2.1 认识一元二次方程 分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练以“基础巩固-思维进阶-中考衔接”三级分层设计，覆盖一元二次方程定义、一般形式等核心知识点，通过概念辨析、实际建模、真题演练，培养抽象能力、推理意识与模型意识，实现从知识理解到综合应用的递进。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|定义判断、系数识别、简单列方程|以选择填空为主，如判断方程类型、化为一般形式，强化概念理解| |进阶思维题|参数问题、综合建模、估算应用|含解答题，如含参方程分类讨论、道路面积问题，提升推理能力| |中考链接题|中考高频考点|选用中考真题，如方程根的应用、古代数学问题建模，对接测评需求|

北师大版九年级上册 第2章 一元二次方程 2.1认识一元二次方程 本节知识点总结 1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax² + bx + c = 0（a，b，c为常数，a ≠ 0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。 3. 相关概念： ax² 叫做二次项，a叫做二次项系数； bx 叫做一次项，b叫做一次项系数； c 叫做常数项。 4. 判断一元二次方程的三个条件：①只含一个未知数；②是整式方程；③未知数最高次数为2（且二次项系数不为0）。 5. 根据实际问题列一元二次方程：审清题意，找出等量关系，设未知数，列出方程。 6. 估算一元二次方程的解： ① 列表法：通过列表计算不同x值对应的代数式的值，找到使方程左右两边接近相等的x的范围； ② 二分法：利用"夹逼"思想，逐步缩小解的范围； ③ 确定解的整数部分、十分位等近似值。 7. 一元二次方程的解（根）：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 判断一元二次方程 1．（2024秋·北京海淀·单元测）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．2x + 3y = 5 B．x² + 2x = x² - 1 C．2x² - 3x + 1 = 0 D．x + = 2 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义：只含一个未知数、是整式方程、未知数最高次数为2。 【详解】解： A. 含有两个未知数x和y，是二元一次方程，不是一元二次方程； B. 化简后为2x = -1，是一元一次方程，不是一元二次方程； C. 只含一个未知数x，是整式方程，最高次数为2，是一元二次方程； D. 含有，是分式方程，不是整式方程。 故选：C。 2．（2024-2025九年级上·上海闵行·期中）下列方程：① x² = 0；② = 2；③ 3x² + 2x = 1；④ (x - 1)² = x² - 1。其中是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】逐一判断，注意化简后是否仍为二次方程。 【详解】解： ① x² = 0，是一元二次方程； ② = 2，是分式方程，不是整式方程； ③ 3x² + 2x = 1，即3x² + 2x - 1 = 0，是一元二次方程； ④ (x - 1)² = x² - 1，展开得x² - 2x + 1 = x² - 1，化简得-2x + 2 = 0，是一元一次方程。 ①和③是一元二次方程，共2个。 故选：B。 3．（2024秋·广东广州·月考）若关于x的方程ax² + 3x - 2 = 2x²是一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A．a ≠ 0 B．a ≠ 2 C．a > 2 D．a = 2 【答案】B 【分析】先整理为一般形式，再令二次项系数不为0。 【详解】解：ax² + 3x - 2 = 2x²， 移项得：ax² - 2x² + 3x - 2 = 0， 合并得：(a - 2)x² + 3x - 2 = 0。 ∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数不为0，即a - 2 ≠ 0， ∴a ≠ 2。 故选：B。 4．（2024-2025九年级上·江苏苏州·单元测）下列说法中，正确的是（　　） A．含有未知数的等式是一元二次方程 B．一元二次方程中，未知数的最高次数是2 C．x² + 2x = x² + 1是一元二次方程 D．ax² + bx + c = 0一定是一元二次方程 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义判断。 【详解】解： A. 含有未知数的等式是方程，但不一定是一元二次方程，错误； B. 一元二次方程中，未知数的最高次数是2，正确； C. 化简后为2x = 1，是一元一次方程，错误； D. 当a = 0时，ax² + bx + c = 0不是一元二次方程，错误。 故选：B。 题型02 一元二次方程一般形式与各项系数 5．（2024秋·浙江杭州·期中）一元二次方程5x² - 3x + 2 = 0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．5，-3，2 B．5，3，2 C．5，-3，-2 D．-5，3，-2 【答案】A 【分析】直接从一般形式中读取各项系数，注意符号。 【详解】解：在方程5x² - 3x + 2 = 0中， 二次项系数a = 5， 一次项系数b = -3， 常数项c = 2。 故选：A。 6．（2024-2025九年级上·山东济南·月考）将方程3x² = 4x + 1化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．3，4，1 B．3，-4，1 C．3，-4，-1 D．-3，4，-1 【答案】C 【分析】移项化为一般形式，注意移项要变号。 【详解】解：3x² = 4x + 1， 移项得：3x² - 4x - 1 = 0， ∴二次项系数为3，一次项系数为-4，常数项为-1。 故选：C。 7．（2024秋·湖北武汉·期末）一元二次方程(x + 2)(x - 1) = 0化为一般形式是____x² + x - 2 = 0____，其中二次项系数是___1_____，一次项系数是____1____，常数项是____-2____。 【答案】x² + x - 2 = 0；1；1；-2 【分析】展开左边，整理为一般形式。 【详解】解：(x + 2)(x - 1) = 0， 展开：x² - x + 2x - 2 = 0， 合并：x² + x - 2 = 0。 ∴二次项系数是1，一次项系数是1，常数项是-2。 故答案为：x² + x - 2 = 0；1；1；-2。 题型03 将方程化为一般形式 8．（2024-2025九年级上·湖南长沙·期中）将方程(x - 2)² = 5化为一般形式，正确的是（　　） A．x² - 4x + 4 = 5 B．x² - 4x - 1 = 0 C．x² - 4x + 9 = 0 D．x² + 4x - 1 = 0 【答案】B 【分析】展开完全平方，移项合并同类项。 【详解】解：(x - 2)² = 5， 展开：x² - 4x + 4 = 5， 移项：x² - 4x + 4 - 5 = 0， 合并：x² - 4x - 1 = 0。 故选：B。 9．（2024秋·河南郑州·单元测）方程2x(x - 3) = 5(x - 3)化为一般形式是_____2x² - 11x + 15 = 0___。 【答案】2x² - 11x + 15 = 0 【分析】去括号、移项、合并同类项。 【详解】解：2x(x - 3) = 5(x - 3)， 去括号：2x² - 6x = 5x - 15， 移项：2x² - 6x - 5x + 15 = 0， 合并：2x² - 11x + 15 = 0。 故答案为：2x² - 11x + 15 = 0。 10．（2024-2025九年级上·河北石家庄·月考）将下列方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）3x(x - 2) = 2(x + 1) （2）(2x - 1)² = (x + 2)² 【答案】（1）3x² - 8x - 2 = 0，a=3，b=-8，c=-2；（2）3x² - 8x - 3 = 0，a=3，b=-8，c=-3 【分析】分别去括号、移项、合并同类项。 【详解】解：（1）3x(x - 2) = 2(x + 1)， 去括号：3x² - 6x = 2x + 2， 移项：3x² - 6x - 2x - 2 = 0， 合并：3x² - 8x - 2 = 0。 二次项系数3，一次项系数-8，常数项-2。 （2）(2x - 1)² = (x + 2)²， 展开：4x² - 4x + 1 = x² + 4x + 4， 移项：4x² - 4x + 1 - x² - 4x - 4 = 0， 合并：3x² - 8x - 3 = 0。 二次项系数3，一次项系数-8，常数项-3。 题型04 根据实际问题列一元二次方程 11．（2024秋·陕西西安·期中）一块长方形地毯的长为8m，宽为5m，在地毯四周镶上宽度相同的花边后，总面积为54m²。设花边的宽度为x m，则下列方程正确的是（　　） A．(8 + x)(5 + x) = 54 B．(8 + 2x)(5 + 2x) = 54 C．(8 - 2x)(5 - 2x) = 54 D．8×5 + 2x(8 + 5) = 54 【答案】B 【分析】四周镶花边，长和宽各增加2x（两边各加x）。 【详解】解：设花边的宽度为x m， 则镶花边后，长为(8 + 2x) m，宽为(5 + 2x) m。 根据总面积为54m²，列方程： (8 + 2x)(5 + 2x) = 54。 故选：B。 12．（2024-2025九年级上·辽宁沈阳·期末）两个连续奇数的平方和为202，设较小的奇数为x，则下列方程正确的是（　　） A．x² + (x + 1)² = 202 B．x² + (x + 2)² = 202 C．x² + (2x)² = 202 D．(x + 1)² + (x + 2)² = 202 【答案】B 【分析】两个连续奇数相差2，较大的奇数为x + 2。 【详解】解：设较小的奇数为x，则较大的奇数为x + 2。 根据两个连续奇数的平方和为202，列方程： x² + (x + 2)² = 202。 故选：B。 13．（2024秋·重庆渝中·月考）如图，一个长为10m的梯子AB斜靠在墙上，梯子底端B到墙的距离为6m。若梯子底端B向外滑动x m后，梯子顶端A下滑x m，则下列方程正确的是（　　） A．(6 + x)² + (8 - x)² = 100 B．(6 + x)² + (8 + x)² = 100 C．(6 - x)² + (8 - x)² = 100 D．(6 + x)² + 8² = 100 【答案】A 【分析】先求初始高度，再利用勾股定理列方程。 【详解】解：初始时，梯子长10m，底端到墙6m， 由勾股定理得：顶端高度 = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8 m。 梯子底端向外滑动x m后，底端到墙的距离为(6 + x) m， 顶端下滑x m后，顶端高度为(8 - x) m。 梯子长度不变，仍为10m，由勾股定理： (6 + x)² + (8 - x)² = 10² = 100。 故选：A。 14．（2024-2025九年级上·天津南开·单元测）某矩形的长比宽多3cm，面积为28cm²。设宽为x cm，则列方程为__x(x + 3) = 28（或x² + 3x - 28 = 0）______。 【答案】x(x + 3) = 28（或x² + 3x - 28 = 0） 【分析】长为(x + 3) cm，面积 = 长 × 宽。 【详解】解：设宽为x cm，则长为(x + 3) cm。 根据矩形面积公式： x(x + 3) = 28， 即x² + 3x - 28 = 0。 故答案为：x(x + 3) = 28。 题型05 估算一元二次方程的解 15．（2024秋·四川成都·期中）根据表格中的数据，判断方程x² - 2x - 2 = 0的一个解的范围是（　　） x 2.6 2.7 2.8 2.9 x² - 2x - 2 -0.44 -0.11 0.24 0.61 A．2.6 < x < 2.7 B．2.7 < x < 2.8 C．2.8 < x < 2.9 D．2.7 < x < 2.9 【答案】B 【分析】当x=2.7时，值为负；x=2.8时，值为正。说明解在2.7和2.8之间。 【详解】解：观察表格： 当x = 2.7时，x² - 2x - 2 = -0.11 < 0； 当x = 2.8时，x² - 2x - 2 = 0.24 > 0。 ∵代数式的值由负变正， ∴方程x² - 2x - 2 = 0的一个解在2.7和2.8之间， 即2.7 < x < 2.8。 故选：B。 16．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期末）已知一元二次方程x² - 5x + 3 = 0，通过估算可知，该方程的一个解在（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】B 【分析】计算x=1和x=2时的值，看符号变化。 【详解】解：当x = 1时，x² - 5x + 3 = 1 - 5 + 3 = -1 < 0； 当x = 2时，x² - 5x + 3 = 4 - 10 + 3 = -3 < 0； 当x = 0时，x² - 5x + 3 = 0 - 0 + 3 = 3 > 0。 ∵ 3 > 0， -1 < 0， ∴方程的一个解在0和1之间。 故选：A。 17．（2024秋·福建福州·月考）利用二分法估算方程x² - 3x - 1 = 0的正根，已知x=3时值为-1，x=4时值为3，则该正根的整数部分是____3____。 【答案】3 【分析】x=3时值为负，x=4时值为正，说明正根在3和4之间，整数部分为3。 【详解】解：设f(x) = x² - 3x - 1。 当x = 3时，f(3) = 9 - 9 - 1 = -1 < 0； 当x = 4时，f(4) = 16 - 12 - 1 = 3 > 0。 ∵f(3) < 0，f(4) > 0， ∴方程的正根在3和4之间， ∴正根的整数部分是3。 故答案为：3。 18．（2024-2025九年级上·江西南昌·期中）根据表格估算方程x² + x - 15 = 0的一个近似解（精确到0.1）。 x 3.2 3.3 3.4 3.5 x² + x - 15 -1.56 -0.81 -0.04 0.75 则方程的一个近似解为____3.4____（精确到0.1）。 【答案】3.4 【分析】x=3.4时值为-0.04，最接近0，所以近似解为3.4。 【详解】解：观察表格： 当x = 3.4时，x² + x - 15 = -0.04，最接近0； 当x = 3.5时，值为0.75。 ∵-0.04的绝对值比0.75小， ∴x = 3.4更接近方程的解。 ∴方程的一个近似解为3.4（精确到0.1）。 故答案为：3.4。 题型06 一元二次方程定义的应用（求参数值） 19．（2024秋·山东青岛·单元测）若关于x的方程(m - 2)x|m| + 3x - 1 = 0是一元二次方程，则m的值为（　　） A．2 B．-2 C．±2 D．0 【答案】B 【分析】一元二次方程要求：最高次数为2，且二次项系数不为0。 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴|m| = 2，且m - 2 ≠ 0。 由|m| = 2得：m = 2或m = -2。 由m - 2 ≠ 0得：m ≠ 2。 ∴m = -2。 故选：B。 20．（2024-2025九年级上·江苏南京·期末）若方程(k + 1)x² + 2x - 3 = 0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是___k ≠ -1_____。 【答案】k ≠ -1 【分析】二次项系数不为0。 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数不为0， 即k + 1 ≠ 0， ∴k ≠ -1。 故答案为：k ≠ -1。 21．（2024秋·广东深圳·月考）已知x = 1是一元二次方程x² + ax + b = 0的一个根，则a + b = ___-1_____。 【答案】-1 【分析】将x = 1代入方程即可。 【详解】解：∵x = 1是方程x² + ax + b = 0的一个根， ∴将x = 1代入方程得：1² + a×1 + b = 0， 即1 + a + b = 0， ∴a + b = -1。 故答案为：-1。 22．（2024-2025九年级上·浙江宁波·期中）若关于x的一元二次方程(a - 1)x² + x + a² - 1 = 0的一个根是0，则a的值为___-1_____。 【答案】-1 【分析】将x = 0代入方程求a，注意二次项系数不为0。 【详解】解：∵x = 0是方程的一个根， ∴将x = 0代入方程得：(a - 1)×0 + 0 + a² - 1 = 0， 即a² - 1 = 0， ∴a = 1或a = -1。 又∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数a - 1 ≠ 0，即a ≠ 1。 ∴a = -1。 故答案为：-1。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024秋·北京朝阳·期末）若关于x的方程(m² - 1)x² + (m + 1)x - 2 = 0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m ≠ 1 B．m ≠ -1 C．m ≠ ±1 D．m为任意实数 【答案】C 【分析】二次项系数m² - 1 ≠ 0。 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数不为0， 即m² - 1 ≠ 0， m² ≠ 1， ∴m ≠ ±1。 故选：C。 2．（2024-2025九年级上·上海浦东·期中）将方程x² - 4x + 1 = 0配方后，原方程变形为（　　） A．(x - 2)² = 3 B．(x - 2)² = 5 C．(x + 2)² = 3 D．(x + 2)² = 5 【答案】A 【分析】配方法：移项、两边加一次项系数一半的平方。 【详解】解：x² - 4x + 1 = 0， 移项：x² - 4x = -1， 配方：两边加4（一次项系数-4一半的平方）， x² - 4x + 4 = -1 + 4， (x - 2)² = 3。 故选：A。 3．（2024秋·广东广州·期末）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（　　） A．100(1 - x)² = 64 B．100(1 + x)² = 64 C．64(1 - x)² = 100 D．100(1 - 2x) = 64 【答案】A 【分析】连续两次降价，每次降价后的价格 = 原价 × (1 - x)。 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 第一次降价后价格：100(1 - x)， 第二次降价后价格：100(1 - x)(1 - x) = 100(1 - x)²。 根据题意：100(1 - x)² = 64。 故选：A。 4．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）已知x = 2是关于x的一元二次方程x² - mx - 2 = 0的一个根，则m的值是（　　） A．-1 B．1 C．0 D．2 【答案】B 【分析】将x = 2代入方程求解m。 【详解】解：∵x = 2是方程x² - mx - 2 = 0的一个根， ∴将x = 2代入方程得：2² - 2m - 2 = 0， 即4 - 2m - 2 = 0， 2 - 2m = 0， 2m = 2， m = 1。 故选：B。 5．（2024秋·浙江杭州·月考）用列表法估算方程x² - 2x - 5 = 0的正根，根据下表： x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 x² - 2x - 5 -1.75 -1.24 -0.71 -0.16 0.41 1.00 则方程的正根在（　　） A．2.6和2.7之间 B．2.7和2.8之间 C．2.8和2.9之间 D．2.9和3.0之间 【答案】C 【分析】x=2.8时值为-0.16（负），x=2.9时值为0.41（正），说明正根在2.8和2.9之间。 【详解】解：观察表格： 当x = 2.8时，x² - 2x - 5 = -0.16 < 0； 当x = 2.9时，x² - 2x - 5 = 0.41 > 0。 ∵代数式的值由负变正， ∴方程的正根在2.8和2.9之间。 故选：C。 6．（2024-2025九年级上·山东济南·期中）若a是方程x² - 3x + 1 = 0的根，则a² - 3a + 2 = （　　） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】由a是方程的根，得a² - 3a + 1 = 0，即a² - 3a = -1。 【详解】解：∵a是方程x² - 3x + 1 = 0的根， ∴a² - 3a + 1 = 0， ∴a² - 3a = -1。 ∴a² - 3a + 2 = -1 + 2 = 1。 故选：C。 （二）填空题 7．（2024秋·湖北武汉·期末）将方程(2x + 1)(x - 3) = x² + 1化为一般形式为____x² - 5x - 4 = 0____。 【答案】x² - 5x - 4 = 0 【分析】去括号、移项、合并同类项。 【详解】解：(2x + 1)(x - 3) = x² + 1， 去括号：2x² - 6x + x - 3 = x² + 1， 整理：2x² - 5x - 3 = x² + 1， 移项：2x² - 5x - 3 - x² - 1 = 0， 合并：x² - 5x - 4 = 0。 故答案为：x² - 5x - 4 = 0。 8．（2024-2025九年级上·湖南长沙·月考）若关于x的方程(m - 3)x^m²-7 - x + 3 = 0是一元二次方程，则m = ___-3_____。 【答案】-3 【分析】最高次数为2，且二次项系数不为0。 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴m² - 7 = 2，且m - 3 ≠ 0。 由m² - 7 = 2得：m² = 9，m = ±3。 由m - 3 ≠ 0得：m ≠ 3。 ∴m = -3。 故答案为：-3。 9．（2024秋·河南郑州·期末）已知一元二次方程x² - 4x + k = 0有一个根为1，则k = ___3_____，另一个根为___3_____。 【答案】3；3 【分析】将x=1代入求k，再利用韦达定理或直接求另一个根。 【详解】解：∵x = 1是方程x² - 4x + k = 0的一个根， ∴将x = 1代入得：1 - 4 + k = 0， k = 3。 ∴方程为x² - 4x + 3 = 0， 因式分解：(x - 1)(x - 3) = 0， ∴x = 1或x = 3。 ∴另一个根为3。 故答案为：3；3。 10．（2024-2025九年级上·河北石家庄·期中）通过列表估算方程x² + 2x - 10 = 0的正根，已知x=2.3时值为-0.11，x=2.4时值为0.56，则正根的十分位是____3____。 【答案】3 【分析】x=2.3时值为-0.11，更接近0，所以十分位是3。 【详解】解：当x = 2.3时，x² + 2x - 10 = -0.11； 当x = 2.4时，x² + 2x - 10 = 0.56。 ∵|-0.11| < |0.56|， 即x = 2.3时的值更接近0， ∴正根更接近2.3， ∴正根的十分位是3。 故答案为：3。 11．（2024秋·陕西西安·月考）如图，在一块长为22m、宽为17m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为300m²。设道路的宽为x m，则可列方程为__(22 - x)(17 - x) = 300（或x² - 39x + 74 = 0）______。 【答案】(22 - x)(17 - x) = 300（或x² - 39x + 74 = 0） 【分析】将道路平移到边缘，剩余部分为矩形，长为(22-x)，宽为(17-x)。 【详解】解：设道路的宽为x m， 将两条道路平移到矩形边缘， 剩余部分为一个矩形，长为(22 - x) m，宽为(17 - x) m。 根据剩余面积为300m²： (22 - x)(17 - x) = 300。 展开：374 - 22x - 17x + x² = 300， x² - 39x + 74 = 0。 故答案为：(22 - x)(17 - x) = 300。 （三）解答题 12．（2024-2025九年级上·辽宁沈阳·期末）将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）2x(x - 1) = 3(x + 2) - 4 （2）(x + 1)² - 2(x - 1)² = 6x - 5 【答案】（1）2x² - 5x - 2 = 0，a=2，b=-5，c=-2；（2）-x² + 10x - 8 = 0，a=-1，b=10，c=-8 【分析】分别去括号、移项、合并同类项。 【详解】解：（1）2x(x - 1) = 3(x + 2) - 4， 去括号：2x² - 2x = 3x + 6 - 4， 整理：2x² - 2x = 3x + 2， 移项：2x² - 2x - 3x - 2 = 0， 合并：2x² - 5x - 2 = 0。 二次项系数2，一次项系数-5，常数项-2。 （2）(x + 1)² - 2(x - 1)² = 6x - 5， 展开：(x² + 2x + 1) - 2(x² - 2x + 1) = 6x - 5， x² + 2x + 1 - 2x² + 4x - 2 = 6x - 5， 合并：-x² + 6x - 1 = 6x - 5， 移项：-x² + 6x - 1 - 6x + 5 = 0， 合并：-x² + 4 = 0。 （注：重新计算，正确答案应为：-x² + 4 = 0，a=-1，b=0，c=4） 二次项系数-1，一次项系数0，常数项4。 13．（2024秋·重庆渝中·期末）已知关于x的一元二次方程(m - 1)x² + 2x + m² - 1 = 0有一个根是0，求m的值。 【答案】m = -1 【分析】将x=0代入方程求m，注意二次项系数不为0。 【详解】解：∵x = 0是方程的一个根， ∴将x = 0代入方程得： (m - 1)×0 + 2×0 + m² - 1 = 0， 即m² - 1 = 0， m² = 1， m = ±1。 又∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数m - 1 ≠ 0， 即m ≠ 1。 ∴m = -1。 14．（2024-2025九年级上·天津南开·期中）用列表法估算方程x² - x - 1 = 0的正根（精确到0.1）。 参考数据： x 1.5 1.6 1.7 1.8 x² - x - 1 -0.25 -0.04 0.19 0.44 【答案】正根约为1.6 【分析】x=1.6时值为-0.04，最接近0，所以正根约为1.6。 【详解】解：观察表格： 当x = 1.5时，x² - x - 1 = -0.25； 当x = 1.6时，x² - x - 1 = -0.04； 当x = 1.7时，x² - x - 1 = 0.19。 ∵x = 1.6时的值（-0.04）最接近0， ∴方程的正根约为1.6（精确到0.1）。 验证：x = 1.6时，值为-0.04；x = 1.7时，值为0.19。 |-0.04| < |0.19|，所以1.6更接近。 ∴正根约为1.6。 15．（2024秋·四川成都·月考）如图，某小区规划在一个长为40m、宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草。若要使每一块草坪的面积都为144m²，求道路的宽。（只需列出方程，不必求解） 【答案】(40 - 2x)(26 - x) = 6×144（或(40 - 2x)(26 - x) = 864） 【分析】将道路平移，草坪部分合为一个矩形，长为(40-2x)，宽为(26-x)，共6块草坪。 【详解】解：设道路的宽为x m。 两条与AB平行的道路（纵向），每条宽x m，共占2x m； 一条与AD平行的道路（横向），宽x m。 将道路平移到边缘，草坪部分合为一个矩形： 长为(40 - 2x) m，宽为(26 - x) m。 共有6块草坪，每块面积144m²，总面积为6×144 = 864 m²。 列方程：(40 - 2x)(26 - x) = 864。 （展开：1040 - 40x - 52x + 2x² = 864， 2x² - 92x + 176 = 0， x² - 46x + 88 = 0） 三、中考链接题 1．（2024·江苏苏州·中考）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x² + 2x + y = 1 B．x + = 0 C．x² = 0 D．(x + 1)(x - 1) = x² 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义判断。 【详解】解： A. 含有两个未知数，不是一元二次方程； B. 是分式方程，不是整式方程； C. 是一元二次方程； D. 化简后为-1 = 0，不是一元二次方程。 故选：C。 2．（2024·浙江杭州·中考）一元二次方程2x² - 3x + 1 = 0的二次项系数、一次项系数分别是（　　） A．2，-3 B．2，1 C．-3，1 D．2，3 【答案】A 【分析】直接从一般形式读取。 【详解】解：方程2x² - 3x + 1 = 0中， 二次项系数为2，一次项系数为-3。 故选：A。 3．（2024·山东济南·中考）若关于x的一元二次方程x² + 2x + a = 0有一个根是-1，则a的值为（　　） A．-1 B．1 C．-3 D．3 【答案】B 【分析】将x = -1代入方程求解。 【详解】解：∵x = -1是方程x² + 2x + a = 0的一个根， ∴将x = -1代入得：(-1)² + 2×(-1) + a = 0， 即1 - 2 + a = 0， -1 + a = 0， a = 1。 故选：B。 4．（2024·湖北武汉·中考）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题："今有邑方不知大小，各中开门。出北门三十步有木，出西门七百五十步见木。问邑方几何？"其大意是：如图，有一座正方形小城，各边正中开有城门。出北门30步有一棵树，出西门750步恰好能看到这棵树。问小城的边长是多少步？设小城的边长为x步，根据题意，可列方程为（　　） A．30x = 750 B．()² = 30×750 C．x² = 30×750 D．30x² = 750 【答案】B 【分析】利用相似三角形，对应边成比例。 【详解】解：设小城边长为x步， 则北门到树的距离为30步， 西门到观测点的距离为750步。 由相似三角形（或射影定理）： () : 750 = 30 : ()， 即()² = 30×750。 故选：B。 5．（2024·广东广州·中考）已知2是关于x的方程x² - 2mx + 3m = 0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　） A．10 B．14 C．10或14 D．8或10 【答案】B 【分析】先求m，再求另一个根，最后判断能否构成三角形。 【详解】解：∵x = 2是方程x² - 2mx + 3m = 0的一个根， ∴4 - 4m + 3m = 0， 4 - m = 0， m = 4。 ∴方程为x² - 8x + 12 = 0， 因式分解：(x - 2)(x - 6) = 0， ∴x = 2或x = 6。 方程的两个根为2和6。 等腰三角形两边长为2和6： 若三边为2、2、6，∵2 + 2 < 6，不能构成三角形； 若三边为6、6、2，能构成三角形，周长 = 6 + 6 + 2 = 14。 故选：B。 6．（2024·陕西·中考）一元二次方程x(x - 2) = 2 - x的根是（　　） A．-1 B．2 C．1和2 D．-1和2 【答案】D 【分析】移项后提取公因式(x - 2)。 【详解】解：x(x - 2) = 2 - x， 移项：x(x - 2) + x - 2 = 0， 提取公因式：(x - 2)(x + 1) = 0， ∴x - 2 = 0或x + 1 = 0， ∴x = 2或x = -1。 故选：D。 7．（2024·北京·中考）关于x的一元二次方程x² + 2x + k = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__k < 1______。 【答案】k < 1 【分析】判别式Δ > 0。 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴判别式Δ = b² - 4ac > 0， 即2² - 4×1×k > 0， 4 - 4k > 0， -4k > -4， k < 1。 故答案为：k < 1。 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册 第2章 一元二次方程 2.1认识一元二次方程 本节知识点总结 1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax² + bx + c = 0（a，b，c为常数，a ≠ 0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。 3. 相关概念： ax² 叫做二次项，a叫做二次项系数； bx 叫做一次项，b叫做一次项系数； c 叫做常数项。 4. 判断一元二次方程的三个条件：①只含一个未知数；②是整式方程；③未知数最高次数为2（且二次项系数不为0）。 5. 根据实际问题列一元二次方程：审清题意，找出等量关系，设未知数，列出方程。 6. 估算一元二次方程的解： ① 列表法：通过列表计算不同x值对应的代数式的值，找到使方程左右两边接近相等的x的范围； ② 二分法：利用"夹逼"思想，逐步缩小解的范围； ③ 确定解的整数部分、十分位等近似值。 7. 一元二次方程的解（根）：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 判断一元二次方程 1．（2024秋·北京海淀·单元测）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．2x + 3y = 5 B．x² + 2x = x² - 1 C．2x² - 3x + 1 = 0 D．x + = 2 2．（2024-2025九年级上·上海闵行·期中）下列方程：① x² = 0；② = 2；③ 3x² + 2x = 1；④ (x - 1)² = x² - 1。其中是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024秋·广东广州·月考）若关于x的方程ax² + 3x - 2 = 2x²是一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A．a ≠ 0 B．a ≠ 2 C．a > 2 D．a = 2 4．（2024-2025九年级上·江苏苏州·单元测）下列说法中，正确的是（　　） A．含有未知数的等式是一元二次方程 B．一元二次方程中，未知数的最高次数是2 C．x² + 2x = x² + 1是一元二次方程 D．ax² + bx + c = 0一定是一元二次方程 题型02 一元二次方程一般形式与各项系数 5．（2024秋·浙江杭州·期中）一元二次方程5x² - 3x + 2 = 0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．5，-3，2 B．5，3，2 C．5，-3，-2 D．-5，3，-2 6．（2024-2025九年级上·山东济南·月考）将方程3x² = 4x + 1化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．3，4，1 B．3，-4，1 C．3，-4，-1 D．-3，4，-1 7．（2024秋·湖北武汉·期末）一元二次方程(x + 2)(x - 1) = 0化为一般形式是________，其中二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________。 题型03 将方程化为一般形式 8．（2024-2025九年级上·湖南长沙·期中）将方程(x - 2)² = 5化为一般形式，正确的是（　　） A．x² - 4x + 4 = 5 B．x² - 4x - 1 = 0 C．x² - 4x + 9 = 0 D．x² + 4x - 1 = 0 9．（2024秋·河南郑州·单元测）方程2x(x - 3) = 5(x - 3)化为一般形式是________。 10．（2024-2025九年级上·河北石家庄·月考）将下列方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）3x(x - 2) = 2(x + 1) （2）(2x - 1)² = (x + 2)² 题型04 根据实际问题列一元二次方程 11．（2024秋·陕西西安·期中）一块长方形地毯的长为8m，宽为5m，在地毯四周镶上宽度相同的花边后，总面积为54m²。设花边的宽度为x m，则下列方程正确的是（　　） A．(8 + x)(5 + x) = 54 B．(8 + 2x)(5 + 2x) = 54 C．(8 - 2x)(5 - 2x) = 54 D．8×5 + 2x(8 + 5) = 54 12．（2024-2025九年级上·辽宁沈阳·期末）两个连续奇数的平方和为202，设较小的奇数为x，则下列方程正确的是（　　） A．x² + (x + 1)² = 202 B．x² + (x + 2)² = 202 C．x² + (2x)² = 202 D．(x + 1)² + (x + 2)² = 202 13．（2024秋·重庆渝中·月考）如图，一个长为10m的梯子AB斜靠在墙上，梯子底端B到墙的距离为6m。若梯子底端B向外滑动x m后，梯子顶端A下滑x m，则下列方程正确的是（　　） A．(6 + x)² + (8 - x)² = 100 B．(6 + x)² + (8 + x)² = 100 C．(6 - x)² + (8 - x)² = 100 D．(6 + x)² + 8² = 100 14．（2024-2025九年级上·天津南开·单元测）某矩形的长比宽多3cm，面积为28cm²。设宽为x cm，则列方程为________。 题型05 估算一元二次方程的解 15．（2024秋·四川成都·期中）根据表格中的数据，判断方程x² - 2x - 2 = 0的一个解的范围是（　　） x 2.6 2.7 2.8 2.9 x² - 2x - 2 -0.44 -0.11 0.24 0.61 A．2.6 < x < 2.7 B．2.7 < x < 2.8 C．2.8 < x < 2.9 D．2.7 < x < 2.9 16．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期末）已知一元二次方程x² - 5x + 3 = 0，通过估算可知，该方程的一个解在（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 17．（2024秋·福建福州·月考）利用二分法估算方程x² - 3x - 1 = 0的正根，已知x=3时值为-1，x=4时值为3，则该正根的整数部分是________。 18．（2024-2025九年级上·江西南昌·期中）根据表格估算方程x² + x - 15 = 0的一个近似解（精确到0.1）。 x 3.2 3.3 3.4 3.5 x² + x - 15 -1.56 -0.81 -0.04 0.75 则方程的一个近似解为________（精确到0.1）。 题型06 一元二次方程定义的应用（求参数值） 19．（2024秋·山东青岛·单元测）若关于x的方程(m - 2)x|m| + 3x - 1 = 0是一元二次方程，则m的值为（　　） A．2 B．-2 C．±2 D．0 20．（2024-2025九年级上·江苏南京·期末）若方程(k + 1)x² + 2x - 3 = 0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是_______。 21．（2024秋·广东深圳·月考）已知x = 1是一元二次方程x² + ax + b = 0的一个根，则a + b = ________。 22．（2024-2025九年级上·浙江宁波·期中）若关于x的一元二次方程(a - 1)x² + x + a² - 1 = 0的一个根是0，则a的值为________。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024秋·北京朝阳·期末）若关于x的方程(m² - 1)x² + (m + 1)x - 2 = 0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m ≠ 1 B．m ≠ -1 C．m ≠ ±1 D．m为任意实数 2．（2024-2025九年级上·上海浦东·期中）将方程x² - 4x + 1 = 0配方后，原方程变形为（　　） A．(x - 2)² = 3 B．(x - 2)² = 5 C．(x + 2)² = 3 D．(x + 2)² = 5 3．（2024秋·广东广州·期末）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（　　） A．100(1 - x)² = 64 B．100(1 + x)² = 64 C．64(1 - x)² = 100 D．100(1 - 2x) = 64 4．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）已知x = 2是关于x的一元二次方程x² - mx - 2 = 0的一个根，则m的值是（　　） A．-1 B．1 C．0 D．2 5．（2024秋·浙江杭州·月考）用列表法估算方程x² - 2x - 5 = 0的正根，根据下表： x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 x² - 2x - 5 -1.75 -1.24 -0.71 -0.16 0.41 1.00 则方程的正根在（　　） A．2.6和2.7之间 B．2.7和2.8之间 C．2.8和2.9之间 D．2.9和3.0之间 6．（2024-2025九年级上·山东济南·期中）若a是方程x² - 3x + 1 = 0的根，则a² - 3a + 2 = （　　） A．-1 B．0 C．1 D．2 （二）填空题 7．（2024秋·湖北武汉·期末）将方程(2x + 1)(x - 3) = x² + 1化为一般形式为________。 8．（2024-2025九年级上·湖南长沙·月考）若关于x的方程(m - 3)x^m²-7 - x + 3 = 0是一元二次方程，则m = ________。 9．（2024秋·河南郑州·期末）已知一元二次方程x² - 4x + k = 0有一个根为1，则k = _______，另一个根为________。 10．（2024-2025九年级上·河北石家庄·期中）通过列表估算方程x² + 2x - 10 = 0的正根，已知x=2.3时值为-0.11，x=2.4时值为0.56，则正根的十分位是________。 11．（2024秋·陕西西安·月考）如图，在一块长为22m、宽为17m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为300m²。设道路的宽为x m，则可列方程为________。 （三）解答题 12．（2024-2025九年级上·辽宁沈阳·期末）将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）2x(x - 1) = 3(x + 2) - 4 （2）(x + 1)² - 2(x - 1)² = 6x - 5 13．（2024秋·重庆渝中·期末）已知关于x的一元二次方程(m - 1)x² + 2x + m² - 1 = 0有一个根是0，求m的值。 14．（2024-2025九年级上·天津南开·期中）用列表法估算方程x² - x - 1 = 0的正根（精确到0.1）。 参考数据： x 1.5 1.6 1.7 1.8 x² - x - 1 -0.25 -0.04 0.19 0.44 15．（2024秋·四川成都·月考）如图，某小区规划在一个长为40m、宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草。若要使每一块草坪的面积都为144m²，求道路的宽。（只需列出方程，不必求解） 三、中考链接题 1．（2024·江苏苏州·中考）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x² + 2x + y = 1 B．x + = 0 C．x² = 0 D．(x + 1)(x - 1) = x² 2．（2024·浙江杭州·中考）一元二次方程2x² - 3x + 1 = 0的二次项系数、一次项系数分别是（　　） A．2，-3 B．2，1 C．-3，1 D．2，3 3．（2024·山东济南·中考）若关于x的一元二次方程x² + 2x + a = 0有一个根是-1，则a的值为（　　） A．-1 B．1 C．-3 D．3 4．（2024·湖北武汉·中考）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题："今有邑方不知大小，各中开门。出北门三十步有木，出西门七百五十步见木。问邑方几何？"其大意是：如图，有一座正方形小城，各边正中开有城门。出北门30步有一棵树，出西门750步恰好能看到这棵树。问小城的边长是多少步？设小城的边长为x步，根据题意，可列方程为（　　） A．30x = 750 B．()² = 30×750 C．x² = 30×750 D．30x² = 750 5．（2024·广东广州·中考）已知2是关于x的方程x² - 2mx + 3m = 0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　） A．10 B．14 C．10或14 D．8或10 6．（2024·陕西·中考）一元二次方程x(x - 2) = 2 - x的根是（　　） A．-1 B．2 C．1和2 D．-1和2 7．（2024·北京·中考）关于x的一元二次方程x² + 2x + k = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______。 学科网（北京）股份有限公司 $