第2讲 集合间的基本关系导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等的定义，空集性质，子集个数公式及含参问题。通过衔接集合基本概念，以知识框架梳理关系脉络，搭建从定义理解到综合应用的学习支架。 资料设计分层例题（中等、提高、高考、创新），结合方法分析强调空集优先原则与符号规范，配套变式练习巩固。助力学生强化逻辑推理和数学运算素养，培养分类讨论思维与创新意识，适合暑假预习自主学习与能力提升。

新课标高中数学暑假预习讲义 第2讲 集合间的基本关系暑假预习讲义 【内容导航】 1. 子集、真子集、集合相等定义； 2. 空集核心性质； 3. 集合关系符号辨析； 4. 子集个数公式推导与应用； 5. 含参子集分类讨论； 6. 创新定义集合关系、高考综合题型。 【学习目标导航】 一、知识目标 1. 掌握子集、真子集、集合相等、空集的精准定义； 2. 熟练使用等集合关系符号； 3. 熟记空集性质、有限集合子集、真子集个数公式； 4. 掌握集合包含关系的判定方法与含参问题解法。 二、能力目标 1. 可精准判定任意两个集合的包含、相等、真包含关系； 2. 熟练计算各类子集、真子集、非空子集个数； 3. 掌握含参子集空集优先讨论法，可应对创新题型与高考题型。 三、素养目标 强化逻辑推理、数学运算素养，培养分类讨论思维，规范数学符号书写与推理过程。 【学习重点】 子集、真子集、集合相等的判定；空集的核心性质；子集个数公式的应用。 【学习难点】 子集与真子集的区分；含参集合分类讨论；创新集合关系题型解读。 【知识框架】 集合关系：空集性质 →子集 →真子集 →集合相等 →子集个数公式 →含参子集求解 →关系传递性 →创新定义题型 →高考综合应用。 【学习过程】 （一）知识要点梳理 1. 子集 定义：若集合中任意一个元素都是集合中的元素，则称是的子集，记作（或），读作“A包含于B”。 性质：① （任何集合是自身的子集）； ② （空集是任何集合的子集）。 2. 真子集 定义：若且，则称是的真子集，记作（或）。 性质：（空集是任何非空集合的真子集）。 3. 集合相等 定义：若且，则，即两个集合元素完全相同。 4. Venn图 用封闭曲线（圆形、矩形）表示集合，直观展示集合间的包含、相等关系，是数形结合解题的核心工具。 5. 子集个数核心结论 若集合中有个元素， 则：子集个数为， 真子集个数为， 非空子集个数为， 非空真子集个数为。 （二）公式推导 子集个数公式推导：对于元集合，每个元素都有“选入子集、不选入子集”两种情况，总组合数为，即子集总数，剔除集合本身，得真子集个；再剔除空集，得非空真子集个。 （三）例题讲解 ★ 中等难度例题 例1. 判断集合间关系： (1) ； (2)。 【解析】：(1) ； (2) 。 例2 .写出集合的所有子集、真子集。 【解析】：子集：（共个）； 真子集剔除集合本身，共7个。 例3. 已知，若，求的取值范围。 解析：由包含关系得。 例4 .判断正误：(1) ；(2) 。 【解析】：(1) 正确，空集是任何集合的子集； (2) 错误，是元素，与集合是从属关系，应为。 例5. 若且，求的值。 【解析】：集合相等则元素完全相同，故。 ★ 提高难度例题 例6. 已知集合，若，求实数的值。 【解析】：分类讨论： （1），即，符合； （2），则，故或，得或。 综上，实数。 例7. 已知集合，若，求的取值集合。 【解析】：， （1），； （2），； （3），。 综上，的取值集合为。 ★ 高考例题 例1.，判断关系。 【解析】：。 例2.，求真子集个数。 【解析】：5个元素，真子集个。 ★ 创新题型 创新例1. 定义：若且无集合满足，则称是的“紧邻真子集”，求的紧邻真子集。 解析：。 （四）方法分析 1. 关系区分技巧：元素与集合用，集合与集合用，严禁混用； 2. 含参包含问题核心：遵循空集优先原则，先讨论子集为空集的情况，再讨论非空情况； 3. 子集个数计算：先确定集合元素个数，再代入对应公式，注意区分子集、真子集、非空真子集。 4. 创新题型：拆解新定义，回归基础包含关系求解。 （五）变式练习 1. 集合的非空真子集个数为__________。 【答案】6 【解析】非空真子集23-2=6个 2. 已知，若求的取值范围。 【答案】. 【解析】因为 所以集合A中的任意元素都属于集合B 又 所以. 即的取值范围为. 3. 已知，求证。 【证明】可得 （六）本节知识总结 1. 四大关系：子集、真子集、相等、空集包含关系，核心是任意元素归属； 2. 两大工具：符号语言精准表达关系，Venn图直观辅助分析； 3. 核心公式：元集合子集个，真子集个； 4. 高频易错：忽略空集特殊性、混用从属与包含符号、参数讨论不全面。 5.创新题型:依托基础定义，无需复杂运算。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $新课标高中数学暑假预习讲义 第2讲 集合间的基本关系暑假预习讲义 【内容导航】 1. 子集、真子集、集合相等定义； 2. 空集核心性质； 3. 集合关系符号辨析； 4. 子集个数公式推导与应用； 5. 含参子集分类讨论； 6. 创新定义集合关系、高考综合题型。 【学习目标导航】 一、知识目标 1. 掌握子集、真子集、集合相等、空集的精准定义； 2. 熟练使用等集合关系符号； 3. 熟记空集性质、有限集合子集、真子集个数公式； 4. 掌握集合包含关系的判定方法与含参问题解法。 二、能力目标 1. 可精准判定任意两个集合的包含、相等、真包含关系； 2. 熟练计算各类子集、真子集、非空子集个数； 3. 掌握含参子集空集优先讨论法，可应对创新题型与高考题型。 三、素养目标 强化逻辑推理、数学运算素养，培养分类讨论思维，规范数学符号书写与推理过程。 【学习重点】 子集、真子集、集合相等的判定；空集的核心性质；子集个数公式的应用。 【学习难点】 子集与真子集的区分；含参集合分类讨论；创新集合关系题型解读。 【知识框架】 集合关系：空集性质 →子集 →真子集 →集合相等 →子集个数公式 →含参子集求解 →关系传递性 →创新定义题型 →高考综合应用。 【学习过程】 （一）知识要点梳理 1. 子集 定义：若集合中任意一个元素都是集合中的元素，则称是的子集，记作（或），读作“A包含于B”。 性质：① （任何集合是自身的子集）； ② （空集是任何集合的子集）。 2. 真子集 定义：若且，则称是的真子集，记作（或）。 性质：（空集是任何非空集合的真子集）。 3. 集合相等 定义：若且，则，即两个集合元素完全相同。 4. Venn图 用封闭曲线（圆形、矩形）表示集合，直观展示集合间的包含、相等关系，是数形结合解题的核心工具。 5. 子集个数核心结论 若集合中有个元素， 则：子集个数为， 真子集个数为， 非空子集个数为， 非空真子集个数为。 （二）公式推导 子集个数公式推导：对于元集合，每个元素都有“选入子集、不选入子集”两种情况，总组合数为，即子集总数，剔除集合本身，得真子集个；再剔除空集，得非空真子集个。 （三）例题讲解 ★ 中等难度例题 例1. 判断集合间关系： (1) ； (2)。 例2 .写出集合的所有子集、真子集。 例3. 已知，若，求的取值范围。 例4 .判断正误：(1) ；(2) 。 例5. 若且，求的值。 ★ 提高难度例题 例6. 已知集合，若，求实数的值。 例7. 已知集合，若，求的取值集合。 ★ 高考例题 例1.，判断关系。 例2.，求真子集个数。 ★ 创新题型 例1. 定义：若且无集合满足，则称是的“紧邻真子集”，求的紧邻真子集。 解析：。 （四）方法分析 1. 关系区分技巧：元素与集合用，集合与集合用，严禁混用； 2. 含参包含问题核心：遵循空集优先原则，先讨论子集为空集的情况，再讨论非空情况； 3. 子集个数计算：先确定集合元素个数，再代入对应公式，注意区分子集、真子集、非空真子集。 4. 创新题型：拆解新定义，回归基础包含关系求解。 （五）变式练习 1. 集合的非空真子集个数为__________。 2. 已知，若求的取值范围。 3. 已知，求证。 （六）本节知识总结 1. 四大关系：子集、真子集、相等、空集包含关系，核心是任意元素归属； 2. 两大工具：符号语言精准表达关系，Venn图直观辅助分析； 3. 核心公式：元集合子集个，真子集个； 4. 高频易错：忽略空集特殊性、混用从属与包含符号、参数讨论不全面。 5.创新题型:依托基础定义，无需复杂运算。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $