第02讲 三角形的内角与外角（核心知识+7易错辨析+10典例精讲+课后作业）2026-2027学年人教版八年级数学上册秋期复习 + 期考讲义专项

本讲义聚焦三角形内角与外角核心知识，系统梳理内角和定理（180°）、直角三角形性质与判定（两锐角互余）、按角分类，以及外角定义、两大推论（等于不相邻两内角和、大于不相邻内角）、外角和定理（360°），构建从内角到外角的完整知识支架。 资料以“7易错辨析”（如强调外角“不相邻”属性）、“10典例精讲”（含证明、折叠、角平分线综合等题型）为特色，通过错因分析培养数学眼光，借助逻辑推理提升思维能力，规范几何语言表达。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第02讲 三角形的内角与外角（核心知识+7易错辨析+10典例精讲+课后作业） 【知识点01】三角形内角和定理 1 三角形的内角（内角和定理） 文字表述：任意三角形三个内角的和等于180° 几何语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 标准证明思路（平行线法）：过三角形任意顶点作对边的平行线，利用“两直线平行，内错角相等”，将另外两个内角平移至同一顶点，与原顶角拼成平角，即可证明内角和为180°。 核心用途：已知三角形两角求第三角、设未知数列方程求角度、根据角度判断三角形形状。 2. 直角三角形性质与判定 性质：直角三角形两个锐角互余（两角和为90°） 几何语言：Rt△ABC中，∠C=90° ⟹ ∠A+∠B=90° 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形 几何语言：△ABC中，∠A+∠B=90° ⟹ △ABC为直角三角形 3. 三角形按角分类 锐角三角形：三个内角都小于90° 直角三角形：有一个内角等于90° 钝角三角形：有一个内角大于90° 判断技巧：无需逐一判断三角，只需观察最大内角，最大角的类型决定三角形类型。 【知识点02】三角形的外角 1. 外角定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 数量特征：每个顶点有2个外角（互为对顶角，角度相等），一个三角形共6个外角；日常解题中，每个顶点仅取1个外角研究。 相邻关系：外角与它紧邻的内角互为邻补角，两角和为180°。 2. 外角两大核心推论 由三角形内角和定理直接推导得出，是角度计算核心依据 推论1（角度计算）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 几何语言：若∠ACD是△ABC的外角，则∠ACD=∠A+∠B 推论2（大小比较）：三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角 几何语言：若∠ACD是△ABC的外角，则∠ACD>∠A，∠ACD>∠B 3. 三角形外角和定理 在三角形每个顶点各取一个外角，三个外角的和恒等于360°。 高频易错辨析（错因+正解+总结） 易错1：外角性质遗漏“不相邻”关键词 错误说法：三角形的外角等于两个内角的和 错因分析：概念记忆不严谨，外角与相邻内角互补，绝非相加关系，仅能与两个不相邻内角求和。 正确结论：三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角之和 例题纠错：已知∠A=50°，∠B=60°，求△ABC外角∠ACD 错解：混淆相邻角，计算混乱； 正解：∠ACD=∠A+∠B=110° 易错2：混淆内角和与外角和数值 常见错误：求内角和用360°，求外角和用180° 精准辨析：三角形三个内角和为180°；三角形三个顶点各取一个外角，外角和为360°，二者不可混淆。 易错3：绝对化理解“外角大于内角” 错误结论：三角形的外角大于任意一个内角 反例验证：钝角三角形中，钝角相邻的外角是锐角，角度小于该钝角 正确表述：外角仅大于所有不相邻的内角，与相邻内角无固定大小关系 易错4：判断三角形类型忽略最大角 典型错题：三角形两角为30°、40°，误判为锐角三角形 错因分析：仅依据已知角度判断，未计算未知内角，忽略最大角的决定性作用 正解：第三角=180°-30°-40°=110°，最大角为钝角，该三角形为钝角三角形 易错5：直角三角形互余性质乱用 错误问题：任意三角形中，看到两角和为90°就默认互余、判定直角三角形，忽略前提条件 精准辨析：只有直角三角形的两个锐角互余；反之，只有三角形中有两个角互余，才能判定该三角形为直角三角形，缺一不可。 易错6：复杂图形认错外角 错因：多三角形组合图形中，混淆不同三角形的内角和外角 判定标准：角的一边为三角形的边，另一边为该边的延长线，才是该三角形的外角。 易错7：几何书写不规范、解题跳步 常见问题：直接使用外角、内角定理计算角度，不标注角的身份、不写推理依据 规范要求：先说明角的属性（如“∠ACD是△ABC的外角”），再结合定理列式计算。 【题型一】三角形内角和定理的证明 【例1】．（25-26八年级上·广西防城港·阶段检测）“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【例2】．（23-24八年级上·江西上饶·期末）三角形内角和定理：三角形内角和等于_______． 【例3】．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）叙述“三角形的内角和定理”内容，请画出图形，写出已知、求证和证明． 【变式1】．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（    ）    A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 【变式2】．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    【变式3】．（24-25八年级上·北京·期中）通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 【题型二】与平行线有关的三角形内角和问题 【例4】．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例5】．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知如图，，，，则的度数为_____． 【变式1】．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（22-23八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，，点在上，，若，则的度数为___________． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【题型三】与角平分线有关的三角形内角和问题 【例6】．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，，则的值为（    ） A．135 B．140 C．145 D．150 【例7】．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知的外角和外角的平分线相交于点D，如果，那么_____． 【例8】．（22-23八年级上·全国·期末）如图，已知，，，求的值． 【变式1】．（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，是角平分线，且，相交于点，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·期末）如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则________ ． 【变式3】．（22-23八年级上·全国·期末）已知中，． (1)如图①，、的角平分线交于点，则 °． (2)如图②，、的三等分线分别对应交于，则 °． (3)如图③，、的等分线分别对应交于（内部有个点），求（用的代数式表示）． (4)如图③，已知、的等分线分别对应交于，若，求的值． 【题型四】三角形折叠中的角度问题 【例9】．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，把沿折叠，使点A落在点处，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【例10】．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折得到，若，则的度数为_________________． 【例11】．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，将四边形纸片沿折叠，点落在处，若，则的度数是多少？    【变式1】．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【变式3】．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 【题型五】三角形内角和定理的应用 【例12】．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知的三个内角，，满足关系式，则此三角形（   ） A．一定有一个内角为 B．一定有一个内角为 C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形 【例13】．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，沿虚线剪去，若，则的度数为 ______． 【例14】．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）定义：若两个角与满足，则称与为“互优角”．如图，若中与为“互优角”． (1)求的度数； (2)点是线段上一点（不与A，B重合），连接，当中存在两个内角为“互优角”，求的度数． 【变式1】．（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，沿虚线剪去，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图，，则写出的度数是______． 【变式3】．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，是边上一点，是边上一点，，相交于点，，，，求和的度数． 【题型六】直角三角形的两个锐角互余 【例15】．（25-26八年级上·浙江台州·期末）在中，若是直角，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【例16】．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）若某个直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角的度数为______． 【例17】．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，，，相交于点，，．求的大小． 【变式1】．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·广西贵港·期末）在中，，，则的度数等于________． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·期末）如图，于点于点与相交于点． (1)写出图中所有的直角三角形． (2)猜想和有什么关系？并说明理由． (3)若，求和的度数． 【题型七】锐角互余的三角形是直角三角形 【例18】．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【例19】．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，若要使是直角三角形，则可以是___________（写出一个即可）． 【变式1】．（2025八年级上·全国·专题练习）若中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【变式2】．（2025八年级上·全国·专题练习）若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是___________三角形． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，E是中AC边上的一点，过点E作，垂足为D，．求证：是直角三角形． 【题型八】三角形的外角的定义及性质 【例20】．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，D是延长线上一点，，则（   ） A． B． C． D． 【例21】．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，．若为延长线上一点，则的度数为_______． 【例22】．（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图所示，，，，求． 【变式1】．（23-24八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，点D为边上一点，连接．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·河南安阳·期末）随着教育厅《关于保障中小学生每天综合体育活动不低于两小时的通知》规定的落地，学校的操场已成为学生们每日必到的打卡地．如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为________． 【变式3】．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，点是延长线上的点，点在边上，连接，且，求的度数． 【题型九】角平分线与高线综合 【例23】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，在中，是高线，，是角平分线，，相交于点O，，． (1)求的度数． (2)求的度数． 【例24】．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，在中，平分，P为线段上的一点，过点P作交直线于点E．已知，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【例25】．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，点是边上一点，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若是的角平分线，，，求的度数． 【变式1】．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，相交于点，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【变式2】．（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，是的中线，，、分别是的高与角平分线． (1)若与的周长差为2，，求的长； (2)若，，求的度数． 【变式3】．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若，，，求边上的高的长． 【题型十】内外角平分线模型 【例26】．（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，分别是，的外角平分线， (1)若，，那么___________． (2)若，求的度数用含α的式子表示）． 【变式1】．（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【变式2】．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图①，是的一个外角，为的角平分线，为的角平分线，且、相交于点D．    (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若的角平分线交于点O，，求的度数． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 1. 核心定理汇总 内角和定理：任意三角形三内角和为180°，用于求角度、判三角形形状 直角三角形：两锐角互余；两角互余可判定直角三角形 外角核心性质：外角=不相邻两内角和；外角＞任一不相邻内角 外角和定理：三角形外角和恒为360° 2. 通用解题思路 求内角：优先用内角和180°，直角三角形优先用锐角互余简便计算 求外角：优先用外角推论（不相邻两内角相加），优于邻补角求法 比角度大小：固定用“外角大于不相邻内角”推论 复杂图形：拆分多个基础三角形，转化内角、外角关系求解 3. 避错口诀（速记） 内角和为一百八，直角两锐互相加； 外角等于不邻和，外角只大不邻角； 内角外角分清它，一八、三六不混淆。 一、单选题 1．（22-23八年级上·全国·期末）若等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为（　　） A．80°或50° B．50° C．80° D．65° 2．（2025八年级上·全国·专题练习）若一个三角形的一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3．（25-26八年级上·广东·阶段检测）如图，在五角星ABCDE中，（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东·模拟预测）如图，在与中，点B在上，点A、D在上，且，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在直角中，为斜边，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，将沿着折叠，使点与点重合，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，、分别平分，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，，平分，交于，，交于点，则的大小是（   ） A． B． C． D． 9．（2025八年级上·全国·专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，平分，与边交于点D，是的边上的高，，交于点．已知，，则的度数为______． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线，则的度数是_______． 12．（2023八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，在中，分别平分，分别与直线交于点M，N．若，则的度数是_______． 13．（24-25八年级上·四川自贡）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，的度数为______． 14．（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 15．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 三、解答题 16．（22-23八年级上·全国·期末）如图，在中，，，平分，交于，，交于，则的大小是多少？ 17．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 18．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，中，是的角平分线，是边上的高． (1)若，，求的度数； (2)试写出与、之间的关系式（不必证明）． 19．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，分别为的边上的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若的面积为，，求的长． 20．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，满足，平分，P为线段上的一个动点，过点P作交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，试探究与，之间的等量关系，并证明． 21．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过的顶点A作直线l平行于的边，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于”这个结论． (1)如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边上的任意一点P”，过点P分别作另外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于”这个结论．请你先作出辅助线，再完成这个证明过程． 已知，如图2，在中，点P是边上的任意一点．求证：． (2)如图3，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？ 22．（25-26八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 23．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 24．（25-26八年级上·广东珠海·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 25．（23-24八年级上·山东济南·期末）【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 三角形的内角与外角（核心知识+7易错辨析+10典例精讲+课后作业） 【知识点01】三角形内角和定理 1 三角形的内角（内角和定理） 文字表述：任意三角形三个内角的和等于180° 几何语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 标准证明思路（平行线法）：过三角形任意顶点作对边的平行线，利用“两直线平行，内错角相等”，将另外两个内角平移至同一顶点，与原顶角拼成平角，即可证明内角和为180°。 核心用途：已知三角形两角求第三角、设未知数列方程求角度、根据角度判断三角形形状。 2. 直角三角形性质与判定 性质：直角三角形两个锐角互余（两角和为90°） 几何语言：Rt△ABC中，∠C=90° ⟹ ∠A+∠B=90° 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形 几何语言：△ABC中，∠A+∠B=90° ⟹ △ABC为直角三角形 3. 三角形按角分类 锐角三角形：三个内角都小于90° 直角三角形：有一个内角等于90° 钝角三角形：有一个内角大于90° 判断技巧：无需逐一判断三角，只需观察最大内角，最大角的类型决定三角形类型。 【知识点02】三角形的外角 1. 外角定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 数量特征：每个顶点有2个外角（互为对顶角，角度相等），一个三角形共6个外角；日常解题中，每个顶点仅取1个外角研究。 相邻关系：外角与它紧邻的内角互为邻补角，两角和为180°。 2. 外角两大核心推论 由三角形内角和定理直接推导得出，是角度计算核心依据 推论1（角度计算）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 几何语言：若∠ACD是△ABC的外角，则∠ACD=∠A+∠B 推论2（大小比较）：三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角 几何语言：若∠ACD是△ABC的外角，则∠ACD>∠A，∠ACD>∠B 3. 三角形外角和定理 在三角形每个顶点各取一个外角，三个外角的和恒等于360°。 高频易错辨析（错因+正解+总结） 易错1：外角性质遗漏“不相邻”关键词 错误说法：三角形的外角等于两个内角的和 错因分析：概念记忆不严谨，外角与相邻内角互补，绝非相加关系，仅能与两个不相邻内角求和。 正确结论：三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角之和 例题纠错：已知∠A=50°，∠B=60°，求△ABC外角∠ACD 错解：混淆相邻角，计算混乱； 正解：∠ACD=∠A+∠B=110° 易错2：混淆内角和与外角和数值 常见错误：求内角和用360°，求外角和用180° 精准辨析：三角形三个内角和为180°；三角形三个顶点各取一个外角，外角和为360°，二者不可混淆。 易错3：绝对化理解“外角大于内角” 错误结论：三角形的外角大于任意一个内角 反例验证：钝角三角形中，钝角相邻的外角是锐角，角度小于该钝角 正确表述：外角仅大于所有不相邻的内角，与相邻内角无固定大小关系 易错4：判断三角形类型忽略最大角 典型错题：三角形两角为30°、40°，误判为锐角三角形 错因分析：仅依据已知角度判断，未计算未知内角，忽略最大角的决定性作用 正解：第三角=180°-30°-40°=110°，最大角为钝角，该三角形为钝角三角形 易错5：直角三角形互余性质乱用 错误问题：任意三角形中，看到两角和为90°就默认互余、判定直角三角形，忽略前提条件 精准辨析：只有直角三角形的两个锐角互余；反之，只有三角形中有两个角互余，才能判定该三角形为直角三角形，缺一不可。 易错6：复杂图形认错外角 错因：多三角形组合图形中，混淆不同三角形的内角和外角 判定标准：角的一边为三角形的边，另一边为该边的延长线，才是该三角形的外角。 易错7：几何书写不规范、解题跳步 常见问题：直接使用外角、内角定理计算角度，不标注角的身份、不写推理依据 规范要求：先说明角的属性（如“∠ACD是△ABC的外角”），再结合定理列式计算。 【题型一】三角形内角和定理的证明 【例1】．（25-26八年级上·广西防城港·阶段检测）“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的证明 【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明．根据图形和平角为180°即可解答． 【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角， 即三个角的度数之和为，这就是三角形的内角和定理． 故选：A． 【例2】．（23-24八年级上·江西上饶·期末）三角形内角和定理：三角形内角和等于_______． 【答案】180° 【知识点】三角形内角和定理的证明 【解析】略 【例3】．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）叙述“三角形的内角和定理”内容，请画出图形，写出已知、求证和证明． 【答案】见详解 【知识点】三角形内角和定理的证明 【分析】本题考查三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 利用平行线的性质，将三角形的三个内角集中到同一个顶点，再由平角为，证明即可． 【详解】解：三角形的内角和定理：三角形内角和为， 已知：如图， 求证： 证明：过点作，如图， ， ， . 三角形内角和． 【变式1】．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（    ）    A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的证明 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，利用旋转角度之和及铅笔的朝向证明三角形内角和为． 【详解】解：∵铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后， ∴三次旋转的角度为， ∵笔尖方向由点A到点B变为点B到点A， ∴旋转角度之和为， 即． 故选：C． 【变式2】．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    【答案】三角形内角和定理 【知识点】三角形内角和定理的证明 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 【详解】解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 【变式3】．（24-25八年级上·北京·期中）通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 【答案】见解析 【知识点】三角形内角和定理的证明 【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，三角形内角和定理的证明；过点A作直线，利用平行线的性质，可得出，结合平角等于，即可证出． 【详解】证明：如图所示， 过点A作直线， ∴，(两直线平行，内错角相等)． ∵(平角的定义)， ∴． 【题型二】与平行线有关的三角形内角和问题 【例4】．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【例5】．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知如图，，，，则的度数为_____． 【答案】 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【变式1】．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 【变式2】．（22-23八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，，点在上，，若，则的度数为___________． 【答案】/70度 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】利用平角的定义可得，再根据平行线的性质知，再由内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【题型三】与角平分线有关的三角形内角和问题 【例6】．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，，则的值为（    ） A．135 B．140 C．145 D．150 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据题意得到，结合题意得到，由此三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C ． 【例7】．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知的外角和外角的平分线相交于点D，如果，那么_____． 【答案】/71度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，由三角形内角和定理可得，求出，再由角平分线的定义可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵的外角和外角的平分线相交于点D， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【例8】．（22-23八年级上·全国·期末）如图，已知，，，求的值． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形的内角和，根据三角形的内角和，求出，再根据三角形的内角和，即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】．（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，是角平分线，且，相交于点，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】由三角形内角和定理得，进而由三角形角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，，是角平分线，且，相交于点， ∴， ∴． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·期末）如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则________ ． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义．先求出，再得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分交于F，平分交于G， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】．（22-23八年级上·全国·期末）已知中，． (1)如图①，、的角平分线交于点，则 °． (2)如图②，、的三等分线分别对应交于，则 °． (3)如图③，、的等分线分别对应交于（内部有个点），求（用的代数式表示）． (4)如图③，已知、的等分线分别对应交于，若，求的值． 【答案】(1)105 (2)80 (3) (4)5 【知识点】图形类规律探索、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义求得，即可求出； （2）先根据三角形内角和定理求得，再根据三等分线的定义求得，即可求出； （3）先根据三角形内角和定理求得，再根据等分线的定义求得，即可求出； （4）依据（3）的结论即可求出的值． 【详解】（1）解：∵点是与的角平分线的交点，， ∴， ∴ （2）解：∵点2是与的三等分线的交点， ∴， ∴； （3）解：∵点是与的等分线的交点， ∴， ∴ （4）解：由（3）得：， 解得：． 【题型四】三角形折叠中的角度问题 【例9】．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，把沿折叠，使点A落在点处，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，根据三角形的内角和定理，折叠的性质，推出的度数，再根据平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 【例10】．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折得到，若，则的度数为_________________． 【答案】64 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查折叠中的三角形的内角和问题，根据折叠，得到，三角形的内角和定理求出的度数，平行线的性质，角的和差关系，求出的度数，进而求出的度数，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：64． 【例11】．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，将四边形纸片沿折叠，点落在处，若，则的度数是多少？    【答案】 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的定义，根据翻折变换的性质和平角的定义求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，    ∵四边形纸片沿折叠，点A落在处， ∴， ∵， ∴， 在中，． 答：的度数是． 【变式1】．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得的度数，由平角的定义可得的度数，再由折叠的性质可得的度数，据此由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【答案】 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理和折叠的性质，由折叠的性质得，，设，在中，根据三角形内角和定理得出①，在中，根据三角形内角和定理得出②，从而求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 由折叠的性质得，， 在中，， ∴， 即， 得，， 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 【答案】(1)①；；②是“友爱三角形”，理由见解析 (2)或或或 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理和“友爱角”的定义求解即可；由折叠的性质可证明，则可证明，据此可得结论； （2）由折叠的性质得到，则；再分，，和四种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵与互为“友爱角”（）， ∴， ∴， ∴， ∴； ②是“友爱三角形”，理由如下： 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“友爱三角形”； （2）解：由折叠的性质可得，， ∴； ∵是“友爱三角形”， ∴当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 【题型五】三角形内角和定理的应用 【例12】．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知的三个内角，，满足关系式，则此三角形（   ） A．一定有一个内角为 B．一定有一个内角为 C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和的应用，利用三角形内角和定理，结合给定条件求解∠A的度数，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴． ∴三角形一定有一个内角为， 故选：B． 【例13】．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，沿虚线剪去，若，则的度数为 ______． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】由平角的定义得到，结合，求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【例14】．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）定义：若两个角与满足，则称与为“互优角”．如图，若中与为“互优角”． (1)求的度数； (2)点是线段上一点（不与A，B重合），连接，当中存在两个内角为“互优角”，求的度数． 【答案】(1) (2)或或 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得，再结合“互优角”的定义可得，即可求解； （2）分三种情况，结合“互优角”的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵与为“互优角”， ∴， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴，即， 如图，当与为“互优角”时， 若， ∴， 解得：； 如图，当与为“互优角”时， 若， ∴， 解得：； 如图，当与为“互优角”时，此时， ∴； 综上所述，的度数为或或． 【变式1】．（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，沿虚线剪去，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了多边形内角与外角，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先利用三角形内角和定理，求出，再利用四边形内角和是进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图，，则写出的度数是______． 【答案】/度 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平角为，三角形内角和定理，根据题意得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【变式3】．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，是边上一点，是边上一点，，相交于点，，，，求和的度数． 【答案】， 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于，是求三角形内角度数的常用定理，解答此类题目的重点是弄清楚已知角与待求角之间的位置关系或间接关系． 在中，根据三角形内角和定理结合已知条件可求得的度数，结合外角可得的度数； 接下来在中，根据三角形三个内角的和等于以及的度数、，可求得的度数． 【详解】解：在中，，， ， ， 在中，，， ． ，． 【题型六】直角三角形的两个锐角互余 【例15】．（25-26八年级上·浙江台州·期末）在中，若是直角，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查直角三角形的性质，利用直角三角形两个锐角互余的性质计算的度数． 【详解】解：是直角三角形，是直角． （直角三角形的两个锐角互余）． 又． ． 故选：D． 【例16】．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）若某个直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角的度数为______． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【详解】解：直角三角形的一个锐角为， 另一个锐角的度数为：． 【例17】．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，，，相交于点，，．求的大小． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余． 根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式1】．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵直角三角形的两个锐角互余，其中一个锐角为， ∴另一个锐角的度数为， 故选：． 【变式2】．（25-26八年级上·广西贵港·期末）在中，，，则的度数等于________． 【答案】/度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余，即可求得答案． 【详解】根据直角三角形两锐角互余，可得 ． 故答案为： 【变式3】．（25-26八年级上·全国·期末）如图，于点于点与相交于点． (1)写出图中所有的直角三角形． (2)猜想和有什么关系？并说明理由． (3)若，求和的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)， 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了三角形的定义，垂直的定义，余角的计算，熟知三角形的相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的定义进行求解即可； （2）根据等角的余角相等即可得出结论； （3）根据余角的定义即可求出，进而得到，由（2）知，根据对顶角相等得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）知是直角三角形， ， ． （3）解：∵， ， ， 【题型七】锐角互余的三角形是直角三角形 【例18】．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 故选：B． 【例19】．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，若要使是直角三角形，则可以是___________（写出一个即可）． 【答案】 （或） 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查直角三角形的性质． 由已知可得为直角或为直角，即可得的度数． 【详解】解：在中，，要使是直角三角形，则为直角或为直角， 若为直角，则， 若为直角，即，则， ∴可以是或． 故答案为：（或）． 【变式1】．（2025八年级上·全国·专题练习）若中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查直角三角形的判定．由三角形的内角和定理，结合已知可得，从而可得，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故选：B． 【变式2】．（2025八年级上·全国·专题练习）若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是___________三角形． 【答案】直角 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．本题通过外角与内角的关系及互余条件联立方程，求出各内角度数，进而判断三角形类型． 【详解】解：设这个内角为，则相邻外角为，而内角与外角的和为， ∴， 解得：， 设另一个内角为，根据互余条件：， ， 此时第三个内角为：， ∴这个三角形是直角三角形； 故答案为：直角． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，E是中AC边上的一点，过点E作，垂足为D，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形 【详解】根据已知条件证明，再由有两个角互余的三角形为直角三角形，即可判定是直角三角形． 证明：在中， ， ． ， ． 是直角三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，利用两锐角互余的三角形为直角三角形是证明此题的关键． 【题型八】三角形的外角的定义及性质 【例20】．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，D是延长线上一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形的外角的性质，即可求． 【详解】根据三角形外角的性质可得． 【例21】．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，．若为延长线上一点，则的度数为_______． 【答案】/140度 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 利用三角形外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，直接计算的度数． 【详解】解：∵是的外角， ∴ ∵，， ∴ 故答案为： 【例22】．（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图所示，，，，求． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，通过延长交于点，利用三角形外角的性质，逐步推导得出的度数． 【详解】解：延长交于点． ∵是的外角， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【变式1】．（23-24八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，点D为边上一点，连接．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴． 【变式2】．（25-26八年级上·河南安阳·期末）随着教育厅《关于保障中小学生每天综合体育活动不低于两小时的通知》规定的落地，学校的操场已成为学生们每日必到的打卡地．如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为________． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和这一性质是解题的关键． 根据三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，建立与已知角的关系，从而求出的度数． 【详解】解：由题意可得，， ， 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，点是延长线上的点，点在边上，连接，且，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行求解即可． 【详解】解：是的外角 是的外角 ． 【题型九】角平分线与高线综合 【例23】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，在中，是高线，，是角平分线，，相交于点O，，． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查角平分线、角之间的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据题意易得到，根据角平分线的性质得到，根据进行计算求解即可； （2）根据题意易得到，根据角平分线的性质得到和，根据进行计算求解即可． 【详解】（1）解：， ． ， ． 平分，， ， ． （2）解：，， ． ，分别是，的平分线， ，， ． 【例24】．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，在中，平分，P为线段上的一点，过点P作交直线于点E．已知，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，外角性质，直角三角形两锐角互余的知识，理解图示，掌握以上知识是关键． （1）根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义即可求解； （2）根据三角形的外角性质得到，由直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：， 在中，， ∴， ∴． 【例25】．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，点是边上一点，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若是的角平分线，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、求一个角的余角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据三角形内角和求出，即，即可证明为直角三角形； （2）根据余角的定义求出，根据角平分线的定义得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 为直角三角形； （2）解：， ， ， 平分， ， ． 【变式1】．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，相交于点，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，理解三角形的高与底边垂直是解题关键． （1）利用高的定义得到直角，结合直角三角形两锐角互余求出； （2）根据，求出，再结合直角三角形两锐角互余求出，然后利用角平分线定义和三角形内角和定理，即可求出． 【详解】（1）解：在中，是高， ， ， ． 答：． （2）解：由（1）知，， ， ， ， 平分， ， ． 答：． 【变式2】．（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，是的中线，，、分别是的高与角平分线． (1)若与的周长差为2，，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】根据三角形中线求长度、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形的中线，高线和角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的中线的定义可得，再由三角形的周长公式推出，据此可得答案； （2）由三角形内角和定理求出的度数，由高线和角平分线的定义求出，，再求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：是的中线， ， 与的周长差为2， ， ， ； （2）解：， ， 、分别是的高与角平分线， ，， ， ． 【变式3】．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若，，，求边上的高的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据三角形中线求长度、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，中线的定义． （1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数，即可求出的大小； （2）根据中线的定义得到，根据等面积法计算即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 为高， ， ， ∴； （2）解：∵，为的中线 ∴， ∵ ∴ 即． 【题型十】内外角平分线模型 【例26】．（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，分别是，的外角平分线， (1)若，，那么___________． (2)若，求的度数用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质及平角的定义． （1）利用平角的定义及角平分线的性质可得出，，再通过三角形内角和定理求得结果； （2）利用三角形内角和定理，角平分线的性质得出角度之间的等量关系，经过计算即可得出的表达式． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 又∵，分别是，的外角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【变式1】．（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) ；理由见解析 (3) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】（1）解：若， 由条件可知 ， ∴； 若， ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知， ， 由条件可知， ∴， ∴ ， 即． 【变式2】．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图①，是的一个外角，为的角平分线，为的角平分线，且、相交于点D．    (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若的角平分线交于点O，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、角平分线的定义等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． （1）先根据角平分线的定义得，，再根据外角的定义得，则，，进而可得结论； （2）根据外角的定义得，根据角平分线的定义得，，则，根据三角形内角和定理求出，再结合（1）的结论即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵为的角平分线，为的角平分线 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵为的一个外角，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 在中，， 由（1）得， ∴． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1) (2) (3)正确的结论是①，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为定值，①正确，其值是． 1. 核心定理汇总 内角和定理：任意三角形三内角和为180°，用于求角度、判三角形形状 直角三角形：两锐角互余；两角互余可判定直角三角形 外角核心性质：外角=不相邻两内角和；外角＞任一不相邻内角 外角和定理：三角形外角和恒为360° 2. 通用解题思路 求内角：优先用内角和180°，直角三角形优先用锐角互余简便计算 求外角：优先用外角推论（不相邻两内角相加），优于邻补角求法 比角度大小：固定用“外角大于不相邻内角”推论 复杂图形：拆分多个基础三角形，转化内角、外角关系求解 3. 避错口诀（速记） 内角和为一百八，直角两锐互相加； 外角等于不邻和，外角只大不邻角； 内角外角分清它，一八、三六不混淆。 一、单选题 1．（22-23八年级上·全国·期末）若等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为（　　） A．80°或50° B．50° C．80° D．65° 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】利用等腰三角形底角相等的性质和三角形内角和定理即可计算出顶角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴顶角的度数为． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）若一个三角形的一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查直角三角形的判定． 设中，，则，由三角形的内角和定理，即可判断三角形的形状． 【详解】解：不妨设中，，则， 又∵， ∴， ∴， ∴ 三角形为直角三角形． 故选：B． 3．（25-26八年级上·广东·阶段检测）如图，在五角星ABCDE中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【详解】解：如图，， ∵， ∴. 4．（2025·广东·模拟预测）如图，在与中，点B在上，点A、D在上，且，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在直角中，为斜边，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边的对角是直角，故，再根据直角三角形的两个锐角互余可得答案． 【详解】解：∵在直角中，为斜边， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，将沿着折叠，使点与点重合，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿着折叠，使点与点重合， ∴， ∴． 故选：A． 7．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，、分别平分，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，先由三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义推出，则可由三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 8．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，，平分，交于，，交于点，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质；根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义可得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 9．（2025八年级上·全国·专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的证明 【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意； D、如图， ∵，∴，，∵，∴，∵，∴， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 二、填空题 10．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，平分，与边交于点D，是的边上的高，，交于点．已知，，则的度数为______． 【答案】/度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义 【分析】由已知结合直角三角形的两个锐角互余，可得，由角平分线的定义可得，根据三角形的内角和定理，即可得的度数． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线，则的度数是_______． 【答案】39° 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，求出是解题的关键. 【详解】解：， . 在中, , , , =. 故答案为： ． 12．（2023八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，在中，分别平分，分别与直线交于点M，N．若，则的度数是_______． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】先求出， ，得到，， 再根据三角形的内角和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵分别平分 ∴，， ∴． 13．（24-25八年级上·四川自贡）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，的度数为______． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形折叠中的角度问题 【分析】根据折叠的性质和平角的定义可推出，由三角形内角和定理可得的度数，据此结合角平分线的定义求出的度数，进而由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【答案】或 【知识点】三角形折叠中的角度问题、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了轴对称变换，直角三角形两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键．因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析求解即可． 【详解】解：将纸片沿折叠，点A落在处，将纸片沿折叠，点D落在处， ． 分两种情况讨论∶如图，当点恰好落在边上时， 则． ， ． 如图，当点恰好落在边上时， 根据轴对称的性质知， ， ． ， ． ， ． ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 15．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据三角形的内角和得到，由对顶角相等即可得到结论； （2）根据题意可得，得到，根据角平分线得到，再根据得到，即可得到答案． 【详解】解：（1） 而， ； （2），， ， ， 和的平分线和相交于点， ， ， ． 三、解答题 16．（22-23八年级上·全国·期末）如图，在中，，，平分，交于，，交于，则的大小是多少？ 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义 【分析】根据三角形的内角和定理，角平分线的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴． 17．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的意义，渗透整体思想，掌握三角形的内角和是解决问题的关键． （1）直接利用三角形的内角和求得答案即可； （2）根据三角形的内角和等于求出，再根据翻折变换的性质可得． ，然后利用平角等于列式计算即可得解． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 由题意，得， ． 18．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，中，是的角平分线，是边上的高． (1)若，，求的度数； (2)试写出与、之间的关系式（不必证明）． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，，求出，即可得出结果； （2）由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴； （2）解：由三角形内角和定理可得：， ∵是的角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． 19．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，分别为的边上的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据三角形中线求面积、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）先利用角平分线定义得到，根据三角形的外角，求出，根据高的定义和互余两角的性质求出； （2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式求出的长． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵为的边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，满足，平分，P为线段上的一个动点，过点P作交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，试探究与，之间的等量关系，并证明． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是利用角平分线定义和三角形内角与外角的关系，建立与、的联系． （1）先根据三角形内角和求出，再由角平分线得到，结合，利用直角三角形两锐角互余及三角形外角性质求出； （2）设，用表示，结合三角形内角和表示出，再通过直角三角形性质和外角关系推导出与、的等量关系． 【详解】（1）解： ∵平分 答：的度数为． （2）证明：设，则． 即． 21．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过的顶点A作直线l平行于的边，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于”这个结论． (1)如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边上的任意一点P”，过点P分别作另外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于”这个结论．请你先作出辅助线，再完成这个证明过程． 已知，如图2，在中，点P是边上的任意一点．求证：． (2)如图3，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？ 【答案】(1)见解析 (2)从B岛看A，C两岛的视角是60度，从C岛看A，B两岛的视角是90度 【知识点】与方向角有关的计算题、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的证明、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查平行线的性质，方位角的定义，三角形内角和定理，掌握平行线的性质，方位角的定义以及三角形内角和是是正确解答的关键． （1）过点P作，，由平行线的性质及平角的定义可得出答案； （2）根据方位角的概念，利用平行线的性质，结合三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：过点P作，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵C岛在A岛的北偏东方向， ∴， ∵C岛在B岛的北偏西方向， ∴， ∴， ∵B岛在A岛的北偏东方向， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ； 答：从B岛看A，C两岛的视角是60度，从C岛看A，B两岛的视角是90度． 22．（25-26八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，翻折变换，熟知以上知识是解题的关键． （1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得即可求得结果； （2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，整理可得结论； （3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理即可得到答案． 【详解】（1）解：沿直线折叠，且， 点落在上，如图（1）， ∴， ； 故答案为：； （2）解：， 理由：连接，如图， ∵，， ， 又， ； （3）解：． 理由：如图（3），由翻折可得：，，， ∵， ∴ ， ． 23．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 【答案】（1），理由见解析； （2）是直角三角形，理由见解析； （3），理由见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了余角性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）利用余角性质即可求解； （）由直角三角形两锐角互余可得，即得，据此即可求解； （）利用余角性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在中，，， ∴， ∴； （2）是直角三角形． ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（25-26八年级上·广东珠海·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”；理由见解析 (2)或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了直角三角形的性质和新定义，正确理解“友爱三角形”的定义是关键． （1）①根据与互余和“友爱三角形”的定义进行求解即可； ②根据直角三角形的性质及“友爱三角形”的定义进行判断即可； （2）直接根据“友爱三角形”定义求解即可． 【详解】（1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ， 在中，， ， 为“友爱三角形”； 在中，， 为“友爱三角形”； （2）解：是“友爱三角形”，是边上一点（不与点重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 25．（23-24八年级上·山东济南·期末）【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【答案】（1），；（2）；（3）或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，， 故答案为：；． （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，，， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解： ①当时，； ②当时，，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，； 综上所述，的度数为或或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $