第四章 一次函数 复习讲义 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第四章 一次函数 知识归纳与题型总结 题型01 函数 一、函数 1．定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，那么我们称是的函数，其中是自变量． 2．表示方法：表格法、关系式法、图象法． 3．函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于时的函数值． 【典例1-1】下列各式，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A中，y有唯一确定值和x对应，能表示y是x的函数； 选项B中，y有唯一确定值和x对应，能表示y是x的函数； 选项C中，，任取一个大于0的x值，例如，y对应和两个值，不满足y有唯一确定值和x对应的要求，不能表示y是x的函数； 选项D中，y有唯一确定值和x对应，能表示y是x的函数． 【典例1-2】下列各曲线中表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，对于自变量x的每一个确定的值，函数值y都有唯一确定的值与其对应．从图象上看，就是作垂直于x轴的直线，与图象最多只有一个交点． 【详解】A．作垂直于x轴的直线，与图象可能有三个交点，即对于同一个x，有多个y值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； B．作垂直于x轴的直线，与图象可能有两个交点，即对于同一个x，有两个y值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； C．作垂直于x轴的直线，与图象可能有三个交点，即对于同一个x，有多个y值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； D．对于每一个x，都有唯一确定的y值与之对应，故y是x的函数，符合题意． 【典例1-3】甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法不正确的是（     ） A．甲队的速度是每分钟250米 B．乙队比甲队少用0.2分钟 C．乙队在2.2分钟后的速度是每分钟375米 D．比赛中两队从出发到2.2分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快 【答案】D 【分析】根据函数图象所给的信息,逐一判断． 【详解】解：A、甲队的速度是每分钟（米），原说法正确，不符合题意； B、乙队比甲队少用分钟，原说法正确，不符合题意； C、乙队在2.2分钟后的速度是每分钟（米），原说法正确，不符合题意； D、根据0～2.2分钟的时间段图象可知，甲队的速度比乙队的速度快，原说法错误，符合题意； 题型02 认识一次函数 一、认识一次函数 1．定义：如果两个变量，之间的对应关系可以表示成（，为常数，）的形式，那么称是的一次函数。特别地，当b=0时，称是的正比例函数． 2．的作用：的值确定函数的变化趋势． 3．的作用：决定函数自变量为0时，函数的值． 【典例2-1】下列函数中，属于一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义，一般地，形如（，是常数，）的函数叫做一次函数，逐一判断各选项的函数形式，即可得到正确结果． 【详解】解：选项A中不符合一次函数定义； 选项B中中的次数为，不符合一次函数定义； 选项C中可整理为，其中，，符合一次函数的形式； 选项D中是常数函数，的系数，不符合一次函数的要求． 【典例2-2】若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数要求自变量的次数为，且一次项系数不为，据此列出条件计算即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解得． 【典例2-3】下列函数中，为正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确正比例函数的定义，再逐一对照各选项的函数形式，判断符合定义的选项即可．正比例函数的定义为：形如（其中是不为的常数）的函数是正比例函数． 【详解】解：选项A：是反比例函数，不符合定义； 选项B：是一次函数，常数项不为，不符合正比例函数定义； 选项C：符合的形式，其中，符合正比例函数定义； 选项D：是二次函数，不符合定义． 题型03 一次函数的图象 一、一次函数的图象 图象 经过的象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 增减性 随的增大而增大 随的增大而减小 与坐标轴的交点 令，求对应的值，与x轴的交点坐标为；令，求对应的值，与轴的交点坐标为 【典例3-1】直线经过点（0，_____）与点（_____，0），y随x的增大而_____ 【答案】 增大 【分析】将和代入求出直线经过点和点，然后根据得到y随x的增大而增大． 【详解】解：∵ ∴当时，； 当时，， 解得， 所以直线经过点和点， 因为， 所以y随x的增大而增大． 【典例3-2】已知，如果，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据列出一元一次不等式，再依据解一元一次不等式的法则求解即可． 【详解】解：依题意，， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【典例3-3】已知一次函数的图象与直线平行，则______． 【答案】 【详解】解：一次函数的图象与直线平行，两个一次函数的自变量系数相等，可得． 题型04 一次函数的应用 一、一次函数的应用 1．判断等量关系为一次函数的情况： （1）函数图象是直线（或直线的一部分）； （2）用表格呈现数据时：当自变量的变化值均匀时，函数的变化值也是均匀的，而且当自变量的变化值为1时，函数的变化值就是自变量的系数； （3）用语言呈现数据时：当自变量每变化1个单位时，因变量就相应变化个单位． 2．常见类型： （1）最优方案或方案选择问题：常通过比价函数值的大小关系确定方案； （2）利润最大或费用最少问题：通过函数增减性确定最值． 注意：根据实际情况确定变量的取值范围． 【典例4-1】某单位准备和甲乙两个出租公司中的一家签订租车合同，设汽车每月行驶千米，每月应付给甲公司的费用为元，付给乙公司的费用为元，、与的关系如图，若该单位每月行驶的路程为，为了使费用较少，则应选择________公司（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【分析】由函数图象可知，当时，，据此可得答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，， ∴若该单位每月行驶的路程为，为了使费用较少，则应选择乙公司． 【典例4-2】【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图1，在溢水杯中盛满液体，将一个质地均匀的长方体小铝块悬挂在弹簧测力计的下方，从离桌面的高度，缓慢浸入到液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 总结公式：①当小铝块位于液面上方时，． ②当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中发现：弹簧测力计的示数与小铝块下降的高度之间的关系如图2所示． 【解决问题】 (1)当小铝块位于液面上方时，弹簧测力计的示数______；当小铝块完全浸入液面下方时，弹簧测力计的示数______． (2)当时，求弹簧测力计的示数关于的函数解析式． (3)当小铝块受到的浮力为时，小铝块受到的拉力为______，弹簧测力计悬挂的小铝块下降的高度为______． 【答案】(1)6；3 (2)弹簧测力计的示数关于的函数解析式为 (3)4，8 【分析】（1）根据图形求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据题意求解即可． 【详解】（1）解：当小铝块位于液面上方时，浮力为0，拉力等于重力， 从图像看，时，； 当小铝块完全浸入液面下方时，排液体积不变，浮力不变，拉力稳定在； （2）解：设关于的函数解析式为， 将和代入得， 解得， ∴关于的函数解析式为； （3）解：根据，，， ∴， 将代入，得， 解得． 【典例4-3】甲骑自行车，乙骑摩托车，沿相同路线由A地到B地，如图所示，线段，分别表示甲、乙两人骑行路程（单位：）与甲骑行时间（单位：）之间的关系．结合图象回答下列问题： (1)求所在直线的解析式； (2)甲出发________后在距A地________处被乙追上； (3)甲、乙两人相遇后，甲又骑行________两人相距． 【答案】(1) (2)4，40 (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式，然后与直线的表达式联立求解即可； （3）根据题意得到方程，求出，再减去即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为 代入点、 则 解得 ∴直线的解析式为； （2）解：设直线，代入可得，， 解得 ∴直线 与直线表达式联立可得， 解得， 此时， ∴甲出发后在距A地处被乙追上； （3）解：由题意得， 解得 答：甲、乙两人相遇后，甲又骑行两人相距． 一、选择题 1．为缅怀先烈，某中学组织学生代表前往八路军西安办事处纪念馆参观．队伍从学校出发，乘坐大巴抵达纪念馆，随即在馆内聆听讲解．讲解结束后，师生按原路匀速返程．下列选项中能较好地刻画队伍离学校的距离与时间之间的关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将整个过程分为去程、停留、返程三个阶段，分析各阶段离学校的距离随时间的变化趋势即可． 【详解】解：第一阶段，队伍从学校出发前往纪念馆，离学校的距离随时间增加而增大，图像呈上升趋势； 第二阶段，在馆内聆听讲解，队伍位置不变，离学校的距离保持不变，图像呈水平线段； 第三阶段，师生按原路匀速返程，离学校的距离随时间增加而减小，直至回到学校距离为0，图像呈下降趋势． 观察各选项，只有D选项图像符合上述变化过程． 2．某天，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离s（单位：m）与他所用的时间t（单位：）之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（     ）． A．75，90 B．80，90 C．75，100 D．80，100 【答案】C 【分析】根据速度路程时间，计算即可得出结果． 【详解】解：由图象可得，小辉从家去图书馆的速度为， 小辉从图书馆回家的速度为． 3．某游泳池有二阶游泳区域，其截面示意图如图所示（阴影部分是实心台阶），向空池匀速注水（到虚线位置停止）时，游泳池的水面高度h（m）与注水时间t（min）的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系为先快后慢． 【详解】解：根据题意和图形的形状，可知水的深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢，只有选项B符合题意． 4．下列各曲线不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应，则x叫自变量，y是x的函数．在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断． 【详解】解：A、对x的一个值y有唯一值与之对应，因此能表示y是x的函数，故此选项不符合题意； B、对x的一个值y的值不是唯一的，因而不能表示y是x的函数，故此选项符合题意； C、对x的一个值y有唯一值与之对应，因此能表示y是x的函数，故此选项不符合题意； D、对x的一个值y有唯一值与之对应，因此能表示y是x的函数，故此选项不符合题意． 5．下列曲线中，不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于两个变量，若对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，那么就叫做的函数，据此可得答案． 【详解】解：A、B、C三个选项中，对于的每一个取值， 都有唯一确定的值与之对应，故是的函数； D选项中，对于的某些取值， 都有两个确定的值与之对应，故不是的函数 ． 6．定义符号函数则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴． 7．已知一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，若点在该函数图象上，则点的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点与每个选项对比，符合随的增大而增大即为答案． 【详解】解：对于选项A：∵，且， ∴不符合随的增大而增大，故A错误； 对于选项B：∵，且， ∴不符合随的增大而增大，故B错误； 对于选项C：∵，且， ∴不符合随的增大而增大，故C错误； 对于选项D：∵，且， ∴符合随的增大而增大，故D正确． 8．将直线向下平移个单位长度后得到的直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数上下平移“上加下减”的规律求解． 【详解】解：将直线向下平移个单位长度后得到的直线的解析式为． 9．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图像分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“，，，为自然数”，依此规律结合即可找出点的坐标． 【详解】解：当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为； 同理可得：，，，，，，，， ，，，为自然数 ， 点的坐标为，即 ． 10．小谦同学在学了一次函数图象后，用数学软件绘制了的图象，如图所示，通过观察此图象，下列说法错误的是（     ） A．图象经过点 B．当时， C．关于的方程有两个实数根 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】从图象上获取信息，逐一进行判断即可. 【详解】解：由图象可知，图象经过点，故A正确，不符合题意； 当时，；故B错误，符合题意； 图象与轴有2个交点，故关于的方程有两个实数根，故C正确，不符合题意； 当时，随的增大而减小，故D正确，不符合题意. 二、填空题 11．图中的图象（折线）描述了一辆汽车沿平直公路行驶过程中，汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出了下列四种说法：①汽车在行驶途中停留了；②汽车共行驶了；③汽车回来时的平均速度是去时平均速度的2倍；④汽车到达目的地后返回的行驶速度为．其中说法正确的是___________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据函数图象得到路程、速度、时间之间的关系，分别分析每一个选项即可． 【详解】解：，故汽车在行驶途中停留了，①正确； ，故汽车共行驶了，②错误； 汽车去时的平均速度为，汽车回来时的速度为，故汽车回来时的平均速度是去时的2倍，③，④正确； ∴说法正确的是①③④． 12．若关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】对于一次函数（为常数，），当时，的图象经过第一、三、四象限，据此列出不等式组求解即可. 【详解】解：关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限， ， 解不等式， 可得：， ． 13．弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度成正比，即，其中为常数，是弹簧的劲度系数；质量为的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为7厘米，那么，当弹簧长度为10.8厘米时，所挂物体的质量为_______千克． 【答案】 【详解】解：弹簧原长6厘米，挂0.5千克时伸长1厘米，劲度系数（千克/厘米）． 弹簧长10.8厘米时，伸长厘米，所挂质量千克． 14．小红和小丽约好一起去公园集合赏花，小红家距离公园较远，决定骑共享单车去，小丽步行前往，已知小红家、小丽家、公园在同一条公路上，如图是两人距离小丽家的路程（单位：米）与时间（单位：分钟）的函数图象，则小红距离小丽100米时，__________分钟． 【答案】5或7或11.5 【分析】首先求出小丽的速度和小红的速度，分别求出当小红到达小丽家时和当小红到达公园时，可得当小红距离小丽100米时，时间可以是或两种情况，然后分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】解：由图象得，小丽家到公园距离米，小丽从家到公园用时12分钟， ∴小丽的速度为（米/分）， 由图象得，小红家到小丽家距离600米，小红从家到小丽家用时2分钟， ∴小红的速度为（米/分）， 小红到达公园的时间是：（分钟）， 当，即小红到达小丽家时，两人相距：（米）， 当，即小红到达公园时，两人相距：，（米）， ∴当小红距离小丽100米时，时间可以是或两种情况， 当时，小红从小丽家走到公园， 此时，解得：或7； 当时，小红到达公园，小丽还在到达公园的路上， 此时，解得：， 综上所述：小红距离小丽100米时，5或7或11.5． 15．已知一次函数，当时，，则a的值为______． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质可得y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵当时，， ∴当时，， 当时，， ∴． 三、解答题 16．已知池中有的水，每小时抽水． (1)用关系式表示池中剩余水的体积（单位：）与时间（单位：）之间的关系； (2)后池中还有多少水？ 【答案】(1) (2)后池中还有的水． 【分析】（1）根据剩余水的体积＝蓄水体积－抽水体积求解即可； （2）将代入函数解析式即可求解 【详解】（1）解：由题意得，当全部抽完水时，用时， ∴； （2）解：当时，． 故后池中还有的水． 17．某辆汽车在高速公路上匀速行驶，行驶的路程与油箱中剩余的油量的对应值如下表，根据表中信息，回答以下问题： 行驶的路程 … … 油箱中剩余的油量 … … (1)是的函数吗？为什么？ (2)请你推测并写出另一组不同于表格中的与的对应值． 【答案】(1)是的函数． 理由：根据表格可知，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应， 是的函数． (2)（答案不唯一） 【分析】（1）根据函数的定义解答即可； （2）由表格可知，这辆汽车每行驶，油箱中剩余的油量就减少，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由表格可知，这辆汽车每行驶，油箱中剩余的油量就减少， 另一组对应的值可以是（答案不唯一） 18．如图是一个蓄水池某天的蓄水量（单位：吨）随时间（单位：时）的变化而变化的图象，根据图象回答下列问题． (1)与是否构成函数关系？若构成，请写出自变量和函数分别是什么，若不构成，请说明理由； (2)你还能从图象中获得哪些信息？（写出一条即可） 【答案】(1)y与x构成函数关系，自变量是x，函数是y． (2)由图象可得，这个蓄水池该天3时蓄水量最大，最大的蓄水量为9吨．（答案不唯一） 【分析】（1）根据函数的定义可得答案； （2）根据函数图象所给的信息可得答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应， ∴y与x构成函数关系， ∴自变量是x，函数是y； （2）略 19．如图是学校门口人行道隔离护栏平面示意图，每根立柱宽为0.1米，立柱间距为3米． (1)根据题意，将下列表格补充完整： 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） 0.1 3.2 9.4 (2)设有x根立柱，护栏总长度为y米，则y与x之间的关系式是 ； (3)求护栏总长度为59米时立柱的根数？ 【答案】(1) 表格补充如下： 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） 0.1 3.2 6.3 9.4 12.5 (2) (3)20根 【分析】（1）根据图示列出式子求解即可； （2）由题意得与之间的关系式为，整理可得； （3）当时，代入与之间的关系式，求解； 【详解】（1）解：当有3根立柱时，（米）， 当有 5 根立柱时，（米）； （2）解：根据题意得：与之间的关系式为：； （3）解：当时，， 解得， 答：总长度为59米时有20根立柱． 20．已知：如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，三角形的顶点坐标分别为，，，轴，、为相邻正整数，且，． (1)求点，的坐标； (2)如图2，点在轴负半轴上，连接，，点的纵坐标为，三角形的面积为，请用含的式子表示（不需要写出的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交轴于点，点在轴正半轴上，连接， ，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线相交于点，连接，，若三角形的面积为三角形的面积的2倍，求出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）估算的范围，求得，根据得出，即可求解； （2）根据题意得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）设，根据题意得出，分情况讨论，点在轴正半轴上，①点在点上方时，②点在点下方时，根据三角形的面积为三角形的面积的2倍，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）、为相邻正整数，且， ，．     ， ． ，． （2），， ．     ，， ，． ．     ． （3），，，， ，，，． 设， 三角形面积为：， 梯形面积为：， 三角形面积为：， 梯形面积三角形面积三角形面积 即， ，． ．     ∵点在轴正半轴上，， ． 轴，轴， ． ．     梯形面积为：， 梯形面积为：， 梯形面积为：， 三角形面积为：梯形面积梯形面积梯形面积 即，     ①点在点上方时， ， 三角形面积为：， ∵三角形的面积为三角形的面积的2倍， ． ． ．     ②点在点下方时， ， 三角形面积为：， ∵三角形的面积为三角形的面积的2倍， ． ． ．     1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第四章 一次函数 知识归纳与题型总结 题型01 函数 一、函数 1．定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，那么我们称是的函数，其中是自变量． 2．表示方法：表格法、关系式法、图象法． 3．函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于时的函数值． 【典例1-1】下列各式，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】下列各曲线中表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【典例1-3】甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法不正确的是（     ） A．甲队的速度是每分钟250米 B．乙队比甲队少用0.2分钟 C．乙队在2.2分钟后的速度是每分钟375米 D．比赛中两队从出发到2.2分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快 题型02 认识一次函数 一、认识一次函数 1．定义：如果两个变量，之间的对应关系可以表示成（，为常数，）的形式，那么称是的一次函数。特别地，当b=0时，称是的正比例函数． 2．的作用：的值确定函数的变化趋势． 3．的作用：决定函数自变量为0时，函数的值． 【典例2-1】下列函数中，属于一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【典例2-2】若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【典例2-3】下列函数中，为正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 题型03 一次函数的图象 一、一次函数的图象 图象 经过的象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 增减性 随的增大而增大 随的增大而减小 与坐标轴的交点 令，求对应的值，与x轴的交点坐标为；令，求对应的值，与轴的交点坐标为 【典例3-1】直线经过点（0，_____）与点（_____，0），y随x的增大而_____ 【典例3-2】已知，如果，则的取值范围是___________． 【典例3-3】已知一次函数的图象与直线平行，则______． 题型04 一次函数的应用 一、一次函数的应用 1．判断等量关系为一次函数的情况： （1）函数图象是直线（或直线的一部分）； （2）用表格呈现数据时：当自变量的变化值均匀时，函数的变化值也是均匀的，而且当自变量的变化值为1时，函数的变化值就是自变量的系数； （3）用语言呈现数据时：当自变量每变化1个单位时，因变量就相应变化个单位． 2．常见类型： （1）最优方案或方案选择问题：常通过比价函数值的大小关系确定方案； （2）利润最大或费用最少问题：通过函数增减性确定最值． 注意：根据实际情况确定变量的取值范围． 【典例4-1】某单位准备和甲乙两个出租公司中的一家签订租车合同，设汽车每月行驶千米，每月应付给甲公司的费用为元，付给乙公司的费用为元，、与的关系如图，若该单位每月行驶的路程为，为了使费用较少，则应选择________公司（填“甲”或“乙”）． 【典例4-2】【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图1，在溢水杯中盛满液体，将一个质地均匀的长方体小铝块悬挂在弹簧测力计的下方，从离桌面的高度，缓慢浸入到液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 总结公式：①当小铝块位于液面上方时，． ②当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中发现：弹簧测力计的示数与小铝块下降的高度之间的关系如图2所示． 【解决问题】 (1)当小铝块位于液面上方时，弹簧测力计的示数______；当小铝块完全浸入液面下方时，弹簧测力计的示数______． (2)当时，求弹簧测力计的示数关于的函数解析式． (3)当小铝块受到的浮力为时，小铝块受到的拉力为______，弹簧测力计悬挂的小铝块下降的高度为______． 【典例4-3】甲骑自行车，乙骑摩托车，沿相同路线由A地到B地，如图所示，线段，分别表示甲、乙两人骑行路程（单位：）与甲骑行时间（单位：）之间的关系．结合图象回答下列问题： (1)求所在直线的解析式； (2)甲出发________后在距A地________处被乙追上； (3)甲、乙两人相遇后，甲又骑行________两人相距． 一、选择题 1．为缅怀先烈，某中学组织学生代表前往八路军西安办事处纪念馆参观．队伍从学校出发，乘坐大巴抵达纪念馆，随即在馆内聆听讲解．讲解结束后，师生按原路匀速返程．下列选项中能较好地刻画队伍离学校的距离与时间之间的关系的是（     ） A． B． C． D． 2．某天，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离s（单位：m）与他所用的时间t（单位：）之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（     ）． A．75，90 B．80，90 C．75，100 D．80，100 3．某游泳池有二阶游泳区域，其截面示意图如图所示（阴影部分是实心台阶），向空池匀速注水（到虚线位置停止）时，游泳池的水面高度h（m）与注水时间t（min）的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 4．下列各曲线不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 5．下列曲线中，不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 6．定义符号函数则（     ） A． B． C． D． 7．已知一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，若点在该函数图象上，则点的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 8．将直线向下平移个单位长度后得到的直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图像分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．小谦同学在学了一次函数图象后，用数学软件绘制了的图象，如图所示，通过观察此图象，下列说法错误的是（     ） A．图象经过点 B．当时， C．关于的方程有两个实数根 D．当时，随的增大而减小 二、填空题 11．图中的图象（折线）描述了一辆汽车沿平直公路行驶过程中，汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出了下列四种说法：①汽车在行驶途中停留了；②汽车共行驶了；③汽车回来时的平均速度是去时平均速度的2倍；④汽车到达目的地后返回的行驶速度为．其中说法正确的是___________（填序号）． 12．若关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是_______． 13．弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度成正比，即，其中为常数，是弹簧的劲度系数；质量为的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为7厘米，那么，当弹簧长度为10.8厘米时，所挂物体的质量为_______千克． 14．小红和小丽约好一起去公园集合赏花，小红家距离公园较远，决定骑共享单车去，小丽步行前往，已知小红家、小丽家、公园在同一条公路上，如图是两人距离小丽家的路程（单位：米）与时间（单位：分钟）的函数图象，则小红距离小丽100米时，__________分钟． 15．已知一次函数，当时，，则a的值为______． 三、解答题 16．已知池中有的水，每小时抽水． (1)用关系式表示池中剩余水的体积（单位：）与时间（单位：）之间的关系； (2)后池中还有多少水？ 17．某辆汽车在高速公路上匀速行驶，行驶的路程与油箱中剩余的油量的对应值如下表，根据表中信息，回答以下问题： 行驶的路程 … … 油箱中剩余的油量 … … (1)是的函数吗？为什么？ (2)请你推测并写出另一组不同于表格中的与的对应值． 18．如图是一个蓄水池某天的蓄水量（单位：吨）随时间（单位：时）的变化而变化的图象，根据图象回答下列问题． (1)与是否构成函数关系？若构成，请写出自变量和函数分别是什么，若不构成，请说明理由； (2)你还能从图象中获得哪些信息？（写出一条即可） 19．如图是学校门口人行道隔离护栏平面示意图，每根立柱宽为0.1米，立柱间距为3米． (1)根据题意，将下列表格补充完整： 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） 0.1 3.2 9.4 (2)设有x根立柱，护栏总长度为y米，则y与x之间的关系式是 ； (3)求护栏总长度为59米时立柱的根数？ 20．已知：如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，三角形的顶点坐标分别为，，，轴，、为相邻正整数，且，． (1)求点，的坐标； (2)如图2，点在轴负半轴上，连接，，点的纵坐标为，三角形的面积为，请用含的式子表示（不需要写出的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交轴于点，点在轴正半轴上，连接， ，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线相交于点，连接，，若三角形的面积为三角形的面积的2倍，求出此时点的坐标． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $