第4章 相似三角形单元测试2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学相似三角形单元卷，立足单元复习，覆盖比例线段、相似判定与性质等核心知识，通过分层设计与情境应用，培养抽象能力、推理意识和模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例线段、相似多边形、黄金分割|基础巩固，如第7题结合树叶黄金分割情境| |填空题|6/24|位似变换、重心应用、调和点列|能力提升，如第16题引入新定义考查推理| |解答题|8/66|相似证明、动态问题、实际应用|创新应用，如第22题足球射门任务链，融合抛物线与相似，发展模型观念；第24题四边形综合证明，培养逻辑推理|

第4章 相似三角形 单元测试 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．下列四组线段中，不是成比例线段的是（　　） A．a=3，b=6，c=2，d=4 B．a=1，b= ，c= ，d=2 C．a=4，b=6，c=5，d=10 D．a=2，b= ，c= ，d=2 2．如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，已知，若，，则为（　　） A． B． C． D． 4．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知AD为△ABC中BC边上的中线，过重心G作GE∥AC，交BC于点E，DE＝2，则BC的长为（　　） A．12 B．8 C．6 D．4 6．下列各选项：①两个边长不等的等边三角形；②两个边长不等的正方形；③两个边长不等的菱形；④两个斜边不等的等腰直角三角形，其中的两个图形一定相似的有（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 7．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为（　　）cm. A． 1 B．2 2 C．5 5 D．10 10 8．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（　　） A．∠C=2∠A B．BD平分∠ABC C．S△BCD=S△BOD D．点D为线段AC的黄金分割点 9．搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD．AN．CM将正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中点，N是BC的中点，AN与CM交于O点．已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的△CON的面积为（　　） A．96cm2 B．48cm2 C．24cm2 D．以上都不对 10．如图，在中，AG平分分别交BD，BC，DC延长线于点F，G，E，记或的面积分别为，若，的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把AOB放大到原来的2倍，则点P的对应点的坐标为　 　． 12．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 　 　. 13．如图，中，G是重心，，，那么　 　 14．已知中，，，平分交于，过作交于，作平分、交于，过作交于，则线段的长度为　 　．（用含有m的代数式表示） 15．如图，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，以为边向上作等边，交于点，反比例函数的图象交于点，．若，的面积为，则的值为　 　，则的面积为　 　． 16．定义：如图1，对于线段的内分点和外分点，如果满足，那么称是“调和点列”．如图2，在中，点在上，点在的延长线上，联结，射线与射线交于点，若是调和点列，且，则的值是　 　． 图1 图2 三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题10分，第21题10分，第22题6分，第23题10分，第24题12分，共66分） 17．如图，已知等边 的边长为8，点D、P、E分别在边上，，E为中点，当与相似时，求的值． 18． （1）画出图形A先绕点O顺时针方向旋转，再向左平移6格后得到的图形． （2）画出平行四边形①按放大后得到的图形． 19．如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且点E，F分别在边BC，AD上． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若∠ADC＝60°，DF＝2AF＝2，求△GDF的面积． 20． 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线最高点的坐标； （3）斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 21． （1）【问题探究】如图1，点F是正方形边上一点，射线交对角线于点E，交的延长线于点G．证明； （2）【知识迁移】如图2，点F是平行四边形边上一点，射线交对角线于点E，交的延长线于点G．证明： （3）【拓展应用】如图3，是的中线，点E是上一点，过点C作，连接并延长交于点F，交于点G，若，求的值． 22．根据以下素材，探索完成任务 如何调整足球的发球方向 素材1 如图是某足球场的一部分，球门宽DE=CF=7m，高CD=EF=2.5m，小梅站在A处向门柱CD一侧发球，点A正对门柱CD(即AC⊥CF)，AC=24m，足球运动的路线是抛物线的一部分. 素材2 如图，当足球运动到最高点时，高度为4.5m，即，此时水平距离，以点为原点，直线BA为轴，建立平面直角坐标系. 素材3 距离球门正前方6m处放置一块矩形拦网HGMN，拦网面垂直于地面，且GH∥CF，拦网高HN=4m. 问题解决 任务1 结合素材1，2，求足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式. 任务2 结合素材1，2，小梅不改变发球的方向，射门路线的形状和最大高度保持不变此时足球能否进入球门?若不能进入，他应该带球向正后方至少移动多少米射门才能让足球进入球门 任务3 结合以上素材，小梅站在A处，只改变发球方向，射门路线的形状和最大高度保持不变，请探求此时足球能否越过拦网，在点E处进入球门 上述任务1、任务2、任务3中球落在门柱边线视同足球进入球门 23． 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，点P为AB上一点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q．设AP的长度为x，点P，Q的距离为y1，△ABC的周长与△APQ的周长之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；请分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 24．如图，四边形中，平分，，E为的中点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的值． 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】比例线段 【解析】【解答】解：∵ ，故选项A中的线段成比例； ∵ ，故选项B中的线段成比例； ∵ ，故选项C中的线段不成比例； ∵ ，故选项D中的线段成比例； 故选C． 【分析】根据各个选项中的数据可以判断哪个选项中的四条线段不成比例，本题得以解决． 2．【答案】A 【知识点】解分式方程；相似多边形 【解析】【解答】解：由题意可知，两个矩形相似，可以得到 或， 解得或， ∵两个矩形不全等， ∴（舍去）， ∴x=3， 故答案为：A． 【分析】根据相似多边形性质构建方程，解方程即可求出答案. 3．【答案】B 【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，设交于点O，则 ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：B. 【分析】过点H作HM⊥AB，垂足为M，过点F作FN⊥AD，垂足为N，设HM、FE交于点O，则NF=AB，MH=BC，由对顶角的性质可得∠HOE=∠FOM，根据等角的余角相等可得∠GHM=∠EFN，证明△MHG∽△NFE，然后根据相似三角形的性质进行解答. 4．【答案】B 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解：由勾股定理得：AB= = ，BC=2，AC= = ， ∴AC：BC：AB=1： ： ， A、三边之比为1： ：2 ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似； B、三边之比：1： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似； C、三边之比为 ： ：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似； D、三边之比为2： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似． 故选B． 【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 5．【答案】A 【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用 【解析】【解答】解：∵G是重心， ∴DG：DA＝1：3， ∵GE∥AC， ∴DE：DC＝DG：DA＝1：3， ∵DE＝2， ∴CD＝6， ∴BC＝2CD＝12， 故答案为：A. 【分析】根据重心定义可得DG：DA＝1：3，根据平行线分线段成比例定理得DE：DC＝DG：DA，进而代入数据即可算出CD，最后根据中点定义可得BC的长. 6．【答案】C 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解：①两个边长不等的等边三角形一定相似，符合题意； ②两个边长不等的正方形一定相似，符合题意； ③两个边长不等的菱形的对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，不符合题意； ④两个斜边不等的等腰直角三角形一定相似，符合题意； 故答案为：C． 【分析】利用相似三角形的判定方法判断求解即可。 7．【答案】C 【知识点】黄金分割 【解析】【解答】解：由黄金分割可得： ∴ 整理得： 解得： ， (舍去) 故答案为：C. 【分析】由黄金分割的特点可得，代入数据求解即可. 8．【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；黄金分割 【解析】【分析】A、∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=72°， ∴∠C=2∠A，正确，故本选项错误。 B、∵DO是AB垂直平分线，∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD=36°。∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD， ∴BD是∠ABC的角平分线，正确，故本选项错误。 C，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误，故本选项正确。 D、∵∠C=∠C，∠DBC=∠A=36°，∴△DBC∽△CAB， ∴，即BC2=CD•AC， ∵∠C=72°，∠DBC=36°，∴∠BDC=72°=∠C。∴BC=BD， ∵AD=BD，∴AD=BC， ∴AD2=CD•AC，即点D是AC的黄金分割点，正确，故本选项错误。 故选C. 9．【答案】B 【知识点】三角形的面积；正方形的性质；相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：找到CD的中点E，找到AD的中点F，连接CF，AE， 则CM∥EA，AN∥FC，△BOM∽△BKA， ∴ ＝ ＝ ， 同理可证： ＝ ＝ ， 故DK＝KO＝OB， ∴△BOC和△BOA的面积和为 正方形ABCD的面积， ∵CN＝NB＝AM＝BM， ∴△OCN的面积为 △BOC和△BOA的面积和， ∴△OCN的面积为 ＝48cm2， 故选B 【分析】先证明BO为正方形ABCD的对角线BD的 ，再求证△CNO，△NBO，△AMO，△BMO的面积相等，即△CON的面积为正方形面积的 ．本题考查了正方形内中位线的应用，考查了正方形四边均相等的性质，解本题的关键是求证BO＝ BD，△OCN的面积为 △BOC和△BOA的面积和 10．【答案】C 【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；相似三角形的性质-对应面积 【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD， ∠DAF=∠AGB， AG平分 ， ∠DAF=∠BAG， ∠AGB=∠BAG， BA=BG， ， 设AB=2x，则BC=AD=3x，CD=BG=AB=2x， CD=BC-BG=x， AB∥CD， ， ， 即， AD∥BC， ， ， ， ， ， ， . 故答案为：C. 【分析】先根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，则∠DAF=∠AGB，再根据角平分线的定义得∠DAF=∠BAG，则BA=BG，进而可得BG=AB，设AB=2x，则BC=AD=3x，CD=BG=AB=2x，CD=BC-BG=x，证，根据相似三角形的性质得出，再证，根据相似三角形的性质得出再由，得出进而可得，据此即可得到答案. 11．【答案】（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n） 【知识点】位似变换 【解析】【解答】解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍， 则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（-2），n×（-2）），即（2m，2n）或（-2m，-2n）， 故答案为：（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）． 【分析】根据位似图形的性质求解即可。 12．【答案】3 【知识点】相似三角形的性质 【解析】【解答】解：依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则 解得 . 故答案为：3. 【分析】依题意可知：两高脚杯中的液体部分两三角形相似，然后根据对应边成比例可得AB. 13．【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用 【解析】【解答】解：如图所示，连接并延长交于E， ∵G是的重心， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】连接并延长交于E，先利用三角形重心的性质可得，求出，再证出，最后利用相似三角形的性质可得. 14．【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：如图所示： ， 平分交于， ， ， ， ，， ， 设， 则， ， ， 整理得：， 解得：， 同理可得， 设， ， ， ， 解得：， 故答案为： 【分析】设，先证出，可得，再将数据代入可得，求出，再证出，可得，再将数据代入可得，最后求出即可. 15．【答案】； 【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等边三角形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定 【解析】【解答】解：设点Q的坐标为（0，3m），设点P的坐标为（3n，0）， 设直线QR的解析式为：y=kx+3m，代入点（3n，0）， 可得：3kn+3m=0， 解得：. ∴. 过点T作TB⊥y轴于点B，作T作TC⊥x轴与点C，过点U作AU//x轴于点A，过点S作SD⊥OR于点D，如图： ∴△TAU∽△QOR， ∴. ∴TA=m，AU=n. ∵△ORS是等边三角形， ∴∠SOR=60°. 设点T的坐标为，则点U的坐标为. ∵点T在直线的图象上， ∴，即. ∵点T和U都在反比例函数的图象上， ∴. ∴，即 ①－②得：m(x－n)=0. ∵m≠0， ∴x＝n. 易证△QBT∽△QOR， ∴， 故QB=m，OB=2m. ∴点T的坐标为（n，2m）， ∴. 等边三角形SOR中，OR=3n， ∴ ∵△OQT的面积为，即， ∴. ∴， . 故答案为：；. 【分析】设点Q的坐标为（0，3m），设点P的坐标为（3n，0），可得直线QR的解析式为；过点T作TB⊥y轴于点B，作T作TC⊥x轴与点C，过点U作AU//x轴于点A，过点S作SD⊥OR于点D，证明△TAU∽△QOR，可得TA=m，AU=n.利用等边三角形的性质可设点T的坐标为，则点U的坐标为.把点T的坐标代入得：；把点T和U的坐标代入，可得；两式相减可求得x＝n；再根据△QBT∽△QOR，可得QB=m，T(2m，n). 表示出△OQT的面积，可得.于是可求得k的值，求出SD的长，即可得的面积. 16．【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程；相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵是调和点列，且， ∴， ∴， 即， 解得：（负值舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】先根据题意得出，即，代入求出BD=1，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等得出，故，即可求解. 17．【答案】解：设， ∵等边的边长为8， ∴， ∵E为中点， ∴， ①和是对应边时，， ∴， 即， 整理得，， 解得，， 即的长为2或6， ②和是对应边时，， ∴， 即， 解得， 即， 综上所述，的值是2或6或． 【知识点】相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】分类讨论：①和是对应边时，；②和是对应边时，，再分别利用相似三角形的性质列出算式和方程求解即可. 18．【答案】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换；作图﹣旋转 【解析】【分析】（1）把图形A绕O点顺时针旋转90°，找出旋转中心O，把正方形顺时针旋转90°；再把旋转后的正方形再向左平移6格，再依次连接起来即可得出图形； （2）根据图形放大或缩小的意义，把平行四边形①的各边分别放大到原来的2倍，对应角的度数不变，即可画出放大后的图形． 19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD， ∴∠AEB＝∠DAE， ∵AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线， ∴∠AEB＝∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠BCD， ∴∠AEB＝∠BCF， ∴AE∥CF， 又∵AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：如图，过点C作CH⊥AD于点H， 则∠CHD＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝180°﹣60°＝120°， ∵CF是∠BCD的平分线， ∴∠DCF＝∠BCD＝×120°＝60°， ∴∠ADC＝∠DCF＝60°， ∴△CDF是等边三角形， ∴CD＝DF＝2，DH＝DF＝1， 在Rt△CHD中，由勾股定理得：CH＝＝＝， ∴S△CDF＝DF•CH＝×2×＝， 由（1）得：四边形AECF是平行四边形， ∴CE＝AF＝DF＝×2＝1， ∵AD∥BC， ∴△DGF∽△EGC， 【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行，对角相等得AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，由平行线的性质及角平分线的定义可推出∠AEB＝∠BCF，由同位角相等，两直线平行，得AE∥CF，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得四边形AECF是平行四边形； （2）过点C作CH⊥AD于点H，由平行四边形邻角互补及角平分线的定义推出∠ADC＝∠DCF＝60°，由有两个角是60°的三角形是等边三角形得△CDF是等边三角形，由等边三角形的性质得CD＝DF＝2，DH＝DF＝1，在Rt△CHD中，由勾股定理算出CH的长，由三角形的面积计算方法算出△CDF的面积；由平行于三角形一边得直线，截其他两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△DGF∽△EGC，进而根据相似三角形对应边成比例可求出，最后根据同高三角形的面积之比就等于底之比可求出△GDF的面积. 20．【答案】（1）解：点是抛物线上的一点 把点代入中 得： 拋物线的解析式为 （2）解：方法一：由（1）得： 抛物线最高点的坐标为 方法二： 抛物线最高点的坐标为； （3）解：过点A、B分别作轴的垂线，垂足分别是点E、D 在和中 又点是OA的三等分点 ∴，BD=AE ∴，BD= 点的横坐标为1 将代入中 点的坐标为 答：这棵树的高度是2. 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线y=-x2+bx，即可求得b的值，从而得出抛物线的解析式； （2）由（1）知拋物线的解析式为，把它转化为顶点式，即可求得抛物线最高点的坐标； 或者根据抛物线顶点坐标公式，求得顶点坐标，即可得出答案； （3）首先证明，然后根据相似三角形的性质，可得出OD=1，BD=，即点C的横坐标为1，然后根据点C在抛物线上，即可得出点C的纵坐标为，再用点C的纵坐标减去BD的长度即可得出这颗树的高度. 21．【答案】（1）证明：∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长至点，使，连接， ∵为三角形的中线， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴三点共线， 同法（2）可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，易证，再由相似三角形的性质即可得出结论； （2）与（1）类似，利用平行四边形的性质、相似三角形的性质证明； （3）延长至点，使，连接，构造平行四边形ABHC，由（2）结论得，进而得出，后由，即可得出结果. 22．【答案】解：任务一：由题意得抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 抛物线经过点， ， 解得， 足球运动轨迹抛物线的函数表达式为 任务二：当时，即时， ， 足球不能进入球门， 小梅带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为： 把点代入得：， 解得(舍去)或 向正后方移动1米射门 任务三： 如图构造三角形， 由题意可知： 当时，， 能过拦网. 当时， 能在处入网 【知识点】相似三角形的实际应用；二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【分析】任务一：根据题意，确定抛物线顶点坐标，设抛物线的顶点式，再把代入，即可求出抛物线解析式. 任务二：根据题意，确定C点横坐标为24，代入抛物线解析式求得C点纵坐标，与CD比较，若小于CD长则可以进入球门，否则不能进入球门，利用函数图象的平移规律，设出移动后的抛物线解析式，再把点代入，求出平移距离即可. 任务三，根据题意，构建数学模型，运用相似三角形性质，求出拦网处的横坐标，再由纵坐标判断是否可以过网，由于AF=25，故验证x=25时，纵坐标与2.5的大小，判断能否在点E处进入球门. 23．【答案】（1）解：∵PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∴， ∴， ∴y1＝x（0＜x≤6）； ∵PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∴△ABC的周长：△APQ的周长＝AB：AP， ∴y2＝（0＜x≤6）； （2）解：平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象如图所示； 当0＜x＜6时，y1随x的增大而增大；y2随x的增大而减小； （3）解：由函数图象得，当y1＞y2时x的取值范围为2.1＜x≤6． 【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应周长 【解析】【解答】解：（3）∵y1＝x，y2＝， ∴， ∴， ∴函数图象得，当y1＞y2时x的取值范围为2.1＜x≤6． 【分析】（1）根据线段平行可推出△APQ∽△ABC，证明，即可求出y1 关于x的函数表达式；用同样的方法证明△APQ∽△ABC，利用相似的性质周长比等于线段比即可求出y2 关于x的函数表达式； （2）利用描点法克画出y1，y2的图象，观察图像即可写出关于他们的函数图象性质； （3）先求出两个函数图象的交点的横坐标即可求出y1＞y2时x的取值范围 . 24．【答案】（1）证明：平分， ， 在和中，， ， ， ； （2）证明：，为的中点， ， ， 由（1）已得：， ， ； （3）解：，E为的中点， ， 由（2）已证：， ， ， ，即， ． 【知识点】平行线的判定；相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）由平分，，证得，再由相似三角形的对应边成比例，即可得出结论； （2）为的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得，继而证得，从而得出结论； （3）易证得出，再由相似三角形的对应边成比例，即可求得结果。 1 学科网（北京）股份有限公司 $