第二十一章 一元二次方程 单元测试基础卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册一元二次方程基础单元卷，立足单元复习，以“基础巩固+情境应用”为主线，覆盖方程定义、解法、根的判别式及实际应用，通过村“BA”篮球赛、快递揽件增长等现实情境，培养数学眼光与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、配方法、根的判别式|第8题以村“BA”双循环赛制为背景，考查方程建模| |填空题|5/15|根与系数关系、新定义运算、传染问题|第13题结合支原体肺炎传染，体现数学思维的逻辑性| |解答题|8/75|解方程、利润问题、面积最值、综合实践|第23题景区排队检票问题，融合二次函数与实际应用，发展数据意识与应用能力|

第二十一章 一元二次方程（基础卷）2026-2027学年人教版数学九年级上册单元测试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，关于的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．用配方法解方程 下列配方结果正确的是 (　　) A． B． C． D． 3．若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（　　） A． B． C． D． 4．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞－1 B．k≥－1 C．k＜－1 D．k≤－1 5．若是方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 6．一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（　　） A． B．1 C． D．4 7．关于x的一元二次方程的一个根为，设，则M与方程根的判别式△之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 8．村“”是指乡村篮球赛，近年来，村“”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛110场，则参加比赛的球队有（　　） A．9支 B．10支 C．11支 D．12支 9．某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，到第三天统计得出三天共揽件662件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，某小区规划在一个长为，宽的矩形场地上，修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若要使草坪部分的总面积为，设小路的宽为．则可列方程（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11．请写出一个两实数根之积为6的一元二次方程　 　. 12．现定义运算“⊗”，对于任意实数a，b，都有（ 如： 若x⊗2=6，则实数x的值是　 　。 13．秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后，共有144人患支原体肺炎，则每轮传染中平均一人传染　 　人. 14． 已知实数x，y满足 则 的最大值是　 　，最小值是　 　. 15．一张长12cm、宽10cm的长方形铁皮如图所示，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的长方形，剩余部分（阴影部分）可制成底面面积是的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为　 　cm 三、解答题：本大题共8小题，共75分. 16．解方程： （1） （2）． 17．已知关于的一元二次方程． （1）若方程总有两个实数根，则的取值范围是_______． （2）若方程有一个实数根为1，求的值和另一个实数根． 18．某花圃用花盆培育某种花苗，经试验发现，每盆花的盈利与每盆株数存在一定的关系：每盆植入6株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若增加花苗株数，每盆平均单株盈利y(元)与每盆的总株数x(株)成如图所示的一次函数关系． （1）每盆种植7株时，平均单株的盈利是多少元? （2）若要求每盆花苗超过6株，且每盆的盈利为32元，则每盆应种植多少株? 19．我们把一元二次方程 的两根记为x1，x2，若方程的两根满足 则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为k；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对。 已知关于 x 的方程. （1）不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程是对称根方程，且对称中心值为5，求m的值； （3） 若 是它的互补对，求m的值. 20．如图，现打算用60m的离笆围成一个“日"字形菜园ABCD（含隔离栏EF），菜园的一面靠墙MN（墙MN可利用的长度为39m）（离笆的宽度忽略不计） （1）菜园面积可能为252m2吗？若可能，求边长AB的长，若不可能，请说明理由： （2）因场地限制，菜园的宽度AB不能超过8m，求该菜园面积的最大值. 21．某商场销售一种商品，每件进价为元．调查发现，当销售单价为元时，平均每天可以销售件；而当销售单价每提高元时，平均每天销量将会减少件，且物价部门规定：销售单价不能超过元．设该商品的销售单价为元，每天销量为件． （1）请直接写出与的函数关系式； （2）商场要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价为多少元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 22．某公园有一块长30米，宽20米的长方形空地，现将其划分成一个长方形区域I（阴影部分）和一个环形道路区域II（空白部分），如图1所示．区域II道路的宽度相等，且不超过5米．其中区域种植甲、乙两种花卉，且满足，设道路宽为米． （1）请用含的代数式表示长方形的面积； （2）若长方形的面积为336平方米，求道路宽的值； （3）若点为的中点，建设成本如图2，建造总费用恰好为50000元（建造总费用包含花卉种植费和道路铺设费），求道路宽的值． 23．综合与实践 问题背景： 景点检票时游客排队是常见的现象．智慧学案（讲义）智慧课堂（作业）某校数学兴趣小组对该景区每天开园100分钟内“排队检票人数与开园时间、开放检票窗口之间的关系”开展了综合与实践活动． 调研数据： 信息1：景区开园时，检票窗口同时开始检票．已知每个检票窗口每分钟可检票20人． 信息2：景区开园后，到达景区的总人数（单位：人）与开园时间（单位：分钟）满足二次函数． 信息3：开园后不断有新的游客到达检票窗口，任意时刻满足：排队检票人数w（单位：人）到达景区的总人数已检票人数． 建立模型： 开园时景区同时开放14个检票窗口（该景区共有24个检票窗口）． （1）①开园10分钟，14个检票窗口已检票的人数为________； ②排队检票人数w（单位：人）与开园时间x（单位：分钟）之间的函数关系式为________． 问题解决： （2）求开园多少分钟不再有游客排队检票． （3）检票到第10分钟时，除正常游客外，又新增一单位团体游客200人，为了减少排队等候时间，决定当即临时增开个检票窗口．若景区检票口期望在开园40分钟以内不再出现排队的情况，求的最小值． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】A 8．【答案】C 9．【答案】D 10．【答案】B 11．【答案】x2+5x+6=0 12．【答案】4或-1 13．【答案】11 14．【答案】3； 15．【答案】2 16．【答案】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． ​​​​​​ （2）解： ∴，． 17．【答案】（1） （2）的值为，另一个实数根为 18．【答案】（1）解：设题中所述的一次函数表达式为y=kx+b， 代入 (6， 4) 和(11， 3) ， 可解得函数表达式为y=-0.2x+5.2， 当x=7时， y=3.8， 即每盆种植7株时，平均单株的盈利是3.8元． （2）解：根据题意， 得x(-0.2x+5.2)=32， 解得，x1=10， x2=16，且都符合题意， 即每盆应种植10或16株． 19．【答案】（1）证明：对于方程 ∵m为任意实数时， 恒成立. ∴不论m取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两根为 ∵该方程是对称根方程，且对称中心值为k=5， ∴根据定义有： 则2m+4=2×5， 则m=3； （3）解：对于方程 设它的两根为 ∵它的对称中心值为 对于方程 ∴两根之和为2m+4，所以它的对称中心值为 ∵两根之积为4m， ∴根据“互为互补对”的定义，两对称中心值之和等于两根之积的差的绝对值，则 分两种情况讨论： ①当4m-21≥0时，即 ∴m + 7 = 4 m - 2 1 . 解得 ∴此解符合题意. ②当4m-21<0时，即 ，解得 ∴此解也符合题意. 综上，m的值为 或 ​​​​​​​ 20．【答案】（1）解：设AB的长为 ，则BC的长为(60-3x)， 根据题意得：(60-3)=252， 解得=6或=14， 当=6时，BC=60-18=42>39，舍去； 当=14时，BC=60-42=18<39，满足题意， ∴花园面积可能是 此时边AB长为14； （2）解：设AB的长为 ，菜园面积为 由题意得：2 ∴当x<10时，y随x的增大而增大， ∴当x=8时，y最大，最大值为288. 答：该菜园面积的最大值为288平方米. 21．【答案】（1）解：． （2）解：由已知可得：， ∴， ∴， ∴，（不符合题意，舍去）， ∴商场要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为元． （3）解：设商场每天销售利润为元， 则， ∵，且对称轴为直线x=17， ∴当x<17时，y随着x的增大而增大， ∴当时，最大，即， ∴销售单价为元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大，最大利润是元． 22．【答案】（1）解：． （2）解：由题意得 ， 解得，（舍去）， 答：道路宽为3米． （3）解：∵点为的中点，，四边形是矩形，∴，， ∴， 由题意知： 环形道路的面积为：， 花卉甲的种植面积为：， 花卉乙的种植面积为：， ∴， 整理得： 解得（舍去） 所以当道路宽为5米时，建造总费用为50000元． 23．【答案】(1) ①2800人；② (2) 解：不再排队即排队人数， 解方程：， 整理得，因式分解为， 解得（舍去负根）． 即开园70分钟后不再有游客排队． (3)解：要求开园40分钟以内不再排队，即时排队人数， 开园40分钟时，总游客数（含新增200人团体）为：（人）， 总已检票人数为：， 则， 解得． 因为是正整数，且景区总窗口最多24个， 所以的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $