13.3 三角形的内角与外角 预习自测2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以题载法，分层整合三角形内角和与外角性质，渗透辅助线构造、折叠转化等多种证明与探究技巧，培养几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1（填空9）|内角和定理直接应用|从定理表述到基本计算，构建概念基础| |性质应用|选择1-8、填空10-13|平行线性质、外角定理、角平分线模型|内角和→外角性质→折叠/方向角等实际应用，形成逻辑链条| |综合探究|解答14-18|辅助线构造（作平行线）、折叠角度转化、多法求证（如18题三种解法）|从定理证明到复杂图形转化，提升推理能力与创新意识|

13.3 三角形的内角与外角 预习自测2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．、与有什么样的关系（     ） A． B． C． D． 3．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，，平分，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．一张三角形纸片部分如图所示，将折叠，为折痕，A点落在位置，若，则（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在中，，是斜边上的高，于点E．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 7．在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论其中正确的是（    ） ①；        ②； ③当时，分别是的中点；    ④若，，则． A．①② B．①②④ C．③④ D．①③④ 二、填空题 9．三角形内角和定理：三角形内角和等于_______． 10．如图，有一块含30°的直角三角板，两个顶点放在一张长方形纸片的对边上．若，则的度数为______． 11．折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图所示，南南在课余时间拿出一张长方形纸片ABCD（∠A=∠B=∠C=90°），他先将纸片沿EF折叠，再将折叠后的纸片沿GH折叠，使得GD′与A′B′重合，展开纸片后测量发现∠BFE=60°，则∠DGH=_________°． 12．如图，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向，若，则点C在点E的南偏西_______方向． 13．如图，的度数为______． 三、解答题 14．我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 15．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 16．如图，，平分，平分，．求的度数． 17．把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 18．用三种不同的方法求图中五角星形的度数． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D D A C C B 1．【答案】B 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 2．【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】先求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形外角的性质，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， 即． 3．【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 4．【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线的定义求出的度数，角的和差关系求出的度数，再根据三角形的内角和定理，求出的度数即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， ∴； 故选D． 5．【答案】A 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】根据折叠性质可得，，，再根据即可求解． 【详解】解：由折叠性质可得：，，， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了折叠性质和三角形内角和，灵活运用所学知识是关键． 6．【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查，直角三角形中，两锐角互余，根据题意可得，再结合，则，即． 【详解】 是斜边上的高， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 7．【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】利用三角形内角和为，逐个判断条件能否推出三角形有一个内角为90°，即可得到符合要求的条件个数． 【详解】解：三角形内角和为，逐个推导如下， ① ， ， 代入内角和得，得， 是直角三角形； ② ， 设， 则，解得， ， 是直角三角形； ③ ， ， ， 是直角三角形； ④ ，， ， 是钝角三角形，不是直角三角形． 综上，能确定是直角三角形的条件共3个． 8．【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的性质定理、三角形三边关系的应用、三角形内角和定理的应用 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质判断④． 【详解】解：和的平分线相交于点， ， ，①正确； ， ， 又， ， ， 同理，， ，②正确； 当时，， 不是的中点，③错误； 连接，作于，如图所示： 和的平分线相交于点， 平分， ， ， ，④正确． 9．【答案】180° 【知识点】三角形内角和定理的证明 【解析】略 10．【答案】29° 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】根据平行线的性质求出∠AGF，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵AB∥CD，∠1=31°， ∴∠AGF=∠1=31°， ∵∠E=90°，∠EFG=30°， ∴∠2=180°-∠E-∠EFG-∠AGF=180°-90°-30°-31°=29°， 故答案为：29°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠AGF的度数，注意：两直线平行，内错角相等． 11．【答案】15 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形折叠中的角度问题 【分析】根据平行线的性质求得∠FED=60°，∠AEF=120°，再利用折叠的性质以及余角的性质求得∠A′GE=30°，再利用折叠的性质即可求解． 【详解】解：∵AD∥BC，∠BFE=60°， ∴∠FED=60°，∠AEF=180°-60°=120°， 由折叠的性质得：∠A′EF=∠AEF=120°，∠A′=∠A=90°， ∴∠A′EG=∠A′EF-∠FED=60°， ∴∠A′GE=90°-∠A′EG=30°， ∴∠DGD′=∠A′GE=30°， 由折叠的性质得：∠DGH=∠HG D′=∠DGD′=15°， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 12．【答案】 【知识点】与方向角有关的计算题、直角三角形的两个锐角互余、方向角的表示、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了方位角的概念，平行线的性质，直角三角形两个锐角互余，解题关键是掌握平行线的性质． 先利用平行线的性质证得，再利用平行线的性质证得，从而可得，求得，再利用求得，从而可得，再求得即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ，解得：， ， ， ， ∴点C在点E的南偏西方向． 故答案为：． 13．【答案】/100度 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查的是三角形的外角的定义和性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和求解即可． 【详解】解： 故答案为： 14．【答案】(1) (2)三角形内角和为； (3) 延长，过点C作，如图所示： ∴， ∵， ∴． 【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】题目主要考查证明三角形内角和定理及平行线的性质，理解题意是解题关键． （1）根据图形直接写出结果即可； （2）根据（1）写出猜想即可； （3）根据题意，延长，过点C作，然后利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）解：通过、、的拼接，发现； （2）猜想：三角形内角和为； （3）略 15．【答案】 证明：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】略 16．【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 如图，连接，首先根据三角形内角和定理求出，然后结合平行线的性质得到，然后利用角平分线的概念得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分，平分， ∴， ∴ ∴ ∴． 17．【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，； （2）解：，理由如下： 如图： 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，． 18．【答案】见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质； 解法一：如图①，证明，．结合，即可得到答案； 解法二：如图②，作射线，同理可得：，结合，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案； 解法三：如图③，连接，证明，结合，进一步可得答案． 【详解】解法一：如图①， ，分别是，的外角， ，． 在中，， ． 即．   解法二：如图②，作射线， 同理可得：， ∵， ∴， 又， ．   解法三：如图③，连接， 在中，， 在中，， ， ． 在中，， ， ， 即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $