江苏扬中市第二高级中学2026年暑假复习自测练习高二升高三数学-三角恒等变换

**基本信息** 2026年暑假高中数学三角恒等变换复习自测练习，通过单选（8题）、多选（3题）、填空（3题）、解答（5题）覆盖公式应用、函数性质及实际情境问题，注重数学思维与应用能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|两角和差公式、同角关系|基础巩固，强调公式直接应用| |多选题|3/18|三角式化简、角的范围讨论|部分选对得分，考察辨析能力| |填空题|3/15|三角函数求值、值域问题|简洁设问，检验运算准确性| |解答题|5/77|实际应用（工艺品设计）、函数综合（单调性、零点）|分层设计，如第17题结合工艺情境体现模型观念，第19题方程根问题考察逻辑推理|

2026年暑假高中数学（三角恒等变换）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若的值为 （ A ） A． B． C． D． 2．若，且，，则的值是 （ A ） A. B. C. 或 D. 或. 3．已知，且，则 （   C  ） A． B． C． D． 4．已知，则 （ C ） A. 1 B. C. D. 2 5．已知，，，那么M，N，P之间的大小顺序为 （ B ） A. B. C. D. 【详解】由在上为增函数，则 ， ， 又，即， 所以， 所以．故选：B 6．已知，，，则 （ D ） A. B. C. D. 【详解】因为，所以，整理可得：，可得：， 又因为，所以，由可得， 因为，所以，故选：D. 7．已知函数.若在区间内没有零点，则的取值范围是 （ D ） A. B. C. D. 【详解】 ， 令，则，由题意可知， 故存在整数，使得，即，因为，解得， 又∵，∴，∴时，，当时，， 又∵，∴.故选：D. 8．已知角，且，当取得最大值时，角 （ D ） A. B. C. D. 详解】已知，可得：，，可得：，得：，因为，所以，，等式两边同时除以和可得：，上式可化为：， 又因为，代入上式可得： ， 令，则，，代入可得： ，因为，所以，则.根据均值不等式对于有：，当且仅当，即，时等号成立. 所以，即当时，取得最大值. 因为，且，所以. 当取得最大值时，角.故选：D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．计算下列各式的值，其结果为1的有 （ AD ） A. B. C. D. 10．已知为锐角，则下列式子中与相等的是 （ BCD ） A. B. C. D. 【详解】解：因为为锐角，； 对于A，，不符题意；对于B，由题意可知，满足题意；对于C，，满足题意；对于D，，满足题意． 故选：BCD． 11．已知，则下列说法正确的有 （ ABD ） A．若 B． C． D． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知，则________. 【详解】根据题意得.由已知得，即，故 . 13．已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________. 【详解】由题可得 ，当时，，又，，函数在上单调递增，在上单调递减，而的值域为， 所以，得，所以实数的取值范围为.故答案为：. 14．已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 【详解】法一：由题意得，因为，，则，，又因为，则，，则，则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（1）求的值： （2）已知，求函数的值域． 15．解：（1）原式 ； （2）令， 当时，，故，即， 又，所以， 故， 函数开口向下，对称轴为， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， 所以的值域为. 16．（1）已知，且，求的值； （2）已知，且及，求的值. 16．解：（1）由，可得， 由，可得，则， ， （2）由，可得， 由，则， ， 由于，故 17．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点P为半圆上一点（异于），点H在线段上，且满足.已知，设. （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大，当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果； （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值. 17．解：（1）由，在直角中，，； 在直角中，， ； ， 所以当，即时，的最大值为， 即时，工艺礼品达到最佳观赏效果； （2）在直角中，由， 可得； 在直角中，， 所以，， 所以 ， 所以当时，取得最大值，且最大值为. 18. 已知， （1）若，求的值； （2）在三角形ABC中，若，求的最大值； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 18．解：（1）函数, 因为，所以， 所以， . （2）由， 而，可得，即， 所以， 因为，所以, 则， 故当时，取最大值，最大值为． （3）由（1）可知 , 令，因为，所以，从而， 则即为：在上恒成立， 所以在在上恒成立， 又，当且仅当时等号成立． 所以，即实数a的取值范围为. 19．已知函数． （1）当时，求函数的值域； （2）当时，求函数的单调递减区间； （3）若，关于x的方程有三个不等的实根，求a的取值范围． 19．解：（1）当时，， 令，则, ， 此时原函数转化为， 开后向下的二次函数，对称轴为， 所以当时，取到最大值为， 当时，取到最小值为， 所以原函数值域为； （2）当时，， 由（1）得， 对称轴为，开口向下，所以当时，单调递减， 所以当时，单调递增， 又，所以根据复合函数单调性判断， 只需找单调减区间即可， 令， 所以原函数的单调减区间为 （3）令，当， ， 由的图像可知，当或时，每一个的取值都只有一个与之对应， 当时，每一个的取值都有两个与之对应， 此时， 当为其根时，代入解的， 所以方程转化为，解的另一根为，此时只有两解，不合题意； 所以必有一根，另一根， 令，因为， 所以， 所以a的取值范围为. 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年暑假高中数学（三角恒等变换）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若的值为 （ ） A． B． C． D． 2．若，且，，则的值是 （ ） A. B. C. 或 D. 或. 3．已知，且，则 （     ） A． B． C． D． 4．已知，则 （ ） A. 1 B. C. D. 2 5．已知，，，那么M，N，P之间的大小顺序为 （ ） A. B. C. D. 6．已知，，，则 （ ） A. B. C. D. 7．已知函数.若在区间内没有零点，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 8．已知角，且，当取得最大值时，角 （ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．计算下列各式的值，其结果为1的有 （ ） A. B. C. D. 10．已知为锐角，则下列式子中与相等的是 （ ） A. B. C. D. 11．已知，则下列说法正确的有 （ ） A．若 B． C． D． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知，则________. 13．已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________. 14．已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（1）求的值： （2）已知，求函数的值域． 16．（1）已知，且，求的值； （2）已知，且及，求的值. 17．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点P为半圆上一点（异于），点H在线段上，且满足.已知，设. （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大，当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果； （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值. 18. 已知， （1）若，求的值； （2）在三角形ABC中，若，求的最大值； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 19．已知函数． （1）当时，求函数的值域； （2）当时，求函数的单调递减区间； （3）若，关于x的方程有三个不等的实根，求a的取值范围． 3 学科网（北京）股份有限公司 $