《第一节认识一元二次方程》提优特训A·B卷数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 同步练，初中数学新授课，聚焦一元二次方程定义、一般形式、根及实际应用，分层设计科学，A卷夯实基础与B卷深化能力衔接，知识覆盖从概念理解到建模应用，适配新授课教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A卷基础过关|定义辨析、一般形式转化、简单参数讨论、矩形面积问题|选择题考“一元二次方程三要素”，填空题强化系数符号识别，解答题检验根与列简单方程，培养抽象能力与运算能力| |B卷强化提优|含参数分类讨论、根的定义综合应用、增长率/十字小路问题、新定义“和谐方程”|参数方程分类讨论（如第22题）、根的代数式求值（如第26题）、复杂实际建模，发展推理意识与模型意识|

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上 《第二章一元二次方程第一节认识一元二次方程》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.从实际面积、增长率情境抽象一元二次方程模型；对比一元一次方程，理解 “ 一元、二次、整式方程 ” 三大核心要素；区分整式、分式、无理方程，准确识别一元二次方程。 2.理解一般形式ax 2 +bx+c=0(a ≠ 0)，领会a ≠ 0隐含条件；掌握含参数方程的分类讨论；利用方程根的定义，代回参数求值，训练严谨推理。 3.能把各类方程整理化为一般形式，准确找出二次项、一次项、常数项以及对应系数（注意符号）；会检验数值是否为方程的根。 4.从矩形面积、边框、增长率等实际问题，提取等量关系列出一元二次方程，体会方程建模思想。 ) 二．知识梳理 ( （一） 一元二次方程定义 1.定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 如： 等都是一元二次方程. 2.理解： （ 1 ）一元二次方程属于整式方程，定义中的 “ 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 ” 这句话是指对方程 “ 整理合并 ” 之后而言的 . （2） 化简后同时满足4个条件的整式方程： ① 整式方程：分母不含未知数，无根号内含未知数； ② 一元：只含1个未知数（通常为x）； ③ 二次：未知数最高次数为2； ④ 二次项系数不能等于0。 （二） 一元二次方程一般形式 一元二次方程一般形式ax 2 +bx+c=0 (a ≠ 0) 1.ax 2 ：二次项，a为二次项系数（a ≠ 0）； 2.bx：一次项，b为一次项系数； 3.c：常数项（不含未知数）； 4.注意： （1） a 一定不能等于0，若a=0，方程最高次数变为1，就变成一元一次方程。 （2） 整理时必须移项使等式右侧为0，再判断各项。 （三）一元二次方程的根 1.定义：能够使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 2.检验方法：把数值代入方程左右两边，看数值是否相等。 例：判断x=5是不是方程 x 2 -3x-10=0 的根。左边=5 2 -3 × 5-10=25-15-10=0=右边，因此x=5是方程的根。 （四）根据实际问题列一元二次方程 1.常见模型：矩形面积、道路边框、正方形面积、增长率。 2.基本步骤： （1）审题，读懂题目； （2）设未知数； （3）找出题目中的等量关系； （4）根据等量关系列出方程； （5）把方程整理为整式形式（不需要求解）。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025·广东惠城区期末）下列方程属于一元二次方程的是（ ） A.x+=2 B.x2-2y=1 C.x2-2x=0 D.(x+1)2=x2+3 【答案】：C 【解析】：A分母含未知数，分式方程；B含有两个未知数；D化简后二次项抵消，是一元一次方程；C满足整式、一个未知数、最高次数2，是一元二次方程。 2.（2025·陕西灞桥区期末）一元二次方程3x2-5x-2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A.3，-5，-2 B.3，5，2 C.-3，-5，-2 D.3，-5，2 【答案】：A 【解析】：一般形式ax2+bx+c=0，系数包含前面符号，二次项系数3，一次项系数-5，常数项-2。 3.（2026·山东历下区一模）若方程(k-3)x2+2x-1=0是一元二次方程，则k的取值范围是（ ） A.k≠0 B.k≠3 C.k=3 D.k>3 【答案】：B 【解析】：一元二次方程二次项系数不能为0，k-3≠0，得k≠3。 4.（2025·江苏吴江区期末）已知x=2是方程x2-mx-6=0的一个根，则m的值为（ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2 【答案】：A 【解析】：把x=2代入方程：22-2m-6=0，4-2m-6=0，解得m=-1。 5.（2026·河南二七区二模）把方程(x‑2)(x+3)=1化为一般形式，正确的是（ ） A.x2+x-7=0 B.x2-x-7=0 C.x2+x-6=0 D.x2-x-6=0 【答案】：A 【解析】：展开：x2+3x-2x-6=1，移项合并：x2+x-7=0。 6.（2026贵阳市云岩区九年级一模） 将方程(x-3)(x+2)=9化为一般形式，二次项系数、一次项系数分别为（ ） A.1，-1 B.1，1 C.2，-1 D.1，-6 【答案】：A 【解析】：展开整理：x2-x-6-9=0，即x2-x-15=0，二次项系数1，一次项系数-1。 7.（2025贵阳市花溪区期中） 若方程(m-2)x|m|+3x-1=0是一元二次方程，则m的值为（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.0 【答案】：B 【解析】：满足|m|=2并且m-2≠0，解得m=-2。 8.（2026贵阳市观山湖区二模） 已知x=2是一元二次方程x2-kx-6=0的一个根，则k的值是（ ） A.1 B.-1 C.2 D.-2 【答案】：B 【解析】：把x=2代入，4-2k-6=0，-2k=2，k=-1，选B。 9.（2026南明区二模） 某正方形边长增加2之后面积为36，设原边长为x，方程是（ ） A.x2+2=36 B.(x+2)2=36 C.x2+4=36 D.x(x+2)=36 【答案】：B 【解析】：新边长x+2，面积等于边长平方。 10.（2026云岩区二模） 若代数式x2-2x的值等于3，对应的方程是（ ） A.x2-2x-3=0 B.x2-2x+3=0 C.x2-2x=0 D.x2=3 【答案】：A 【解析】：由题意直接列出x2-2x=3，移项即可。 二．填空题（共30分） 11.（2025·浙江钱塘区期末）方程2x2=5x-1化为一般形式为________。 【答案】：2x2-5x+1=0} 【解析】：全部移到等式左侧，整理为ax2+bx+c=0形式。 12.（2026·河北长安区一模）若x=-1是一元二次方程x2-px+2=0的根，则p=________。 【答案】：-3 【解析】：代入x=-1，(-1)2‑p×(-1)+2=0，1+p+2=0，p=-3。 13.（2025·四川锦江区期末）方程(m+1)x|m|+1+3x=0是一元二次方程，则m=________。 【答案】：1 【解析】：|m|+1=2且m+1≠0，得|m|=1，m≠‑1，所以m=1。 14.（2026·安徽包河区二模）一个矩形长比宽多2cm，面积是15cm2，设宽为xcm，列方程为________。 【答案】：x(x+2)=15 【解析】：宽x，长x+2；矩形面积=长×宽，直接列出。 15.（2025·湖南雨花区期末）一元二次方程x2-9=0，下面数：-3，0，2，3，属于方程根的是________。 【答案】：-3、3 【解析】：分别代入验证，x=±3时代入等式成立。 16.（2026乌当区一模） 矩形面积为30，长比宽多1，设宽为x，列出一元二次方程：________。 【答案】：x(x+1)=30（或x2+x-30=0） 【解析】：宽x，长x+1，矩形面积=长×宽，直接列式。 17.（2025南明区月考） 若x=1是方程ax2+bx-2=0的根，则代数式a+b=____。 【答案】：2 【解析】：代入x=1得a+b-2=0，所以a+b=2。 18.（2025清镇市一模） 已知x=3是方程x2-ax-3=0的根，则a=____。 【答案】：2 【解析】：代入9-3a-3=0，解得a=2。 19.（2025乌当区期末） 若(m-1)xm2+1-3x=0是一元二次方程，则m=____。 【答案】：-1 【解析】：m2+1=2并且m-1≠0，解得m=-1。 20.（2026南明区三模） 直角三角形两条直角边相差3，面积为9，设短直角边为x，列方程：________。 【答案】：x(x+3)=9（整理：x2+3x-18=0） 【解析】：长直角边x+3，利用三角形面积公式列式。 三．解答题（共60分） 21.（2025贵阳市乌当区九年级期末） 已知方程(m2-4)x2+(m+2)x-1=0。 (1) 当m取何值时，方程为一元一次方程； (2) 当m取何值时，方程为一元二次方程。 【答案】：(1)m=2；(2)m≠±2 【解析】：(1) 二次项系数为0，一次项系数不为0：m2-4=0，m+2≠0，得m=2； (2) 二次项系数不为0，即m^2-4≠0。 22.（2025贵阳市花溪区一模） 检验x=4和x=-2是不是方程x2-2x-8=0的根。 (1) 代入x=4判断； (2) 代入x=-2判断。 【答案】：两个数都是方程的根 【解析】：(1) 左边=16-8-8=0，等于右边，是根；(2) 左边=4+4-8=0，等于右边，是根。 23.把下列一元二次方程化成一般式，并指出方程中的各项与各项的系数. （1）； （2）. 解：（1）去括号合并同类项后得，所以二次项是，系数是4；一次项是，一次项系数是-2，常数项是-5. （2）去括号合并同类项得，所以二次项是，系数是；一次项是，系数是-1；常数项是 24.（2026贵阳市观山湖区一模） 某小区矩形绿化带长12m，宽8m，向外拓宽相同宽度x，新矩形面积为140m2。 (1) 用x表示新矩形的长、宽； (2) 列出方程并整理成一元二次方程的一般形式。 【答案】：(1)长(12+2x)，宽(8+2x)；(2)x2+10x-11=0 【解析】：四周拓宽，长宽各增加2x；(12+2x)(8+2x)=140，展开化简得4x2+40x+96=140，同除以4得x2+10x-11=0。 25.（2026贵阳市南明区二模） 已知关于x的一元二次方程x2-(t+1)x+2t=0有一个根是x=2。 (1) 求字母t的值； (2) 将t代入，写出这个方程的完整一般形式。 【答案】：(1)t=2；(2)x2-3x+4=0 【解析】：(1) 把x=2代入：4-2(t+1)+2t=0，计算求得t=2； (2) 将t=2代入原式，整理得到标准方程。 26.（2026·广西青秀区二模）已知x=m是方程2x2-3x-1=0的一个根。 (1)将x=m代入，写出得到的等式； (2)求代数式4m2‑6m的值； (3)求4m2-6m+2026的值。 【答案】：(1)2m2-3m-1=0；(2)2；(3)2028 【解析】：整体代入，2m2-3m=1，4m2-6m=2(2m2-3m)=2×1=2。 27.（2025·江西青山湖区期末）已知方程：(2-a)xa2-2+ax-1=0 (1)当此方程为一元二次方程，求a的值； (2)当此方程为一元一次方程，求a的值； (3)判断x=1是否可以是该一元二次方程的根。 【答案】：(1)a=-2；(2)a=2；(3)不是 【解析】：(1)a2-2=2且2-a≠0，a2=4，a≠2，故a=-2； (2)一元一次，则二次项系数为0，2-a=0，a=2； (3)a=-2，原方程4x2-2x-1=0，代入x=1，4-2-1≠0，不是根。 B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026·江苏启东一模）下列关于x方程，一定属于一元二次方程的是（ ） A.k2x2-4x+1=0 B.(k2+1)x2-2x=0 C.(x-1)2=x2 D.=2x2-1 【答案】：B 【解析】：k2+1≥1，二次项系数永远不为0；A当k=0二次项消失；C化简无二次项；D无理方程。 2.（2025·湖北洪山区期末）已知关于x方程(m-1)x2+2x+m2-1=0有一个根是0，则m值为（ ） A.1 B.-1 C.±1 D.0 【答案】：B 【解析】：代入x=0，m2-1=0，m=±1；一元二次方程m-1≠0，m≠1，故m=-1。 3.（2026·浙江西湖区二模）若a是方程x2-x-2026=0根，则a2-a+1的值为（ ） A.2025 B.2026 C.2027 D.2028 【答案】：C 【解析】：代入得a2-a=2026，原式=2026+1=2027，整体代入思想。 4.（2026·四川双流区一模）某商场销售额，2月100万，4月144万，每月增长率相同，设月增长率x，列方程（ ） A.100(1+x)=144 B.100(1+x)2=144 C.100+100x2=144 D.100(1+2x)=144 【答案】：B 【解析】：增长率模型：基数(1+x)n，间隔2个月，故100(1+x)2=144。 5．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣2m+7的值是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】：C 【解析】：∵m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，∴m2﹣m﹣3＝0，∴m2﹣m＝3， ∴2m2﹣2m+7＝2（m2﹣m）+7＝2×3+7＝13．故选：C． 6.（2026清镇市三模） 若x=-3是方程ax2-3x-9=0的根，则a的值为（ ） A.2 B.-2 C.1 D.-1 【答案】：C 【解析】：代入9a+9-9=0，9a=9，a=1。 7.（2026观山湖区三模） 某数比它的平方小6，设这个数为x，所列方程正确的是（ ） A.x2-x=6 B.x-x2=6 C.x2+x=6 D.x2=6-x 【答案】：A 【解析】：平方减去自身等于6，即x2-x=6。 8.（2026清镇市二模） 下列说法正确的是（ ） A.只要是整式方程就是一元二次方程 B.含有未知数x的二次方程叫一元二次方程 C.一元二次方程最高次数必须是2，且只有一个未知数 D.ax2+bx+c=0是标准的一元二次方程 【答案】：C 【解析】：紧扣一元二次方程的三条判定条件，其余选项都缺少限制条件。 9．若x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣1）2，q＝ac+1.5，则p与q的大小关系为（　　） A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定 【答案】A 【解析】：∵x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，∴ax12﹣2x1＝c，则p﹣q＝（ax1﹣1）2﹣（ac+1.5）＝a2x12﹣2ax1+1﹣ac﹣1.5＝a（ax12﹣2x1）﹣ac﹣0.5＝ac﹣ac﹣0.5＝﹣0.5，∴p﹣q＜0，∴p＜q．故选：A． 10. 定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a－b＋c＝0，那么我们称这个方程为“美好”方程．如果一元二次方程2x2＋mx＋n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，那么mn的值为(　　) A．2 B．0 C．－2 D．3 【答案】B 【解析】：根据“和谐”方程和“美好”方程的定义得2＋m＋n＝0，2－m＋n＝0，解得m＝0，n＝－2，所以mn＝0. 二．填空题（共30分） 11.（2025·天津滨海新区期末）已知(m‑2)xm2-2+3mx-5=0是一元二次方程，则m=____。 【答案】：-2 【解析】：m2-2=2且m-2≠0，m2=4，m≠2，m=-2。 12.（2026·山东胶州市一模）若a是方程x2+3x-1=0根，则代数式3a2+9a=________。 【答案】：3 【解析】：a2+3a=1，原式=3(a2+3a)=3×1=3。 13.（2025·江苏海门市期末）两个连续正整数，平方和等于25，设较小数x，列方程：________。 【答案】：x2+(x+1)2=25 【解析】：连续整数大的数x+1，平方相加等于25。 14.（2025·河南卫辉期末）若(k‑1)x2+x+1=0是一元二次方程，则k取值范围________。 【答案】：k≥0且k≠1 【解析】：k-1≠0且k≥0，二次根式被开方数非负，二次项系数不为0。 15．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2030﹣2a+2b的值为________。 【答案】：2026 【解析】：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣2＝0，则a﹣b＝2，所以原式＝2030﹣2（a﹣b）＝2030﹣2×2＝2030﹣4＝2026， 16. 某中学要组织一次篮球比赛，以班为单位，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，现计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？设共有x个班级参赛，根据题意，可列方程为______________． 【答案】x(x－1)＝15　 【解析】 共有x个班级参赛，每个班都要赛(x－1)场，但每两班之间只有一场比赛，由题意得x(x－1)＝15. 17. 若关于x的方程x2＋ax＋b＝0和x2＋bx＋a＝0(a≠b)只有一个相同的根，则a，b的关系是______________． 【答案】a＋b＝－1　 【解析】设两个方程相同的根为x＝m.根据题意，得m2＋am＋b＝0①，m2＋bm＋a＝0②.①－②，得m(a－b)＋(b－a)＝0.∵a≠b，∴a－b≠0，∴两边同除以(a－b)，得m＝1，∴12＋a＋b＝0，∴a＋b＝－1. 18．已知m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为　 　． 【答案】﹣ 【解析】∵m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，∴m2﹣3m﹣5＝0，∴m2＝3m+5，＝m﹣（3m+5）＝m﹣m﹣＝﹣．故答案为﹣． 19．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，则m的值为　 　． 【答案】m＝1 【解析】把x＝n代入方程得：mn2﹣4n﹣5＝0，即mn2﹣4n＝5，代入已知等式得：5+m＝6，解得：m＝1． 20．若m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2025﹣m2+3m＝　 　． 【答案】2026 【解析】∵m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，∴m2﹣3m+1＝0，∴m2＝3m﹣1，∴2025﹣m2+3m＝2025﹣（3m﹣1）+3m＝2025﹣3m+1﹣3m＝2026．故答案为2026． 三．解答题（共60分） 21.（2026·江西浔阳区一模）判断下列方程是否是一元二次方程，说明理由。 ①3x2-5=0； ②(x-2)2=x2-4； ③x2+=0。 【答案】：①是一元二次方程，整式方程，一个未知数，最高次数2；②不是，化简后二次项抵消，一元一次方程；③不是，分母含未知数，分式方程。 【解析】：判定一元二次方程三要素：整式、一元、化简后最高次数为2。 22.（2026贵阳市南明区中考三模） 已知方程(k2-9)x2+(k-3)x+2=0。 (1) k取何值时，方程是一元一次方程； (2) k取何值时，方程是一元二次方程。 【答案】：(1)k=-3；(2)k≠3且k≠-3 【解析】：(1) 二次项系数为0，一次项系数不为0：k2-9=0，k-3≠0，得k=-3； （2）k2-9≠0，即k≠±3。 23．已知a＝－＋2. (1)求a，c的值． (2)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，有一个根是x＝1，求b的值． 解：(1)∵a＝－＋2，∴c－3≥0，3－c≥0，∴c＝3，∴a＝2. (2)由(1)可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0可化为2x2＋bx＋3＝0. ∵这个方程有一个根是x＝1，∴2＋b＋3＝0，∴b＝－5. 24.（2026贵阳市花溪区中考一模） 一块长15m、宽10m的矩形场地，内部修建等宽的十字小路，剩余绿化面积104m2，设小路宽度为x。 (1) 平移后绿化区域可拼成一个新矩形，写出新矩形的长与宽； (2) 列出一元二次方程，并整理成标准一般形式。 【答案】：(1)长(15-x)，宽(10-x)；(2)x2-25x+46=0 【解析】：十字路平移拼接，长宽各自减去路宽；(15-x)(10-x)=104，展开化简得到方程。 25.（2026·广东南海区二模）用40m长篱笆围矩形花圃，设矩形一边长为xm。 (1)矩形另一边的长度； (2)花圃面积96m2，列出对应的一元二次方程； (3)化为一般形式。 【答案】：(1)(20-x)m； (2)x(20-x)=96； (3)-x2+20x-96=0（或x2-20x+96=0）。 【解析】：周长40，长+宽=20；面积=长×宽。 26．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，∴2a＝2b，∴a＝b，∴△ABC的形状是等腰三角形； （2）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0， 即x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1． 27．阅读理解： 定义：如果关于x的方程a1x2+b1x+c1=0（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与a2x2+b2x+c2=0（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是　 　． （2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0， 故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0； （2）由﹣5x2﹣x＝1，移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程，∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，解得：m＝0，n＝﹣1，∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，答：（m+n）2的值是1． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上 《第二章一元二次方程第一节认识二次方程》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.从实际面积、增长率情境抽象一元二次方程模型；对比一元一次方程，理解 “ 一元、二次、整式方程 ” 三大核心要素；区分整式、分式、无理方程，准确识别一元二次方程。 2.理解一般形式ax 2 +bx+c=0(a ≠ 0)，领会a ≠ 0隐含条件；掌握含参数方程的分类讨论；利用方程根的定义，代回参数求值，训练严谨推理。 3.能把各类方程整理化为一般形式，准确找出二次项、一次项、常数项以及对应系数（注意符号）；会检验数值是否为方程的根。 4.从矩形面积、边框、增长率等实际问题，提取等量关系列出一元二次方程，体会方程建模思想。 ) 二．知识梳理 ( （一） 一元二次方程定义 1.定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 如： 等都是一元二次方程. 2.理解： （ 1 ）一元二次方程属于整式方程，定义中的 “ 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 ” 这句话是指对方程 “ 整理合并 ” 之后而言的 . （2） 化简后同时满足4个条件的整式方程： ① 整式方程：分母不含未知数，无根号内含未知数； ② 一元：只含1个未知数（通常为x）； ③ 二次：未知数最高次数为2； ④ 二次项系数不能等于0。 （二） 一元二次方程一般形式 一元二次方程一般形式ax 2 +bx+c=0 (a ≠ 0) 1.ax 2 ：二次项，a为二次项系数（a ≠ 0）； 2.bx：一次项，b为一次项系数； 3.c：常数项（不含未知数）； 4.注意： （1） a 一定不能等于0，若a=0，方程最高次数变为1，就变成一元一次方程。 （2） 整理时必须移项使等式右侧为0，再判断各项。 （三）一元二次方程的根 1.定义：能够使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 2.检验方法：把数值代入方程左右两边，看数值是否相等。 例：判断x=5是不是方程 x 2 -3x-10=0 的根。左边=5 2 -3 × 5-10=25-15-10=0=右边，因此x=5是方程的根。 （四）根据实际问题列一元二次方程 1.常见模型：矩形面积、道路边框、正方形面积、增长率。 2.基本步骤： （1）审题，读懂题目； （2）设未知数； （3）找出题目中的等量关系； （4）根据等量关系列出方程； （5）把方程整理为整式形式（不需要求解）。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025·广东惠城区期末）下列方程属于一元二次方程的是（ ） A.x+=2 B.x2-2y=1 C.x2-2x=0 D.(x+1)2=x2+3 2.（2025·陕西灞桥区期末）一元二次方程3x2-5x-2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A.3，-5，-2 B.3，5，2 C.-3，-5，-2 D.3，-5，2 3.（2026·山东历下区一模）若方程(k-3)x2+2x-1=0是一元二次方程，则k的取值范围是（ ） A.k≠0 B.k≠3 C.k=3 D.k>3 4.（2025·江苏吴江区期末）已知x=2是方程x2-mx-6=0的一个根，则m的值为（ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2 5.（2026·河南二七区二模）把方程(x‑2)(x+3)=1化为一般形式，正确的是（ ） A.x2+x-7=0 B.x2-x-7=0 C.x2+x-6=0 D.x2-x-6=0 6.（2026贵阳市云岩区九年级一模） 将方程(x-3)(x+2)=9化为一般形式，二次项系数、一次项系数分别为（ ） A.1，-1 B.1，1 C.2，-1 D.1，-6 7.（2025贵阳市花溪区期中） 若方程(m-2)x|m|+3x-1=0是一元二次方程，则m的值为（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.0 8.（2026贵阳市观山湖区二模） 已知x=2是一元二次方程x2-kx-6=0的一个根，则k的值是（ ） A.1 B.-1 C.2 D.-2 9.（2026南明区二模） 某正方形边长增加2之后面积为36，设原边长为x，方程是（ ） A.x2+2=36 B.(x+2)2=36 C.x2+4=36 D.x(x+2)=36 10.（2026云岩区二模） 若代数式x2-2x的值等于3，对应的方程是（ ） A.x2-2x-3=0 B.x2-2x+3=0 C.x2-2x=0 D.x2=3 二．填空题（共30分） 11.（2025·浙江钱塘区期末）方程2x2=5x-1化为一般形式为________。 12.（2026·河北长安区一模）若x=-1是一元二次方程x2-px+2=0的根，则p=________。 13.（2025·四川锦江区期末）方程(m+1)x|m|+1+3x=0是一元二次方程，则m=________。 14.（2026·安徽包河区二模）一个矩形长比宽多2cm，面积是15cm2，设宽为xcm，列方程为________。 15.（2025·湖南雨花区期末）一元二次方程x2-9=0，下面数：-3，0，2，3，属于方程根的是________。 16.（2026乌当区一模） 矩形面积为30，长比宽多1，设宽为x，列出一元二次方程：________。 17.（2025南明区月考） 若x=1是方程ax2+bx-2=0的根，则代数式a+b=____。 18.（2025清镇市一模） 已知x=3是方程x2-ax-3=0的根，则a=____。 19.（2025乌当区期末） 若(m-1)xm2+1-3x=0是一元二次方程，则m=____。 20.（2026南明区三模） 直角三角形两条直角边相差3，面积为9，设短直角边为x，列方程：________。 三．解答题（共60分） 21.（2025贵阳市乌当区九年级期末） 已知方程(m2-4)x2+(m+2)x-1=0。 (1) 当m取何值时，方程为一元一次方程； (2) 当m取何值时，方程为一元二次方程。 22.（2025贵阳市花溪区一模） 检验x=4和x=-2是不是方程x2-2x-8=0的根。 (1) 代入x=4判断； (2) 代入x=-2判断。 23.把下列一元二次方程化成一般式，并指出方程中的各项与各项的系数. （1）； （2）. 24.（2026贵阳市观山湖区一模） 某小区矩形绿化带长12m，宽8m，向外拓宽相同宽度x，新矩形面积为140m2。 (1) 用x表示新矩形的长、宽； (2) 列出方程并整理成一元二次方程的一般形式。 25.（2026贵阳市南明区二模） 已知关于x的一元二次方程x2-(t+1)x+2t=0有一个根是x=2。 (1) 求字母t的值； (2) 将t代入，写出这个方程的完整一般形式。 26.（2026·广西青秀区二模）已知x=m是方程2x2-3x-1=0的一个根。 (1)将x=m代入，写出得到的等式； (2)求代数式4m2‑6m的值； (3)求4m2-6m+2026的值。 27.（2025·江西青山湖区期末）已知方程：(2-a)xa2-2+ax-1=0 (1)当此方程为一元二次方程，求a的值； (2)当此方程为一元一次方程，求a的值； (3)判断x=1是否可以是该一元二次方程的根。 B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026·江苏启东一模）下列关于x方程，一定属于一元二次方程的是（ ） A.k2x2-4x+1=0 B.(k2+1)x2-2x=0 C.(x-1)2=x2 D.=2x2-1 2.（2025·湖北洪山区期末）已知关于x方程(m-1)x2+2x+m2-1=0有一个根是0，则m值为（ ） A.1 B.-1 C.±1 D.0 3.（2026·浙江西湖区二模）若a是方程x2-x-2026=0根，则a2-a+1的值为（ ） A.2025 B.2026 C.2027 D.2028 4.（2026·四川双流区一模）某商场销售额，2月100万，4月144万，每月增长率相同，设月增长率x，列方程（ ） A.100(1+x)=144 B.100(1+x)2=144 C.100+100x2=144 D.100(1+2x)=144 5．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣2m+7的值是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 6.（2026清镇市三模） 若x=-3是方程ax2-3x-9=0的根，则a的值为（ ） A.2 B.-2 C.1 D.-1 7.（2026观山湖区三模） 某数比它的平方小6，设这个数为x，所列方程正确的是（ ） A.x2-x=6 B.x-x2=6 C.x2+x=6 D.x2=6-x 8.（2026清镇市二模） 下列说法正确的是（ ） A.只要是整式方程就是一元二次方程 B.含有未知数x的二次方程叫一元二次方程 C.一元二次方程最高次数必须是2，且只有一个未知数 D.ax2+bx+c=0是标准的一元二次方程 9．若x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣1）2，q＝ac+1.5，则p与q的大小关系为（　　） A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定 10. 定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a－b＋c＝0，那么我们称这个方程为“美好”方程．如果一元二次方程2x2＋mx＋n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，那么mn的值为(　　) A．2 B．0 C．－2 D．3 二．填空题（共30分） 11.（2025·天津滨海新区期末）已知(m‑2)xm2-2+3mx-5=0是一元二次方程，则m=____。 12.（2026·山东胶州市一模）若a是方程x2+3x-1=0根，则代数式3a2+9a=________。 13.（2025·江苏海门市期末）两个连续正整数，平方和等于25，设较小数x，列方程：________。 14.（2025·河南卫辉期末）若(k‑1)x2+x+1=0是一元二次方程，则k取值范围________。 15．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2030﹣2a+2b的值为________。 16. 某中学要组织一次篮球比赛，以班为单位，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，现计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？设共有x个班级参赛，根据题意，可列方程为______________． 17. 若关于x的方程x2＋ax＋b＝0和x2＋bx＋a＝0(a≠b)只有一个相同的根，则a，b的关系是______________． 18．已知m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为　 　． 19．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，则m的值为　 　． 20．若m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2025﹣m2+3m＝　 　． 三．解答题（共60分） 21.（2026·江西浔阳区一模）判断下列方程是否是一元二次方程，说明理由。 ①3x2-5=0； ②(x-2)2=x2-4； ③x2+=0。 22.（2026贵阳市南明区中考三模） 已知方程(k2-9)x2+(k-3)x+2=0。 (1) k取何值时，方程是一元一次方程； (2) k取何值时，方程是一元二次方程。 23．已知a＝－＋2. (1)求a，c的值． (2)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，有一个根是x＝1，求b的值． 24.（2026贵阳市花溪区中考一模） 一块长15m、宽10m的矩形场地，内部修建等宽的十字小路，剩余绿化面积104m2，设小路宽度为x。 (1) 平移后绿化区域可拼成一个新矩形，写出新矩形的长与宽； (2) 列出一元二次方程，并整理成标准一般形式。 25.（2026·广东南海区二模）用40m长篱笆围矩形花圃，设矩形一边长为xm。 (1)矩形另一边的长度； (2)花圃面积96m2，列出对应的一元二次方程； (3)化为一般形式。 26．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 27．阅读理解： 定义：如果关于x的方程a1x2+b1x+c1=0（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与a2x2+b2x+c2=0（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是　 　． （2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $