4.2认识一次函数 课件 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件围绕“认识一次函数”展开，通过弹簧长度与质量、租车费用等现实问题导入，引导学生从变量关系中抽象出一次函数概念，建立正比例函数与一次函数的联系，形成从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活实例为载体，通过表格分析、问题探究培养学生的抽象能力和模型意识。如租车费用问题中，通过计算不同里程费用及求解收费相同点，让学生用数学语言表达现实关系，既助学生理解概念，又方便教师落实核心素养教学。

4.2 认识一次函数 第四章 一次函数 北师大版（2024） 1 素养目标 1.根据实际问题认识一次函数，掌握一次函数的概念，能根据条件写出一次函数关系式； 2.掌握正比例函数的概念，知道一次函数与正比例函数的关系. 难点 重点 2 新知导入 在弹性限度内，某弹簧的长度y(单位：cm)与所挂物体的质量 x (单位：kg)的关系如表所示. x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 (1)随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的增长是“均匀”的吗？ 是均匀的. 所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的. 3 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元。乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200元（不足 1 km 按 1 km 计算）。 （1）假设该单位用车里程为 30 km，你建议租用哪家公司的客车？ 解：由题意，得 甲公司的费用：15×30＝450（元）， 乙公司的费用：10×30＋200＝500（元）。 ∵ 450＜500， ∴建议租用甲公司的客车。 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元。乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200元（不足 1 km 按 1 km 计算）。 （2）假设该单位用车里程为 52 km，你建议租用哪家公司的客车？ 解：由题意，得 甲公司的费用：15×52＝780（元）， 乙公司的费用：10×52＋200＝720（元）。 ∵ 780＞720， ∴建议租用乙公司的客车。 思考 (3)分析小明的实验数据，你能帮他写出漏水量 V 与时间 t 之间的关系式吗? 时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 漏水量 V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 … 解：由表格数据，得 V ＝5.5 t。 例1 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过 4 人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 x/m3 单价/(元/m3) 第一档 0＜ x ≤220 3.45 第二档 220＜ x ≤300 4.83 第三档 x ＞300 5.83 （2）某户一年用水量是 250 m3，求该用户这一年的水费； 解：当 x ＝250 时，y＝4.83×250－303.6＝903.9(元)。 计费档 户年用水量 x/m3 单价/(元/m3) 第一档 0＜ x ≤220 3.45 第二档 220＜ x ≤300 4.83 第三档 x ＞300 5.83 （3）某户去年一年的水费是 1 000.5元，求该户去年一年的用水量。 解：∵ 3.45×220＝759,4.83×300－303.6＝1 145.4， 759＜1 000.5＜1 145.4， ∴该户用水量属于第二档。 设该用户用水量为 x m3，则 1 000.5＝4.83x－303.6。 解这个方程，得 x＝270。 因此，该户去年一年的用水量为 270 m3。 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元。乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200元（不足 1 km 按 1 km 计算）。 （3）用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？ 解：设用车里程为 x 千米时两家收费相同。 则甲公司费用为 15 x 元，乙公司费用为(10x＋200)元。 则 15x＝10x＋200， 解得 x＝40 ∴ 用车里程为 40 千米时，两家出租车公司的收费相同。 探究 分享各组的实验结果，并交流下列问题： (1)比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处? 共同之处： 都体现了随着时间的增加，漏水量也呈现增加的趋势。 不同之处： 由于实验条件、操作手法等差异，导致测量出的具体数据有差别。 确定一次函数的关系式 已知y1与x＋1成正比例，y2与x－1成正比例，y＝y1＋y2。 当x＝1时，y＝4；当x＝3时，y＝14。求y与x之间的关系式。 11 思考 (1)根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出( t,l )对应的点。 · · · · · 解：平面直角坐标系中描出( t,l )对应的点如图所示。 思考 (2)估计燃烧 10 min后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由。 燃烧 10 min后这根香可燃烧部分的长度为 22.4－0.5×(10－1)＝17.9(cm)。 由题意列代数式，得 l＝22.4－0.5(t－1)＝22.9－0.5t， 当 l＝0时，t＝45.8，∴这根香可燃烧 45.8 min。 (3)估计这根香可燃烧的时间，并说明理由。 (4)试写出这根香可燃烧部分的长度 l 与燃烧时间 t 的关系式。 由（3），得 l＝22.9－0.5t。 （教材）例2 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过 1 s 其速度减少 35 km/h。 （1）假设该汽车以 120 km/h 的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度 y (单位：km/h)与刹车后所经过的时间 t (单位：s)之间的关系式 y＝kt＋b，并说明 k 和 b 的实际意义。 （2）求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间。 解： y 与 t 的关系式是 y＝－35t＋120 其中，k＝－35表示每秒汽车速度的变化量，b＝120 表示刹车开始时汽车的速度。 k与b的意义 解：令 y＝0，则0＝－35t＋120， 得 t＝≈3.43。因此，该汽车从刹车到停止所需的时间大约为 3.43 s。 14 现实生活中的一次函数 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元。乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200元（不足 1 km 按 1 km 计算）。 （1）假设该单位用车里程为 30 km，你建议租用哪家公司的客车？ 解：由题意得： 甲公司的费用：15×30＝450（元）， 乙公司的费用：10×30＋200＝500（元）。 ∵ 450＜500， ∴建议租用甲公司的客车。 15 探究 (2)一般地，k，b对一次函数y=kx+b有怎样的影响？ 在实际问题中，k和b有具体的现实意义，需具体问题，具体分析. 当k≠ 0，b=0时，y=kx为正比例函数，例如，若y表示路程，x表示时间，k可能表示速度； 当k≠ 0，b≠0时，y=kx+b为一次函数，例如，若y表示蓄水池内水的体积，x表示时间，k可能进水速度. 例3 物理实验课上，小李用弹簧悬挂不同质量的砝码，测量出了一组数据(弹簧长度y/cm与砝码质量x/kg)，记录在表格中，并得出以下结论，其中不正确的是( ) A. x是自变量，y是因变量 B. 弹簧不挂砝码时的长度为0 cm C. 砝码每增加1 kg，弹簧伸长0.5 cm D. 在弹簧的弹性范围内，y与x之间的关系式是y＝10＋0.5x x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5 B 　　 (课本P82例2)在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1 s其速度减少35 km/h. (1)假设该汽车以120 km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y(单位：km/h)与刹车后所经过的时间t(单位：s)之间的关系式y=kt+b，并说明k和b的实际意义； 解　刹车开始时汽车的速度为120 km/h，每过1 s汽车的速度减少35 km/h，于是经过t s汽车的速度减少了35t km/h，所以y与t的关系式是y=-35t+120.其中，k=-35表示每秒汽车速度的变化量，b=120表示刹车开始时汽车的速度. (2)求出(1)中汽车从刹车到停止所需的时间. 解　汽车停止时速度y=0，解方程0=-35t+120，得t=≈3.43.因此，该汽车从刹车到停止所需的时间大约为3.43 s. A (3)用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？ 解　设用车里程为x千米，甲公司费用为y甲，乙公司费用为y乙， y甲=15x， y乙=10x+200， 当y甲=y乙时，两家出租车公司的收费相同， 此时15x=10x+200， 解得x=40， 当用车里程为40千米时，两家出租车公司的收费相同. 练习5 下面的三个问题中都有两个变量： ①等腰三角形的底边长为3,底边上的高x与它的面积y； ②将泳池中的水匀速放出,直至放完,泳池中的剩余水量y与放水时间x； ③从A地到B地铺设一段铁轨,平均每日铺设长度y与铺设天数 其中,变量y与变量x之间的函数关系是一次函数的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 解析：①：等腰三角形的底边长为3,面积公式为 㡳×高,代入底长3,得 ,即 ,是正比例函数(一次函数),符合条件； ②：泳池匀速放水,剩余水量y与时间x的关系为 (V为初始水量,v为放水速度),属于一次函数,符合条件； ③：铺设总长度固定时,每日铺设长度y与天数x满足 (L为总长度),不符合一次函数. 综上,满足一次函数关系的是①和②,故选：A. $