据中，中位数是 ． 视力 人数 知识点06 四分位数、箱线图 1.在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，记为m25，m50，m75，统称四分位数。它们把一组数据分为个数相等的四部分。 2.用一组数据中的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值来反映数据分布的中心位置和散布范围的统计图。画法为先找出这5个值，用横线对应，连接下四分位数和上四分位数画出“箱体”，再将最小值和最大值与“箱体”相连，中位数在“箱体”中间。箱线图可粗略观察数据是否对称，不受异常值影响。 【易错提醒】 四分位数与箱线图易错警示：先排序，下四分位数（Q1）为第25%位置，上（Q3）为第75%。箱线图五数（最小、Q1、中位、Q3、最大）。注意：若数据个数为偶数，中位数取平均；Q1/Q3按位置法或插值法，可能不同，需明确规则。 即时即练1．有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11 ，其箱线图如下： 下列说法错误的是（   ） A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是15 D．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 2．某市近几天气温（单位：）如下：5，3，2，3，1，，，，则这组数据的上四分位数是 ． 3．小明抽样调查了两个不同年龄段的人群晚上休息的时间，制作了如下统计图： (1)这两个年龄段的人群晚上休息的时间有什么特点？ (2)如果一组是青年组，另一组是老年组，那么你认为哪组有可能是青年组？ 题型1 与算术平均数有关的计算 【例1】某工厂第一车间有工人15人，每人日均加工螺杆数统计如图．该车间平均每人每日加工螺杆数为 个． 【例2】小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，小亮该周平均每天校外锻炼时间是 分钟． 【技巧归纳】 算术平均数=总和÷数据个数。计算时注意数据个数（包括0）。若已知平均数，可反推总和。用于比较稳定性：平均数相同看方差。加权平均数：各数×权重之和÷权重和。避免漏项、错加。常用公式：平均数 = (x₁+...+xₙ)/n，变形式求总和。 【变式1-1】若一组数据6、7、、8的平均数是7，则的值为 ． 【变式1-2】若a、b、c的平均数为15，则、、的平均数为 ． 题型2 与加权平均数有关的计算 【例3】小明本学期数学综合实践活动、期中考试及期末考试的成绩分别是88分、90分和90分，各项占学期成绩的百分比分别为 ，则小明的数学学期成绩是 分． 【例4】夏天来临，某超市销售三种不同型号的手持小风扇，它们的单价分别为元，元，元，某天该超市的小风扇销售数量情况如图所示，那么这天该超市销售的小风扇每个平均价格是 元． 【技巧归纳】 加权平均数=各数据×权重之和÷总权重。权重可为百分比、频数或重要性系数。计算时先乘后加，再除以总权重。注意权重和为1时，直接乘。如成绩=平时×0.3+期末×0.7。若权重为频数，公式=(f₁x₁+...+fₙxₙ)/(f₁+...+fₙ)。避免权重乘错。 【变式2-1】某校学生会要在甲、乙两名候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分100分）如下表： 候选人 文化水平/分 艺术水平/分 组织能力/分 甲 78 89 82 乙 84 92 76 (1)如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？ (2)如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩按照确定每个人的综合成绩，应该录取谁？ 【变式2-2】某校为了招聘一名优秀教师，对入选的三名候选人进行教学技能与专业知识两种考核，现将甲、乙、丙三人的考核成绩统计如下： 候选人 百分制 教学技能考核成绩 专业知识考核成绩 甲 85 92 乙 91 85 丙 80 90 (1)如果校方认为教师的教学技能水平与专业知识水平同等重要，则哪位候选人将被录取？为什么？ (2)如果校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要，因此分别赋予它们6：4的权计算他们赋权后各自的平均成绩，那么谁将被录取？ 题型3 与方差有关的计算 【例5】某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下： 甲 7 9 7 9 10 6 乙 5 8 9 10 10 6 (1)根据表格中的数据填空： 甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环； 甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环； (2)求甲、乙测试成绩的方差； (3)你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由． 【例6】甲、乙两位同学5次数学选拔赛的成绩统计如表，他们5次考试的总成绩相同，请同学们完成下列问题： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 80 40 70 50 60 乙成绩 70 50 70 a 70 (1)统计表中，_________，；甲同学成绩的中位数是_________乙同学成绩的众数是_________ (2)小颖计算了甲同学的成绩平均数为60，方差是，请你求出乙同学成绩的平均数和方差． (3)从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定． 【技巧归纳】 方差：各数据与平均数的差的平方的平均数。公式s²=[(x₁-x̄)²+...]/n。先求平均数，再算离差平方和，除以个数。方差越大数据越分散。简化公式：s²=(Σx²)/n - x̄²。注意单位平方。标准差=√方差。计算时用小数或分数，避免四舍五入误差。 【变式3-1】某校九年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名同学参加，按团体总分多少排列名次，在规定时间内每人踢个以上（含）为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个）． 1号 2号 3号 4号 5号 总分 甲班 乙班 统计两班总分相等，此时有同学建议，可以通过考查数据中的其他信息作为参考，请你解答下列问题： (1)甲班比赛数据的中位数为 ，乙班比赛数据的极差为 ； (2)分别计算出甲乙两班比赛数据的方差； (3)根椐以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班？简述理由． 【变式3-2】某学校八年级班和班进行了一次数学测试，各班前名的成绩（满分：分）分别是：八班：，，，，；    八班：，，，，． 两班前5名成绩的有关统计数据见表： 平均分 中位数 众数 八 八 请解决下面问题： (1)填空：__________，__________，__________； (2)计算八年级班前名成绩的方差； (3)已知八年级班前名成绩的方差为，根据以上信息，说明哪个班前5名的整体成绩比较好． 题型4 与中位数、众数有关的计算 【例7】我市5月某一周每天的最高气温统计如下： 最高气温（） 28 29 30 31 天数 1 2 3 1 则这组数据（最高气温）的众数是 ，中位数是 ． 【例8】如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数记为a，众数记为b，则的值是 ．      【技巧归纳】 中位数：排序后，奇数个取中间数，偶数个取中间两数平均。众数：出现次数最多的数（可多个）。注意数据排序是关键。若数据为分组数据，中位数用公式估算。众数不受极端值影响。先排序再确定。如1,2,2,3中位数为(2+2)/2=2，众数2。 【变式4-1】一组数据19，15，10，x，4，它的中位数是13，则这组数据的平均数是 ． 【变式4-2】在一次引体向上测试中，某小组8名男生的成绩分别为：13，9，a，11，7，11，8，9，若这组数据的唯一众数为11，则这组数据的中位数为 ． 题型5 平均数、中位数、众数的综合问题 【例9】2023年9月23日至10月8日第十九届亚运会在中国杭州举办，某校组织全校七、八年级学生举行了“亚运知识”竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95 八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82 【整理数据】两组数据各分数段如下表所示： 成绩 七年级 1 5 2 a 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 72 八年级 80 80 c 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________，__________，__________． (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由． 【例10】某校初一、初二年级各有600名学生，某一次月考后，教务处张老师为了了解本校学生数学成绩的大致情况，随机抽取了初一、初二各40名考生的数学成绩并将数据进行整理分析，给出了下面信息：数据分为A，B，C，D四个等级，A：，B：，C；，D；． 40名初一学生和40名初二学生数学成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 初一 134 a 131 初二 134 134 132.5 初一学生成绩在B组的考生的分数为125，125，128，128，129，129，131，131，131，131，131，132，134，134，134； 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，初二学生数学成绩为B等级对应的扇形的圆心角为______，并补全条形统计图； (2)根据以上数据，你认为在此次测试中，初一学生数学成绩好还是初二学生数学成绩好？请说明理由； (3)请估计该初一、初二年级所有参加考试的学生中，成绩为A等级的考生人数． 【技巧归纳】 三个量从不同角度描述数据集中趋势：平均数受极端值影响，中位数和众数更稳健。比较时，若平均数>中位数，则分布右偏；反之左偏。选择代表值需根据数据特征和问题背景。如工资问题用中位数更合理。可结合方差分析稳定性。综合应用时分别计算再比较。 【变式5-1】为增强中小学生对国防知识的了解，激发青少年的崇军爱国之志，某中学组织八年级和九年级学生参加国防知识竞赛，从中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是，，，，下面给出了部分信息，其中： 八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96． 九年级等级C的学生成绩为：86，88，83，81，87，82，89． 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：　　　，　　　； (2)若八、九年级共有1200名学生参加国防知识竞赛，请估计两个年级参赛学生中成绩良好（大于或等于分）以上的学生共有　　　人． (3)根据以上数据，你认为在此次国防知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． 【变式5-2】某校对八年级甲、乙两班各60名学生进行知识测试，测试完成后分别抽取了12份成绩，整理分析过程如下． 【收集数据】 甲班12名学生测试成绩（单位：分）统计如下：45，59，60，38，57，53，52，58，60，50，43，49； 乙班12名学生测试成绩（单位；分）统计如下：35，55，46，39，54，47，43，57，42，59，60，47． 【整理数据】 按如下分数段整理，描述这两组样本数据： 组别/频数 甲 1 1 2 3 5 乙 2 2 3 1 4 两组样本数据的平均数、众数、中位数如表所示： 班级 平均数 众数 中位数 甲 52 a 52.5 乙 48.7 47 b 根据以上信息回答下列问题： (1)________，________； (2)若规定成绩在45分及以上为合格，请估计乙班60名学生中知识测试成绩合格的学生有多少人； (3)你认为哪个班的学生知识测试成绩的整体水平较好，请说出一条理由． 题型6 求四分位数与箱线图 【例11】一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的分位数是 ． 【例12】已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示． (1)甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________． (2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ (3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 【技巧归纳】 箱线图：五数概括：最小值、Q1（下四分位）、中位数、Q3（上四分位）、最大值。Q1是前半部分中位数，Q3是后半部分中位数。IQR=Q3-Q1，异常值<Q1-1.5IQR或>Q3+1.5IQR。按顺序排序后找分位。箱宽表示数据离散程度。常用于初步判断异常值。 【变式6-1】已知一组数据按从小到大排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26．经计算，该组数据的中位数是16，分位数是20，则 ， ． 【变式6-2】甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 一、单选题 1．近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为进一步普及环保和健康知识，我市某校举行了“建设宜居成都，关注环境保护”的知识竞赛，某班学生的成绩统计如下： 成绩（分） 60 70 80 90 100 人数 4 4 12 15 5 则该班学生成绩的众数和中位数分别是（     ） A．85分，90分 B．80分，80分 C．90分，85分 D．90分，80分 2．某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（      ） A．最高成绩是9.4环 B．平均成绩是9环 C．这组成绩的众数是9环 D．这组成绩的方差是8.7 3．求一组数据方差的算式为：对于这组数据，下列说法错误的是（   ） A．n的值为5 B．平均数是7 C．离差平方和是5 D．方差是 4．已知一组数据，，，…，的平均数为3，方差是2，则另一组数据 ， ， ，…， 的平均数和方差分别为（     ） A．3和9 B．12和9 C．12和12 D．12和18 5．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是分 C．一班有同学的成绩超过分 D．一班的平均分高于二班的平均分 二、填空题 6．某校田径运动队共有名男运动员，小杰收集了这些运动员的鞋号信息（见表）， 鞋号 号 号 号 号 号 人数 那么这名男运动员鞋号的中位数是___________．众数是___________ 7．给出如下一组数据：，，，，，，，若这组数据的平均数是，则众数为______． 8．数据，，，，，，，，，，，中位数是________，下四分位数是________，上四分位数是________． 9．农技员为对比甲、乙两个品种水稻的长势，从两块试验田中各随机选取株水稻，测量其株高数据．已知两组数据的平均数相同，方差分别为，，则这两种水稻长势更整齐的是_________（填“甲”或“乙”） 10．某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面考核打分，各项满分均为100，所占比例如下表： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 八（1）班这四项得分依次为80，90，80，70，则该班四项综合得分（满分100）为_______分． 三、解答题 11．某企业进行了一次人事变动，面向本企业全体职工招聘副厂长一名，对竞聘的A、B、C三人进行了三项测试．他们的各项测试成绩如表： 测试项目 测试成绩 A B C 笔试 67 85 72 面试 70 74 50 职工评议 67 45 88 (1)根据三项测试的平均成绩择优录用，谁将被录用？ (2)若将笔试、面试、职工评议三项测试得分按3：2：5的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？ 12．某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动，在最近的10次选拔赛中，他们的测试成绩（单位：分）如下： 甲：89，70，96，100，68，78，96，60，91，92； 乙：88，65，90，80，93，65，93，90，96，80． (1)小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：（分），__________；方差：，，可以看出，__________（填甲或乙）的测试更稳定； (2)小颖利用四分位数、箱线图（如图）进行分析： ①写出甲数据的四分位数：__________；__________；__________； ②根据四分位数可绘制如上的箱线图，观察图中乙的箱线图，绘制甲的箱线图． 13．“寓教于劳，育才于勤”，劳动教育是德智体美教育实践的基本途径．某校为了增强学生对劳动教育的认识开展劳动实践知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息． 七年级10名学生的成绩是：92，80，76，93，80，74，80，68，83，94． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：82，83，84． 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 七年级、八年级抽取的学生比赛成绩统计表 组别 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 80 m 众数 b 78 (1)上述图表中　，　　，　　； (2)根据以上数据，你认为哪个年级的成绩较好些？请说明理由（一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有1200名学生参加的竞赛，请估计七八年级中成绩等级为D的共有多少人？ 14．为迎接校园文化艺术节，学生会计划组建一支礼仪队.指导教师将通过初选的16位同学按照报名顺序分成两组，并对他们的身高进行统计． 数据收集： A组同学的身高（）： B组同学的身高（）： 数据整理： 组别 平均数 中位数 众数 方差 A组 166 165 B组 166 165 13 根据上述信息，回答下列问题： (1)填空： ， ， ，两组同学中身高更整齐的是 组（填“A”或“B”）； (2)在给A，B两组安排艺术节开幕式迎宾任务时，指导教师发现A组人手不够．于是从其余报名同学中又选了两人补充到A组，他们的身高分别是，．你认为人数增加后A组所有同学身高的平均数、方差与原来相比是否有变化？若有变化，请指出是变大还是变小． 15．4月23日是世界阅读日．某校举办“阅读知识竞赛”，现随机抽取部分参赛学生的得分，分析其阅读素养与知识掌握情况，满分为100分，成绩为90分及以上为优秀．参赛人员的得分均为整数．将七、八年级（每个年级抽取10人的参赛得分）参赛选手的得分进行整理、描述、分析，部分信息如下： 得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解决下列问题： (1)填空：______，______． (2)小东认为八年级成绩的中位数比七年级成绩的中位数大，因此八年级成绩比七年级成绩好．小亮认为小东的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小亮说明理由． (3)若七年级有人参赛，八年级有人参赛，请估计七、八年级中成绩为优秀的学生人数． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $