河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习测试卷（2)-三角恒等变换

**基本信息** 围绕三角恒等变换，通过选填题基础巩固与解答题分层设问，强化运算推理、函数性质应用及数学语言表达，适配新高二暑假自主学习知识内化需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|三角公式应用、函数单调区间|基础公式直接应用，考察运算能力| |多选题|3/18|函数周期性、奇偶性、对称性|多维度性质辨析，强化推理意识| |填空题|3/15|函数最值、角度计算、参数范围|简洁情境下的数学语言表达| |解答题|5/77|函数周期、值域、单调性、零点存在性|分层设问（如15题从求值到值域），综合考察推理与应用能力|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习测试卷(2) 范围：三角恒等变换 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.已知tana=2,则 m2a+) -1 A.-3 C.-7 D.-7 a-,a,则m-引() 2.已知i咖a=3 3-4v5 3+4V5 3V3-4 3v3+4 A.10 B.10 C.10 D.10 7 24 7 24 A.-25 B.25 C.25 D.25 4.已知sin(a-p)= 2.sin Bcosa=1 6,则sin(a+p)=() 5 2 1 1 A.6 B.3 C.3 D.12 5 1 5.计算：cos10°sin10°的值.() A.-3 B.-4 C.-2 D.-7 6.函数"22r+-sin.co 的单调递减区间是() 试卷第1页，共3页 2c0s90V5. sing ,6=2tanl1o 1-cos46 2 1+tan211,c=V 2则有() A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<c<b 8.已知函数f(x)=sin(x+0)+V3cos(x+0), 〔[引是药商数.则8尚蓝为() A.0 B.君 C.4 n.3 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） .画数网-2m+引(：-》.则关于刊的下列能法中正编的是() A.最小正周期为π B。图像关于点6)中心对称 C.在区间 上单调递减 .-为偶厨数 10.下列等式成立的是() √5-tanl5o A.1+V3anl50-1 B.sinl5sin75°=} 1V3 2C.sinl0°cos10°=4 D.sin210°-cos210°=cos20° A.f(x+2π)=f(x) B.x=4是函数y=(x)图象的一条对称轴 C.f()的最大值为2 D. f八+位)是偶函数 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 试卷第2页，共3页 2.函素血m}m(到的装大信为 13.若os(a-p)= 5,cos2a=10 0,并且a,B均为锐角，且a>B,则a+B= （24@>0 (x)= [π2π 14.已知函数1 在区间23]上单调递增，则0取值范围为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.(本小题13分)已知函数f()=2 sin+V5cos2x (1)求 （6)的值； 2)求函数（田 的最小正周期； (8)求函数f问在区间0上的值域。 6.（本小题15分)已知函数(x)=2+sinrcos-V3cos 2 ①求'=（的单调端增区间； ②)求函数y三f(x)在02]时的值 x E ππ (3)对任意的 64,不等式f()m()10恒成立，求m的取值范围. 17.(本小题15分)已知函数f()=2cos5simx+-cosx)-1 (1)求函数 的最小正周期； [ππ (2)求函数f()在区间4'2上的最大值和最小值： 试卷第3页，共3页 [2π ⑧若函数f()在区问口了]上存在零点，求实数a的最大值 18.(本小随17分)E如0<a受，受<0，m任+0.m[任）-9 a+ 2)的值； (2)求tanB的值； (3)求a-B的值. 19.(本小题17分)已知函数 刻=aorr+}写snx-aox+2 ()求函数( 的单调递减区间. 求(x)的最大值和最小值. （8)若f(a)-72a是第一象限角，求sn2a的值. 试卷第4页，共3页 参考容案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 0 10 答案 C A A A B B A B AD AC 题号 11 答案 AD 1.C 【详解】由am=2,得m2a=23=4号 Γ1-221-43， 4 1 tan 2a tan +1 π tan2a+ 4 3 31 所以 1-tan 2a.tan 4 7 7 4 3 x13 2.A 【详解因为na+co3ana},a更号cosa 解得cosa=-4 , cosa.cos+sina.sin=43134 6 6525210. 3.A 【详1a-oa+引1ma到-1石. 4.A 【详解】由sna-)=in-=in= 1 6, 得sina cosB= F3,所以sin(a+p)=sincs+cosasin B= 6. 答案第1页，共2页 迎乙并‘迎7患嵩显 a‘8 9之”押ozus>s>ls弹`蔚卧夷亿0p 平xs=(士甲 乙 oftuIs= (ouIst-1)-I 9tso3-1/ o2Zs=ol1so14sZ=ol:s0o+1lzsoll,g+1 oIISO。Ilus。Ilue oltuIs=(06-00)u!s=06uIs.0ESO-06S02.0Eu!s=o6u!s -6s0∞2=n【檸】 V'L 71[图网]：我小2市的的 IC zs0∞p+z4zs b =x soox UIs 【捌热】 89 0？ssw·0s0o四0za的0四 b-= 0zuIs乙- E s-(oe-jsz-(0E-0jasz-o1s是-01s子 E =.01so0-014sE园 ‘0Is00Iums-0Ius0Iso【搏老】 OISO-0IUISEA I E a's 【详解】依题意，fw=2sin(c+0+) 3 由函数f为偶函数，得0++ke,而0-21，则k=00-君，所以0的值为石 9.AD 【1o-引m-引a引m到-2到 2xc0s24-1-0l+sin 2x :函数f的最小正周期T=牙=元，故A正确： 当名叶，得1+引1+兰.所以西数图余不关千（中心对，点餐员： 当i.xo号 (-}=1+sn2-引-1+m2x--1-ow2r 为偶函数，故D正确. 故选：AD. 10.AC √3-tanl5°_tan60°-tanl5°， 【详解】对于A,1+V3anl150-1+tan601an150=am(60°-l15)=tan45°=1 ,故A正确： z对于B,sinl5sin75°=sinl5°cos150=in30°=} 2 4,故B错误； 答案第3页，共2页 2cos10° 2 1 -sin10 1 V5cosl0°-V3sinl0° 2 对于C,sin10°cos10° 2sin(30°-10） sinl0°cosl0° sinl0cosl0° sinl0cosl0° 2sin20°_4sinl0°cosl0° sinl0cosl0° sml0Pcos10e=4,，故C正确： sin210°-cos210°=-cos(10°+10)=-cos20° 对于D, 故D错误。 故选：AC 11.AD 【详解】国)=nr+?+n写-)=n(x+爱+oar+月=5sinr+受 A:由7-平=2江，得问的最小正周期为2x,故A正确 得5，数B C:(冈的最大值为2，故C错误： :又因为引a(+引6，为得统，款正晚 故选：AD 12.1 【详解】 ()sinsinco 1 cosx-sinx 2sinx+。 cosx-sinx -coSx 2 2 2 2 2 ,π1-cos2xV3sin2x 2 -sinxcosx=3sinx+ 2 6 4 答案第4页，共2页 -m+8m2+到}m(小5m+}片. 设-m8引-1s1,事*片 盾北-兰，为+9时.心 3 π 13.4/45 【详解】因为a,B均为锐角，且a>B,即0<B<a<受， 所以0<a-B< 2,0<2a<π，0<a+B<π，所以sin(a-B)>0,sin2a>0 因为os(a-p)=2 ,cos2a=10 10, 2 10 3v10 10 10, 所以os(a+P)=cos[2a-(a-B]=cos2aeos(a-p月+sin2asin(a-p) -25xi0+5×3w10_5w50V2 510510502, 因为0<a+A<,所以a+B-牙 14.0<m 【详解】=sin+） I-cos x+ (24 +sin@x 1+, 2 222 [元2π “f,)在区间23]上单调递增， 答案第5页，共2页 [-L+2km≤or≤sT+2km,keZ 2 2 0>0 ，解得x∈ 元2k元+2]keZ, 200’200 [π2π 「ππ :区间2’3]包含原点附近的正负区间，仅当k=0时的递增区间2ω'20可以覆盖该区间， (z20 2 2红≤元，解得3，又 3 [320 0≤ 0>0 0<0≤ 4 4 15.【详解】(1)因为 ()2sim.ocosn+02i+ =2si 2-5 3 T=2n 2)由T简，背7-受，数的数日的辰小正期有： (3)因为0≤≤克，所以写s2x+骨s红 33 2 32, ,5m2x+引1,5s2m2x+写}2，所以垂友国车区同0引上的值该为 所以2 （31 /0 [-V3,2] 18.【11-o-ax马ow2a-2r-引 2 由2 32 所以的单网装始区树为厂合+沿：2 答案第6页，共2页 ππ π2π 因为y=sinx在3'2]上单调递增，在2'3]上单调递减， o[周.x周】w-2- f(x)-mf(x)-1≤0台mf(x)≥f(x)-1 ①当间0时，不等式恒成立： ②当f()>0时，得 m≥)问恒皮立， =5,则0-1， 2 等限有充阳树 17.【详解】(1) f(x)=23sin xcosx+2cosx-1=3sin 2x+cos2x=2sinx+ 6),最小正周期 T= 2元 答案第7页，共2页 ππ π7π y=2m1在3递增，在26递减.当-立即=6时取最大值2： 比较端底1=骨时y=-5,1石 =6时y=1,故最小值为-√5. 8因=032+-02xg-a-经8e到 。2π 区间3 2π 存在零点等价于3左侧的最大零点x。满足≤. 由经吾行经得ks,密致k景大取1，此叶七-设。故。的最大值为设。 kπ_π<2π_8π 5π .晋， <+a< 18.【详解】(1)由题设，4<4 29.居引5ma+m层任】 =w年+am任}rm日+am(任--y5 2)m-o台2aw(日引1-月 百为子90.则 3,所以a0=-3 4 3, 2(cosa+sina)-22 ,则cosa+sina 3 cosa=4+ 6, sina=4- 6,又因为00-22 3, cos(a-p)-cosacosB+sinasin 2,而0ca-B<x,款“-B 4 答案第8页，共2页 19.【详解】(1)fos2x-5 m2r-ewm2x+3sn2-5n2x-sa2x=n2r-} 2 2 令+2≤2x君≤受+2keZ),解得+m≤x≤酒+aeZ, 62 6 ·f()的单调减区间是3 [仔+ag+a&ez☑ 2ye.2-8 当2x君石，即-0时、f儿ean=:当2x-名5 62,即x=3时，f()大h=1. 3)a-如-君刮片加是每-度限 即2h<2a<2+2(keZ).2km-元<2a-<+2a 6 63 m如-引5.m=a动月2如+o如m8 片9得 答案第9页，共2页