13.3 三角形的内角与外角（课外拓展提高）-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（人教版·新教材）江西专用

@13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角（建议用时：30分钟） 1.(教材变式)如图，在△ABC中，∠C=90°， AE平分∠BAC,BD⊥AE交AE的延长线 于点D.若∠1=24°，则∠EAB=( A.66 B.339 C.24° D.12 第6题图 第7题图 A 7.如图，AD为△ABC的高，BE为△ABC的 角平分线，∠EBA=32°，∠AEB=70°. BSa. 4 (1)一题多解法∠CAD的度数为 C (2)若F为BC边上的任意一点，当△EFC 第1题图 第2题图 2.跨物理学科如图，两面镜子AB,BC的夹角 为直角三角形时，∠BEF的度数为 为α，当光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3 =∠4.若a=70°，∠1=35°，则∠4的度数为 8.(2025一2026丰城检测)如下图，在△ABC 中，∠A=a,∠ABC=B,且B>a,BE平分 A.70° B.75° C.80° D.85 ∠ABC,CD平分∠ACB,BE与CD交于点 3.如图所示的是A,B,C三岛的平面图，其中 O,CF是边AB上的高. ∠C=75°，∠A=40°，C岛在B岛的西北方 (1)若a=50°，3=60°，则∠DCF= 向上，则B岛在A岛的 A.北偏东70°方向上B.北偏东65°方向上 (2)用含a,3的式子表示∠DCF, C.北偏西70°方向上D.北偏西65°方向上 (3)若∠CEO=∠BDO,试探究a与3之间 的数量关系. 第3题图 第5题图 4.有下列条件：①∠A:∠B:∠C=1:2:3; @∠B=90-∠A:®∠A=∠B=2∠C: ④∠A=号∠B=号∠C.其中能确定△ABC是 直角三角形的是 (填序号) 5.将两张三角形纸片按如图所示的方式摆放， 量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5的度 数为 6.如图，在△CEF中，∠E=80°，∠F=50°，AB∥ CF,AD∥CE,连接BC,CD,则∠A的度数是 96 八年级数学RJ版 13.3.2三角形的外角（建议用时：30分钟） 1.图①所示的是一展板支架的实物图，图②所 ∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°.求 示的是该支架的侧面示意图.经测量， ∠DAC的度数. ∠BAC=48°，∠BCE=117°，则图②中 ∠CBD的度数为 () 34 D 图① 图② 第1题图 A.69° B.89° C.111 D.165 2.跨物理学科如图，一束平行于主光轴的光 线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过 光心O的光线相交于点P,F为焦点.若∠1 6.如下图，在△ABC中，∠B=∠C,D,E分别 =155°，∠2=30°，则∠3的度数为() 是边AB,AC上的点，DP平分∠BDE交 A.45° B.50° BC于点H,EP平分∠DEC交BC于点G, C.55° D.60° DQ平分∠ADE交PE的延长线于点Q. (1)∠P+∠Q= (2)试猜想∠Q与∠A的数量关系，并证明 你的猜想. 第2题图 第3题图 3.（2025一2026南昌检测)如图，已知在 △ABC中，∠A=54°，∠CBD的平分线和 ∠BCE的平分线交于点P,则∠P的度数 为 4.如图所示的是螳螂的简易示意图，AB∥DE, ∠BAC=∠BCA,∠CBF=54°，∠ACD= 46°，则∠CDE的度数为 D 一E F B 第4题图 5.一题多解法(2025一2026赣州安远检测)如 下图所示，在△ABC中，D是BC边上一点， 上册课外拓展提高 97设AB=x,则BC=8一x. 由三角形的三边关系，得 8-x<x+2, 8-x>x-2, 解得3<x<5, .AB的长度可以是4. 5.小三角形两边的和大于第三边 6.乙【解析】根据三角形的三边关系，假设剪开乙小棒. 设乙小棒长度为a,剪成两段长度分别为m,n的小棒， 甲小棒长度为b. ,乙小棒的长度大于甲小棒，即a>b, ∴.m十n>b, ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三 角形. 假设剪开甲小棒。 乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒剪成的两根小棒的和小于乙小棒， 故围不成三角形，不符合题意。 综上所述，剪开的小棒是乙. 7.解：(1)4<c<12 (2),a,b,c分别为△ABC的三边长， ..a<b+c:b<c+a,c+a>b; .∴.原式=b+c-a十c十a一b一(c+a一b) =b+c-a+c+a-b-c-a+b =b-a+c. 8.解：(1)设第三根木棒的长度为xm.根据三角形的三 边关系可得6-3<x<6+3,解得3<x<9. x是整数， ∴.x=4或5或6或7，共4种， .有4种规格的木棒可供小明的爷爷选择， (2)设第三根木棒的长度为am. ..这个三角形支架的周长为3十6+a=(9十a)m. ,做成的三角形支架的周长为4的倍数， ∴.9十a是4的倍数， .由(1)所求可知，a=7, .买木棒一共花了22十40+46=108（元） 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 1.D 2.B【解析】：BE是△ABC的中线，CE=3BC=4, ∴.AC=2CE=8,BC=12 BD-BC. .BD=3. ,CD是△ABC的中线， ∴.AB=2BD=6, ∴.△ABC的周长=AB+AC+BC=6+8+12=26. 3.(1)高(2)角平分线(3)中线 4.4.5【解析】：AD是△ABC的中线，S△Ac=36, 1 六S△An=2S△Ac=18, :BE是△ABD的中线， 428 八年级数学RJ版 1 SANDE-2SAAMD-9. :S△BDE= 2BD·EF,BD=4, 号×4EF=9解得EF=45 5.解：(1)证明：∠ADE=∠ABC,.DE∥BC, ∴∠AED=∠ACB. ∠EDF=∠ACB, ∴.∠EDF=∠AED, .DF∥AC. (2)F是BE的中点， ∴.S△DEF=S△DbBr· 设SADEF=S△DBF=x. ,D是AB的中点， ∴.SAADE=S△BDE=2.x. :E是AC的中点， .SAAHE=S△cBE=4x,S△cEr=2x, ∴.S四边形DBF=3.x, :S四边形DBCr=9, 3.x=9,x=3, ∴.S△ABc=2S△AE=8.x=24. 6.解：(1)AE是△ABC的边BC上的中线， .'BE=EC=2 cm, 1 二SAA能2BE·AD2×2X5=5(cm力 Se=7C·AD=×2X5=5em). 1 (2)结论：三角形的一条中线将这个三角形分成两个面 积相等的三角形. 理由：等底同高的两个三角形的面积相等。 (3):EF是△ADE的中线，△AEF的面积为1cm, ∴.S△DFE=S△AEr=1cm', ∴.SAADE=2cm2. :DE是△ACD的中线， .S△Dc=S△ADE=2cm2, ∴.S△Ae=4cm2. :CD是△ABC的中线， ∴S△c=S△Ae=4cm2, .S△ABc=8cm. 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 1.C2.B 3.A【解析】如图 ,C岛在B岛的西北方向上， 北 F .∠FBC=45. ∠ACB=75°，∠BAC=40°， ∴.∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=65°， ∴.∠ABF=∠FBC+∠ABC=110°. :AD∥BF, .∠DAB+∠ABF=180°， ∴.∠DAB=180°-∠ABF=70°， ∴.B岛在A岛的北偏东70°方向上. 4.①②③ 5.40°【解析】如图.：∠1+∠2+ ∠6=180°，∠3+∠4+∠7= 180°，.∠1+∠2+∠6+∠3+ ∠4+∠7=360°. 74 :∠1+∠2+∠3+∠4=220° .∠6+∠7=140°， ∴.∠5=180°-（∠6+∠7）=40°. 6.50°【解析】如图，连接AC并延 长，交EF于点M. A AB∥CF,AD∥CE, ∴.∠3=∠1，∠2=∠4， .∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE. .∠FCE=180°-∠E-∠F=50°， .∠BAD=50°. 7.(1)52°(2)58°或20°【解析】(1)：BE为△ABC的 角平分线，∠EBA=32°， ∴.∠CBE=∠EBA=32. ,∠AEB=70°， .∠BEC=180°-70°=110°， .∠C=180°-∠EBC-∠BEC=180°-32°-110° =38°. ,AD为△ABC的高，∠ADC=90°， .∠CAD=90°-∠C=90°-38°=52°. 一◆一题多解法 :BE为△ABC的角平分线，∠EBA=32°， .∠ABD=2∠EBA=2X32°=64°. :∠AEB=70°，∴∠BAE=180°-∠EBA- ∠AEB=180°-32°-70°=78. :AD为△ABC的高，∴.∠ADB=90°， .∠BAD=90°-∠ABD=90°-64°=26. ∠BAD+∠CAD=∠BAE,.∠CAD= ∠BAE-∠BAD=78°-26°=52 8.解：(1)5 (2),∠CFB=90°，∠ABC=B, .∠BCF=90°-∠ABC=90°-B. 又：∠A=a, .在△ABC中，∠ACB=180°-a-B. :CD平分∠ACB, ÷∠ACD=∠DCB=2∠ACB=2(180-a-B)= 1 ∴∠DCF=∠DCB-∠BCF=90-&-A-(90 11 -B)=2B-2a. (3)由(2)知，∠ABC=8∠D0B=90-0-7, 1 在△BCD中，∠BD0=180-g-(9o-号a-P） =90+-28 1 “∠EBC=∠ABE=2B,∠ACB=180°-Q-A, 在△CEB中，∠CE0=180°-2B-(180°-a-8)= 1 a+28. .·∠CEO=∠BDO, e+号9-90+安ag-0r-0 1 1 13.3.2三角形的外角 1.C 2.C【解析】由平行线的性质知，∠PFO=180°-∠1= 180°-155°=25°.又∠P0F=∠2=30°，.∠3= ∠POF+∠PF0=30°+25°=55. 3.63°【解析】，∠A=54°， .∠ABC+∠ACB=180°-54°=126°， ∴.∠DBC+∠BCE=(180°-∠ABC)+(180° ∠ACB)=360°-（∠ABC+∠ACB)=360°-126 =234° ,BP平分∠DBC,CP平分∠BCE, ∠PBC+∠PCB=∠DBC+Z∠BCE=名X 1 1 234°=117°， .∠P=180°-117°=63 4.73°【解析】如图，延长ED交AC 于点G. D :∠BAC=∠BCA,∠CBF=54°，A∠ ∠BAC-7∠CBF-2rR AB∥DE,.∠CGE=∠CAB=27. :∠ACD=46°，.∠CDE=∠ACD+∠CGE=46°+ 27°=73. 5.解：设∠1=∠2=x,则∠4=∠3=∠1+∠2=2x. .∠BAC=63°，.∠2+∠4=180°-∠BAC=180°- 63°=117°，即x+2x=117°，解得x=39°，.∠1=39°， ∴.∠DAC=∠BAC-∠1=63°-39°=24. 一题多解法 设∠DAC=y,则∠1=∠2=63°-y,∠3=∠4= 2(180°-y). 1 ∠3=∠1+∠2,2(180°-y)=63°-y+639 -y 解得y=24°.故∠DAC=24 6.解：(1)90 上册详解详析 29Λ (2)∠Q=2∠A.证明如下： ,DP平分∠BDE,EP平分∠DEC, 1 ·∠PDE=2∠BDE=2(180°-∠ADE),∠PED -3∠CED=7I80-∠AED. 在△PDE中，∠P=180°-∠PDE-∠PED= 立（∠ADE+∠AED, 在△ADE中，∠ADE+∠AED=180°-∠A, P-0 :∠P+∠Q=90∠Q=3∠A. 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 1.C 2.A【解析】设∠A=5.x,则∠C=3x, .∠BDA=∠A=5x. :△ABC≌△DBE,∴.∠ABC=∠DBE. :∠DBE=∠A+∠BDA=10x, .∠ABC=∠DBE=10x. :∠A+∠C+∠ABC=180°， .5.x+3.x+10x=180°， .x=10°，，∴.∠ABC=10x=100°， .∠CBE=180°-∠ABC=80°. 3.C【解析】设AC和DE交于点O, 如图. :△ABC≌△ADE,∴.AB=AD,AC= AE,∠B=∠ADE,∠BAC=∠DAE, .∠B=∠ADB,∠BAD=∠CAE,B1 ∠ACE=∠AEC, .∠ADB=∠ADE,∠ACE=∠ADB=∠ADE, DA平分∠BDE,故结论①正确， '∠CDE+∠ADE=∠B+∠BAD, ∴·∠CDE=∠BAD,故结论②正确. :∠AOD=∠EOC,∠ACE=∠ADE,∴.∠DAC= ∠DEC,故结论③正确. 由条件不能推出AD=DC, ∴其中正确的个数为3. 4.40° 5.①②④【解析】由题意可知，△ABC≌△AB'C', △APC≌△APC', .PC=PC',∠BAC=∠B'AC',S△Ac=S△ABC, S△APC=S△APc, .S网边形AP=S网边形ABCp,∠BAC十∠CAC'=∠B'AC +∠CAC', 即∠BAC'=∠B'AC, ∴.结论①②④正确，无法判断∠ABC=∠ACP. 30 八年级数学RJ版 6.解：(1).△ABC≌△DEF, ∴.BC=EF,AC=DF. ,AC=2.6cm, ∴.DF=2.6cm. .CE+BE=BC,CE=0.7 cm,EF=3.5 cm, .BE=BC-CE=EF-CE=3.5-0.7=2.8(cm). (2).·△ABC≌△DEF,∠F=56°， ∴.∠C=∠F=56°. .∠CAE=15°， .∠AEB=∠C+∠CAE=56°+15°=71° 7.解：(1)证明：△ACD≌△BED, ∴.∠ADC=∠BDE,∠CAD=∠EBD. ∠ADC+∠BDE=180°， ∴.∠ADC=∠BDE=90°. 又，·∠AEF+∠AFE+∠EAF=∠BED+∠BDE十 ∠DBE=180°，∠AEF=∠BED, ∴∠AFE=∠BDE=90°， ∴△AFE为直角三角形. (2):△ACD≌△BED, .S△BDE=S△Ac· :S△BmE=S△F一SI边形CFED，S△AEF=S△ADC一 S国边形CFED’ .S△ABF=S△DE一S四边形CFED=S△F一Sg边形CED一 S四边形CFED=8一2S网边形CFED=2, ,.S网边形cFD=3. 14.2三角形全等的判定 第1课时边角边 1.A 2.B【解析】：E是∠BAC的平分线AD上任意一点， .∠BAE=∠CAE. 又'AB=AC,AE=AE， ∴.△ABE≌△ACE(SAS),.BE=CE. .AD=AD,∠BAD=∠CAD,AB=AC, ∴.△ABD≌△ACD(SAS), .BD=CD,∠ADB=∠ADC=90 ,BD=CD,DE=DE,∠EDB=∠EDC, ∴△BDE≌△CDE(SAS). 综上所述，全等三角形有3对. 3.C【解析】·BF=EC, ∴.BF+FC=EC+FC,即BC=EF. (AB=DE. 在△ABC和△DEF中，∠B=∠E, BC=EF, ∴.△ABC≌△DEF(SAS), .△DEF的周长=△ABC的周长=24cm. .CF=3 cm, ∴.制成整个金属框架所需这种材料的总长度为24×2 -3=45(cm). 4.7【解析】，AD平分∠BAC,