江苏扬中市第二高级中学2026年暑假新高三数学（排列组合与二项式定理）复习自测练习 -

**基本信息** 2026年暑假高中数学排列组合与二项式定理复习自测练习，以支付方法、快递路线、剧本杀选角等现实情境为载体，通过选择、填空及综合解答题的分层设计，强化知识应用与逻辑推理，适配暑假复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|排列组合（街道走法）、二项式定理（常数项）|购物支付等生活场景，夯实基础| |多选题|3/18|分配问题（医生分派、小球放盒）|多选项设计考查分类讨论思维| |填空题|3/15|二项式系数、取香蕉顺序|剧本杀选角情境新颖，培养应用意识| |解答题|5/77|分书问题（分层设计）、函数与整除|分书问题梯度明显，结合函数考查创新应用|

2026年暑假高中数学（排列组合与二项式定理）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．用10元，5元和1元来支付20元的书款，不同的支付方法的种数为 （ C ） ( A 图 1 A B C )A． B． C． D． 2．如图1所示，某地有南北街道6条、东西街道5条，一快递员从A地出发，送货到C地，且途经B地，要求所走路程最短，共有（ D ）种不同的走法. A．100 B．80 C．60 D．40 3．如图，的边上有四点上有三点，则以，中三点为顶点的三角形的个数为 （ B ） A． B． C． D． 4．若为一组从小到大排列的数1，2，3，5，7，8，11的第上四分位数，则二项式的展开式的常数项是 （ D ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【详解】因为，所以的第上四分位数是，即， 则，由解得， 所以常数项为，故选：D. 5．若等于 （ C ） A． B． C． D． 6．若的展开式中，各项的二项式系数之和为128，系数和为，则除于13的余数是（ C ） A. 0 B. 3 C. 10 D. 11 【详解】由二项式系数和，得代入，得，解得：计算除以：先把写成，则根据二项式定理得：除了这项外，其余项都含有因数能被整除所以除以余数和除以余数相同 除以商余，所以除以余数是故选：C. 7．化简结果 （ D ） A. B. C. D. 【详解】， ，，， ，，故选：D 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是利用排列数和组合数性质将依次巧妙变形得，然后根据此式依次变形计算即可求解. 8．如上图所示，对两行三列6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有 （ D ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．2020年3月，为促进疫情后复工复产期间的安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论中正确的是 （ ABC ） A．若企业最多派1名医生，则所有不同的分派方案共有 B．若每家企业至少派1名医生，则所有不同的分派方案共 C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同的分派方案共 D．所有不同分派方案共 10．（多选）现将5个不同的小球全部放入标有编号1､2､3､4､5的五个盒子中 （ BCD ） A．若有一个盒子有3个球，有两个盒子各有1个球，则不同的放球方法种数为 B．若恰有一个盒子没有小球，则不同的放球方法种数为 C．若恰有两个盒子没有小球，则装有小球的盒子的编号之和恰为11的不同放法种数为150 D．若这5个小球的编号分别为1~5号，则恰有四个盒子的编号与球的编号不同的放法种数为45 【详解】对于A，不同的放球方法种数为，故A错误.对于B，不同的放球方法种数为，故B正确.对于C，5个球放到编号为2､4､5的三个盒子中，因为每个盒子中至少放1个小球，所以在三个盒子中有两种方法：各放1个，2个，2个的方法有种；各放3个，1个，1个的方法有种.共有150种，故C正确. 对于D，恰有四个盒子的编号与球的编号不同，就是恰有1个编号相同，先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况，不妨设5号球放在5号盒子里，其余4个球的放法为，，，，，，，，，共9种，故恰好有1个球的编号与盒子的编号相同的投放方法总数为种，故D正确.故选:BCD. 11．已知，则下列说法中正确是 （ ABD） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则中含项的系数为48 D. 若为偶数，则能被4整除 【详解】因为，所以，即， 对于A，若，则，解得，正确；对于B，若，则，即，由单调递减，及，可得，正确； 对于C，若，则，解得，对于二项式，要生成这一项，相当于从5个含有的括号中，若2个取出，1个取出，2个取出，则， 若1个取出，3个取出，1个取出，则，若5个取出，则，所以的系数为，错误；对于D，，为偶数，不妨记，则 能被8整除，所以能被4整除，正确.故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为，则展开式中的常数项 为 . 13．如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3．到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数是 60 . 【详解】将6串香蕉编号为1，2，3，4，5，6．把“2，3，4，5，6”取完，方法为23456，24356，24536，24563，42356，42536，42563，45263，45623，45236，共10种，再把1插入其中，每个有6种插法．共有60种方法． 14．近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有____348______种选择方式． 【详解】由题意，根据选出的女生人数进行分类，第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，女生先选有，剩下的一个角色从3名男生中选1人，则种，所以共有种，第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的2名女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色从2名男生中选1人，则种，所以共有种，第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色，A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色让男生扮演，余下的2名女生扮演角色C，所以共有种，由分类计数原理可得：店主共有种选择方式，故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．规定为正整数，且，这是排列数是正整数，且的一种推广.（1）求的值；（2）确定函数的单调区间. 15．解：（1）由已知得； （2）函数， 则， 令， 所以函数的递增区间为， 令， 所以函数的递减区间为 16．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： （1）分给甲、乙、丙三人，每人2本； （2）分为三份，每份2本； （3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本． 16.解：（1）根据分步计数原理得到：种； （2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法．根据分步计数原理可得：，所以． 因此，分为三份，每份两本一共有15种方法．说明：本题是分组中的“均匀分组”问题． 一般地，将个元素均匀分成组（每组个元素），共有种方法． （3）这是“不均匀分组”问题，一共有种方法． （4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有种方法． （5）可以分为三类情况： ①“2、2、2型”即（1）中的情况，有种方法； ②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有种方法； ③“1、1、4型”，有种方法，所以，一共有90+360+90＝540种方法． 17．在二项式的展开式中，______.给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于46； ②所有奇数项的二项式系数的和为256. 试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题： （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中项的系数最大的项. 17．解：（1）选择①：，即， 即，即，解得或（舍去）. 选择②：，即，解得. 展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项， ， （2）展开式的通项为， 令，得，所以展开式中常数项为第7项，常数项为； （3）由展开式的通项为， 假设第项系数最大，则，解得，且，所以，即系数最大项为. 解得 18．现有男选手3名，女选手5名，其中男、女队长各1名，选派4人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男选手2名，女选手2名； （2）至少有1名男选手； （3）既要有队长，又要有男选手. 18．解：（1）根据题意，分两步进行： ①在3名男选手中选2名，有种选法， ②在5名男选手中选2名，有种选法， 共有（种）选法； （2）根据题意，“至少有1名男选手”的反面为“全是女选手”. 从8人中任选4人，有种选法， 其中全是女选手的选法有种， 所以“至少有1名男选手”的选法有（种）； （3）根据题意，分两种情况讨论： ①当有男队长时，其他人选法任意，有种选法； ②当不选男队长时，必选女队长，共有种选法， 其中不含男选手的选法有 所以当不选男队长时，共有种选法， 故既要有队长，又要有男选手的选法有（种）. 19．已知函数. （1）当时，求的值； （2）若能被1000整除，求的最小值； （3）若，且在中，存在连续三项的项的系数成等差数列，求的值. 19．解：（1）， 当时，，所以； （2）因为， 所以 ， 又能被1000整除， 所以要能被1000整除， 当为偶数时，，此时的最小值为10； 当为奇数时，，不可能被1000整除，所以不存在符合题意， 综上，可得的最小值为10； （3）因为展开式的通项为， 所以的系数分别为成等差数列， 即，整理可得， 即为完全平方数， 又，， ，此时，解得， 所以当时， 在中，的系数分别为成等差数列， 在中，的系数分别为成等差数列， 综上可得， 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年暑假高中数学（排列组合与二项式定理）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．用10元，5元和1元来支付20元的书款，不同的支付方法的种数为 （ ） ( A 图 1 A B C )A． B． C． D． 2．如图1所示，某地有南北街道6条、东西街道5条，一快递员从A地出发，送货到C地，且途经B地，要求所走路程最短，共有（ ）种不同的走法. A．100 B．80 C．60 D．40 3．如图，的边上有四点上有三点，则以，中三点为顶点的三角形的个数为 （ ） A． B． C． D． 4．若为一组从小到大排列的数1，2，3，5，7，8，11的第上四分位数，则二项式的展开式的常数项是 （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5．若等于 （ ） A． B． C． D． 6．若的展开式中，各项的二项式系数之和为128，系数和为，则除于13的余数是（ ） A. 0 B. 3 C. 10 D. 11 7．化简结果 （ ） A. B. C. D. 8．如上图所示，对两行三列6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．2020年3月，为促进疫情后复工复产期间的安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论中正确的是 （ ） A．若企业最多派1名医生，则所有不同的分派方案共有 B．若每家企业至少派1名医生，则所有不同的分派方案共 C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同的分派方案共 D．所有不同分派方案共 10．（多选）现将5个不同的小球全部放入标有编号1､2､3､4､5的五个盒子中 （   ） A．若有一个盒子有3个球，有两个盒子各有1个球，则不同的放球方法种数为 B．若恰有一个盒子没有小球，则不同的放球方法种数为 C．若恰有两个盒子没有小球，则装有小球的盒子的编号之和恰为11的不同放法种数为150 D．若这5个小球的编号分别为1~5号，则恰有四个盒子的编号与球的编号不同的放法种数为45 11．已知，则下列说法中正确是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则中含项的系数为48 D. 若为偶数，则能被4整除 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为，则展开式中的常数项为 . 13．如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3．到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数是 . 14．近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有__________种选择方式． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．规定为正整数，且，这是排列数是正整数，且的一种推广.（1）求的值；（2）确定函数的单调区间. 16．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： （1）分给甲、乙、丙三人，每人2本； （2）分为三份，每份2本； （3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本． 17．在二项式的展开式中，______.给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于46； ②所有奇数项的二项式系数的和为256. 试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题： （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中项的系数最大的项. 18．现有男选手3名，女选手5名，其中男、女队长各1名，选派4人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男选手2名，女选手2名； （2）至少有1名男选手； （3）既要有队长，又要有男选手. 19．已知函数. （1）当时，求的值； （2）若能被1000整除，求的最小值； （3）若，且在中，存在连续三项的项的系数成等差数列，求的值. 4 学科网（北京）股份有限公司 $