4.2认识一次函数 课件 2026-2027学年数学北师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数概念，涵盖y=kx+b（k≠0）的结构特征及正比例函数（b=0），通过知识回顾衔接变量关系旧知，以租车方案、漏水实验等实际问题为支架，引导学生从具体情境抽象数学模型。 其亮点在于结合生活实例（如租车计费、水费分段、汽车耗油），通过问题探究培养抽象能力与模型意识（数学眼光），对比分析不同方案及方程推理发展推理能力（数学思维），用表格数据与关系式强化数学表达（数学语言），助力学生提升应用能力，为教师提供结构化教学资源。

4.2 认识一次函数 第四章 一次函数 北师大版（2024） 1 素养目标 1.探索生活中利用一次函数解决租车方案和分段计费的问题，并能理解其中的意义； 2.培养学生从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型. 重难点 2 知识回顾 1.如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成 (k，b为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的 . 2.特别地，当b=0时，称y是x的 . 3.一次函数的结构特征： (1)k≠0；(2)自变量x的次数是 ；(3)常数项b可以为 . 正比例函数是一种特殊的 . y=kx+b 一次函数 正比例函数 一次函数 1 一切实数 3 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元。乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200元（不足 1 km 按 1 km 计算）。 （1）假设该单位用车里程为 30 km，你建议租用哪家公司的客车？ 解：由题意，得 甲公司的费用：15×30＝450（元）， 乙公司的费用：10×30＋200＝500（元）。 ∵ 450＜500， ∴建议租用甲公司的客车。 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元。乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200元（不足 1 km 按 1 km 计算）。 （2）假设该单位用车里程为 52 km，你建议租用哪家公司的客车？ 解：由题意，得 甲公司的费用：15×52＝780（元）， 乙公司的费用：10×52＋200＝720（元）。 ∵ 780＞720， ∴建议租用乙公司的客车。 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元。乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200元（不足 1 km 按 1 km 计算）。 （3）用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？ 解：设用车里程为 x 千米时两家收费相同。 则甲公司费用为 15 x 元，乙公司费用为(10x＋200)元。 则 15x＝10x＋200， 解得 x＝40 ∴ 用车里程为 40 千米时，两家出租车公司的收费相同。 探究新知 分析小明的实验数据，你能帮他写出漏水量 V 与时间 t 之间的关系式吗？ 时间t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 漏水量V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 … 解：由表格数据，得 V ＝5.5 t. 7 探究新知 【交流】 分享各组的实验结果，并交流下列问题： (1)比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处？ 共同之处：都体现了随着时间的增加，漏水量也呈现增加的趋势. 不同之处：由于实验条件、操作手法等差异，导致测量出的具体数据有差别. 8 问题4　某辆汽车油箱中原有汽油40 L，汽车每行驶50 km耗油4 L. (1)完成表格； 行驶路程x/km 0 50 100 150 200 250 300 耗油量y/L               (2)写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式； 提示　y=x. (3)写出油箱剩余油量z(单位：L)与汽车行驶路程x之间的关系式. 提示　z=40-x. 0 4 8 12 16 20 24 知识梳理 如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成 (k，b为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的一次函数.特别地，当 时，称y是x的正比例函数. y=kx+b b=0 设该户年用水量为xm3，则 1000.5=4.83x-303.6. 解这个方程，得 x=270. 因此，该户去年一年的用水量为270m3. 计费档 户年用水量 x / m3 单价/(元/ m3) 第一档 0＜x≤220 3.45 第二档 220＜x≤300 4.83 第三档 x＞300 5.83 (3)某户去年一年的水费是1000.5元，求该户去年一年的用水量. 思考 (1)在例3中，当x>300时，你能写出水费y(单位:元)与用水量x之间的关系式吗? (2)像例3这样计费有什么意义? 解:当x＞300时，用水量属于第三档.于是 y=3.45×220+4.83×(300-220)+5.83×(x-300), 即 y=5.83x-603.6. 分阶梯计费意义在于：鼓励居民节约用水！     典例精析 探究 (1) 例(1)中，两个一次函数的一次项系数 k 和常数项 b 分别是多少，它们的实际意义是什么？ 解：例(1)中的两个一次函数分别是 y＝60x 和 y＝15＋5x， k 表示自变量每增加 1 个单位时因变量的变化量， b 表示当自变量为 0 时因变量的值。 (2)一般地，k，b 对一次函数 y＝kx＋b 有怎样的影响？ k 决定函数图象的升降及陡峭程度， b 决定函数图象与 y 轴的交点位置。 y＝60x 的一次项系数 k＝60 ，常数项 b＝0； y＝15＋5x 的一次项系数 k＝5 ，常数项 b＝15。 探究 (1)例2中，两个一次函数的一次项系数k和常数项b分别是多少，它们的实际意义是什么？ ① 汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y(单位：km)与行驶时间x(单位：h)之间的关系为y=60x . k =60，b = 0； k =60表示每小时汽车行驶路程的的变化量. 探究 (1)例2中，两个一次函数的一次项系数k和常数项b分别是多少，它们的实际意义是什么？ ② 某水池有水15m³，现打开进水管进水，进水速度为5m³/h，经过x h这个水池内有水 y=15+5x m³ k =5，b = 15； k =5 表示每1h进水5m³，b =15 表示水池一开始有水15m³. 探究 (2)一般地，k，b对一次函数y=kx+b有怎样的影响？ 在实际问题中，k和b有具体的现实意义，需具体问题，具体分析. 当k≠ 0，b=0时，y=kx为正比例函数，例如，若y表示路程，x表示时间，k可能表示速度； 当k≠ 0，b≠0时，y=kx+b为一次函数，例如，若y表示蓄水池内水的体积，x表示时间，k可能进水速度. 例3 物理实验课上，小李用弹簧悬挂不同质量的砝码，测量出了一组数据(弹簧长度y/cm与砝码质量x/kg)，记录在表格中，并得出以下结论，其中不正确的是( ) A. x是自变量，y是因变量 B. 弹簧不挂砝码时的长度为0 cm C. 砝码每增加1 kg，弹簧伸长0.5 cm D. 在弹簧的弹性范围内，y与x之间的关系式是y＝10＋0.5x x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5 B B C 　　某单位需租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司.甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元.乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元(不足1千米按1千米计算). (1)假设该单位用车里程为30千米，你建议租用哪家公司的客车？ 例3 解　30×15=450(元)， 30×10+200=500(元)， 450<500， 故甲公司费用便宜，建议租用甲公司的客车. (2)假设该单位用车里程为52千米，你建议租用哪家公司的客车？ 解　52×15=780(元)， 52×10+200=720(元)， 780>720， 故乙公司费用便宜，建议租用乙公司的客车. 练习3 下列函数：① ；② ；③ ；④ 中,是一次函数的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 解析：① 是一次函数；② 是一次函数；③ 是一次函数； ④ 中x的次是2数不是一次函数；故选B 练习4 已知函数 是一次函数，则 的值是( ) A. B. C. D. 解析：∵函数 是一次函数， ∴ ，则 ， ∵ ，则 ，∴ ，故选：C. 练习6 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为x的正比例函数． ①等边三角形的周长y与边长x之间的关系； ②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量y（升）与已行驶的距离x（千米）之间的关系； ③设一长方体盒子高为 ，底面是正方形，求这个长方体的体积y（ ）与底面边长x（ ）之间的关系． 解：① ，是一次函数，也是正比例函数． ② ，是一次函数，不是正比例函数． ③ ，既不是一次函数，也不是正比例函数． $