上册 第26章追梦基础训练卷(1)-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（人教版·河南专版）

铺路卷 之旅 河南专版·R则·九年级数学上 ,为期中、期末铺路”为中考、未来铺路 第二十六章追梦基础训练卷 二次函数的概念、二次函数的图象和性质 测试时间：100分钟 测试分数：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 絮 1.下列函数中，属于二次函数的是( ) A.y=x+4 B.y=(x-3)2-x2 言腳 1 C.y= D.y=2(x+1)2+5 帅分 2t 圳 2.抛物线y=-2x2+4x+3的顶点坐标是() 9 A.(2,1) B.(1,5) C.(-2,5) D.(-1,2) 3.将二次函数y=x2+4x+3的图象向右平移3个单位，再向下平移 1个单位后的解析式为( A.y=(x+5)2-2 B.y=(x-1)2 C.y=(x+1)2-2 D.y=(x-1)2-2 救 4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x=2时有最小值3，则这个函数 的图象可以是( 2,3) 2.3 2,3) \B. /0 纯1 5.已知点(-2，y1),（3,y2),（7,y3)都在二次函数y=-(x-2)2+c 爵 的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是() A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y3>y2>y1 如 6.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)部分x,y的对应值 如下表： 0 3 4 1 -1 1 5 剂 则下列判断中正确的是( A.函数图象的开口向下 B.当x>2时，y随x的增大而增大 C)有最大值为月 D.y有最小值为-1 7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y= 2ax+b的图象大致是() 0 D B 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 8.如图，小明在画二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的图象过 程中，在正确描出顶点P后，再依次描出点A,B,C,D.若其中只 有一个点是描错误的，则描错误的点是( A.点A B.点B C.点C D.点D 9.如图，在正方形ABCD中，点A,C的坐标分别 -4),点B在抛物线y=+m的图象上，则 值为( 2 3 .3 B.-1 C.2 D.-3 10.如图，Rt△AOB中，AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t分别交 OA,OB于点C、D,截此三角形所得阴影部分的面积为S,则S 与t之间的函数关系的图象为下列选项中的( C.S D.S 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.新考法·开放性试题已知二次函数的图象开口向上，且经过点 (0,1),写出一个符合题意的二次函数的表达式 12.已知二次函数y=-x2+2hx+1-k(k是常数)，当x≥1时，y随x 的增大而减小，则k的取值范围是 13.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行 两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y 元，原价为a元，则y与x之间的函数解析式为 14.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2-2x+2上运 动，过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD, 连接BD,则对角线BD的最小值为 第14题图 第15题图 15.如图，正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y=-x2+4上，点D在 y轴上.若A,C两点的横坐标分别为m,n(m>n>0),则m-n 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(9分)已知抛物线y=x2+bx+c经过点(-1，-2)和(2,3). (1)求b,c的值； (2)判断点(-2,5)是否在这个抛物线上，并说明理由. 17.（9分)已知抛物线y=ax2-2x+c与x轴的一个交点为点A(3, 0),与y轴的交点为点B(0,-3) THE ROAD TO (1)求抛物线的解析式； (2)求y的最值 18.（9分)已知二次函数y与自变量x的部分对应值如下表： -4 -3 -2 -1 0 5 a -3 -4 -3 0 (1)a= (2)求该二次函数的表达式； (3)y随x的增大而减小时，x的取值范围是 。3。 19.(9分)已知二次函数y=2(x-1)2+1的图象为抛物线C. (1)抛物线C顶点坐标为 ； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单 位长度，得到抛物线C1,直接写出抛物线C1的函数解析式； (3)当-2≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围. 20.新定义(9分)设二次函数y1、y2的图象的顶点坐标分别为 (a,b)、(c,d),若a=-2c,b=-2d,且开口方向相同，则称y1是 y2的“反倍顶二次函数” (1)请写出二次函数y=x2-x+1的一个“反倍顶二次函数”； (2)已知关于x的二次函数y1=x2+nx和二次函数y2=2x2-nx+ 1,若函数y1恰是y2的“反倍顶二次函数”，求n的值. 。4 21.(10分)如图，点P(7,a)在抛物线C:y=4-(6-x)2上，且在抛 物线的对称轴右侧， (1)写出抛物线的对称轴和最大值，并求a的值； (2)在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及 抛物线C的一段，分别记为P',C'.平移该胶片，使C所在抛物 线对应的函数解析式恰为y=-(x-3)2.直接写出点P'平移的 方向和距离。 22.学习情境·过程性学习(10分)数学活动课上，王老师与同学们 用实验的方法探究函数关系： 【实验操作】如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2)， 在x轴上任取一点M,连接AM,作线段AM的垂直平分线L1,过 点M作x轴的垂线l2,记l1,l2的交点为P,设点P的坐标为 (x,y),探究y与x的函数关系. 【归纳猜想】在x轴上多次改变点M的位置，测量线段OM与 PM的长度，在表格中记录数据如下： 线段OM长 1 2 3 5 线段PM长1.2 2 3.3 5 7.2 如果OM=a,PM=b,在网格坐标系中描出点(a,b),用描点法 画出函数图象； 【总结结论】根据图象猜想线段PM与OM的长之间的函数关 系，由此得出点P的坐标(x,y)满足的函数关系： (1)猜想y关于x的函数解析式，请直接写出结论，并写出x的 取值范围； (2)在图1中利用几何推理证明(1)中的结论 易错 M 分析 图1 圆 23.（10分)已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx- 3的图象与x轴交于点A(3,0)和点B,与y轴交于点C. (1)求b的值； (2)求直线AC的解析式； (3)点P是直线AC下方抛物线上的一动点，点P的横坐标为 m,连接PC,PA,求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标. 做题 心得 席答案详 九年级上册 第二十五章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查AD C BC BADBB 1.A 2.D【解析】一元二次方程(x-1)2=4(2x+1)化成一般形 式为x2-10x-3=0,.一次项系数和常数项分别为-10 卷 -3.故选D. 【知识回顾】一般地，任何一个关于x的一元二次方程经 案 过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)，这种形 式叫一元二次方程的一般形式.其中ax2叫作二次项，a 叫作二次项系数；bx叫作一次项；c叫作常数项.一次项 系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等 于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项 了，所以，此方程就不是一元二次方程了， 3.C【解析】把x=3代入方程x2-2x+m-1=0,得9-6+m 1=0,解得m=-2.故选C. 4.B 5.C【解析】x2-6x-5=0配方，得(x-3)2=14,.p=-3< 0,9=14>0,:直线y=px+q经过第一、二、四象限，不经 过第三象限.故选C. 6.B 7.A【解析】设该市这两个月投入图书购置经费的平均增 长率为x,根据题意得50(1+x)2=72,解得x1=0.2= 0%,x2=-2.2(不符合题意，舍去).故选A. 8.D 9.B【解析】设这批椽的数量为x株，则(x-1)株椽的运 费是3(x-1)文，一株椽的价钱为3(x-1)文，根据题意 得3(x-1)x=216,解得：x1=-8(不符合题意，舍去)，x2 9,∴.3(x-1)=24,3x=27.故选B. 10.B【解析】，·正方形的边长为1，AF=AM=x,在 1 R△ABE中，AE=AB+BE,(x+2)P=1+(2)产， +x-1=0,∴.AM的长为x2+x-1=0的一个正根.故选B. 11.-10(答案不唯一) 【方法点拨】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△ =b2-4ac有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等 的实数根：②当△=0时，方程有两个相等的实数根：③当 △<0时，方程无实数根.上面的结论反过来也成立. 12-2【解折】由题意，得π22解得{m2因北n =-2. 13.-202514.6 15.4或5【解析】△=[-(2k+1)]2-4(k2+k)=1,.x= 2,即名=+1，x=,当k+1=5时，k=4.“4、 2k+1±1 5、5能构成等腰三角形，.k=4符合题意；当k=5时， 5、5、6能构成等腰三角形，∴.k=5符合题意.综上所述： k的值为4或5. 16.解：(1)移项，得(x+3)2=25.由此可得x+3=±5，x+3= -5,或x+3=5,即x1=-8,x2=2; (5分) (2)左边分解因式，得(2x-5)(x+3)=0.于是2x-5=0, 5 或x+3=0,即x=2,=-3. (10分) 17.（1)证明：4=b2-4ac=(-2m)2-4×1×(m2-1)=4>0,∴ 无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；(4分) (2)解：由根与系数的关系可得：x1+x2=2m,x1·x2=m2 -1,∴.m2-1+2=2m,即m2-2m+1=0,解得m=1. (9分) 18.解：设AB的长为x米，根据题意得x(14+1.5×2-2x)= 追梦之旅铺路卷·九年 解详析 22 30,解得x1=6,x=2.5, (5分) 当x=6时，14+1.5×2-2×6=5<10，符合题意： (7分) 当x=2.5时，14+1.5×2-2×2.5=12>10，不符合题意， 舍去.答：AB的长为6米，BC的长为5米 (9分) 19.(1) (每空2分，共4分) (2)解：原方程可化为x2-x-6=0.左边分解因式，得(x+ 2)(x-3)=0,解得x1=-2,x2=3. (9分) 20.解：(1)根据定义，x2+2x-8=0的“倒序方程”为-8x2+ 2x+1=0; (3分) (2)原方程移项，得x2+2x=8,配方，得x2+2x+1=8+1, 即(x+1)2=9,由此可得x+1=±3，即x1=2,x2=-4. （6分) 由(1)知，原方程的“倒序方程”为-8x2+2x+1=0,这里 a=-8,b=2,c=1.b2-4ac=22-4×(-8)×1=36,.x= -2生36246，即x1=2%=4 1 1 (9分) 2×(-8)-16’ 21.解：(1)设经过t秒后，PQ的长度等于2√10cm.:∠B =90°，.PQ2=BP2+BQ2,.(2√10)2=(5-t)2+(2t)2, 解得t1=-1(不符合题意，舍去)，t2=3,即3秒后，PQ 的长度为2√10cm; (4分) (2)在(1)中，△P0B面积不等于4cm2 (5分) 理由如下：由(1)可知，AP=3cm,BQ=6cm,∴.BP=AB- AP=2cm,S6a=2BP·BQ=号×2x6=6(cm2),即 △PQB面积不等于4cm2. (9分) 22.解：任务1：设7月份到9月份的月平均增长率为x,由 题意得1000(1+x)2=1440,解得x1=0.2=20%,x2= -2.2(舍)，答：7月份到9月份的月平均增长率为 20%; (5分) 任务2：设该泥塑的售价应定为y元/件，由题意，得 [400-10×(y-40)](y-30)=6000,解得=50,2=60. :要尽可能让顾客得到实惠，则y=50,答：该泥塑的售 价应定为50元/件. (10分) 23.解：(1)在直角三角形ABC中，根据勾股定理得，BC2 +MC2=A,(分)户+8=(7+AD)2,整理得，AD+aAD =b2,.对于形如x2+ax=b2的方程中一个正根是线段 AD的长： (4分) (2)(2x+10)2√61-5 (6分) (3)x2+2x-4=0,x2+2x=4,作直角三角形ABC,其 中∠C=90°，AC=2,BC=1,在斜边AB上截取BD=BC, 在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=J4+1=√5 则该方程的其中一个正根为AD的长即5-1.（方法不 唯一) (10分) A 第二十六章追梦基础训练卷（一）】 答案 12345678910 速查 BCBDDCD 1.D 2.B【解析】y=-2x2+4x+3=-2(x-1)2+5,∴.抛物线的顶 点坐标是(1,5).故选B. 3.D4.B 5.c 【解析】：抛物线y=-(x-2)2+c,.抛物线开口向 下，对称轴为直线x=2,离对称轴越近y值越大..：三点 为(-2，y),(3,y2),（7,y3),∴.y2>y1>y3.故选C. 6.B【解析】函数图象经过(0,1)，(1，-1)，(3,1)，将其代 (c=1 (a=1 入函数解析式，得{a+b+c=-1,解得b=-3,∴.二次函数 9a+3b+c=1 (c=1 级·RJ·数学第1页 解析式为y=x2-3x+1=(x- 3 4“0>0,函数图象 的开口向上：对称轴为直线=子，且y有爱小值为 4 无最大值，.当>3时，y随x的增大而增大：2> 3 2 .当x>2时，y随x的增大而增大.故选B. 7.D【解析】由二次函数图象，得出a<0,20<0,则6<0， 2a<0,故一次函数y=2ax+b的图象经过第二、三、四象 限.故选D. 8.D 9.C【解析】设直线AC的解析式为yc=kx+b(k≠0)，将 点A-2,4,c2,4)代入，将43解得伦0 0b=0, ∴：直线yAc=-2x,当x=0时，y=0,直线AC过原点0. 连接AC,OB..四边形ABCD是正方形，.OB⊥AC,OB =OA,.∠AOB=90°，作AM⊥x轴于M,BN⊥x轴于N 则∠AM0=∠ONB=90°，∴.∠MA0+∠AOM=90°.. ∠AOB=90°，.∠AOM+∠BON=90°，.∠MA0=∠NOB, ∴.△AMO≌△ONB(AAS),.∴.ON=AM,BN=OM,.A(-2 4),C(2,-4),∴.AM=0N=4,0M=BN=2,.B(4,2),将B (4,2)代入抛物线得×42+4m=2,解得m=-).故选C. 10.D【解析】Rt△A0B中，AB⊥OB,且AB=0B=3, ∠AOB=∠A=45°，.CD⊥OB,∴.CDAB,∴.∠OCD= ∠A,∴.∠A0D=∠0CD=45°，.0D=CD=t,.SAOCD= 2×0DxCD=2(0≤t≤3)，即S=)(0≤i≤3).故 2 选D. 11.y=x2+1(答案不唯一）12.k≤113.y=a(1-x)2 14.1【解析】.·y=x2-2x+2=(x-1)2+1,.抛物线的顶点 坐标为(1,1).：四边形ABCD为矩形，BD=AC,AC⊥ x轴，当，点A在抛物线的顶，点时，，点A到x轴的距离最 小，最小值为1，对角线BD的最小值为1. 15.1【解析】过点A作AM⊥y轴于点M,过，点C作CN⊥y 轴于点N,由题意，得点A的坐标为(m,-m2+4),点C 的坐标为(n,-n2+4),∴.AM=m,CN=n.四边形ABCD 是正方形，∴.AD=DC,∠ADC=90°..∠CDN+∠DCN= 90°，∠CDW+∠ADM=180°-90°=90°，∴.∠DCN= ∠ADM.'.△ADM≌△DCN(AAS),∴.DN=AM=m,DM =CN=n,.MN=DN+DM,即(-n2+4)-(-m2+4)=m+ n,.∴.m-n=l. 16.解：(1)将点(-1，-2)和(2,3)代入抛物线解析式y=x 2 = +ic+c,得4+20-子，解得 3 7 (5分) -3 (2)点(-2,5)不在这个抛物线上， (6分) 理由：由1)得指物线为y=子+子了当=-2时。 7 y=(-2)2+2x(-2)- 71 3 3 =3心点(-2,5)不在这个抛 物线上 (9分) 17.解：(1)抛物线y=ax2-2x+c与x轴的一个交点为点A (3,0),与)轴的交点为点(0，-3)22-3+c=0, 解得{83抛物线解析式为y=-2x-3；（4分) (2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,a=1>0,.当x=1时，y 取最小值为-4. (9分) 18.解：(1)0 (2分) (2)设二次函数的表达式为y=a(x+1)2-4,把(0，-3) 代入得-3=a×(0+1)2-4,解得a=1,∴.二次函数的表 达式为y=(x+1)2-4,即y=x2+2x-3. (7分) (3)x<-1 (9分) 19.解：(1)(1,1) （2分) (2)抛物线C,为y=2x2+3; (6分) (3)y=2(x-1)2+1,∴.当x>1时，y随x的增大而增 追梦之旅铺路卷·九年 大，当x<1时，y随x的增大而减小，当x=1时，y有最 小值1.当x=-2时，y=19;当x=3时，y=9;:-2<1<3, .当-2≤x≤3时，1≤y≤19. (9分) 【方法技巧】由于抛物线平移后的形状不变，故a不变， 所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一 是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系 数法求出解析式：二是只考虑平移后的顶点坐标，即可 求出解析式. .13 20.解：(1)小为=2-+1=(x2)”+4,顶点(2)， (2分) 3 的顶点坐标为(-1,2)，心y=(x+1)2- (答 案不唯一) (5分) (2)y1=x2+nx=(x+ )2- 4,h=2x2-x+1=2(x- 大 )2_几-°，由题意n =2xn- ,解得n=±2. (9分) A 8 案 21.解：(1)y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4,.抛物线对称轴 为：x=6,最大值为4； (3分) 把点P(7,a)代入抛物线C中，得a=4-(6-7)2,解得a =3: (7分) (2)点P向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到 的. (10分) 22.解：如下图，用描点法画函数图象； (3分) 446 (1)y=4+1,x取全体实数： (5分) (2)过点P作PB⊥y轴于点B,连接PA.L1是AM的 垂直平分线，.PA=PM,∴PB=x,PA=y,AB=Iy-21,在 Rt△ABP中，AB2+BP2=AP2,.(y-2)2+x2=y2,即y= (10分) 23.解：(1)将A(3,0)代入二次函数解析式y=x2+bx-3,得 32+3b-3=0,解得b=-2; (2分) (2):b=-2,抛物线的解析式为：y=x2-2x-3,将x=0 代入y=x2-2x-3得y=-3,C(0,-3). （4分) 设直线AC的表达式为y=kx+n(k≠0)，将点A(3,0),C (0,-3)代入直线AC的表达式，得+)0，解得 你-3，即直线4C的表达式为y=-3: (6分) (3)过点P作PHy轴交AC于点H,点P(m,m2-2m -3),则H(m,m-3).则SAAGP=Sam+SAPHG=2×PHX A0= 32 2×(m-3)-(m2-2m-3)]x3=-多(m-号 27 8, (8分) 3 )<0,当m三号时，△ACP面积的最大值为8，山 时点P坐标为(2,4 315 (10分) 第二十六章追梦基础训练卷（二） 答案 123456789 10 速查 AC BBDCBBCD 1.A 【方法技巧】求解抛物线与x轴的公共点问题：(1)根据 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴公共点的个数，可知对 应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况；(2) 根据二次函数解析式，确定对应的一元二次方程的根的 判别式的符号，从而可确定抛物线与x轴的公共点个数. 级·RJ·数学第2页