26.2 二次函数与一元二次方程-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（人教版·河南专版）

12.解：(1)由题意得，△=(-4)2-4(k-2)=24-4k≥0，解得 k≤6； (4分) (2)由题意得x1+x2=4,x1·x2=k-2,∴.4-(k-2)=1,解 得k=5<6,符合题意，.k=5. (9分) 13.解：(1)△=[-(a+8)]2-4a·8=a2+16a+64-32a=a2 -16a+64=(a-8)2≥0，.无论a取任何非零实数，该方 程总有实数根： (5分) (2)平行四边形ABCD是菱形，AB=BC,由题意，得 方程有两个相等的实数根，△=(a-8)2=0,∴.a=8, 一元二次方程为8x2-16x+8=0,解得x1=x2=1,.菱形 边长为1. (9分) 14.解：任务1：令y=3x2+4x-2,.3x2+4x-2-y=0..△=16 -4仪3x(-2）≥0解得)≥03x+4-2的最小值 为、10 (5分) 任务2：令y=x2-ax+3,.x2-ax+3-y=0..△=a2-4×(3 y)≥0.解得y≥a,又y最小值为-1,2二 4 -1,解得a=±4. (9分) 实际问题与一元二次方程 1.C2.C 3.A【解析】设这个数是x,根据题意得：x2-x+1=x,解得 x1=x2=1,这个数是1.故选A. 4.B【解析】第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了 x人，第2轮又增加(x+1)·x个人患流感，2轮后共有1 +x+x(x+1)个人患流感，则1+x+x(x+1)=(x+1)2=100, 解得x=9,x2=-11(不合题意，舍去)，(x+1)3=1000.故 选B. 5.86.10% 7.5【解析】设垂直于墙的材料长为xm,则平行于墙的材 料长为(27+3-3x)m=(30-3x)m,根据题意，得x(30- 3x)=75.解得x1=x2=5. 8.解：根据题意得：(40+x-30)(400-10x)=6000,解得x1= 10,x2=20, (5分) 又要尽可能让顾客得到实惠，.x=10.答：该泥塑的售 价上涨10元/件. (9分) 9.解：(1)由题意得BP=(5-t)cm,BQ=2tcm,在Rt△BPQ 中，(5-t)2+(2t)2=52,解得t1=0(舍去)，2=2，即当t为 2时，PQ的长度等于5cm; (5分) (2)由题意得C0=(6-2t)cm..·△PQC的面积等于 8cm2,2(6-2)(5-t)=8,解得41=1，h2=7(不合题 意，舍去).所以当t为1时，△PQC的面积等于8cm2. (10分) 10.解：(1)设该门店这两周该数据线销量的周均增长率为 x,由题意，得125(1+x)2=180,解得x1=0.2=20%,x2= -2.2(不符合题意，舍去)，答：该门店这两周该数据线 销量的周均增长率为20%. (4分) (2)设每条数据线上涨1.5y元，则每周的销量为(180- 15y)条，由题意，得(25+1.5y-16)(180-15y)=1800,解 得y1=4,y2=2.尽可能让利于顾客，.y=2,.25+ 1.5×2=28(元).答：应将零售价定为28元. (10分) 第二十六章二次函数 二次函数的概念、图象和性质 1.B 2.D 【归纳总结】二次函数图象的平移，先将一般式转换成顶点 式，再利用平移规律“左加右减，上加下减”进行平移变换， 即可得到新的解析式 3.C【解析】由题可得a-1>0,则a>1,故选C. 4.D5.A6.C 7.B【解析】由图可知，过M,P,Q和过N,P,Q的二次函数 开口向上，a>0,故排除A和C.|al越大，开口越小，当 a<0时，开口小的那个a更小，由图可知，过M,N,P三点的 追梦之旅铺路卷·九年 二次函数的开口更小，过M,N,P三点的二次函数的a更 小.故选B. 8.B【解析】①函数的对称轴在y轴右侧，a>0,b<0,则ab< 0,由图象知c<0,则abc>0,故①错误；②函数的对称轴为x =1,函数和x轴的一个交点是(3,0)，则另外一个交点为(- 1,0),当x=-1时，y=a-b+c=0,故②错误；③函数的对称轴 为x=1正，即a三故③正确：④由②③得，b=-24,0 -b+c=0,故3a+c=0,而a>0,即5a>0,8a+c>0,故④正确. 故选B. 9y=2(x-2)2 10.4【解析】抛物线y=a(x-2)2+1(a>0)的顶点A坐标为 (2,1).ABy轴，.点B的横坐标为2，把x=2代入y= 2得，y-3,B(2,-3,心AB=4,△AC 积为】x4x2=4 11.8 12.解：(1)把A(-1,0)代入y=ax2-2ax-3得a+2a-3=0,解 得a=1,.抛物线解析式为y=x2-2x-3. (2分) y=x2-2x-3=（x-1)2-4,抛物线的顶点坐标为(1， -4)； (4分) (2)点P(x,y)到y轴的距离不大于2，.-2≤x≤2.x =-2时，y=5;x=2时，y=-3;x=1时，y有最小值-4. (6分) .∴.当-2≤x≤2时，-4≤y≤5，即n=-4,m=5,∴.m-n=9. (8分) 13.解：（1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,将A、B、C三 (16a-46+c=0 点代人，得16+46+c=4,解得a=-日，6=子，c=4,解 (c=4 析式为：y=- (4分) 8 (2)连接AC与对称轴交于点D,连接DB,抛物线的对称轴 为x=2.AB=42,B、C关于对称轴对称，.DB=DC, AD+BD=AD+CD=AC.此时△ABD的周长取得最小值，点 D即为所求. (6分) 设直线AC解析式为y=x+b,将A、C两点代入得 {的0解得三直线C的解析式为y 1 (b=2 2 2.当x=2时，y=3,.当点D的坐标为(2,3)时，△ABD的 路 周长最小 (9分) 14.解：(1)令x=0,y=4,B(0,4).令y=0,∴.(x+2)2=0, .x=-2,.A(-2,0). (2分) 答 (2)令y=4,有4=(x+2)2,.x1=0,x2=-4,C(-4,4). 案 BC=4,0B=4,0A=2,.S边0MCm=2(0A+BC)×0B= 12: (6分) (3)存在 (7分) P1(2,0),P2(-6,0),P3(-2,8). (10分) 二次函数与一元二次方程 1.C2.B 3.C【解析】△=42-4×1×4=16-16=0，.抛物线y=x2+4x +4与x轴有1个交，点.，抛物线y=x2+4x+4与y轴有1个 交点，.1+1=2（个）.故选C. 4.B5.D6.A7.B 8.x1=3,x2=-59.k≤-2 10.x1=-1,x2=3【解析】小不等式a+b≥am2+bm恒成立， a+b+c≥am2+bm+c恒成立，∴.点(1，a+b+c)是抛物线的顶 点，点(-1,5)关于直线x=1的对称，点为(3,5)，当y=5 时，x=-1或3. 11.-3<m<-2【解析】过点B作直线y=x+m1,将直线向下平 移到与函数翻折后的那部分图象只有1个交点，则一次函 数y=x+m在两条直线之间时，两个图象有4个交点，令y =-x2+x+2=0,解得x=-1或2，即点B坐标(2,0)，翻折抛 物线的表达式为y=(x-2)(x+1)=x2-x-2(-1≤x≤2)，将 级·RJ·数学第24页 一次函数与翻折后抛物线表达式联立并整理得x2-2x-2 m=0,由△=b2-4ac=4+4(2+m)=0,解得m=-3,当一次函 数过点B时，将，点B坐标代入y=x+m得0=2+m,解得m= -2.∴.m的取值范围是-3<m<-2. 12.解：(1)当x=2时，y<0,当x=3时，y>0,所以方程的另一 个根在2和3之间； (4分) (2)函数y=x2-2x+c的对称轴为直线x=1,由题意，得 1-2+c<0解得0<c<1. c>0 (9分) 13.解：(1)-4-3 (2分) (2)如图 (4分) 64520 (3)①8 (6分) ②1 (9分) 14.解：(1)把A(-1,0),点C(0,3)分别代入y=-x2+bx+c,得 -1b+c=0,解得6=2，c=3,“抛物线解析式为y=-2+ c=3 2x+3;y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,.点D的坐标为(1， 4); (2分) (2)当y=0时，-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,∴.B(3, 0),AB=4,D(1,4),.yD=4,.SAA8m= 2AB·%=2 ×4×4=8: (5分) (3)①当x=0时，y=-x2+2x+3=3,当x=3时，y=0,而x=1 时，y有最大值4，.当0≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤ 4; (7分) ②y=-(x-1)2 (9分) 实际问题与二次函数 1.A2.B 3.D【解析】设y=c+b,由图象可知，十6二30，解得 6=60心y=-2x+60.设销售利润为p,根据题意得p=(x ∫k=-2 10)(-2x+60)=-2x2+80x-600.:a=-2<0,p有最大值， 路 当x=-80 -2X220时，P大P大a=20.故选D. 4.B5.56.9 7.40m【解析】以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直 案 平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.设抛物线 的解析式为y=a(x+40)(x-40),将(0,200)代入，得200=a (0+40)(0-40),解得a=日抛物线的解折式为y=- 1 +20,将y=150代入得-2+200=150，解得x=±20. C(-20,150),D(20,150),∴.CD=40m. 8.解：(1)(24-3x) (2分) (2)x(24-3x)=45,解得x1=5,x2=3.当x=3时，24-3x=15 >14,不合题意，x的值为5； (6分) (3)设苗圃的面积为S,则S=x(24-3x)=-3(x-4)2+48. -3<0,0<24-3x≤14，即10 ≤x<8,当x=4时，S最大，最 大面积为48平方米。 (9分) 9.解：(1)设每件商品的进价为a元，根据题意，得80×0.8-a =60%a,解得a=40,故该种商品每件的进价为40元. (4分) (2)y=(80×0.8-x-40)(220+20x)=-20x2+260x+5280= -20(x-6.5)2+6125,.当x=6.5时，y最大.x为整数， 当x=6或7时，y最大为6120元. (8分) 80×0.8-7=57(元)，80×0.8-6=58（元），.当售价为57元 追梦之旅铺路卷·九年 或58元时，每星期的利润最大，最大利润为6120元. （10分) 10.解：(1).点A(0,90)为图中抛物线的顶点，设抛物线的函 数表达式为y=ax+90, （2分) 把点B(20,70)代入y=ax2+90,得70=400a+90,解得a= 1 )。,.抛物线的函数表达式为y三一20x2+90:(5分) 1 1 (2)把y=20代入y=20+90得20=20+90，解得x= 10√14≈37.4（负值舍去），0C=30,∴.0D=30+20=50, .30<37.4<50,.小球最终能落到纸箱内. (10分) 第二十七章反比例函数 反比例函数的概念、图象和性质 1.C2.A 3.C 【方法点拔】已知反比例函数y=-图象上几个点的纵 X 坐标大小，判断这几个点的横坐标大小的方法：①直接 代入法：直接将这几个点的纵坐标代入解析式中，求出 相应的横坐标，即可判断大小；②图象法：画出草图，在 图象上描出这几个点，根据图象即可判断这几个点的横 坐标大小. 4.C【解析】C.当x>-1时，y<-3或y>0.故选C. 5.C 6.C【解析】过点A,B分别作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于 E,AD∥BE.:AB=BC,.BE是△ADC的中位线，.AD =2BE,设BE=t,则AD=2t,对于y=ax+b,当y=t时，x= 当y=2时2点422点以2 ?点A,B在反比例函数y=的图象上，k=21.2-b a b=3,对于y=axb,当y=0时，x=- t.i-b a点C 的坐标为(-b,0),0C=-6:△04C的面积为8， a a )0c·AD=8,即。×(-6)x2=8,bM=-8a.b=3B 2 28a,-,-b2-bt3-16故洗C aaa 31 7.(-2,-3) 8.2=5【解析】设2的表达式为，=人：BCk轴， SM0C=X4=2,SAm0G=SANOG-SAA0c=SAAOB 5 六2k-2=2心k=5,%=￥ 9.6 10.解：分别过点A,C作y轴的垂线，分别交y轴于点D,E, :点A在反比例函数=-2(x<0)的图象上，SA0D =-2 2 =1,“点C在反比例函数，-10(x>0)的图象 10 上，S0cs=2=5, (4分) 四边形OABC是矩形，.△AOD≌△CBE,△COE≌ △ABD,∴.SAAOD=S△BCE,SACOE=SABD,∴.S矩形0ABc=SAAOD+ S△BCE+S△coE+S△BMD=2X(1+5)=12. (9分) 11.解：(1)y=--1,y=x 6 (2分) (2)x=-3或x=2. (4分) 级·RJ·数学第25页二次函数与 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共21分） 1.若抛物线y=x2+bx+c的顶点在第一象限， 则方程x2+bx+c=0的根的情况是( A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法判断 2.已知二次函数y=x2+2x+m的部分图象如图 所示，则关于x的一元二次方程x2+2x+m= 0的解为() A.x1=3,x2=1 B.x1=-3,x2=1 C.x1=3,x2=-1 D.x1=-3,x2=-1 3.抛物线y=x2+4x+4与坐标轴的交点个数 是( A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.已知二次函数y=x2-4x+m的图象与x轴有 两个交点.若其中一个交点的坐标为(1， 0),则另一个交点的坐标为( A.(4,0) B.(3,0) C.(2,0) D.(-1,0) 5.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c为 常数)的y与x的部分对应值如表： 3.23 3.24 3.25 3.26 -0.06 -0.08 -0.03 0.09 判断方程ax2+bx+c=0.02的一个解x的取 值范围是( A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26 6.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象， 追梦之旅铺路卷·铺路帮手 元二次方程 测试分数：60分 由图象可知不等式ax2+bx+c>0的解集 是() A.-1<x<5 B.x>5 C.x<-1且x>5 D.x<-1或x>5 02 5衣 14龙 第6题图 第7题图 7.如图，抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x =2,若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0 (t为实数)在1<x<3的范围内有解，则t的 取值范围是( A.-5<t<4 B.3<t≤4 C.-5<t<3 D.t>-5 二、填空题（每小题3分，共12分） 8.二次函数y=mx2+2mx+c(m、c是常数，且m ≠0)的图象过A(3,0),则方程mx2+2mx+c =0的根为 9.若函数y=(k+3)x2+2x+1的图象与坐标轴 至少有两个交点，则飞的取值范 围为 10.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,5)， 且无论m为何值，不等式a+b≥am+bm恒 成立，则关于x的方程ax2+bx+c=5的解为 11.已知二次函数y=-x2+x +2及一次函数y=x+m, 将二次函数在x轴上方 的图象沿x轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新 图象（如图所示），当直线y=x+m与这个 新图象有四个交点时，m的取值范 围是 九年级·J·数学第9页 三、解答题（共27分） 12.(9分)已知函数y=x2-2x-2,当x=0时，y <0,当x=-1时，y>0,所以方程x2-2x-2= 0有一个根在-1和0之间. (1)参考上面的方法，求方程x2-2x-2=0 的另一个根在哪两个连续整数之间； (2)若方程x2-2x+c=0有一个根在0和1 之间，求c的取值范围， 13.（9分)小新对函数y=|x2+bx1+c的图象和 性质进行了探究.已知当自变量x的值为 0或4时，函数值都为-3.探究过程如下， 请补充完整， (1)6= ，C= (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这 个函数的图象； (3)进一步探究函数图象并解决问题： ①函数y=|x2+bx|+c与x轴所有交点横坐 标的和是 ②若方程Ix2+bx|+c=k有三个不同的解， 则k= 6 …2 6543-2-10 13456 9 =6 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 14.(9分)如图，已知二次函数y=-x2+bx+c 的图象与x轴交于点A(-1,0),点B,与y 轴交于点C(0,3),顶点为D,连接 AD,BD (1)求该抛物线的解析式及点D的坐标； (2)求△ABD的面积； (3)①当0≤x≤3时，求y的取值范围； ②若将该函数图象向下平移到与x轴有唯 一公共点，则平移后的函数解析式 是 D A B x 九年级·RJ·数学第10页