下册 第31章追梦综合演练卷-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（人教版·河南专版）

铺路卷 河南专版·RJ·( 九年级数学下 ”为期中、期末铺路”为中考、未来铺路 第三十一章追梦综合演练卷 测试时间：100分钟 测试分数：120分 得分： 、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1.a,b,c,d是成比例线段，其中a=3,b=2,c=6,d的长是( 地 A.1 B.2 C.4 D.9 电4 2.若一个多边形的各边长分别为2,3,4,5,6，另一个和它相似的 多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为( ) 腳 A.6 B.8 C.10 D.12 吹 3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它 们位似中心的坐标是( ) 蝴 A.(0,0) B.（2,1) C.(4,2) D.(5,0) A D 32 1 D A,1)月 0 1 2345x C-I 第3题图 第4题图 第5题图 救 4.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且DE∥BC.若 AD=20cm,BD=12cm,EC=9cm,那么AE的长是() A.13 cm B.15 cm C.16 cm D.18 cm 5.如图，直线1,23，直线AC分别交直线1，l2,于点A,B,C, 直线DF分别交直线L1,L2,L3于点D,E,F,直线AC,DF交于点 P,则下列结论错误的是( AB DE B. PA PD 爵 A·BCEF PC PF 郡 PA PE PB PC C.PBPF D. PE PE 6.如图，小康利用复印机将一张长为5cm,宽为3cm的矩形图片放 大，其中放大后的长为10cm,则放大后的矩形的面积为() A.60 cm2 B.58 cm2 C.56 cm2 D.50 cm2 放大 78 B 第6题图 第7题图 7.如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=6,AC=9.将△ABC沿图示中 的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( 78 78 8.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至 足底的长度之比是5,1(5,1-0.618，称为“黄金分割)，著 2（2 名的“断臂维纳斯”便是如此.若小明的身高满足此“黄金分割” 比例，且肚脐至足底的长度为108cm,则小明的身高约 为() A.155 cm B.165 cm C.175 cm D.185 cm D B E 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，在四边形ABCD中，E为边BC的中点，连接AE,DE,若 ∠B=∠C=∠AED.则下列结论中不正确的是() A.∠AEB=∠CDE B.AB+CD=BC C.△ABE∽△AED D.DE2=AD·DC 10.如图，矩形ABCD的边长AB=2,AD=3,E为AB的中点，F在边 BC上，且BF=2FC,AF分别与DE,DB相交于点M,N,则MW 的长为( 22 B.42 、92 A. D 5 5 033 4 20 二、填空题（每小题3分，共15分） 1在△4c和△Br中若品器分写月△0c的周长等 于6，则△DEF的周长等于 12.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点， 且∠ADE=60°，BD=3,CE=2,则AB的长为 第12题图 第13题图 第14题图 13.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边CD上，CE=2ED,AE 与BD交于点O.若△D0E的面积为1cm2,则S AAOR 为 cm2. 14.设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若∠BAD+ ∠ACB=180,且BC=3,AD=4,AC=5,AB=6,则OB 15.文化情境·传统文化图1为《天工开物》记载的用于井上汲水 的工具一桔槔(jiégāo)的结构简图，图2为桔槔处于水平状 态时的平面示意图，OM代表固定支架，点C,点D分别代表水 桶和重物，AC,BD是固定长度的麻绳，绳长AC=3米，杠杆AB =6米，0B:0A=1:3,当水桶C的位置低于地面0.5米时（如图 3),支架OM与绳子BD之间的距离OH是1.2米，则这个桔槔 支架OM的高度为 米 B 直杆 配重、 DO )支架 水井C M TrnFinninC 图1 图2 图3 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(9分)如图，已知△ABC和△AED,边AB,DE交于点F,AD平 分∠BAC,AF平分∠EAD,且1E_4D AB AC 求证：△BDF∽△BAD, E F B D C R 17.(9分)如图，已知0是坐标原点，A,B的坐标分别为(3,1)， (2,-1). (1)在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD,使 新图与原图的相似比为2：1； (2)分别写出A,B的对应点C,D的坐标； (3)点P为y轴上一点，当PA+PB最小时，点P的坐标 为 18.(9分)如图，直线l1,2,l3分别交直线4于点A,B,C,交直线 于点D,E,F,且九2九3 (1)若AB=5,BC=2,DF=10.5.求EF的长； 2》)点0是直线，与4的交点，若=，c$=15,求5 的长 ls D O B E一 25 19.(9分)如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，连接DE并延 长交AB的延长线于点F,连接AC交DE于点P,连接BP. (1)求证：△BPE∽△FPB. (2)若AD=6,PB=2PE,求BF的长. 20.(9分)如图，在△ABC中，EF∥CD,DE∥BC. 0求证5品 (2)若A8=15802,求DF的长 AD THE ROAD TO DREAM 21.(10分)如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,AC= 8cm.如果点P由B出发向点A匀速运动，同时点Q从A出发 沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2c/s.连接 PQ,设运动的时间为t.（单位：s)(0<t<4) (1)当t为何值时，△APQ与△ABC相似； (2)是否存在某时刻，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？ 若存在，求出此时的值：若不存在，请说明理由 。26· 22.新考法·项目式学习(10分)根据以下材料，完成探究任务. 利用相似三角形测高 数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似 三角形测高”的综合实践活动.如图，在公园某处，他 们发现一个简易工具房前有一堵围墙AB,同学们提 发现、 出问题如下：围墙AB的高度是多少米？ 提出 问题 B OE 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们 进行如下操作： 分析 ①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进地面 问题 F,点时，测得OF=6m; ②当阳光恰从围墙最高点经窗户点D处射进地面E 点时，测得OE=0.8m.此外，测得窗高CD=1.8m, 窗户距地面的高度OD=1.2m. (1)求AB,OB的长； (2)如图，靠窗放置一张长方形桌子，DN∥OF,点N 在光线AF上，求DW的长. 解决 问题 D B OE 23.(10分)在△ABC和△CDE中，∠ACB=∠CDE=90°，AC=BC, CD=DE,点F是AB的中点，连接AE,DF,将△CDE绕着点C 旋转一周，试判断AE和DF的关系； 【探索发现】(1)如图1，当点E在AC上时，AE和DF的数量关 系为 ,直线AE和直线DF相交所成的锐角 的度数为 易错 【验证猜想】(2)如图2，当点E不在AC上时，（1)中的关系是 分析 否仍然成立，如果成立，请证明；如果不成立，请写出新的关系， 并说明理由； 【拓展应用】(3)CD=5,BC=13,将△CDE绕着点C旋转一周 的过程中，当D,E,B三点共线时，直接写出DF的长 图3 做题 心得11.412.16 13.10【解析】过点B作BH⊥EF,垂足为H,交CD于点 G,由题意得：AB=CG=EH=1.6m,AC=BG=2m,CE=GH =10m,∴.BH=BG+GH=12m..CD=3m,.∴.DG=3-1.6 =1.4(m).CD/EF,.△BDG∽△BFH,.FHBF DG BG 43解得：FH=8.4,心EF=FH+EH=10m,大 树的高度EF为10m. 3 14.(2,1)或（-2，-1) 15.42【解析】连接BD'.·四边形A'B'CD'是正方形 .∠B'CD'=90°，.B'D'是圆0的直径..正方形AB CD的面积为4，：.正方形ABCD的边长为2.·，·正方形 大 ABCD与A'B'CD'是位似图形，AB:A'B'=1:2,∴.B'C'= CD'=4,.B'D'=V√4+42=42，.A'C=B'D'=42. 16.解：(1)如图，△A,B,C,即为所求； (3分) *班扫 1外4x (2)A(-6,2),B1(-6,-6),C1(-2,4); (6分) (3)Sa444,=2×8x4=16. (9分) 17.解：根据题意可得：∠DEF=∠BCD=90°，∠EDF= EF CB ∠CDB,.△DEF∽△DCB,DEDC (4分) EF=0.2m,DE=0.3m,AM=CD=21m,0.321, 0.2BC BC=14m,.AB=AC+BC=15.6m,答：树高AB为 15.6m. (9分) 18.解：△ABC与△DEF位似，.△ABC△DEF,AB∥ DE,A0AB∽△0DE,0-6,】 (3分) 0AAD=2:3, (6分) .∴.设△ABC的面积为4kcm2,则△DEF的面积为 25kcm2,.∴.25k-4k=21,.∴，k=1,∴.△4BC的面积为 4cm". (9分) 19.解：过点E作EG⊥BC于G,则EG=100米，.DE∥BC AC BC 120 3 ÷△ABC△ADE,AE0E20亏：AE=AC+ CE..AC3 CE2 (4分) .AF⊥BC,EG⊥BC,∴.AFEG,∴.△ACF∽△ECG, (6分) c记即g AC AF 2=100,解得AF=150.答：桥AF的长度 为150m. (9分) 20.解：A'C⊥AB,B'D⊥AB,∠OCA'=∠0DB'=90°.又 .∠COA'=∠DOB',.△OCA'∽△ODB' (5分) 2治r0=05(米).放短时 端点垂直下降了0.825米. (9分) 21.解：(1)·BE⊥AC,DC⊥AC,∴.EB∥CD,∴△ABE BEA8即5=3 △ACD,CDAC CD3+9解得CD=6,旗杆CD 的高度为6m; (4分) (2)由题意得∠EFB=∠DFC,∠EBF=∠DCF,.△EBF 69-BF,解得F=9 △DF,=,即.5BF :小 追梦之旅铺路卷·九年 水坑F到小明的距离BF的长为？米。 (10分) 22.解：(1)根据题意，∠CBF=∠ABG,∠FCB=∠GAB, CF BC 1.8 6-AB △FGBn△GAB,ACBA,2AB,解得AB= 2.4,.AB的长为2.4m; (5分) (2)由题意，∠GAB=∠EDB,∠GBA=∠EBD,∴.△GAB DE BD DE 6+4-2.4 △EDB,AGAB1.2 2.4 ,DE=3.8, 点E到地面的高度为3.8m. (10分) 23.解：(1)设BC高为xm,由题意知∠CB0=∠DA0=90°， 由光的反射原理得∠BOC=∠AOD,.△BOC∽△AOD. (2分) .·∠D=45°，∴.∠A0D=∠AD0=45°=∠B0C=∠BC0, ∴.OB=BC=x.同理可得△BO,C∽△A,O,D.(4分) ∠A101D1=30°，.∠B01C=∠A101D1=30°，.0B= √5x.001=B01-B0=40,.√5x-x=40,解得x= 20(3+1)≈54.6.答：居民楼的高度约为54.6m; (7分) (2)多次测量取平均数.（答案不唯一） (10分) 第三十一章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查CBC BCAACBD 1.C【解析：a,b,c,d是成比例线段，a=3,b=2,c=6, 即d=4故选C .36 2.B3.C 4.B【解析】：DE∥BC,.D5=,AD=20cm,BD= 20 AE 12cm,BC=9m,29,AE=15.故选B. 5.C 6.A【解析】设放大后的宽为xcm,·放大前后两个矩形 5-3 相似，10 ,x=6,6×10=60(cm2).故选A. 7.A8.C 9.B【解析】.∠BED=∠AEB+∠AED=∠C+∠CDE,∠C =LAED,∴.∠AEB=∠CDE,A正确；根据题意无法证明 AB+CD=BC,B错误；，'∠B=∠C,∠AEB=∠EDC,. AE BE △MBE∽△ECD,EDCD:E为边BC的中点，BE =CB,…5B把助 EDcD心CECD又：LC=LAED,△AED △B0D,22 ,△ABE∽△AED,∴.DE=AD·DC, CD正确.故选B. 10.D【解析】过F作FH⊥AD于H,交ED于O,则FH= AB=2..BF=2FC,BC=AD=3,..BF=AH=2,FC=HD OH DH =1.AF=A=2.OH//AE,AE=AD- 号0M=4=0F=m-om=2 1 33:AE AM AE 3 ∥FO,∴.△AME∽FMO,. EM FO5,.∴AM=gAFs AN AD 3 ,SAD/BF,△AD△FNB,FNB2 362 MN=AN-AM=50 5 54201 选D. 11.1812.9 13.9【解析】：四边形ABCD为平行四边形，.AB∥CD, AB=CD,∴.△OAB∽△OED.CE=2ED,∴.CD=CE+DE 级·RJ·数学第13页 3DE,AB=3DE,.5=3, Sa4=(g2=9, DE SAAOB=9SADOE=9(cm). 14101 【解析】过点0作0EAD,交AB于点E.OE∥ AD,.∠OEB=∠DAB.∠BAD+∠ACB=180°， ∠ACB+∠OEB=180°，.∠ABC+∠C0E=180°，且 ∠AOE+∠COE=180°，.∠AOE=∠ABC,且∠BAC= ∠0AE,△M0B~△ABC,:4g-05-A0、6-BE AC BC AB' 5 30E=18-3B OE 5 .OE∥AD,.△BOE△BDA, OE BE AD AB BE= 9AE=6-BE=6 54 DO 9:0E/A,B0 =4E=6010 BE549 15.5.2【解析】.AB=6米，0B:0A=1:3,.0B=1.5米 OA=4.5米，过点A作AG⊥BH交BH的延长线于点G, 交OM于点N,则OH∥AG..·OB=1.5米，OH=1.2米 .BH=√1.52-1.22=0.9（米）.0H∥AG,.△BAG .BG_AB即BG=6 △B0,BOB即0915解得BG=3.6米，0N =HG=BG-BH=2.7米，又MW=3-0.5=2.5(米)， 0M=2.7+2.5=5.2(米). 16.证明：.：AD平分∠BAC,AF平分∠EAD,∴.∠BAD= ∠DAC,∠EAB=LBAD,∴.∠EAB=∠BAD=∠DAC, ∠BD=∠Bc侣0△BHD一△BMC∠E ∠B, (6分) :LEFA=∠BFD,.LBDF=LEAF,.∠BDF= ∠BAD.:∠DBF=∠ABD,∴.△BDF∽△BAD.(9分) 17.解：(1)如图，△0CD即为所求； (3分) V (2)C(-6,-2),D(-4,2); (7分) (3)(0,-5） (9分) 18.解：(1)l/,/,∴DFAC EF BC AB=5,BC=2,DF= EF 2 10.5,1055+2BF=3 (4分) (2)L,△0BE△0CP, 咒器 98g旺0 (9分) 19.(1)证明：四边形ABCD是菱形，.AB∥CD,.∠CDP =∠F,由对称性质知，∠CDP=∠CBP,.∠F=∠CBP. (2分) 又.∠BPE=∠FPB,.△BPE∽△FPB; (4分) (2)解：PB=2PE,△BPE∽△FPB,EE= PF PB2 PB-PD.. (6分) ABCD,△CDP△AFP,÷F=Ep=2,AD= AB=CD=6,∴.AF=12,∴.BF=AF-AB=6. (9分) AF AE 20.(1)证明：EF/CD,÷FDEC (2分) “DE/BC,:AD=AE.AF AD BD EC'FDBD (4分) 追梦之旅铺路卷·九年 (2)解：AD:BD=2:1,BD=3AB.AB=15,AD= 10. (6分) D2AF=2DF.AF+DF-10.2DF+DF= FD DB 10 10,.DF= 31 (9分) 21.解：(1)由题意得BP=AQ=2tcm,∴.AP=(10-2t)cm,当 △APQ∽△ABC时，得：ABAC,六 :=AQ·10-2t=2,解得：t= 20 9 (2分) ,2_10-2,解得：t 当△AQP△ABC时，得：6A08 综上所述，当1 大 20 s时，△APQ与△ABC相 5 9s或 似： (4分) (2)不存在某时刻，使线段PQ恰好把△ABC的面积平 案 分： (5分) 理由如下：假设存在某时刻，使线段PQ恰好把△ABC 的面积平分，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,AC= 8cm,BC=√AB2-AC=6(cm),过P作PD⊥AC于点 D,则PD∥BC,.△APD△ABC, AP_PD,即10-2 AB BC' 10 公得：Pm=0,Sw=方40·Pm= x21x 1 30-6t.6 5 =6-5 (7分) :线段PQ恰好把△MBC的面积平分，Sauc=之AC: BC=2×8×6=24,.6t- 62=1x24,即2-5+10=0， 2 51 此时4=(-5)2-4×1×10=-15<0，此方程无解，∴.不存 在某时刻，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分. (10分) D0E0,即 22.解：(1)：0D∥AB,.△E0D△EBA,ABEB 报-a0e, (2分) CO∥AB,.△FOC△FBA, C0_F0即1.8+L.2 AB FB' AB 6②，由①2解得0B=1.8,AB=3.9: (5分) 6+0 ED OD 4 AD 9 (2):△E0D△EBA,.EAAB13 “AE13 DN AD DN/OF,-△ADN∽△AEF,EE=AE,即DW、 6-0.813 解得DN=3.6. (10分) 23.解：(1)AE=2DF45° (每空1分，共2分) (2)(1)中的关系仍然成立， (3分) 理由如下：连接CF,延长AE,FD,交于点M,FM,AC交 于点N,由题意知△ACF是等腰直角三角形，△EDC是 等腰直角三角形，“LECD=LACF=45°，CDFC CE AC √2，：∠ACE=∠DCF=45°-∠ACD,.△ACE∽△FCD, 5-S于2，∠CAE=LcFD,Ab=2DF, ∠ANM=∠CNF,∴.∠M=∠ACF=45°； (8分) (30r-7或72 (10分) 【解析】如图1当点E在BD的延长线上时，FD的延 长线交CE于G.∠CDB=∠CFB=90°，.点C,B,F, D共圆，BD=√BC2-CD2=√132-5=12，.∠CDG= ∠FDB=LABC=45°，∠CBD=∠CFD.LECD=45°， 级·RJ·数学第14页 .∠CGF=∠CDB=90°，.△CGF∽△CDB,CG=DG= 52 2 >GD=5√2CGCD5 25 2心FGBD12FGi2FG=6D, =Gc=622-7知图2，当点在在0 上时，设DF和CE交于点G.∠BFC=∠BDC=90, ∴.，点C,D,B,F共圆，∴.∠CDF=∠ABC=45°，∠CFG= ∠CBD,'∠DCE=45°，.∠DCC=90°，.∠CF= ∠CDB=90°，.△CGF∽△CDB,由上可知：FG=6√2， DC=S 2DF=FG+DG=1 2,综上所迷：DF=)或 2 172 21 图1 图2 第三十二章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查BB AAA CAABA 1.B2.B3.A 4.A【解析】在Rt△ABC中，设AC=3x,则BC=2x,.AB= √(3x)+(2x)了=V3x.in4=2x-2 .故选A √13x13 5.A【解析】作OC⊥AB交AB于点C.OA=OB,.OC平 分∠A0B,:∠A0B=20,.∠A0C=0.0A=0B=a, AC=asin0,.∴.AB=2AC=2asin0.故选A. 6.C7.A 8.A【解析】sin75°=sin(45°+30)=sin45°cos30°+cos45° sim30=2x3,2x1=62_6+,2 故选A」 2 2+2x2 44 9.B【解析】过，点A作AD⊥BC于点D.由题意可得∠ABD =30°，∠ACB=45°，在Rt△ABD中，AB=200米，∠ABD= 30°，AD=100,BD=1003,在Rt△ACD中，∠ACB=45°， 则AD=CD=100米，∴.BC=BD+CD=(1003+100)米.故 选B. 10.A【解析】连接BF..CE是斜边AB上的中线，EF⊥ AB,EF是AB的垂直平分线，.S AAEF=S△BFE=5, ∠FBA=∠ASen=10=AP.BCBC=4AP= 5=BF,在Rt△BCF中，BC=4,BF=5,∴.CF=3.CE= AE=BE=2AB,∠A=LFBM=∠ACE,又：LBCM= 90°=∠BEF,∴.∠CBF=90°-∠BFC=90°-2∠A,∠CEF =90°-∠BEC=90°-2∠A,.∠CEF=∠FBC,.sin ∠CEF=sinLFBC-CF-3 BF了故选A 11.60 12.直角三角形【解析】由题意得A- 2=0,c0sB-3 2 2,c0sBs3 0,sin4=3。m :∠A,LB为锐角，∠A= 60°，∠B=30°，.∠C=90°，△ABC是直角三角形. 3.a-3 b 【解析】小AB=8,BC=12,.AD=BC=12,CD=AB= 追梦之旅铺路卷·九年 8,AD∥BC,BE=EF=FC=4,EC=8,∴.△AGD△FGE, 荒需言器送友6作m1心黑 cmc0△eac0-器行m 1 1 -1EC=1x8=2,CH=CD=×8=2,.CH=CE 4 4 H-82-6m2c0-87g号 15.V2-1【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1, 延长CB到点D,使BD=AB,∠D=∠BAD.由勾股定 理得：AB=√AC2+BC2=√2，∴.BD=AB=√2..·∠CBA= ∠D+∠BMD=2LD,∠D=3∠CBA=25,在 △ACD中，CD=BC+BD=1+v2,tan2.5°=AC=1 CD1+2 =√2-1. 16.解：(1)原式=1-4+√3+3=√3； (5分) (2原武2+2x经-*号 2 2321-2 (10分) 17.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A、 ∠B、∠C的对边，则sinA=C=万=2，则∠A=45°： (4分) (2):sin4=0=3 =5,c=15,a=9,由勾股定理得6= √c2-a=√152-92=12. 9分) 18.解：(1)过点A作AE LBC于点E.aC=15=4 9E3,设 AE=4x,CE=3x.AE2+CE2=AC2,.(4x)2+(3x)2= 102,.x=2,.AE=8,CE=6. (2分) BC=16,AD是BC边上的中线，.BD=CD=2BC= 8,..DE DC-EC=8-6=2,..AD =DE2+AE= 2√17： (5分) (2)BD=8,DE=2,∴.BE=BD+DE=10.AE⊥BC,AE =8 AB=BEtAE=2 4T,..sin LABC=AE= AB 84√41 24I41 (9分) 19.解：(1)由题意得当∠BAC=a=60时，绳索BC最长.， AB=AC=1.5米，∴.△ABC是等边三角形，∴.BC=AB= AC=1.5米； （4分) (2)过点D作DE⊥BC,垂足为E,.∠DEC=90°.AB =AC=1.5米，∠BAC=a=40°，∴.∠ABC=∠C= 2×(180°-∠BAC)=70, (6分) AD=1.2米，∴.DC=AD+AC=2.7米，在Rt△DEC中 DE=DC·sin70°≈2.7×0.94≈2.54（米），.桑梯顶端 D到地面BC的距离约为2.54米。 (9分) 20.解：(1)作AH1BC于点H.在R△ACH中，cosC=2 2 -CH -ACAC=2 CH=1,AH=AC-CIP=1.(2) AH 1 在Rt△ABH中，.'tanB= BH5AH=1..BH=5,.BC =BH+CH=6; (5分) (2)AD是△ABC的中线，.BD=CD=3,∴.DH=CD- CH=2. (8分) 在Rt△ADH中，DH=2,AD=√A+D=√5. s血上A0m品-气故∠40C的正孩值为号 （9分) 级·RJ·数学第15页