4.4 培优课 指（对）数型函数的综合问题（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦指数型、对数型函数的图象变换、单调性判断及恒成立问题，系统梳理图象变换（平移、对称、翻折）、复合函数单调性“同增异减”法则及恒成立问题转化方法，构建从基础函数到复杂应用的学习支架。 资料通过例题解析（如例1图象变换）培养直观想象，复合函数单调性判断（例2）发展逻辑推理，恒成立问题求解（例3）提升数学运算。规律方法总结与变式训练结合，课中助力教师分层教学，课后便于学生巩固练习，查漏补缺。

重点解读 1.会利用图象变换法作出指数型函数、对数型函数的函数图象（直观想象）. 2.掌握判断指数型函数、对数型函数单调性的方法（逻辑推理）. 3.会求解与指（对）数函数有关的恒成立问题（数学运算）. 一、指（对）数型函数图象的变换 【例1】　利用函数y＝f（x）＝2x的图象，作出下列各函数的图象： （1）f（x－1）；（2）f（｜x｜）；（3）f（x）－1； （4）－f（x）；（5）｜f（x）－1｜. 解：利用指数函数y＝2x的图象及变换作图法可作出所要作的函数图象.如图所示. 【规律方法】 利用图象变换法作函数的图象 （1）平移变换 （2）对称变换 ①y＝f（x） y＝－f（x）； ②y＝f（x） y＝f（－x）； ③y＝f（x） y＝－f（－x）； ④y＝ax（a＞0且a≠1） y＝logax（a＞0且a≠1）. （3）翻折变换 ①y＝f（x） y＝｜f（x）｜； ②y＝f（x） y＝f（｜x｜）. 训练1　下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是（　　） A.y＝ln（1－x） B.y＝ln（2－x） C.y＝ln（1＋x） D.y＝ln（2＋x） 解析：B　法一　设所求函数图象上任一点的坐标为（x，y），则其关于直线x＝1的对称点的坐标为（2－x，y），由对称性知点（2－x，y）在函数y＝ln x的图象上，所以y＝ln（2－x）. 法二　由题意知，对称轴上的点（1，0）既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A、C、D，故选B. 二、指（对）数型复合函数的单调性 【例2】　判断函数f（x）＝lo（x2－2x－3）的单调性. 解：由x2－2x－3＞0，解得x＞3或x＜－1， 所以函数f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（3，＋∞）， 因为函数f（x）＝lo（x2－2x－3）可看作由y＝lou和u＝x2－2x－3复合而成， 又由于y＝lou在定义域内是减函数， 而u＝x2－2x－3在（－∞，－1）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增. 由复合函数单调性的判断法则“同增异减”可知，f（x）＝lo（x2－2x－3）在（－∞，－1）上单调递增，在（3，＋∞）上单调递减. 变式　求函数y＝（log0.4x）2－2log0.4x＋2的单调区间. 解：令t＝log0.4x，则它在（0，＋∞）上单调递减. y＝t2－2t＋2＝（t－1）2＋1在[1，＋∞）上单调递增，在（－∞，1）上单调递减. 由t＝log0.4x≥1得0＜x≤0.4；由t＝log0.4x＜1得x＞0.4， 故所求函数的单调递增区间为（0.4，＋∞），单调递减区间为（0，0.4]. 【规律方法】 复合函数y＝f（g（x））的单调性判断步骤 （1）确定函数的定义域； （2）将复合函数分解成两个简单函数：y＝f（u）与u＝g（x）； （3）分别确定分解成的两个函数的单调性； （4）若两个函数在对应区间上的单调性相同（即都单调递增，或都单调递减），则复合后的函数y＝f（g（x））单调递增；若两个函数在对应区间上的单调性相异（即一个单调递增，而另一个单调递减），则复合后的函数y＝f（g（x））单调递减. 训练2　（1）函数y＝ 的单调递减区间为（　　） A.（－∞，0] B.[0，＋∞） C.（－∞，] D.[，＋∞） 解析：B　函数y＝在R上为减函数，欲求函数y＝的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间，而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞），故所求单调递减区间为[0，＋∞）. （2）若函数f（x）＝lg（x2－2ax－a）在区间（－∞，－3）上单调递减，求实数a的取值范围. 解：设u（x）＝x2－2ax－a. 因为f（x）在（－∞，－3）上单调递减， 所以由复合函数的单调性法则可知，u（x）在（－∞，－3）上单调递减，且u（x）＞0在（－∞，－3）上恒成立. 又u（x）＝（x－a）2－a－a2在（－∞，a）上单调递减，所以即解得a≥－. 故实数a的取值范围为. 三、与指（对）数函数有关的恒成立问题 【例3】　已知函数f（x）＝log2是奇函数，a∈R. （1）求a的值； 解：令＋1＞0，则＞0，x＜－a－1或x＞－a， f（x）是奇函数，其定义域关于原点对称，－a－1－a＝0，a＝－. （2）对任意的x∈（－∞，0），不等式f（2x＋1）＞log2（m－2x）恒成立，求实数m的取值范围. 解：f（2x＋1）＞log2（m－2x）， 即log2＞log2（m－2x），　 整理得m＜2x＋＋＋， 令u＝2x＋，x∈（－∞，0），所以u∈， 令g（u）＝u＋＋，易知g（u）≥， 当u＝1时取等号，所以m＜. 又由m－2x＞0，即m＞2x，故m≥1， 所以m的取值范围是. 【规律方法】 解决恒成立问题的基本思路 （1）转换成求函数最值：①m≥f（x）在x∈D上恒成立⇔m≥f（x）max，x∈D；②m≤f（x）在x∈D上恒成立⇔m≤f（x）min，x∈D. （2）转换成函数图象问题：①若f（x）＞g（x）在x∈D上恒成立，则在区间D上，函数y＝f（x）的图象在函数y＝g（x）图象的上方；②若f（x）＜g（x）在x∈D上恒成立，则在区间D上，函数y＝f（x）的图象在函数y＝g（x）图象的下方. 训练3　已知函数f（x）＝1－. （1）判断函数f（x）在R上的单调性，并用单调性的定义证明； 解：函数f（x）是增函数，任取x1，x2∈R，不妨设x1＜x2， f（x1）－f（x2）＝－＝， ∵x1＜x2，∴－＜0，又＋1＞0，＋1＞0， ∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）， ∴函数f（x）是R上的增函数. （2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明； 解：函数f（x）为奇函数，证明如下： 由解析式可得f（x）＝，且定义域为R关于原点对称， f（－x）＝＝＝－f（x）， ∴函数f（x）是定义域上的奇函数. （3）若f（－2x2＋x）＋f（－2x2－k）＜0恒成立，求实数k的取值范围. 解：f（－2x2＋x）＋f（－2x2－k）＜0等价于f（－2x2＋x）＜－f（－2x2－k）＝f（2x2＋k）， ∵f（x）是R上的增函数，∴－2x2＋x＜2x2＋k，即4x2－x＋k＞0恒成立， 由Δ＝1－16k＜0，解得k＞. ∴实数k的取值范围为. 1.函数f（x）＝loga[（a－1）x＋1]在定义域上（　　） A.是增函数 B.是减函数 C.先增后减 D.先减后增 解析：A　当a＞1时，y＝logat和t＝（a－1）x＋1都是增函数，所以f（x）是增函数；当0＜a＜1时，y＝logat和t＝（a－1）x＋1都是减函数，所以f（x）是增函数. 2.已知函数f（x）＝ln x＋ln（2－x），则（　　） A.f（x）在（0，2）上单调递增 B.f（x）在（0，2）上单调递减 C.y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称 D.y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称 解析：C　∵函数f（x）＝ln x＋ln（2－x），∴f（2－x）＝ln（2－x）＋ln x，即f（x）＝f（2－x），即y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称. 3.若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称两个函数为“同形函数”.给出下列四个函数：f1（x）＝2log2（x＋1），f2（x）＝log2（x＋2），f3（x）＝log2x2，f4（x）＝log2（2x），则是“同形函数”的是（　　） A.f2（x）与f4（x） B.f1（x）与f3（x） C.f1（x）与f4（x） D.f3（x）与f4（x） 解析：A　因为f4（x）＝log2（2x）＝1＋log2x，所以f2（x）＝log2（x＋2）的图象沿着x轴先向右平移2个单位长度，得到y＝log2x的图象，然后再沿y轴向上平移1个单位长度，得到f4（x）＝log2（2x）＝1＋log2x的图象，根据“同形函数”的定义，可知选A. 4.函数f（x）＝－＋1在[－1，2]上的最小值是（　　） A.1 B. C. D.3 解析：C　由题意，得函数f（x）＝－＋1＝－＋1，设t＝，因为x∈[－1，2]，所以t＝∈，则函数y＝t2－t＋1＝＋，当t＝时，ymin＝. 5.对于函数f（x）＝，下列描述正确的是（　　） A.是减函数且值域为（－1，1） B.是增函数且值域为（－1，1） C.是减函数且值域为（－∞，1） D.是增函数且值域为（－∞，1） 解析：B　函数f（x）＝＝1－，x∈R，因为函数y＝3x为增函数，所以y＝为减函数，所以f（x）为增函数，又3x∈（0，＋∞），所以3x＋1∈（1，＋∞），∈（0，2），所以f（x）＝1－∈（－1，1），即f（x）的值域为（－1，1）. 6.〔多选〕关于函数y＝log2（x2－2x＋3）有以下4个结论，其中正确的有（　　） A.函数的定义域为（－∞，－3）∪（1，＋∞） B.函数的单调递增区间为[1，＋∞） C.函数的最小值为1 D.函数的图象恒在x轴的上方 解析：BCD　函数y＝f（x）＝log2（x2－2x＋3）的定义域为R，故A错误；令t＝x2－2x＋3，则y＝log2t，t＝x2－2x＋3的单调递增区间为[1，＋∞），y＝log2t为增函数，故函数y＝log2（x2－2x＋3）的单调递增区间为[1，＋∞），故B正确；当x＝1时函数取最小值为1，故C正确；对于D，由C知最小值为1，而最小值1在x轴上方，故D正确.故选B、C、D. 7.〔多选〕高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f（x）＝－，则关于函数g（x）＝[f（x）]的叙述中正确的是（　　） A.g（x）是偶函数 B.f（x）是奇函数 C.f（x）在R上是增函数 D.g（x）的值域是{－1，0，1} 解析：BC　∵g（1）＝[f（1）]＝＝0，g（－1）＝[f（－1）]＝＝－1，∴g（－1）≠g（1），则g（x）不是偶函数，故A错误；∵f（x）＝－的定义域为R，f（－x）＋f（x）＝＋－1＝＋－1＝－1＝0，∴f（x）为奇函数，故B正确；∵f（x）＝－＝－＝－，又y＝2x在R上是增函数，∴f（x）＝－在R上是增函数，故C正确；∵2x＞0，∴1＋2x＞1，则0＜＜1，可得－＜－＜.即－＜f（x）＜，∴g（x）＝[f（x）]∈{－1，0}，故D错误. 8.设函数f（x）＝－，若f（2m－1）＋f（m－2）＜0，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：（1，＋∞） 解析：∵函数的定义域为R，f（－x）＝－＝－＝－＝－＋＝－f（x），∴f（x）为奇函数，又f（x）在R上是减函数，由f（2m－1）＋f（m－2）＜0得f（2m－1）＜－f（m－2）＝f（2－m），∴2m－1＞2－m，解得m＞1. 9.函数f（x）＝（log2x）2－log2x3＋4，x∈（1，4]的值域为. 解析：令t＝log2x，则t∈（0，2]，∴原函数化为y＝t2－3t＋4，t∈（0，2]，其对称轴方程为t＝，∴当t＝时，y有最小值为－3×＋4＝；当t＝0时，y有最大值为4，但取不到.∴f（x）的值域为. 10.若函数f（x）＝lo（－x2＋4x＋5）在区间（3m－2，m＋2）内单调递增，则实数m的取值范围为. 解析：由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.二次函数y＝－x2＋4x＋5的图象开口向下，对称轴为x＝2.由对数型函数的单调性可得函数f（x）＝lo（－x2＋4x＋5）的单调递增区间为（2，5）.要使函数f（x）＝lo（－x2＋4x＋5）在区间（3m－2，m＋2）内单调递增，只需解得≤m＜2. 11.已知函数f（x）＝ex－e－x（x∈R且e为自然对数的底数）. （1）判断函数f（x）的奇偶性与单调性； （2）是否存在实数t，使不等式f（x－t）＋f（x2－t2）≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由. 解：（1）因为f（x）＝ex－，且y＝ex是增函数， y＝－是增函数，所以f（x）是增函数. 由于f（x）的定义域为R，且f（－x）＝e－x－ex＝－f（x），所以f（x）是奇函数. （2）由（1）知f（x）是增函数和奇函数，所以f（x－t）＋f（x2－t2）≥0对一切x∈R恒成立， 等价于f（x2－t2）≥f（t－x）对一切x∈R恒成立，即x2－t2≥t－x对一切x∈R恒成立， 所以t2＋t≤x2＋x对一切x∈R恒成立，即存在实数t使得≤恒成立， 所以存在实数t＝－，使不等式f（x－t）＋f（x2－t2）≥0对一切x都成立. 12.已知函数f（x）＝b·ax（其中a，b为常数，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）. （1）求f（x）的表达式； （2）若不等式＋－m≥0在（－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围. 解：（1）因为f（x）的图象过点A（1，6），B（3，24）， 所以所以a2＝4， 又a＞0，所以a＝2，b＝3，所以f（x）＝3·2x. （2）由（1）知a＝2，b＝3，则当x∈（－∞，1]时，＋－m≥0恒成立，即m≤＋在（－∞，1]上恒成立. 又因为y＝与y＝在（－∞，1]上均为减函数，所以y＝＋在（－∞，1]上也是减函数，所以当x＝1时，y＝＋有最小值，所以m≤，即m的取值范围是. 13.已知函数f（x）＝lg ，f（1）＝0，当x＞0时，恒有f（x）－f＝lg x. （1）求f（x）的表达式； （2）若方程f（x）＝lg（8x＋m）的解集为⌀，求实数m的值. 解：（1）当x＞0时，f（x）－f＝lg x恒成立. 即lg －lg ＝lg x恒成立， 即（a－b）x＝a－b恒成立， 所以a＝b. 又f（1）＝0，即a＋b＝2，从而a＝b＝1， 即f（x）＝lg . （2）若原方程有解，则由lg ＝lg（8x＋m）可得＝8x＋m且＞0. 进一步等价为8x2＋（6＋m）x＋m＝0，且x＜－1或x＞0. 由于原方程的解集为⌀，故有两种情况： ①方程8x2＋（6＋m）x＋m＝0无解，即Δ＜0，解得2＜m＜18. ②方程8x2＋（6＋m）x＋m＝0有解，两根均在[－1，0]内， 令g（x）＝8x2＋（6＋m）x＋m. 则 解得即0≤m≤2. 综上，实数m的取值范围是[0，18）. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $