第3章 圆的基本性质 同步练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦圆的基本性质章末复习，分层设计从单一知识点应用到复杂综合探究，通过基础计算、定理应用到新定义问题，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|旋转计算、垂径定理|含实际情境题（如拱门半径计算），强化概念理解| |中档综合|圆心角圆周角、弧长扇形|证明与计算结合（如BD=DE及BE长求解），提升推理能力| |拓展探究|圆内接四边形综合、新定义问题|涉及“非常四边形”等创新题型，发展创新意识|

第3章 圆的基本性质 　章末复习 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 　　　与旋转有关的计算 1.(3分)如图，正方形AEFG绕着正方形ABCD的顶点A旋转，其中AB=13，AE=5。在旋转一周的过程中，当B，E，G三点恰好在同一条直线上时，BG=　17或7　。  【解析】 如答图1，连结AF，交BG于点O。 第1题答图1 ∵四边形AEFG是正方形，AE=5， ∴AF=10，AF⊥GE，GO=EO=AO=5， ∴BO==12， ∴GB=BO＋GO=17。 如答图2，当正方形AEFG旋转至AE'F'G'的位置时， 连结AF'，交E'G'于点O'，则同理可得G'B=BO'－OG'=7。 第1题答图2 2.(3分)将一副三角尺按如图所示的方式放在一起，其中∠A=30°，∠E=∠ECD=45°，且B，C，D三点在同一条直线上。现将三角尺CDE绕点C顺时针转动∠α(0°＜∠α＜180°)，在转动过程中，若三角尺CDE的一边平行于三角尺ABC的某一条边时，∠α的度数为　30°或45°或90°　。  【解析】 易知EC或DC不能平行于AC或BC，故分三种情况讨论： ①若DE∥AC，如答图1，则∠ECA=∠E=45°， ∴∠α=180°－∠ECD－∠ECA－∠ACB=30°。 第2题答图1 ②若EC∥AB，如答图2，则∠ECA=∠A=30°， ∴∠α=180°－∠ECD－∠ECA－∠ACB=45°。 第2题答图2 ③当DE∥BC时，易知DC∥AB，如答图3，易知α=90°。 第2题答图3 综上所述，∠α的度数为30°，45°或90°。 　垂径定理及其推论 3.如图，AB是☉O的直径，OD垂直弦AC于点D，DO的延长线交☉O于点E，连结BC。若AC=4，DE=4，则BC的长为(　C　) A.1 B. C.2 D.4 【解析】 ∵AB是☉O的直径， ∴∠C=90°。 ∵OD⊥AC，∴AD=CD=AC。 又∵OA=OB，∴OD=BC。 设OD=x，则BC=2x。 ∵DE=4，∴OE=4－x， ∴AB=2OE=8－2x。 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2＋BC2， ∴(8－2x)2=(4)2＋(2x)2，解得x=1， ∴BC=2x=2。 4.(3分)圆形在中式建筑中有着广泛的应用。如图，某园林中圆弧形拱门的顶端到地面的高度为2.8 m，地面入口的宽度为1 m，门枕的高度为0.3 m，则该拱门所在圆的半径为　1.3　m。  【解析】 设该拱门的半径为r(m)。如答图所示标注字母，连结AB，过圆心O作OC⊥AB于点C，延长CO，交☉O于点D，连结OA。 第4题答图 由题意，得CD=2.8－0.3=2.5(m)， AC=BC=AB=0.5 m， ∴OC=(2.5－r)m。 在Rt△AOC中，由勾股定理，得OA2=OC2＋AC2， ∴0.52＋(2.5－r)2=r2， 解得r=1.3， 即该拱门所在圆的半径为1.3 m。 　圆心角定理、圆周角定理及圆内接四边形 5.如图，四边形ABCD内接于☉O，AE⊥CB，交CB的延长线于点E。若BA平分∠DBE，AD=6，CE=4，则AE=(　C　) A.5 B.4 C.2 D.2 【解析】 如答图，连结AC。 第5题答图 ∵BA平分∠DBE， ∴∠ABE=∠ABD。 ∵四边形ABCD内接于☉O， ∴∠ABC＋∠ADC=180°。 又∵∠ABC＋∠ABE=180°， ∴∠ABE=∠ADC， ∴∠ABD=∠ADC， ∴AC=AD=6。 ∵AE⊥CB，∴AE==2。 6.(8分)如图，以AB为直径的☉O经过△ABC的顶点C，AE和BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交☉O于点D，连结BD。 (1)(4分)求证：BD=DE。 (2)(4分)若AB=10，AC=6，求BE的长。 第6题图 第6题答图 解：(1)∵AE和BE分别平分∠BAC和∠ABC， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE。 又∵∠CAD=∠CBD， ∴∠BAD=∠CBD， ∴∠DBE=∠CBD＋∠CBE=∠BAD＋∠ABE=∠DEB， ∴BD=DE。 (2)如答图，连结OD，交BC于点F。 ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∴，∴OD⊥BC， ∴∠DFB=90°，BF=CF。 ∵OA=OB， ∴OF是△ABC的中位线， ∴OF=AC=×6=3。 ∵AB=10， ∴OA=OB=OD=5， ∴DF=OD－OF=2。 ∵AB为直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°。 由勾股定理，得BC==8， ∴BF=CF=BC=4。 在Rt△DFB中，由勾股定理，得 BD==2。 由(1)知DE=BD=2， ∴由勾股定理，得BE==2。 　弧长及扇形的面积 7.(3分)如图，一个标志由半径为1 cm的三个等圆构成，且三个等圆☉O1，☉O2，☉O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为  　cm2。  第7题图 第7题答图 【解析】 如答图，连结O1A，O2A，O1B，O3B，O2C，O3C，O1O2，O1O3，O2O3，则△O1AO2，△O1BO3，△O2CO3，△O1O2O3都是边长为1的正三角形， ∴S阴影=3 =3× =(cm2)。 8.(8分)如图，△ABC内接于☉O，AD∥BC，交☉O于点D，DF∥AB，交BC于点E，交☉O于点F，连结AF，CF。 (1)(4分)求证：AC=AF。 (2)(4分)若☉O的半径为3，∠CAF=30°，求的长。 第8题图 第8题答图 解：(1)∵AD∥BC，DF∥AB， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴∠B=∠D，∴AC=AF。 (2)如答图，连结AO，CO。 由(1)，得∠AFC=∠ACF， ∴∠AFC==75°， ∴∠AOC=2∠AFC=150°， ∴。 　圆的综合型问题 9.(12分)如图，在圆内接四边形ABCD中，延长AB，DC相交于点E，在DE上方作△EFG，使点F在线段DE上，且∠1=∠2，连结DG。 (1)(4分)若∠1=35°，B为的中点，求∠ADC的度数。 (2)(8分)连结BD，当∠BDG=∠BEG时。 ①(4分)求证：四边形BEGD是平行四边形。 ②(4分)若∠3=∠DAB，求证：BC=FG。 解：(1)连结BD，如答图1。 第9题答图1 ∵∠1=∠2，∠1=35°，∴∠2=35°。 由圆周角定理得∠CDB=∠2=35°。 ∵B为的中点， ∴∠ADB=∠2=35°， ∴∠ADC=∠ADB＋∠CDB=70°。 (2)①连结BD，如答图2。 第9题答图2 ∵∠CDB=∠2，∠1=∠2， ∴∠CDB=∠1，∴BD∥CE。 ∵∠BDG=∠BEG， ∴∠CDB＋∠GDE=∠BED＋∠1。 又∵∠CDB=∠1，∴∠GDE=∠BED， ∴DG∥BE。 又∵BD∥CE，∴四边形BEGD是平行四边形。 ②过点B作BP∥DE，交圆于点P，连结PD，BD，如答图3， 第9题答图3 ∴∠CDB=∠PBD， ∴，∴BC=PD。 由圆周角定理得∠P=∠DAB。 ∵∠3=∠DAB，∴∠P=∠3。 ∵∠1=∠2，∠CDB=∠2，∠CDB=∠PBD， ∴∠PBD=∠1。 ∵四边形BEGD是平行四边形， ∴BD=EG。 在△PBD和△FEG中， ∵ ∴△PBD≌△FEG(AAS)， ∴PD=FG，∴BC=FG。 10.(12分)若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“非常四边形”。如图1，在四边形ABCD中，若AC=BD，且AC⊥BD，则称四边形ABCD为“非常四边形”。根据以上信息，回答下列问题： (1)(4分)矩形是“非常四边形”吗？ (2)(4分)如图2，若☉O的内接四边形ABCD是“非常四边形”，且☉O的半径为6，∠BCD=60°，求“非常四边形”ABCD的面积。 (3)(4分)如图3，若☉O的内接四边形ABCD是“非常四边形”，作OM⊥BC于点M。请猜想OM与AD之间的数量关系，并说明理由。 图1　 图2　 图3 解：(1)矩形的对角线相等但不一定垂直，所以矩形不一定是“非常四边形”。 (2)如答图1，连结OB，OD，过点O作OH⊥BD于点H，则BH=DH。 ∵∠BOD=2∠BCD=120°，OB=OD， ∴∠OBD=30°。 在Rt△OBH中，OB=6， ∴OH=OB=3，BH=OB=3。 ∵BD=2BH=6，∴AC=BD=6， ∴“非常四边形”ABCD的面积=×6×6=54。 图1　 图2 第10题答图 (3)OM=AD。理由如下： 如答图2，连结OB，OC，OA，OD，过点O作OE⊥AD于点E。 ∵OE⊥AD，∴AE=DE。 ∵∠BOC=2∠BAC，∠BOC=2∠BOM， ∴∠BOM=∠BAC。 同理，∠AOE=∠ABD。 ∵BD⊥AC，∴∠BAC＋∠ABD=90°， ∴∠BOM＋∠AOE=90°。 又∵∠BOM＋∠OBM=90°， ∴∠OBM=∠AOE。 在△BOM和△OAE中， ∵ ∴△BOM≌△OAE(AAS)， ∴OM=AE，∴OM=AD。 学科网（北京）股份有限公司 $第3章圆的基本性质 章末复习 选择题每小题3分 与旋转有关的计算 1.(3分)如图，正方形AEFG绕着正方形ABCD的顶点A旋转，其中AB=13, AE-52° 在旋转一周的过程中，当B,E,G三点恰好在同一条直线上时， BG- D 2.(3分)将一副三角尺按如图所示的方式放在一起，其中∠A=30°， ∠E=∠ECD=45°，且B,C,D三点在同一条直线上。现将三角尺CDE绕点C 顺时针转动∠a(0°<∠a<180),在转动过程中，若三角尺CDE的一边平行于 三角尺ABC的某一条边时，∠a的度数为 E C 垂径定理及其推论 3.如图，AB是⊙O的直径，OD垂直弦AC于点D,DO的延长线交⊙O于点E, 连结BC。若AC-4V2,DE-4,则BC的长为() B D A.1 B.2 C.2 D.4 4.(3分)圆形在中式建筑中有着广泛的应用。如图，某园林中圆弧形拱门的顶端 到地面的高度为2.8m,地面入口的宽度为1m,门枕的高度为0.3m,则该拱 门所在圆的半径为 1m。 2.8m 0.3m 图1 图2 圆心角定理、圆周角定理及圆内接四边形 5.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AE⊥CB,交CB的延长线于点E。若BA平 分∠DBE,AD=6,CE=4,则AE-() 0 A.5 B.4 C.2V5 D.26 6.(8分)如图，以AB为直径的⊙O经过ABC的顶点C,AE和BE分别平分 ∠BAC和∠ABC,AE的延长线交⊙O于点D,连结BD。 (1)(4分)求证：BD=DE。 (2)(4分)若AB=10,AC=6,求BE的长。 c 第6题图 四 弧长及扇形的面积 7.(3分)如图，一个标志由半径为1c的三个等圆构成，且三个等圆⊙O1, ⊙O,⊙O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为 cm2。 02 03 第7题图 8.(8分)如图，△ABC内接于⊙O,AD∥BC,交⊙O于点D,DF∥AB,交BC于 点E,交⊙O于点F,连结AF,CF。 (1)(4分)求证：AC=AF。 24分)若o0的半径为3，∠CA=30,求AC的长。 E 第8题图 五 圆的综合型问题 9.(12分)如图，在圆内接四边形ABCD中，延长AB,DC相交于点E,在DE上 方作△EFG,使点F在线段DE上，且∠1=∠2，连结DG。 (I4分)若∠135，B为AC的中点，求∠ADC的度数。 (2)(8分)连结BD,当∠BDG=∠BEG时。 ①(4分)求证：四边形BEGD是平行四边形。 ②(4分)若∠3=∠DAB,求证：BC=FG。 D G 63 E 10.(12分)若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“非 常四边形”。如图1，在四边形ABCD中，若AC=BD,且AC⊥BD,则称四边 形ABCD为“非常四边形”。根据以上信息，回答下列问题： (1)(4分)矩形是“非常四边形”吗？ (2)(4分)如图2，若⊙O的内接四边形ABCD是“非常四边形”，且⊙O的半径 为6，∠BCD=60°，求“非常四边形”ABCD的面积。 (3)(4分)如图3，若⊙O的内接四边形ABCD是“非常四边形”，作OM⊥BC于 点M。请猜想OM与AD之间的数量关系，并说明理由。 D B 0 0 &0 M 图1 图2 图3