第十九讲 函数的零点与方程的解 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数的零点与方程的解，核心知识点包括函数零点定义、方程根与零点关系、零点存在定理及求解判断方法。课堂导入通过具体函数图像与方程根的联系，衔接函数单调性等性质，搭建从定义辨析到定理应用的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 资料特色在于题型分类系统，涵盖基础概念到综合应用，突出数形结合与转化思想，通过反函数性质、对称性求和等技巧培养学生数学思维，习题设计注重逻辑推理和实际应用，提升数学眼光和表达能力，适合自主学习与教师教学评估。

第十九讲 函数的零点与方程的解 【学习目标】结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理． 学会把函数的零点问题转化为方程的根的问题.【学习重点】函数的零点与方程解的关系，函数零点存在定理． 通过具体例子体会转化和数形结合的数学思想. 【学习难点】函数零点存在定理的导出．能准确画出函数图象，关注影响函数图象的交点个数的关键点. 必掌握知识点 1、函数的零点 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 2、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 3、零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 4、函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线， 且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 5、求函数的零点个数时，常用的方法有： （1）、直接根据零点存在定理判断； （2）、将整理变形成的形式，通过两函数图象的交点确定函数的零点个数； （3）、求函数的单调性，从而判断函数零点个数. 6.函数的零点相关技巧: ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 必考题型全归纳 题型一：函数零点基本概念 1函数零点定义：对于函数，使的实数叫做函数的零点。 等价关系：有实数解 函数图象与轴有交点 函数有零点 零点不是点，是横坐标（实数）。 1．若是函数的零点，则________. 【答案】/ 【分析】由题意可得，代入求解即可. 【详解】由题意可得， 解得. 题型二：零点存在性定理 如果函数在区间上的图象连续不断，并且有，那么函数在区间内至少存在一个零点。 注意： ① 条件：图象连续；。 ② 区间内至少一个零点，不能确定零点个数； ③ 不能说明区间无零点； ④ 若函数同时单调，则区间内有且仅有一个零点。 用途：①判断零点所在区间；②已知零点存在求参数范围。 2．若是方程的解，则属于区间（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用指数函数及幂函数图象数形结合函数值得出范围. 【详解】令，， ，． ，， ∴结合图象得． ∴由图象关系可得． 3．已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用零点存在定理求出、的取值范围，并求出的值，即可得出、、的大小顺序. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 同理可知函数为上的增函数，函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为，故，故. 4．方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造对应函数，利用函数单调性与零点存在性定理判断方程解所在区间. 【详解】令，. 因为均为增函数，所以在上单调递增，所以至多存在1个零点. 又， ， 所以函数在内有唯一零点， 即方程的实数解位于区间内. 5．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】先判断函数在上单调递增且连续，再利用零点存在定理求解即可. 【详解】函数在上的图象连续不断， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 若在区间上存在零点， 根据函数零点存在定理可知， 只需满足， 即， 解得， 所以实数m的取值范围是. 题型三：二次函数零点分布（一元二次方程根的分布） 设，。 1.一根大于，一根小于：只需； 2.两根都为负根： 3.两根都为正根： 4.有零点在区间内，分两类： 两个不同零点，一个落在区间：； 重根落在区间：，顶点横坐标落在区间。 解题思路：画抛物线，看开口、判别式、对称轴、区间端点函数值 6．函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，或三种情况，列不等式求的取值范围. 【详解】当时，，其图象与x轴的交点为，满足题意． 当时，分，两种情形，考虑到, 由题意得， 或，解得或． 综上可知，或或，即． 7．已知二次函数有两个正零点，，则的最小值为___. 【答案】 【分析】根据二次函数的零点与系数的关系得到和的表达式，再将进行变形，最后利用基本不等式求解其最小值. 【详解】二次函数有两个正零点， ，解得. 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 8．关于x的方程，有两个实根，且一根比2大，一根比2小，求实数m的范围． 【答案】 【分析】令，条件可转化为，解不等式可得结论. 【详解】令， 因为方程有两个实数根，且一根大于，另一根小于， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 9．关于x的方程有两个负根，求实数m的范围． 【答案】 【分析】由条件结合二次函数图象列不等式求的范围即可. 【详解】令，对称轴为 根据题意，作函数的图象： 则，解得， 所以实数的范围是. 题型四：复合函数、换元法处理零点问题 形如：令，先解得到，再解求； 指数型复合零点：令，转化为关于的二次方程，必须注意的限制条件，舍去负根。 10．已知函数若关于x的方程恰有3个实数解，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】由已知可求得当时，有2个实数解，将问题转化为，当时，有唯一实数解，进而求解. 【详解】当时，， 令，解得或 当时， 由关于x的方程恰有3个实数解，所以当时，有唯一实数解， 所以，解得或 所以实数a的取值范围为 故答案为： 11．若函数在内有零点，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】先考虑时,不成立;再考虑时有,从而解不等式即可. 【详解】时,不成立; 函数在内有零点, 当时有, 即，即 解得或， 故实数a的取值范围是. 12．已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，将原函数化为二次函数，问题转化为 在正半轴上有两个不同实根，利用二次函数根的分布，由判别式、韦达定理建立不等式组求解即可． 【详解】设，则原函数化为， 令 ，则 有两个零点等价于方程 在 上有两个不同的实数解， 二次函数 开口向上，对称轴为 ，要使其在 上有两个零点，需满足，解得， 因此实数 的取值范围为 . 题型五：数形结合求零点、交点个数 方程的实数解 与图像交点横坐标。 做题技巧：把方程拆成两个熟悉函数，画图数交点个数。 常见：绝对值函数、分段函数、指对函数与直线相交。 13．已知函数，若函数有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得出是偶函数，通过且在的表达式确定在有且仅有个不同的零点即可求解. 【详解】已知函数，， 则，因此是偶函数，图象关于轴对称， 若函数有且仅有个不同的零点，则且在有且仅有个不同的零点， 所以，即， 当时，，则，， 所以， 由于此时有且仅有个不同的零点，需满足，解得， 因此实数的取值范围是. 14．函数在上（   ） A．有三个零点 B．有两个零点 C．有一个零点 D．没有零点 【答案】C 【分析】根据函数零点的定义计算得到结果； 【详解】由于，令得，1， 因此在上仅有一个零点． 15．若函数的图象C与直线相交于点，那么曲线C与该直线有________________个交点． 【答案】4 【分析】根据给定条件，求出直线方程，与抛物线方程联立，结合零点存在性定理求解判断. 【详解】由图象C与直线相交于点，得，直线方程为， 方程化为：或或， 即或或， 解，得或；令函数或， 函数在上单调递减，，则函数在上有唯一零点； 函数在上单调递增，，则函数在上有唯一零点， 因此方程有4个不同的实数解，所以曲线C与该直线有4个交点. 题型六：反函数性质处理零点（指数、对数互为反函数） 与互为反函数，图像关于直线对称。 题型： 零点为；零点为，则。 原理：两点与关于对称，则，得到。 16．如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（   ） A． B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据函数零点的定义，结合同底的对数函数和指数函数互为反函数，根据反函数的对称性进行求解即可. 【详解】因为是实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为是正实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为函数和互为反函数， 所以它们的图象关于直线对称，且直线与直线互相垂直， 所以点关于直线对称， 所以，所以. 故选：C 17．设满足满足，则__________. 【答案】1 【分析】由题意转化为和是方程的根，即可求解. 【详解】， 所以是的根，也是方程的根， 函数是增函数，所以，则. 故答案为：1. 18．已知分别是函数，的零点，则的值为________. 【答案】 【分析】根据与的对称关系可知，由此可求得结果. 【详解】由题意知：， 分别为、与直线交点的横坐标， 与关于直线对称，关于直线对称， 则由得：，， . 故答案为：. 19．若是的零点，是的零点，那么的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】解法1：根据函数零点，可得①，②，整理①可得，令，代入可得，与②对比，可得，即，可求. 解法2：由题意得，，令，则，，利用与的图象关于直线对称，即可求解. 【详解】解法1： 根据题意，可得①，②， 所以，，即， 令，代入上式得， 所以，即， 而在上为增函数， 故与②式比较得，于是，即. 故选：C． 解法2： 令，化简得， 令，化简得， 令，则，， 故为的解，为方程的解， 由于与的图象关于直线对称，故，所以． 故选：C． 题型七：多个零点求和（对称性） 1.函数图像关于对称，若零点为，则； 2.分段函数，分段求出全部零点，再相加； 3.方程变形转化为对称函数，利用对称性质快速求零点总和，不用算出每个零点。 20．函数的所有零点之和为___________． 【答案】-2 【分析】根据函数的零点定义得到，令，，转化为有两根，设这两个根为，由得到，得到，从而得到函数的所有零点之和. 【详解】已知，令，得， 令，整理得，， 令，由在时单调递减，在时单调递减， 所以与图像只有两个交点，方程有两根 假设，即。可得。 又因为，所以， 所以，则， 故答案为：-2 21．函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的零点即可. 【详解】当时，，解得；当时，，解得， 所以函数的零点和为7. 故选：B 22．函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据指数函数、反比例函数的性质及图象的平移变换可知：函数与函数的图象共有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解.根据是方程的解得，再由对称性可知是方程的解，即可求解. 【详解】∵， ∴函数的图象由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的. 根据反比例函数的性质可知在和上单调递减，又在上单调递增， 故在同一平面直角坐标系下画出函数与函数的图象如下图所示. 由图可知：函数与函数的图象共有两个交点， 不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解. 若是方程的解，即. 又，∴是方程的解， ∴，则. 故选：C. 题型八：利用图像比较零点大小（指对幂函数图像） 把函数零点转化为两个函数图像交点横坐标，画出指数、对数、幂函数、直线草图，直接看交点左右位置，比较零点的大小。 零点不一定可以精确求解，只比较大小常用这个方法。 23．若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，转化为函数，，与的图象的交点的横坐标，在同一坐标系下，画出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】令，可得，即， 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 在同一坐标系内，画出函数，，和的图象， 如图所示，结合图象，可得. 24．已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，转化为函数与，与，与图象的交点问题；作出函数图象，结合图象可得各个交点的位置关系，从而进行判断. 【详解】，，, ，，； 即转化为函数与，与，与图象的交点问题. 分别画出，，，，，的图象，如图所示：      由图可知，与的图象交于两点，与的图象交于两点，与的图象交于两点；同时. 对于A，时，满足，故A正确； 对于B，，不满足，故B错误； 对于C，，满足，故C正确； 对于D，，满足，故D正确. 25．已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可. 【详解】的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， ∵函数的零点分别为, 作出函数的图象如图， 由图可知：,    26．已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数零点的定义，结合函数单调性和零点存在定理分别判断的范围. 【详解】是上的增函数，，， 因此零点，即. 令，得零点. 是上的增函数，，，因此零点，即， 综上可得大小关系：. 巩固提升： 1．函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【分析】利用函数零点的存在性定理求解. 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 2．函数至多有______个零点． 【答案】1 【分析】运用函数零点概念，求解零点，结合分段函数特征,分类讨论判定即可. 【详解】当，令，解得，但，所以只有可能是零点，且. 当，令，解得，又，所以只有，即时，可能是零点. 综上，当，至多1个零点；当，至多1个零点．即函数至多1个零点 故答案为：1． 3．已知函数，若，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意，分、、、讨论，进而得到，则，得到，进而得到即可求解． 【详解】，且定义域为， 又的解为或或，且， 当时，易知时，，不符合题意； 当时，易知时，，不符合题意； 当时，易知或时，存在，不符合题意； 当，如图，函数与的图像， ，即， 解得， ，当且仅当时取等， 则的最小值为． 4．若函数有且只有一个零点在区间上，则的值范围为______． 【答案】 【分析】根据判别式分和两种情况讨论，当时分别解得方程的根，再验证是否在所给区间内；当时，由题意可得，进而可得，再验证端点的值是否满足可得. 【详解】，令 ①当两个根相等时，则，解得或， 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，满足题意． ②当两个根不相等时，则，即，解得或. 因为方程有且只有一个根在区间上， 所以，解得,满足，因此方程有两个不同的根； 当时，此时方程为，方程的根为或，，，满足题意． 当时，此时方程为，方程的根为或，，，不合题意； 所以实数的取值范围为． 5．已知方程有两个不相等的正根，，且，则的取值范围是___ 【答案】 【分析】利用韦达定理可得，整理可得，结合图象可得，，，构造，结合对勾函数单调性分析求解. 【详解】因为方程有两个不相等的正根， 则，即，可得， 由，可得， 可知与在内有2个交点，如图所示： 则，，， 构造，可知在内单调递减， 则，即， 所以的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九讲 函数的零点与方程的解 【学习目标】结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理． 学会把函数的零点问题转化为方程的根的问题.【学习重点】函数的零点与方程解的关系，函数零点存在定理． 通过具体例子体会转化和数形结合的数学思想. 【学习难点】函数零点存在定理的导出．能准确画出函数图象，关注影响函数图象的交点个数的关键点. 必掌握知识点 1、函数的零点 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 2、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 3、零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 4、函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线， 且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 5、求函数的零点个数时，常用的方法有： （1）、直接根据零点存在定理判断； （2）、将整理变形成的形式，通过两函数图象的交点确定函数的零点个数； （3）、求函数的单调性，从而判断函数零点个数. 6.函数的零点相关技巧: ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 必考题型全归纳 题型一：函数零点基本概念 1函数零点定义：对于函数，使的实数叫做函数的零点。 等价关系：有实数解 函数图象与轴有交点 函数有零点 零点不是点，是横坐标（实数）。 1．若是函数的零点，则________. 题型二：零点存在性定理 如果函数在区间上的图象连续不断，并且有，那么函数在区间内至少存在一个零点。 注意： ① 条件：图象连续；。 ② 区间内至少一个零点，不能确定零点个数； ③ 不能说明区间无零点； ④ 若函数同时单调，则区间内有且仅有一个零点。 用途：①判断零点所在区间；②已知零点存在求参数范围。 2．若是方程的解，则属于区间（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 4．方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 5．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 题型三：二次函数零点分布（一元二次方程根的分布） 设，。 1.一根大于，一根小于：只需； 2.两根都为负根： 3.两根都为正根： 4.有零点在区间内，分两类： 两个不同零点，一个落在区间：； 重根落在区间：，顶点横坐标落在区间。 解题思路：画抛物线，看开口、判别式、对称轴、区间端点函数值 6．函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知二次函数有两个正零点，，则的最小值为___. 8．关于x的方程，有两个实根，且一根比2大，一根比2小，求实数m的范围． 9．关于x的方程有两个负根，求实数m的范围． 题型四：复合函数、换元法处理零点问题 形如：令，先解得到，再解求； 指数型复合零点：令，转化为关于的二次方程，必须注意的限制条件，舍去负根。 10．已知函数若关于x的方程恰有3个实数解，则实数a的取值范围为______. 11．若函数在内有零点，求实数a的取值范围． 12．已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五：数形结合求零点、交点个数 方程的实数解 与图像交点横坐标。 做题技巧：把方程拆成两个熟悉函数，画图数交点个数。 常见：绝对值函数、分段函数、指对函数与直线相交。 13．已知函数，若函数有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．函数在上（   ） A．有三个零点 B．有两个零点 C．有一个零点 D．没有零点 15．若函数的图象C与直线相交于点，那么曲线C与该直线有________________个交点． 题型六：反函数性质处理零点（指数、对数互为反函数） 与互为反函数，图像关于直线对称。 题型： 零点为；零点为，则。 原理：两点与关于对称，则，得到。 16．如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（   ） A． B．3 C．5 D．6 17．设满足满足，则__________. 18．已知分别是函数，的零点，则的值为________. 19．若是的零点，是的零点，那么的值为（    ） A． B．3 C． D．4 题型七：多个零点求和（对称性） 1.函数图像关于对称，若零点为，则； 2.分段函数，分段求出全部零点，再相加； 3.方程变形转化为对称函数，利用对称性质快速求零点总和，不用算出每个零点。 20．函数的所有零点之和为___________． 21．函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 22．函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 题型八：利用图像比较零点大小（指对幂函数图像） 把函数零点转化为两个函数图像交点横坐标，画出指数、对数、幂函数、直线草图，直接看交点左右位置，比较零点的大小。 零点不一定可以精确求解，只比较大小常用这个方法。 23．若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 24．已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 25．已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D．    26．已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 巩固提升： 1．函数的零点在区间内，则_________． 2．函数至多有______个零点． 3．已知函数，若，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．若函数有且只有一个零点在区间上，则的值范围为______． 5．已知方程有两个不相等的正根，，且，则的取值范围是___ 1 学科网（北京）股份有限公司 $