第二章 一元二次方程 能力提优测试卷-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学全程时习测试卷（北师大版·新教材）

第二章 一元二次方程 径XUESHENG 能力提优测试卷 ·时间：120分钟 1满分：120分 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小 装 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 答题卡 1.下列方程中，关于x的一元二次方程有 () ①x2=0;②ax2+bx+c=0;③√2x2-3=V5x;④a2+a-x=0; 订 蕾 ⑤(m-102+4+=-0,O2+士@F-1=2,®x+1) =x2-9. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 线 2.方程x2-8x+15=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是 () A.(x-6)2=1 B.(x-4)2=1 韵 C.(x-4)2=31 D.(x-4)2=-7 内 3.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3, =1,那么这个一元二次方程是 () A.x2-4x+3=0 B.x2+4x-3=0 C.x2+3x+4=0 D.x2+3x-4=0 不 4.关于x的一元二次方程x2-x-c=0有实数根，则c可取的最小整 数是 A.2 B.1 C.0 D.-1 帝 5.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2-7x+10=0的 ! 两根，则该等腰三角形的周长为 ( A.9 B.12 C.2或5 D.9或12 6.读书日当天，文学社举办了一场“书籍分享会”，同学们互相交换 答 自己喜爱的书籍，参加活动的全部同学共互换了110本书籍，则参 加活动的同学人数为 () A.10人 B.11人 C.12人 D.13人 7.(安顺中考)定义新运算a*b:对于任意实数a,b满足a*b=(a+ 题 b)(a-b)-1,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如 3*2=(3+2)×(3-2)-1=5-1=4.若x*k=2x(k为实数)是 关于x的方程，则它的根的情况是 A.有一个实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 8.如图，点A在数轴的负半轴，且点A对应的数为7-3x-2x2,点0 对应的数为0，若OA=2,则x的值为 0 8题图 A.-3 B.3 C. 或-3 0.-2或3 9.新考向我国古代著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问题：“六贯 二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株 椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如 果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好 等于一株椽的价钱.设这批椽的数量为x株，则正确的是（) A.依题意，得3x(x-1)=6210B.依题意，得x(3x-1)=6210 C.这批椽的数量为45株D.一株椽的价钱为132文 10.有一种几何方法可以用来求形如x(x+5)=24的方程的正数 根，方法：如图，将四个长为x+5、宽为x的长方形纸片（面积均 为24)拼成一个大正方形，则大正方形的面积为24×4+25= 121,边长为11，故得(x+5)=24的正数根为x=11-5=3.小 2 明按此方法解关于x的方程x2+mx-n=0(m>0,n>0)时，构 造出同样的图形.已知大正方形的面积为12，小正方形的面积为 4,则方程的正数根为 A.x=√3-1 B.x=√3+1 3 C.x=2 10题图 D.x=W5-1 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.已知(m-1)xm+1+3x-5=0是一元二次方程，则m= 12.(湖南邵阳期中)若a是方程x2-x=1的一个根，则2a2-2a+6 的值是 13.对于实数a,b,我们定义符号max{a,b}的意义为：当a>b时， max{a,b}=a;当a≤b时，max{a,b}=b,如max{1,-2}=1,则 方程max{x,x+2}=x2-4的獬为 14.新情境屏风历史悠久，是中国古代居室内的 →→→ 0 重要家具和装饰品，具有分隔、美化、挡风等 10 屏芯 屏框 作用.如图是一个屏芯长80cm,宽60cm的 矩形黄花梨小座屏风示意图，屏芯周围被边 14题图 框宽度相同的屏框包围.若整个屏风的面积 为6300cm2,则屏框的宽度为 cm. 九年级数学北师版 上册 第11页 见此图标目民即刻扫码 分层训练助力学习进阶月 5.新考向如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数 根，且其中一个根为另外一个根的2倍，那么称这样的方程为 “倍根方程”.有以下关于倍根方程的说法： ①方程x2-x-2=0是“倍根方程”； ②若(x-2)(mx+n)=0是“倍根方程”，则4m2+5mn+n2=0; ③若p,q满足pq=2,则关于x的方程px2+3x+q=0是“倍根 方程” 其中正确的说法有 .（请填写序号) 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤 或推理过程) 6.(10分)解下列方程： (1)3x2-4x+5=0; (2)(x+1)(x+2)=2x+4. 7.(8分)新考向句（山西太原期中）阅读解关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的过程，解答下列问题： 解：方程的两边都乘4a,得4a2x+4abx+4ac=0.…第一步 移项，得4a2x2+4abx=-4ac.…第二步 配方，得4a2x2+4abx+b2=b2-4ac,…第三步 即(2ax+b)2=b2-4ac.…第四步 两边开平方，得2ax+b=±√2-4ac,…第五步 所以2ax=-b±√2-4ac,…第六步 所以=二8恤k6-- 2a 2a 三.…第七步 (1)第一步变形的依据是 (2)上述解题过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 (3)采用上述解方程的思路，求3x2-4x-2=0的根. 见此图标民即刻扫码分层训练助力学习进阶 18.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-2x-3m2=0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为α，B,且α+2B=5,求m的值， 19.(8分)把一个足球垂直地面向上踢，足球的高度h米与足球运动 时间t秒满足关系式h=-5t2+at,已知当足球踢出后4秒回到 地面. (1)求a的值； (2)经过多少秒时球的高度为15米， 20.(8分)已知关于x的一元二次方程-x2+4x+n-5=0的两个实 数根是矩形的长和宽 (1)当矩形的对角线长为3时，求n的值； (2)当n为何值时，该矩形为正方形. 21.(8分)课间同学们在教室外做游戏，他们手拉手围成一个周长为 24m的圆，然后围成一个周长不变的矩形 (1)他们可不可以围成一个面积为35m2的矩形？如果不可以， 请说明理由；如果可以，求出矩形的长、宽； (2)他们可不可以围成一个面积为37m2的矩形？如果不可以， 请说明理由；如果可以，求出矩形的长、宽， 22.(12分)某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出 200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发 现，每顶售价每降价1元，每月可多售出20顶，已知头盔的进价 为每顶50元. (1)若每顶头盔降价10元，则每月可销售 顶头盔，每月 的销售利润为 元； (2)若商店为了减少库存，准备降价销售这批头盔，同时确保每 月的销售利润为7500元，求每顶头盔的售价； (3)若降价销售这批头盔，每月的销售利润能否达到9000元？ 请说明理由. 九年级数学 北师版上册 第12页 23.(13分)[核心素养]如图，在边长为12cm的菱形ABCD中，∠B =60°，点P从点B开始沿BC边向点C以每秒1cm的速度移 动，点Q从点A开始沿AB边向点B以每秒2cm的速度移动.若 P,Q分别从B,A同时出发，其中任意一点到达终点后，两点同时 停止运动. (1)经过3s后，BP= cm,BO= cm; (2)经过几秒，△BPQ是直角三角形？ (3)经过儿秒，△BPQ的面积等于菱形面积的名？ B P 23题图全程时习测试卷·九年级数学·北师版·上册 整理，得m2-500m-60000=0, 解得m1=200,m2=300(不符合题意，舍去). 答：购买的这种健身器材的套数为200套 23.解：(1)若轮船自点A按原速度原方向继续航行，在途中 会遇到台风. 设th后，轮船行驶到点C处，台风中心运动到点M处时， 轮船刚好遇到台风，如答图①，连接CM, 根据题意，得AC=20 n mile,AM=(100-40t)n mile, CM=20√/10 n mile. 在Rt△AMC中，CM2=AM2+AC2, 即(20√/10)2=(100-40t)2+(20t)2, 整理，得2-4t+3=0,解得t1=1,2=3(舍去)， .轮船自点A按原速度继续航行，1h后会遇到台风 北 北 D 60°→D 东 →东 E 23题答图① 23题答图② (2)设台风中心运动到点E,此时D港开始受影响. 连接DE,则DE=20√10 n mile. .20√10≈64,64>60， 点E位于点A的正南方 过点D作DG⊥AG(点G位于点A的正东方)，延长DG至 点F,使DF⊥EF,如答图②所示. 根据题意，得∠DAG=30°， .'DG=30 n mile,EF=AG=303 n mile. 设AE=GF=xn mile,∴.DF=(x+30)n mile. 在Rt△DEF中，DE2=EF+DF2, 即(20√10)2=(303)2+(x+30)2, 解得x1=10√13-30，x2=-10√13-30（舍去） .台风中心运动的距离为100-(10√13-30)=(130- 10√/13)n mile, .台风中心从点B运动到点E所用的时间为 (130-1013)÷40≈2.35(h), .此时船速为60÷2.35≈25.5(n mile,/h), 25.5-20=5.5≈6(n mile/h), .∴船速至少应提高6 n mile/h. 第二章一元二次方程 能力提优测试卷 1.A2.B3.A4.C5.B6.B7.B8.C9.A 10.A[解析]将关于x的一元二次方程x2+mx-n=0转化 为x(x+m)=n,则根据题意构造出的长方形的长为 x+m,宽为x,小正方形的边长为x+m-x=m=√4=2， 大正方形的边长为x+m+x=2x+m=2√3，所以原方程 的正数根为x=25-2=3-1 2 8· 11.-112.813.x1=-2,x2=314.5 15.②③[解析]①解方程x2-x-2=0得x1=2,x2=-1, x1≠2x2,.方程x2-x-2=0不是“倍根方程”，故①不正 确；②若(x-2)(mx+n)=0是“倍根方程”，x1=2,因此 x2=1或x2=4,当x2=1时，m+n=0,当x2=4时，4m+n =0,.4m2+5mn+n2=(m+n)(4m+n)=0,故②正确； ③.p9=2,px2+3x+q=(px+1)(x+9）=0,x= 西=-9，名=-9=-子=24，图此是“倍根方 1 程”，故③正确.故答案为②③. 16.解：(1)3x2-4x+5=0,a=3,b=-4,c=5, .4=(-4)2-4×3×5=-44<0, .方程没有实数解. (2)(x+1)(x+2)=2x+4, ∴.(x+1)(x+2)-2(x+2)=0, .(x+2)(x+1-2)=0, .x+2=0或x+1-2=0, .x1=-2,x2=1. 17.解：(1)等式的基本性质2（或等式的两边都乘同一个数， 所得结果仍是等式) (2)五b2-4ac的符号不确定（或62-4ac的值不一定大 于或等于0) (3)方程的两边都乘3，得9x2-12x-6=0. 移项，得9x2-12x=6. 配方，得9x2-12x+22=6+22, 即(3x-2)2=10. 两边开平方，得3x-2=±√10. 所以名=2+10 30,k=2-10 3 18.(1)证明：4=b2-4ac=(-2)2-4×1·（-3m2） =4+12m2. .12m2≥0，∴.4+12m2≥4>0， .该方程总有两个不相等的实数根 (2)解：方程的两个实数根为α，B, 由根与系数关系可知a+B=2,a·B=-3m2. a+2B=5,∴x=5-2B, .5-2B+B=2,解得B=3,a=-1, .-3m2=-1×3=-3,即m=±1. 19.解：(1)由题意得，当t=4时，h=0, .0=-5×42+4a,解得a=20. (2)由(1)得-5t+20t=15,解得t=1或t=3. 答：经过1秒或3秒时球的高度为15米. 20.解：(1).·一元二次方程-x2+4x+n-5=0的两个实数 根是矩形的长和宽， .62-4ac=16-4×(-1)×(n-5)≥0，解得n≥1. 设x1,x2是一元二次方程-x2+4x+n-5=0的两个实 数根， .x1+x2=4,x1x2=5-n :x,x2是矩形两邻边的长，矩形的对角线长为3， .x+=32, .x+x号=(x1+x2)2-2x1x2=16-2(5-n)=9, 3 3 解得n=…n的值为之 (2):有一组邻边相等的矩形是正方形， .当两实数根相等时该矩形是正方形， .b2-4ac=42-4×(-1)×(n-5)=0,解得n=1, .当n=1时，该矩形是正方形 21.解：设矩形的宽为xm,则长为(12-x)m. （1)可以围成一个面积为35m的矩形 由题意，得x(12-x)=35,解得x1=5,x2=7(舍去)， 12-x=7, ∴.能围成一个面积为35m2的矩形，矩形的宽为5m,长为 7m. (2)不可以围成一个面积为37m2的矩形.理由如下： 假设可以围成一个面积为37m的矩形， 由题意，得x(12-x)=37， .x2-12x+37=0, .4=(-12)2-4×1×37=144-148=-4<0, 原方程没有实数根， .不能围成一个面积为37m2的矩形. 22.解：(1)4008000 (2)设每顶头盔降价x元， 根据题意可得(80-x-50)(200+20x)=7500, 化简可得x2-20x+75=0,解得x1=15,x2=5. .·商店要减少库存，∴.x=15, 80-15=65(元). 答：每顶头盔的售价为65元， (3)每月的销售利润不能达到9000元 理由：设每顶头盔降价y元，若每月的销售利润能达到 9000元，则根据题意可得(80-y-50)(200+20y)= 9000, 化简可得y2-20y+150=0. 4=(-20)2-4×1×150=-200<0, .方程没有实数根， .每月的销售利润不能达到9000元. 23.解：(1)36 (2).∠B=60°， ,∴.△BPQ是直角三角形有两种情况，设运动时间为ts,则 BP=t cm,AO=2t cm,BO =(12-2t)cm 分情况讨论： ①当∠PQB=90时，∠BPQ=30°， BP=2B0,t=2(12-2D),t=24 ②当∠BPQ=90时，LPQB=30°， .BQ=2BP,.12-2t=2t,.t=3. 综上所述，经过：或3：时，△BQ是直角三角形 (3)如答图，过点A作AH⊥BC于点H. :∠B=60,∠BMM=30,B服=24B=6cm, ..AH=AB2-BH2 =63(cm), 参考答案及解析 .S菱形4Bc=BC·AH=12×6V3=723(cm2). 过点Q作QM⊥BC于点M,连接PQ, 设运动时间为ts,则BP=tcm,AQ=2tcm,BQ=（12- 2t)cm. .∠B=60°，∴.∠BQM=30°， :san=7×BP×0M=n×90 ×9x(2-2=-r+3v5em. 2 当△BPQ的面积等于菱形面积的S时， -5+33t=72月×18 1 2 .t2-6t+8=0,.41=2,2=4, :经过25或4s时，△B0的面积等于凌形面积的3 Q B MP H 23题答图 专项巩固训练卷（四） 一元二次方程的解法 1.解：二 正确的解答过程如下： (x+3)2-4=0,….(x+3)2=4, ∴.x+3=±2，∴.x+3=2或x+3=-2, .x1=-1,x2=-5. 2.解：(1)移项，得3x2=27 两边都除以3，得x2=9. 两边开平方，得x=±3. (2)两边开平方，得2x-1=±3， 即2x-1=3或2x-1=-3, 解得x1=2,x2=-1. 3.解：小明的解题过程不正确.正确的解题过程如下： 原方程可化为+多+分=0， 移项，得+ 1 2x=-2 限方，得+子+(+(， 3121 即(+4)=6 两边开平方，得x+4=±4 3 1 x+=人或x+ 31 44 4=-4, 1 小名=2出=-1 4.解：(1)移项，得x2-4x=5. 配方，得x2-4x+4=5+4, 即(x-2)2=9. 两边开平方，得x-2=±3， 。9.全程时习测试卷·九年级数学·北师版·上册 第二章 能力提优测试卷答题卡 姓 名 准考证号 贴条形码区 缺考 缺考考生由监考员粘贴条形码， 标 并用2B铅笔涂黑缺考标记。 一、 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指 定的位置上，并核准条形码上的信息是否与本人相符，完全 正确后，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。 二、选择题必须在答题卡上用2B铅笔涂黑，非选择题必须用 填 注 涂样 正确填涂 0.5mm黑色水签字笔答题，字迹要工整、清楚。 意 三、考生必须在答题卡上每题指定的答题区域内答题。在其他 项 题号的答题空间答题无效。答案不能超出黑色边框，超出 黑色边框的答案无效。写在试题卷上的答案无效。 四、 要保持答题卡整洁，不准折叠，不准弄破。 色 五、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交给监考员。考生不准 将试题卷或答题卡带出考场，否则，将按有关规定处理。 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] I11I1II11111IIl111I11111111 第二部分非选择题（共90分）》 二、填空题 11 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 三、解答题 16. 17. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 18 19. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20. 21. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23. A ■ Q B4 23题图 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效